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1 Un pendule ayant une longueur de 0 m et une mae de 1 kg a une vitee de 5 m/ quand il et à la poition d équilibre. Quelle et la vitee du pendule quand il fait un angle de 10? Découvrez comment réoudre ce problème dan ce chapitre.

2 Decription du mouvement avec un inu Quand un objet et en ocillation, il pae continuellement d un côté à l autre d une poition appelée la poition d équilibre. Ce pourrait être, par exemple, un pendule. Dan ce ca, la mae pae alternativement d un côté à l autre de la poition d équilibre, qui et au point le plu ba du mouvement du pendule. Si on poe que la poition d équilibre et à x = 0, cela ignifie que la poition prend alternativement de valeur poitive et négative. Le graphique de la poition de l objet en fonction du temp pourrait donc reembler au graphique uivant. blog.rediff.com/phyichomeworkhelp/ 013/03/0/imple-pendulum-experiment/ Le graphique peut prendre une multitude de forme. La eule choe qui indique qu il y a une ocillation c et la répétition d un mouvement identique à chaque cycle. Il y a cependant un ca trè important : le mouvement d ocillation décrit par une fonction inuoïdale. On parle alor d ocillation harmonique. Dan ce ca, la poition et donnée par la formule x Ain t T (De façon correcte, on parle ici de mouvement harmonique imple. Dan le mouvement harmonique complexe, il faudrait pluieur fonction inuoïdale additionnée pour décrire le mouvement.) Verion 016b 1-Le ocillation harmonique

3 Prenon un exemple pour illutrer un mouvement d ocillation harmonique. Suppoon que la poition oit donnée par x 3cmin t Le graphique de ce mouvement et illutré ur la figure ci-contre. Dan ce clip, vou pouvez voir que le graphique de la poition en fonction du temp pour un ytème mae-reort (qui et un ytème qui fait une ocillation harmonique) et un graphique identique à celui de la figure. Dan la formule, A et l amplitude du mouvement. Elle permet d ajuter la hauteur du inu. Normalement, un inu a une valeur maximale de 1 et une valeur minimale de -1. En multipliant par A, le inu aura alor une valeur maximale de A et une valeur maximale de A. Cette amplitude indique la plu grande ditance qu il peut y avoir entre l objet et la poition d équilibre. Dan notre exemple, l amplitude et de 3 cm. T et la période du mouvement. Elle indique le temp que prend l objet pour faire un cycle d ocillation. Normalement, un inu a une période de (en radian). En multipliant le temp par /T, le inu aura alor une période de T. Dan notre exemple, la période et de econde. Erreur fréquente : Utilier une calculatrice en degré Le valeur à l intérieur de fonction trigonométrique ont en radian dan ce chapitre. Il et trè courant de voir de gen qui ont oublié de mettre leur calculatrice en radian et qui obtiennent de valeur erronée. f et la fréquence. Elle indique le nombre d ocillation fait par l objet en une econde. Elle et meurée en hertz (Hz), qui ont de -1. Verion 016b 1-Le ocillation harmonique 3

4 Évidemment, il y a un lien entre la période et la fréquence puique, plu l objet fera d ocillation par econde, plu la période era petite. Si l objet fait 10 ocillation par econde, cela ignifie que chaque ocillation dure 0,1 (1 econde / 10). Si l objet fait 50 ocillation par econde, chaque ocillation dure 0,0 (1 econde / 50). On a donc Lien entre T et f T 1 f On peut donc écrire la fonction inuoïdale ou la forme x Ain ft La quantité f revient continuellement dan l étude de ocillation harmonique. Le phyicien e ont donc tanné de l écrire et ont décidé d utilier un ymbole pour la repréenter. C et la fréquence angulaire. Définition de la fréquence angulaire f T La fréquence angulaire et en rad/ et elle repréente le nombre de cycle d ocillation effectué durant un temp de econde. Notre fonction inuoïdale peut donc écrire ou la forme x A t in Ce n et toujour pa notre formule la plu générale pour décrire le mouvement d ocillation, même i on peut ajuter l amplitude et la période. On doit aui pouvoir ajuter le début du mouvement. On n et pa obligé de commencer le mouvement d ocillation à x = 0 comme on doit avoir avec un inu. Par exemple, le mouvement d ocillation pourrait commencer à la poition maximum comme illutré ur ce graphique. Verion 016b 1-Le ocillation harmonique 4

5 Ce graphique ne correpond pa au graphique d un inu. On doit pouvoir changer quelque choe dan le inu pour arriver à repréenter cette fonction. En fait, la forme de la fonction n a pa changé, le inu n et que déplacé le long de l axe du temp. On a donc une tranlation de la fonction. Sur ce graphique, on déplace notre fonction inu de t ver la gauche. En pointillé, on voit le axe du départ qui e ont déplacé avec la fonction. Avec le axe en pointillé, nou avon toujour notre graphique du inu. L équation et donc x' Ain t' Avec le axe en ligne continue, nou avon notre inu qui ne commence pa à zéro. On peut déterminer l équation de ce inu en trouvant le loi de tranformation entre le coordonnée x et t et le coordonnée x et t. Comme on n a pa changé de hauteur par rapport aux axe horizontaux lor du déplacement, on n a pa changé le valeur de x x ' x Le point du graphique ne ont cependant pa à la même ditance de axe verticaux puique l axe x et t plu à gauche. La loi de tranformation et donc t' t t Verion 016b 1-Le ocillation harmonique 5

6 Si on met ce tranformation dan notre formule du inu, on obtiendra l équation de ce graphique en fonction de axe x et t. x' Ain t' x Ain tt x Ain tt et t étant de contante, leur produit et aui une contante. Cette contante et notée et et appelée la contante de phae. Contante de phae () t La contante de phae et en radian. Notre équation la plu générale pour le mouvement d ocillation harmonique et donc Poition en fonction du temp pour une ocillation harmonique x A t in Notez que tout ce qu il y a à l intérieur du inu porte le nom de phae. (C et un terme général en mathématique et qui ne applique pa uniquement aux ocillation harmonique.) La contante de phae déplace notre inu ver la gauche. Par exemple, il et déplacé d un quart de cycle ver la gauche i la contante de phae et / (qui et un quart de ), il et déplacé d un demi-cycle i la contante et et et déplacé de troi quart de cycle i la contante et 3/. Inutile d utilier une contante de phae de, puiqu on décale alor le graphique d un cycle au complet et on revient à notre inu du départ. Verion 016b 1-Le ocillation harmonique 6

7 Si la contante de phae et négative, le graphique du inu et déplacé ver la droite. Certain d entre vou ont peut-être déjà remarqué qu avec une contante de /, on obtient alor le graphique d un coinu. Cela veut dire qu on peut également décrire le ocillation harmonique avec un coinu. C et trè correct de le faire et certain livre ur le ocillation travaillent toujour avec un coinu. On peut paer facilement d un à l autre avec l identité trigonométrique uivante. Par exemple, on peut avoir in tco t Verion 016b 1-Le ocillation harmonique 7

8 in t cot t t t t in 4, 06 co,635 in 0,90 co 0,669 La contante de phae et toujour / plu petite avec le coinu qu avec le inu. Le identité uivante peuvent être aui utile à l occaion. in t co t in tin t 3 in t cot in in t t L amplitude du mouvement n et jamai négative. S il y a un igne négatif devant la fonction, c et une contante de phae de déguié comme l indique la deuxième identité. Aini, l équation x 3in et en fait l équation x 3in, ce qui montre bien que l amplitude et 3 (et non pa -3). Vitee et accélération Avec la poition en fonction du temp, on peut facilement trouver la vitee et l accélération de l objet en fonction du temp. La vitee et On obtient aini dx v dt Vitee en fonction du temp pour une ocillation harmonique v A cot Comme le coinu peut prendre de valeur entre -1 et 1, la plu grande valeur que peut prendre la vitee (en valeur abolue) et Vitee maximale vmax A L accélération et Verion 016b 1-Le ocillation harmonique 8

9 dv a dt On obtient aini Accélération en fonction du temp pour une ocillation harmonique aa t in Comme le inu peut prendre de valeur entre -1 et 1, la plu grande valeur que peut prendre l accélération (en valeur abolue) et Accélération maximale amax A Voici le graphique de la poition, de la vitee et de l accélération d un mouvement harmonique On remarque que quand la poition et l accélération ont maximale (poitive ou négative), la vitee et nulle et que quand la vitee et maximale (poitive ou négative), la poition Verion 016b 1-Le ocillation harmonique 9

10 et l accélération ont nulle. L objet atteint donc a vitee maximale quand il et à la poition d équilibre. Vou pouvez admirer ce graphique en action dan le clip uivant. Lien entre la poition et la vitee On trouve un lien trè utile entre la poition et la vitee d un objet en ocillation harmonique en utiliant une propriété entre le inu et le coinu. En utiliant on a t t in co 1 x Ain t et v A co t x v A A 1 En multipliant par A², on a Lien entre x et v x v A Lien entre la poition et l accélération Comme la poition et l accélération ont on remarque facilement que x Ain t et aa in t Verion 016b 1-Le ocillation harmonique 10 aa in t a Ain t

11 et donc que Lien entre x et a a x Condition pour avoir une ocillation harmonique Cette dernière équation et aui la condition uffiante pour obtenir une ocillation harmonique. Quand on analye un ytème et qu on détermine le force agiant ur un objet dan le but de déterminer on accélération, on aura que le mouvement de l objet era une ocillation harmonique i on obtient un réultat de la forme uivante. Condition pour obtenir une ocillation harmonique a contante De plu, la valeur de la contante nou donne, ce qui nou permet de connaitre la fréquence et la période d ocillation. Nou appliqueron plu tard cette idée pour déterminer i certain ytème font une ocillation harmonique. Le igne négatif devant la contante et trè important. Il indique que l accélération, et donc la force, et de igne oppoé à la poition. Aini, i l objet et à la droite de la poition d équilibre, la force et ver la gauche et i l objet et à la gauche de la poition d équilibre, la force et ver la droite. On voit que la force ramène toujour l objet ver a poition d équilibre, ce qui et néceaire pour obtenir une ocillation. x Si on avait un igne poitif, il n y aurait pa d ocillation. À droite de la poition d équilibre, la force erait ver la droite et à gauche de la poition d équilibre, la force erait ver la gauche. Ce force éloignent l objet de la poition d équilibre plutôt que de le ramener. L objet ne reviendra donc jamai à a poition d équilibre, il en éloignera de plu en plu. Il n y a pa d ocillation alor. Verion 016b 1-Le ocillation harmonique 11

12 Interprétation graphique La condition pour obtenir une ocillation harmonique peut écrire, en utiliant Fnette ma ou la forme F m contante x nette Puique m(contante) et aui une contante, le graphique de la force doit reembler à ceci pour qu il y ait une ocillation harmonique. Vibration and Wave, Benjamin Cromwell, Le point d équilibre et à l endroit où F = 0, donc à l endroit où la ligne de F croie l axe. La pente de ce graphique détermine la fréquence de ocillation. Importance de ocillation harmonique Le équation de ocillation harmonique ont importante même i le graphique de la force dan un ytème n et pa une droite. Par exemple, le graphique de la force ur le graphique du haut n et pa une droite et l ocillation du ytème ur lequel agit cette force ne era pa harmonique. Toutefoi, pour de ocillation de faible amplitude, on retera prè du point d équilibre. En zoomant uffiamment prè du point d équilibre, n importe quelle fonction era une droite. Cela ignifie que pour de ocillation avec une amplitude uffiamment petite, on a toujour une ocillation harmonique, peu importe le ytème. Vibration and Wave, Benjamin Cromwell, Verion 016b 1-Le ocillation harmonique 1

13 Comment trouver A et i on connait x et v à un certain moment? On a vu que la contante de phae nou permet d utilier le inu, peu importe comment commence le mouvement d ocillation. Rete à déterminer le valeur de cette contante de phae et de l amplitude elon le valeur initiale de poition et de vitee. En fait, on va faire encore mieux, on pourra trouver A et i on ait x et v à n importe quel moment du mouvement, pa uniquement à t = 0. Pour trouver A, on peut utilier notre formule faiant le lien entre x et v, car l amplitude et préente dan cette équation. A à partir de x et v à un certain moment A v x Pour la contante de phae, nou allon utilier pour faire le raionnement uivant x Ain t et v A co t in t co t x A v A qui nou permet d obtenir à partir de x et v à un certain moment x tant v Attention : - La valeur de et en radian. Mettez votre calculatrice en radian pour obtenir la bonne valeur. - Si la valeur de v et négative, il faut ajouter radian à la répone obtenue avec la calculatrice. - Si la vitee et nulle, vou devez faire l arctangente de infini ou de infini elon le igne de x. Ne paniquez pa, le répone de ce arctangente ont / et /. Verion 016b 1-Le ocillation harmonique 13

14 Exemple Exemple Un objet fait une ocillation harmonique ur l axe de x. Sa poition et donnée par x 0,min rad t 0,8rad a) Quelle et la vitee de l objet à t = 1? La vitee et la dérivée de la poition. Elle et donc À t = 1, on a m rad v 0,4 co t 0,8rad b) Quelle et la vitee à x = 0,1m? On trouve la vitee avec m rad v0, 4 co 10,8rad 0,377 x m v A v 1 0,1m 0, m v 0,1 v 0,3464 Ce deux répone ont bonne puiqu à une certaine poition, l objet pae dan le deux direction, une foi en éloignant de la poition d équilibre et une autre foi en revenant ver la poition d équilibre. c) À quel moment l objet era-t-il à x = 0,1 m et aura une vitee poitive pour la première foi? (Preque toujour, on uppoe que le mouvement commence à t = 0.) Si l objet et à x = 0,1 m, on a m m Si on iole t, on a rad 0,1m0,min t 0,8rad Verion 016b 1-Le ocillation harmonique 14

15 rad 0,1m0,min t0,8rad 1 rad in t0,8rad 5 t t 6 6 t 0,138 ou t 0, ,8 ou 0,8 (Voir plu loin la note ur le arcin pour comprendre pourquoi il y a deux répone.) Pour déterminer laquelle de ce deux répone et bonne, nou allon calculer la vitee à ce deux temp. m rad v 0,4 co t0,8rad m rad m rad v 0,4 co 0,1380,8rad ou v 0,4 co 0,90900,8rad m m v 0,3464 ou v 0,3464 Comme on pécifiait que la vitee et poitive, notre répone doit être t = -0,138. Toutefoi, comme le mouvement commence à t = 0, on ne peut pa avoir une valeur négative de t. Il et poible que la olution d une telle équation nou donne une valeur négative de t parce que, mathématiquement, la fonction inuoïdale e prolonge de - à. On doit donc faire une correction à cette répone pour obtenir une valeur poitive de t. En fait, il y a pluieur autre valeur de t poible parce que le mouvement e répète toujour. Si l objet et à x = 0,1 m à un certain moment, il le era aui une période plu tard. Il reviendra à cette poition une autre période plu tard et aini de uite. En ajoutant la période aux valeur de t obtenue, on obtient donc pluieur autre répone poible. Ici la période et de T 3,14 1 Le autre répone poible ont donc 3,14 3,14 0,138 3,003 6,145 La plu petite valeur poitive et donc 3,003. C et notre répone. Verion 016b 1-Le ocillation harmonique 15

16 Erreur fréquente : Ne pa trouver toute le olution de l arcin ou de l arcco. Sachez qu il y a pluieur répone à un arcin et à un arcco. Le deux répone principale ont Arcin : répone de la calculatrice et répone de la calculatrice Arcco : répone de la calculatrice et répone de la calculatrice En fait, il y a une infinité de olution à un arcin et un arcco. On peut toute le trouver en ajoutant ou en outrayant de autant qu on veut à ce deux olution. Ici, on peut faire quelque choe de plu imple pour trouver le autre olution puique la eule choe qu on trouve avec no arcin et no arcco, ce ont de temp. Une foi que vou avez iolé le valeur de t correpondant aux deux olution principale, vou pouvez trouver toute le autre olution en ajoutant ou outrayant la période autant de foi que vou voulez à chacune de ce olution. Rappelez-vou, vou ne pouvez pa garder de olution négative pour t avec le ocillation harmonique puiqu on uppoe que le mouvement commence à t = 0. Exemple 1.1. Un objet fait une ocillation harmonique ur l axe de x avec une période de 0,5 econde. À t = 0, l objet et à x = 3 cm et a une vitee de 40 cm/. Quelle et l équation donnant la poition en fonction du temp? On cherche à déterminer la valeur de élément dan la formule x A t in On va premièrement trouver la fréquence angulaire à partir de la période. T On peut enuite trouver l amplitude avec x 4 rad v A m 0,4 A 1 0,03m 4 A 0,04374m Verion 016b 1-Le ocillation harmonique 16

17 On trouve finalement la contante de phae avec x tan t v tan 0 0, ,03 3 tan 10 0,7558rad L équation du mouvement et donc x0, 04374min 4 rad t 0, 7558rad m m Pour déterminer i un ytème mae-reort ur une urface an friction fait de ocillation harmonique imple, on doit trouver la formule reliant l accélération à la poition et voir i elle répond à la condition pour avoir une ocillation harmonique, qui et a contante Il y a troi force ur le bloc : le poid (ver le ba), la normale (ver le haut) et la force du reort (horizontale). Le poid et la normale annulent et il ne rete que la force du reort. Si l objet n et pa à la poition d équilibre (force nulle exercée par le reort), on a Fx ma kx ma k a x m x On obtient bien la forme voulue. Aini, on ait que faraday.phyic.utoronto.ca/pvb/harrion/flah/tutorial/flahphyic.html Le ocillation d un ytème mae-reort ont de ocillation harmonique. Comme la valeur de la contante (ce qui et entre parenthèe) doit aui être égale au carré de la fréquence angulaire, on a Verion 016b 1-Le ocillation harmonique 17

18 Fréquence angulaire pour un ytème mae-reort k m À partir de cette équation, on peut trouver la période d ocillation d un ytème maereort. Elle et de T m T k On remarque un élément trè important et un peu urprenant : la période d ocillation d un ytème mae-reort ne dépend pa de l amplitude. Que le ytème fae de toute petite ocillation ou de grande ocillation, le temp et le même! La plu grande ditance à faire et exactement compenée par de vitee plu grande. Cela et un peu particulier et ne e produit que pour le ocillation harmonique. Pour tou le autre type d ocillation, la période va dépendre de l amplitude. Ce peut être d ailleur une façon de déterminer i on a affaire à une ocillation harmonique : on meure la période d ocillation et i on remarque qu elle ne dépend pa de l amplitude, notre ytème fait une ocillation harmonique. La période de ocillation harmonique ne dépend pa de l amplitude du mouvement C et Galilée qui remarqua ceci en premier en examinant l ocillation d un chandelier upendu lor d une mee en À meure que l amplitude diminuait à caue de la friction, il remarqua que la période d ocillation retait la même. Et-ce qu on a toujour de ocillation harmonique i le ytème et vertical? Dan ce ca, la force de gravité vient-elle détruire no ocillation harmonique? On doit premièrement trouver où et maintenant ituée la poition d équilibre. On a une poition d équilibre quand la omme de force ur l objet et nulle. Le reort era donc étiré de y pour compener la force de gravité. Étirement du reort à la poition d équilibre ky0 mg faraday.phyic.utoronto.ca/pvb/harrion/flah/tutorial/flahphyic.html Verion 016b 1-Le ocillation harmonique 18

19 On va maintenant vérifier i on a de ocillation harmonique autour de cette poition d équilibre. Comme pécifié auparavant, on doit mettre notre y = 0 à la poition d équilibre. Si on decend le reort un peu plu que la poition d équilibre, on a donc (avec un axe poitif ver le ba) Fy ma mg k y y0 ma mg ky ky ma Or, comme mg = ky 0 (formule de la poition d équilibre), il ne rete que 0 faraday.phyic.utoronto.ca/pvb/harri on/flah/tutorial/flahphyic.html mg ky ky0 ma k a y m Cela repecte encore la condition pour le mouvement harmonique et la fréquence angulaire et la même. La période d ocillation d un ytème mae-reort vertical et donc identique à celle d un ytème ocillant ur une urface horizontale an friction. On peut aui déterminer que la fréquence ne change pa avec un imple graphique. San la gravitation, le graphique de la force était celui de F = -kx. C et la exactement forme du graphique qu on doit avoir pour une ocillation harmonique (une droite avec une pente négative). En ajoutant la gravité mg à cette force, la courbe monte de mg et on a maintenant le graphique de droite. On voit que la poition d équilibre (endroit où la droite F coupe l axe) à changer, mai la fréquence d ocillation n a pa changée puique la pente de la droite et retée la même. On va e faire une convention de igne pour la poition dan un ytème mae-reort : on va mettre la valeur de x poitive quand le reort étire. Verion 016b 1-Le ocillation harmonique 19

20 Exemple 1..1 Un objet de 00 g et relié à un reort ayant une contante de 5 N/m. On étire le reort de 10 cm et on lâche l objet, an lui donner de vitee initiale. a) Quelle et la période du mouvement? Commençon par calculer la fréquence angulaire, car elle era ouvent utile. Avec, on trouve la période. N k 5 m 5 m 0, kg T 1, 566 b) Quelle et l équation de la poition de l objet en fonction du temp? L équation du mouvement et x A t in On remarque qu il nou manque A et. Pour A, on a Pour on a x v A rad m 0 A 1 0,10m 5 A 0,10m x tan t v tan 0 tan rad 1 5 0,1 m 0 m Verion 016b 1-Le ocillation harmonique 0

21 L équation et donc rad x 0,1min 5 t rad c) Quelle et la vitee maximale de l objet? La vitee maximale et 1 vmax A 0,1m5 0,5 m d) Quelle et l accélération maximale de l objet? L accélération maximale et a A m rad m max 0,10 5,5 e) Quel ont le troi premier intant auxquel la vitee de l objet et de 0,3 m/? La formule de la vitee et la dérivée de la formule de la poition. C et donc m rad v0,5 co 5 t rad Si la vitee et de 0,3 m/, on a donc m m rad 0,3 0,5 co5 t rad rad 0, 6 co5 t rad calculatrice calculatrice 1 1 0,973 5 t 0,973 5 t t 0,187 t 0,4996 Aucune de ce deux répone n et bonne, car elle ont toute le deux négative. Cependant, il y a une infinité de olution à un arcco et on trouve toute le autre olution en ajoutant la période autant de foi qu on veut à ce deux répone. Verion 016b 1-Le ocillation harmonique 1

22 t 0,187 t 0,4996 1,566 t 1,179 t 0,7570 1,566 t,3845 t,0136 1,566 t 3,6411 t 3,70 Le troi premier intant ont donc t = 0,7570, t = 1,179 et t =,0136. Formule de l énergie L énergie peut prendre deux forme. L énergie cinétique (E k ) et l énergie potentielle (U). Par exemple, dan le ytème mae-reort, on a l énergie cinétique et l énergie du reort. L énergie mécanique et la omme de ce deux forme d énergie. Énergie mécanique E E U mec k Énergie cinétique L énergie cinétique et évidemment, en utiliant la formule de la vitee en fonction du temp, Énergie cinétique E k 1 mv 1 Ek ma co t Verion 016b 1-Le ocillation harmonique

23 Énergie potentielle Puique du F dx on peut trouver l énergie potentielle avec a x F m x du m x dx 1 U m x Ct On peut choiir ce qu on veut comme contante d intégration. Le choix le plu imple et bien ûr une contante nulle. On a donc, en utiliant cette foi-ci la formule de la poition en fonction du temp, la formule uivante pour l énergie potentielle. Énergie potentielle (toujour valide) 1 U m x 1 U m A in t Dan le ca du ytème mae-reort, on peut utilier la valeur de = k/m pour obtenir Énergie potentielle (valide eulement pour le ytème mae-reort) U R 1 1 kx UR ka t in On reconnait (première équation) la formule de l énergie d un reort obtenue dan le cour de mécanique. Verion 016b 1-Le ocillation harmonique 3

24 Graphique de l énergie potentielle Puique la formule de l énergie potentielle et Le graphique de l énergie potentielle et 1 U m x Ce graphique nou indique que l objet doit reter entre A et A (parce que l objet ne peut pa être aux endroit où U et upérieur à ) et que a vitee maximale et à la poition d équilibre (endroit où l écart entre U et et le plu grand). Preuve de la conervation de l énergie mécanique On peut montrer que l énergie mécanique et conervée en montrant que la valeur de l énergie mécanique ne dépend pa du temp. Additionnon l énergie cinétique et l énergie potentielle pour trouver l énergie mécanique pour voir i elle change. 1 1 in 1 m A co tin t 1 Emec ma co t m A t m A Comme le réultat et une contante, l énergie mécanique et conervée. Verion 016b 1-Le ocillation harmonique 4

25 La valeur de l énergie mécanique Avec cette preuve, nou avon également obtenu, comme par enchantement, une formule pour l énergie mécanique. Énergie mécanique 1 Emec m A Dan le ca du ytème mae-reort, on peut utilier = k/m pour obtenir Énergie mécanique (valide eulement pour le ytème mae-reort) Emec 1 ka Dan le deux ca, on voit que l énergie mécanique et égale à la valeur maximale de l énergie potentielle, car la valeur maximale de x et A. De plu, comme A et la vitee maximale, on peut écrire Énergie mécanique Emec 1 mv max On peut aini contater que l énergie mécanique et aui égale à la valeur maximale de l énergie cinétique. Vou pouvez admirer ici-ba le graphique de énergie en fonction du temp. Verion 016b 1-Le ocillation harmonique 5

26 Suppoon que ce oit un ytème mae-reort. On voit trè bien l énergie qui pae alternativement de l énergie cinétique à l énergie du reort. Au départ ici, l objet et à a poition maximale et a vitee et nulle. L énergie mécanique et alor entièrement ou forme d énergie du reort puique le reort et étiré au maximum. À meure que l objet e dirige ver la poition d équilibre, l énergie du reort diminue et l énergie cinétique augmente de telle orte qu à la poition d équilibre, toute l énergie mécanique et ou forme d énergie cinétique. Pui l objet éloigne de a poition d équilibre ce qui fait augmenter l énergie du reort et diminuer l énergie cinétique. Quand l objet atteint a plu grande ditance de la poition d équilibre, l énergie cinétique et redevenue nulle et toute l énergie mécanique et revenue ou forme d énergie du reort. Pui tout e répète an fin. On peut voir dan ce vidéo comment l énergie mécanique pae d une forme à l autre dan un ytème mae-reort Exemple Un objet de 00 g et relié à un reort de 5 N/m. La poition de l objet et donnée par x 0,1mco 5 rad t (Pour ceux qui e demandent pourquoi la poition et donnée par un coinu plutôt qu un inu, il agit implement d une fonction inu avec une contante de phae de / déguiée.) a) Quelle et l énergie cinétique à t = 3? L énergie cinétique et Ek 1 mv Pour la trouver, il nou faut la vitee, qui et la dérivée de la poition. La formule de la vitee et donc À t = 3, la vitee et donc m v 0,5 in 5 rad m rad v 0,5 in 5 3 0,351 m t Verion 016b 1-Le ocillation harmonique 6

27 L énergie cinétique et donc 1 0,01057 Ek mv J b) Quelle et l énergie du reort à t = 3? L énergie du reort (ou énergie potentielle) et 1 0,01443 UR kx J Pour obtenir cette énergie, il nou faut la poition à t = 3. Cette poition et rad x 0,1mco 5 3 0,07597m L énergie du reort et donc 1 UR kx J 0,01443 c) Quelle et l énergie mécanique à t = 3? Voici 3 façon de calculer l énergie mécanique ou ou E E U 0, 01057J 0, 01443J 0, 05J mec k 1 0,05 Emec ka J 1 Emec mvmax 0,05J Évidemment, cette énergie et contante et cette valeur et l énergie mécanique à tout intant, pa eulement à t = 3. Verion 016b 1-Le ocillation harmonique 7

28 Preuve que le pendule et un mouvement harmonique (pour une petite amplitude) Il faut vérifier que le pendule repecte la condition pour avoir un mouvement harmonique. Cependant, le mouvement du pendule et plu un mouvement de rotation qu un mouvement de tranlation. San en donner de preuve, cette condition pour le mouvement de rotation et dan laquelle la contante vaut toujour. contante Examinon i le pendule repecte cette condition. On va en fait faire un ca plu complexe qu une imple mae au bout d une corde. On va faire le calcul pour un objet ocillant autour d un axe fixe. Il y a deux force ur le pendule : la gravitation et la force exercée par l axe. Cette dernière force exerce ur l axe de rotation et ne fait donc pa de moment de force. Seule la force de gravitation fait un moment de force ur un pendule. (On met la direction poitive dan ce en pour que le déplacement oit poitif.) On a donc teacher.pa.rocheter.edu/phy35/homework/set/set10/hwset10.htm I mgdin 180 I mgd in I où d et la ditance entre l axe de rotation et le centre de mae de l objet. Si on iole l accélération angulaire, on a mgd I in Malheureuement, on n obtient pa le réultat déiré à caue du inu. On répondrait à la condition i, à la place de in, on avait implement. Cela ignifie que le mouvement du pendule n et pa un mouvement d ocillation harmonique. C et un mouvement d ocillation, mai il n et pa harmonique, il et décrit par une autre fonction plu complexe qu une imple fonction trigonométrique. (La olution Verion 016b 1-Le ocillation harmonique 8

29 exacte et fort complexe et fait appel à de fonction elliptique, que vou ne connaiez pa.) Le graphique du moment de force en fonction de l angle mgd in nou confirme également que nou n avon pa le condition pour obtenir une ocillation harmonique puique nou n avon pa une droite avec une pente négative. Toutefoi, on peut voir que pour de angle inférieur à 15, on obtient le graphique uivant. Maintenant, nou avon pratiquement une ligne droite avec une pente négative pour de petit angle. Cela ignifie que pour de petit angle (plu petit que 15 environ), l ocillation era effectivement harmonique. C et qu avec de petit angle, on peut faire l approximation uivante. in Avec cette approximation, l accélération angulaire devient Verion 016b 1-Le ocillation harmonique 9

30 mgd I qui et la condition pour avoir une ocillation harmonique. Cela veut dire que pour de ocillation de faible amplitude, l ocillation du pendule reemble beaucoup à une ocillation harmonique. On obtient même la fréquence angulaire, car on doit avoir mgd I La fréquence angulaire d un pendule imple Le pendule imple et une mae ponctuelle au bout d une corde de mae négligeable. Le centre de mae du pendule et donc au centre de la mae ponctuelle et d et donc égal à la longueur de la corde. d = L Comme toute la mae et concentrée dan la mae ponctuelle, le moment d inertie et La fréquence angulaire et donc I mr I ml mgd I mgl ml En implifiant, on a Fréquence angulaire d un pendule imple (Amplitude < 15 ) g L La période du pendule et donc Verion 016b 1-Le ocillation harmonique 30

31 T L T g On remarque encore une foi que la période ne dépend pa de l amplitude. C et normal, c et ce qui e produit avec toute le ocillation harmonique. Ici, il y a une autre curioité : la période ne dépend pa de la mae du pendule! La période d un pendule imple ne dépend pa de a mae. En y réfléchiant bien, ce n et pa tellement urprenant puique le mouvement et fait par la force de gravité et que la chute gravitationnelle donne la même accélération à tou le objet. On peut bien voir au début du clip uivant que la période et plu petite pour le pendule avec de corde plu petite. Le effet produit dan le rete du clip ont trè joli. Decription du mouvement d un pendule imple Sachant que le mouvement et une ocillation harmonique, on peut décrire la poition à l aide d une fonction inuoïdale. On a cependant deux poibilité ici pour décrire cette poition. On peut la faire avec la poition x (meurée le long de l arc de cercle) ou avec l angle que fait le pendule avec la verticale. On a donc Poition d un pendule x Ain t ou in t max blog.rediff.com/phyichomeworkhelp/013/03/0/imple-pendulum-experiment On peut donner l angle en degré ou en radian, c et au choix. S il et en degré, inutile de mettre votre calculatrice en degré, car cet angle n et pa à l intérieur d une fonction trigonométrique. En fait, vou devez la laier en radian, car et toujour en radian par econde, ce qui fait que ce qui et à l intérieur de la fonction trigonométrique et toujour en radian. Verion 016b 1-Le ocillation harmonique 31

32 On peut d ailleur paer facilement de x à en e rappelant qu un angle (en radian) et la longueur de l arc de cercle divié par le rayon du cercle. On a donc ici Lien entre x et pour un pendule x ( rad) L Ce qui fait qu avec le valeur maximale de x (A) et (max), on obtient Lien entre A et max pour un pendule ( ) A max rad L Erreur fréquente : Utilier le formule de ection précédente en utiliant plutôt que x Notez que toute le formule de ection précédente ont été faite avec x et non pa. Il arrive ouvent qu une peronne utilie à la place de x pour certain calcul. Exemple Un pendule et contitué d une mae attachée au bout d une corde de 1 m. Initialement (t = 0 ), le pendule et à la poition = 10 et éloigne de la poition d équilibre avec une vitee de 50 cm/. a) Quelle et la période? La fréquence angulaire et La période et donc N g 9,8 kg 3,13 L 1m T,007 (Ce n et pa un haard que la répone oit i prè de econde puiqu on a tenté d utilier le pendule pour définir le mètre à une certaine époque : le mètre devait rad Verion 016b 1-Le ocillation harmonique 3

33 être la longueur du pendule qui a une période de. On n a pa retenu cette idée, car g varie un peu d un endroit à l autre ur Terre.) b) Quelle et l équation de (en degré) en fonction du temp? La formule de en fonction du temp et t max in On a déjà la valeur de. Il nou rete donc à trouver l amplitude angulaire et la contante de phae. On trouve ce valeur avec le formule uivante. A tan v x x t v Pour utilier ce formule, il nou faut x et v à t = 0. On ait déjà que la vitee et de 0,5 m/ à ce moment, mai on ne ait pa la poition x. Par contre, on ait la poition angulaire () au départ, ce qui nou permet de trouver x. Aini, l amplitude et de rad x ( rad) L 10 1m 0,1745m 360 A A v x A 0, 366m m 0,5 0,1745m rad 3,13 On peut obtenir alor l amplitude angulaire (angle maximum). max La contante de phae et A max( rad ) 0,366rad L 360 ( ) 0,366rad 13,55 rad Verion 016b 1-Le ocillation harmonique 33

34 tan x tan t v rad 3,13 0,1745m m 0,5 0,895rad La formule de en fonction du temp et donc rad 13,55in 3,13 t 0,895rad c) Quelle et la vitee du pendule quand le pendule fait un angle de 5? Quand on ait la poition, on trouve la vitee avec x v A On doit premièrement trouver la poition quand le pendule fait un angle de 5. On trouve enuite la vitee. rad rad 5 rad x rad L rad 1m 0,0873m 36 x v v rad 3,13 v 0,6883 A 0,0873m 0,366m d) Quelle et la vitee maximale du pendule? La vitee maximale et rad vmax A 0, 366m3,13 0, 741 m m Verion 016b 1-Le ocillation harmonique 34

35 Énergie potentielle du pendule imple Comme pour n importe quelle ocillation harmonique, l énergie potentielle (qui et de l énergie gravitationnelle pour un pendule) et 1 Ug m x En utiliant la formule de pour le pendule, on peut aui obtenir Énergie gravitationnelle du pendule 1 g Ug m x L ou, en utiliant aui x = (rad)l, Énergie gravitationnelle du pendule Ug 1 mgl L angle et en radian dan cette formule. Ce formule peuvent embler un peu bizarre puiqu on avait vu que l énergie gravitationnelle et mgy. Toutefoi, on peut facilement montrer qu à partir de cette formule, on obtient effectivement no formule de l énergie gravitationnelle. Il faut premièrement e rappeler le lien entre y et dan un pendule. Ce lien et yl 1 co Ici, le ocillation du pendule ont petite, ce qui nou permet d utilier la érie de Taylor du coinu On a alor co 1 L y L1co L11 En remplaçant dan mgy, l énergie gravitationnelle devient Verion 016b 1-Le ocillation harmonique 35

36 L Ug mgy mg qui et la formule obtenue précédemment. Exemple 1.4. Le pendule de la figure a une vitee de 5 m/ quand il et à la poition d équilibre. Quelle et la vitee du pendule quand il fait un angle de 10? L énergie mécanique du pendule et, quand il et à la poition d équilibre, E E U k 1 1 mv mgl m kg 0 1,5J À un angle de 10 (/18 rad), l énergie et 1 1 E mv mgl 1 1 N 1kg v 1kg 9,8 kg 0m rad 18 0,5,985 kg v J Puique l énergie mécanique et conervée, on doit avoir E E 1,5 0,5,985 J kgv J v 4,36 m Verion 016b 1-Le ocillation harmonique 36

37 L accélération du pendule Jute une petite note pour vou dire que la formule aa t in vou donnera, dan le ca du pendule, l accélération tangentielle (a T ). Il ne faut pa oublier que le pendule fait aui un mouvement circulaire et qu il y a aui l accélération centripète. a c v L L accélération du pendule era donc de a a a T c Dan le vidéo uivant, vou pouvez voir, en action, le vecteur vitee et accélération ur un pendule, de même que le valeur de différente énergie. blog.rediff.com/phyichomeworkhelp/013/03/0/imple-pendulum-experiment/ Verion 016b 1-Le ocillation harmonique 37

38 Le pendule compoé Le pendule compoé et un objet qu on fait ociller autour d un axe. On a déjà fait le calcul de la fréquence angulaire dan ce ca. Fréquence angulaire d un pendule compoé mgd I Il ne rete qu à trouver d (la ditance entre l axe et le centre de mae) et I (le moment d inertie) elon la ituation. teacher.pa.rocheter.edu/phy35/homework/set/set10/hwset10.htm Exemple On fait ociller une tige de 1 m autour d un axe paant par le bout de la tige. Quelle et la période d ocillation de la tige? Pour trouver la période, qui et /, on doit trouver. Pour ce genre de pendule, et mgd I Pour calculer, il nou faut d et I. Commençon par d. Comme le centre de mae de la tige et au milieu de celle-ci et que l axe et au bout, la ditance entre le centre de mae et l axe et Le moment d inertie I et L d 0,5m I I md cm.. Comme.. d une tige et Verion 016b 1-Le ocillation harmonique 38

39 I cm.. 1 ml 1 on a La fréquence angulaire et donc La période et donc L 1 1 I ml m ml 1 3 mgd mgd 3gd 39,8 0,5m 3,834 N kg I 1 3 ml L m 1 rad T 1,639 Le ocillation permettent d ailleur de déterminer le moment d inertie de objet pour lequel il et trè difficile de le calculer. On le fait ociller et, à partir de la valeur de la période et de d, on peut déterminer la valeur de I. Juqu ici, nou avon parlé de ytème en ocillation libre. Cela veut dire qu une foi que l ocillation et commencée, il n y a pa de force externe qui vient perturber le ytème. Dan ce ca, l énergie et conervée et l ocillation et perpétuelle. Bien ûr, il y a toujour la friction qui et préente. Il agit d une force externe qui ferait perdre de l énergie au ytème. On aurait alor affaire à de ocillation amortie. Avec une friction pa trop importante, on verrait que l amplitude de ocillation diminue avec le temp (c et l amortiement ou-critique). Nou n allon pa explorer ce qui arrive i on tient compte de la friction. Il pourrait aui y avoir une force externe qui agit ur le ytème. Le ca de force périodique et particulièrement intéreant. Il agit de force qui agient de façon cyclique ur le ytème. Une peronne qui poue un enfant ur une balançoire et un exemple de force périodique. Chaque foi que l enfant revient, la peronne exerce une force ur l enfant. Chaque pouée augmente alor l amplitude du mouvement. Examinon ce qui e pae i une force exerce de façon cyclique ur un ytème maereort qui ocille horizontalement ur une urface an friction avec une période Verion 016b 1-Le ocillation harmonique 39

40 d ocillation naturelle de 1 econde. Suppoon au départ que la force exerce avec une période qui n et pa la même que celle du ytème mae-reort. Par exemple, il y a une force de 5 N agiant ver la droite pendant 0,1 econde toute le 0,5 econde. Au départ, la force poue la mae et la met en mouvement. Une demi-econde plu tard, la mae a fait une demi-ocillation et et revenue au point de départ, mai en allant ver la gauche. C et alor que la force ver la droite agit ur la mae qui va ver la gauche. Cette force va donc arrêter la mae. Une demi-econde plu tard, la force ver la droite va remettre la mae en mouvement, mai elle era arrêtée à nouveau une demi-econde plu tard. Le mouvement de la mae retera donc toujour faible. C et toujour ce qui e paera i la force agit avec une période différente de celle du ytème ocillant : parfoi, la force va donner de l énergie à la mae quand la force et dan le même en que la vitee et parfoi elle va enlever de l énergie à la mae quand elle agit dan le en contraire de la vitee. L effet global ne era donc pa important. Par contre, l effet et différent i la force agit avec la même période que le ytème en ocillation. Si la force agit toute le econde ur notre ytème mae-reort alor, l amplitude augmentera an cee. Au départ, la force met la mae en mouvement ver la droite. Quand la force agit à nouveau une econde plu tard, l objet et revenu à la poition de départ et va ver la droite. Une force ver la droite agiant ur une mae allant ver la droite fait augmenter la vitee de la mae, ce qui fait augmenter l amplitude. Cette augmentation de vitee et d amplitude va e reproduire toute le econde ce qui fera augmenter continuellement l amplitude d ocillation. L amplitude d ocillation peut donc devenir trè grande quand la force agit avec une période égale à la période d ocillation du ytème. S il n y a pa de friction, l amplitude va augmenter juqu à ce que le ytème e détruie. Avec de la friction, l amplitude va augmenter juqu à ce que l énergie fournie par la force oit égale à l énergie diipée par la friction. Quand une force agit ur un ytème ocillant avec une période égale à la période d ocillation naturelle du ytème, l amplitude d ocillation peut devenir trè grande. C et le phénomène de réonance. Une étude plu pouée nou permet d obtenir le graphique uivant pour l amplitude du mouvement au bout d un temp aez long en fonction de la fréquence de la force. Verion 016b 1-Le ocillation harmonique 40

41 La ligne pointillée et la fréquence d ocillation du ytème. On voit que quand la force a une fréquence égale à la fréquence d ocillation du ytème, l amplitude devient trè grande. Il y a en fait troi ca ur ce graphique : peu de friction en rouge, un peu plu de friction en bleu et encore plu de friction en vert. On remarque que l amplitude d ocillation devient trè grande pour de ytème avec peu de friction. L amplitude peut devenir tellement grande que le ytème e détruira. (En fait, la réonance e fait à une fréquence un peu inférieure à la fréquence naturelle d ocillation, urtout quand la friction et importante. On peut voir ur le graphique que l amplitude atteint une valeur maximale un peu avant que la fréquence oit égale à la fréquence naturelle ur la courbe où il y a le plu de friction.) Dan cette démontration, un moteur tente de faire ociller un ytème mae-reort. On remarque que l amplitude et beaucoup plu importante quand le moteur fait une force avec une fréquence identique à la fréquence du ytème mae-reort. Le on arrivant ur un objet tente de faire vibrer cet objet avec la même fréquence que le on. Si un on à la bonne fréquence arrive ur un verre avec une fréquence identique à celle du verre, l amplitude peut augmenter juqu à ce que le verre cae. (Oui oui, le bord du verre peut ociller, vou allez trè bien le voir dan le vidéo. Ça emble aller lentement, mai c et parce qu on a utilié un trobocope.) Ce qu on peut faire (emble-t-il) à la maion Rappelez-vou qu il n y a pa que la force du on qui importe, la fréquence doit être exactement la bonne. Il et donc impoible que quelqu un cae toute le affaire en verre autour de lui en chantant trè fort. Il faudrait pour cela que tou le objet en verre aient une fréquence d ocillation égale à la fréquence du on, ce qui et trè peu probable. Verion 016b 1-Le ocillation harmonique 41

42 Dan le vidéo uivant, un hélicoptère et détruit par la réonance. Le pale de derrière n étant pa équilibrée, la rotation de l hélice fait une force périodique ur l arrière de l hélicoptère. En faiant tourner l hélice à la fréquence de réonance de l hélicoptère, l amplitude d ocillation augmente an cee juqu à ce que l arrière de l hélicoptère e détruie. Cela ne e erait pa produit i l hélice avait tourné avec une période plu grande ou plu petite. Vou pouvez admirer ce jeune qui tentent de faire effondrer un pont en appliquant une force périodique avec une de fréquence naturelle du pont (parce qu il y a pluieur façon de faire ociller un pont). Quand on a ouvert le pont du millénium à Londre, on e rendit compte qu il e produiait un phénomène de réonance. Quand le pont ocillait, le piéton, qui tentaient de garder leur équilibre, exerçaient une force ur le pont avec la même fréquence que la fréquence d ocillation du pont, ce qui amplifiait le ocillation. XWZ8 (verion plu détaillée) On a réglé le problème en ajoutant de amortieur, ce qui augmentait la friction. Il arriva parfoi aui que de troupe militaire paent ur de pont en marchant au pa, ce qui fait une force périodique ur le pont. Si la période et la même que celle d ocillation du pont, le pont peut écrouler. Il emble que cela e oit produit en 1831 à Mancheter et ur le pont de la Bae-Chaine en 1850 à Anger en France, mai je ne ui pa certain que l effondrement oit dû à la réonance ou implement à une rupture ou l effet de coup répété. L effondrement du pont de Tacoma Narrow (État de Wahington), bien que pectaculaire, n et pa dû à la réonance, mai à l intabilité aéroélatique. Lien entre T et f T 1 f Définition de la fréquence angulaire f T Verion 016b 1-Le ocillation harmonique 4

43 Contante de phae () t Poition en fonction du temp pour une ocillation harmonique x A t in Vitee en fonction du temp pour une ocillation harmonique v A cot Vitee maximale vmax A Accélération en fonction du temp pour une ocillation harmonique Accélération maximale a A t in amax A A à partir de x et v à un certain moment Lien entre x et a A v x a x Condition pour obtenir une ocillation harmonique a contante à partir de x et v à un certain moment x tant v x Verion 016b 1-Le ocillation harmonique 43

44 Fréquence angulaire pour un ytème mae-reort k m Étirement du reort à la poition d équilibre Énergie mécanique ky0 mec mg E E U k Énergie cinétique Énergie potentielle (toujour valide) E k 1 mv 1 Ek ma co t 1 U m x 1 U m A in t Énergie potentielle (valide eulement pour le ytème mae-reort) Énergie mécanique U R 1 kx 1 UR ka in t 1 Emec m A 1 Emec mvmax Verion 016b 1-Le ocillation harmonique 44

45 Énergie mécanique (valide eulement pour le ytème mae-reort) Emec 1 ka Fréquence angulaire d un pendule imple (Amplitude < 15 ) g L Poition d un pendule x Ain t max ou in t Lien entre x et pour un pendule x ( rad) L Lien entre A et max pour un pendule ( ) A max rad L Énergie potentielle (valide eulement pour le pendule) 1 g Ug m x L Ug 1 mgl L angle et en radian Fréquence angulaire d un pendule compoé mgd I Verion 016b 1-Le ocillation harmonique 45

46 1.1 Ocillation harmonique 1. La poition en fonction du temp d un objet en ocillation harmonique et donnée par la formule uivante. x 0, min 5 rad t a) Quelle et l amplitude? b) Quelle et la période de l ocillation? c) Quelle et la contante de phae? d) Quelle et la vitee maximale? x Aco t e) Écrivez cette équation ou la forme. Un mouvement d ocillation et décrit par ce graphique. 4 a) Quelle et l amplitude de ce mouvement (approximativement)? b) Quelle et la période de ce mouvement (approximativement)? c) Quelle et la contante de phae du mouvement décrit par ce graphique (approximativement)? 3. La poition en fonction du temp d un objet en ocillation harmonique et donnée par la formule uivante. a) Quelle et la poition à t = 1? b) Quelle et la vitee à t = 1? c) Quelle et l accélération à t = 1? x 0, 5min 10 rad t Verion 016b 1-Le ocillation harmonique

47 4. La fréquence d un objet en ocillation harmonique et de 5 Hz et l accélération maximale de l objet et de 1 m/². Quelle et la vitee maximale de l objet? 5. La vitee maximale d un objet en ocillation harmonique et de 3 m/ alor que l accélération maximale de cet objet et de 18 m/². a) Quelle et la période du mouvement? b) Quelle et l amplitude du mouvement? 6. À t = 0, un objet en ocillation harmonique et à la poition x = 10 cm et a une vitee de 4 cm/. La période du mouvement et de 8 econde. Quelle et x Ain t? l équation du mouvement 7. À t = 0, un objet en ocillation harmonique et à la poition x = -0 cm et a une vitee de 0 m/. La période du mouvement et de 8 econde. Quelle et l équation x Ain t? du mouvement 8. À un certain moment pendant on mouvement d ocillation, un objet et à x = 6 cm, a une vitee de -1 m/ et une accélération de -4 m/². a) Quelle et la période du mouvement? b) Quelle et l amplitude du mouvement? 9. La poition en fonction du temp d un objet en ocillation harmonique et donnée par la formule uivante. x 0, 5min 10 rad t a) Quelle et la vitee quand l objet et à x = 15 cm? b) Quelle et l accélération quand l objet et à x = 15 cm? Verion 016b 1-Le ocillation harmonique

48 10. La poition en fonction du temp d un objet en ocillation harmonique et donnée par la formule uivante. x 0, min 5 rad t a) À quel moment la mae et-elle à la poition x = 1 cm pour la première foi? b) À quel moment la vitee de la mae et-elle de v = -60 cm/ pour la première foi? La poition en fonction du temp d un objet en ocillation harmonique et donnée par la formule uivante. x 0,16min 10 rad t À quel moment la mae et-elle à la poition x = 8 cm tout en ayant une vitee poitive pour la première foi? 1. Un objet décrit une ocillation harmonique avec une période de 0,5. À t = 0, la grandeur de l accélération de l objet et maximale. À ce moment, l accélération x Ain t? atteint -3 m/². Quelle et l équation du mouvement 13. Dan un mouvement harmonique ayant une amplitude de 0 cm et une période de 6 econde, combien faut-il de temp pour que l objet pae de x = -10 cm à x = 10 cm? 1. Le ytème mae-reort 14. Une mae de 50 g et fixée au bout d un reort tel qu illutré ur la figure. Le reort a une contante de k = 81 N/m. À t = 1, la mae et à x = 10 cm et a une vitee de - m/. a) Quelle et l amplitude du mouvement? b) Quelle et la contante de phae? x Ain t? c) Quelle et l équation du mouvement Verion 016b 1-Le ocillation harmonique 48

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