Exercices d entrainement pour le chapitre 02 (récurrence et suites)

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1 Exercices d entrainement pour le chapitre 0 récurrence et suites 0. Énoncés Exercice. Démontrer l inégalité n > n pour tout entier naturel n. Exercice. On définit, pour tout entier n, le n ième nombre triangulaire par nn + t n n n nn + n + Démontrer que, pour entier n on a : t k. k Exercice 8. Démontrer que, pour tout entier n, la fonction f n, définie sur R par f n x x n, est dérivable sur R, avec f nx nx n. Exercice 9. Démontrer que, pour tout entier naturel n, l entier 3 n n est un multiple de 7. + un Exercice 0. On considère la suite u n définie par u 0 0 et pour tout n N : u n+. Montrer, par récurrence, que pour tout n on a : u n. Roussot 0 / 0

2 Exercices faits en classe Exercice. On considère la suite u n définie par u n n + n + 5 Montrer que u n est une suite strictement croissante sur N. Exercice 3. On considère la suite u n n N définie par u n n Montrer que u n est strictement croissante sur N. Exercice 4. Étudier le sens de variation de la suite u n définie pour tout entier naturel n, par :. u n n + 4n + 3. u n n n + 3. u n n n + 4. u 0 et u n+ u n n + Exercice 5. Calculer les ites des suites de terme général u n dont on admettra l existence :. u n n + 3. u n n 4n 3n + 3n 5. u n 4n + 3n + 3 n 4. u n 4n 3 n n n + n u 0 a Exercice. Soit a [ ; + [. On définit la suite u n sur N par : u n+ + u n À l aide d un raisonnement par récurrence, étudier la monotonie de la suite u n. Roussot 0 / 0

3 0. Solutions rédigées Exercice. Montrons que : n N, n > n. Pour n N, notons la propriété Pn : n > n Initialisation : 0 et > 0 donc P0 est vraie. Hérédité : soit n N. Supposons Pn vraie ie n > n. Montrons que Pn + est vraie ie n+ > n + ie n > n +. n > n n + n > n + n n > n + car pour tout entier n : n. Conclusion : On a montré par récurrence que n N, n > n Remarque : Pour que la rédaction soit totalement rigoureuse, on aurait du justifier que n N : n cela peut se faire par récurrence, ou grâce à la monotonie de la fonction x x expx ln sur R +. Autre rédaction en faisant rangs d initialisation : Pour n N, notons la propriété Pn : n > n Initialisation : 0 et > 0 donc P0 est vraie. et > donc P est vraie. Hérédité : soit n N. Supposons Pn vraie ie n > n. Montrons que Pn + est vraie ie n+ > n + ie n > n +. n > n n + n > n + n n + n > n + Conclusion : On a montré par récurrence que n N, n > n n nn + n + Exercice. Montrons que, pour entier n on a : t k. On définit, pour tout entier n, le n ième nombre triangulaire par nn + t n n Le n ième nombre triangulaire correspond à un nombre entier positif égal au nombre de rectangle dans un triangle de hauteur n construit à la manière de la figure ci-dessous ici n : k Roussot 3 0 / 0

4 nn + Remarque : On peut justifier que n à partir de la formule sur la somme des n premiers termes de la suite arithmétique de raison et de premier terme égal à, ou bien par récurrence qui est d ailleurs une méthode pour démontrer la propriété sur la somme des termes d une suite arithmétique, ce qui peut se faire en exercice. Pour n N, notons la propriété Pn : n t k k nn + n Initialisation : t et donc P est vraie. n Hérédité : soit n N nn + n +. Supposons Pn vraie ie t k. n+ Montrons que Pn + est vraie ie t k n+ n t k t k +t n+ k k n + n + n + 3 k nn + n + + k n + n + n + 3. n + n + Conclusion : On a montré par récurrence que n N, n t k k nn + n + + 3n + n + nn + n + Exercice 8. Démontrons que, pour tout entier n, la fonction f n, définie sur R par f n x x n, est dérivable sur R, avec f nx nx n. Pour n N, notons la propriété Pn : f n est dérivable sur R avec f nx nx n Initialisation : f x x. Pour x R et h 0, on a : f x + h f x x + h x h h h h qui tend vers lorsque h tend vers 0, ainsi f est dérivable en x et f x, comme ceci est vrai pour tout x R par conséquent P est vraie. Remarque : f x x. Pour x R et h 0, on a : f x + h f x x + h x x + xh + h x x + h h h h qui tend vers x lorsque h tend vers 0, ainsi, f est dérivable en x et f x x, comme ceci est vrai pour tout x R par conséquent P est vraie. Hérédité : soit n N. Supposons Pn vraie ie f n est dérivable sur R avec f nx nx n. Montrons que Pn + est vraie ie f n+ est dérivable sur R avec f n+ x n + xn. x R, f n+ x x n+ x n x f n x f x ; donc f n+ f n f. Or le produit de fonctions dérivables est une fonction dérivable, par conséquent f n+ est dérivable sur R et sa dérivée vaut : f n+ x f nxf x + f n xf x nxn x + x n nx n + x n n + x n. Remarque : Ici pour montrer l hérédité, on a eu besoin de l initialisation. Conclusion : On a montré par récurrence que n N, f n est dérivable sur R avec f nx nx n CQFD Roussot 4 0 / 0

5 Exercice 9. Montrons que, pour tout entier naturel n, l entier 3 n n est un multiple de 7. Pour n N, notons la propriété Pn : 7 3 n n Pour a et b deux entiers relatifs, a b signifie a divise b. Initialisation : donc P0 est vraie. Hérédité : soit n N. Supposons Pn vraie ie 7 3 n n ie k Z tel que 3 n n 7 k. Montrons que Pn + est vraie ie l Z tel que 3 n+ n+ 7 l. 3 n+ n+ 3 n+ n+ 3 n 3 n 3 n 7+ n 3 n 7+3 n n 3 n n n 3 n k 7 3 n + k 7 l avec l 3 n + k Z Conclusion : On a montré par récurrence que n N, l entier 3 n n est un multiple de 7 + un Exercice 0. On considère la suite u n définie par u 0 0 et pour tout n N : u n+. Montrer, par récurrence, que pour tout n on a : u n. Pour n N, notons la propriété Pn : u n Initialisation : u donc P est vraie. Hérédité : soit n N. Supposons Pn vraie ie u n. Montrons que Pn + est vraie ie u n+. u n + + u n + + u n u n + un car la fonction «racine carrée» est croissante sur R + u n+ Conclusion : On a montré par récurrence que n N, u n Roussot 5 0 / 0

6 Exercices faits en classe Exercice. On considère la suite u n définie par u n n + n + 5 Montrons que u n est une suite strictement croissante sur N. Soit f la fonction définie sur R par fx x + x + 5. f est dérivable sur R et, x R, f x 4xx + 5 xx + x + 5 4x + 0x 4x x 8x x + 5 x + 5 Pour x > 0, f x > 0, ainsi f est strictement croissante sur R +. Or, n N, u n fn. Donc u n est strictement croissante sur N. De plus, comme u et u , ainsi u 0 < u. Conclusion : u n est strictement croissante sur N. Exercice 3. On considère la suite u n n N définie par u n n Montrons que u n est strictement croissante sur N. Soit n N : u n n + n + u n n u n+ u n u n+ u n n + > 0 donc u n+ > u n. n + Conclusion : u n est strictement croissante sur N. Roussot 0 / 0

7 Exercice 4. Étudions le sens de variation de la suite u n définie pour tout entier naturel n, par :. u n n + 4n + 3 Calculons les premiers termes pour se faire une idée : u 0 3 et u 8 : u 0 < u. Montrons que n N, u n < u n+. Soit n N. u n+ n + + 4n n + n + + 4n n + 4n n + 5 u n + n + 5 Or n + 5 > 0 donc u n+ > u n. Conclusion : u n est strictement croissante sur N.. u n n n + Calculons les premiers termes pour se faire une idée : u 0 et u et u 4 3 : u 0 u < u. Montrons que n N, u n u n+. Soit n N. u n+ u n n+ n + n n + n n + n n + n + n + 0 donc u n+ u n. Conclusion : u n est croissante sur N. 3. u n n n + Soit f la fonction définie sur R \ { } par fx x x +. n n + n n + n + n n n + n + f est dérivable sur R \ { }, et x, f x xx + x x + x 4x + x x + x 4x x + Pour x 0, f x < 0 donc f est strictement décroissante sur [0; + [. Or, n N, u n fn, donc u n est strictement décroissante sur N. 4. u 0 et u n+ u n n + Pour tout entier n, u n+ u n n + < 0 ainsi u n+ < u n. Donc u n est strictement décroissante sur N. Exercice 5. Calculer les ites des suites de terme général u n dont on admettra l existence :. u n n + 3n 5 Pour n 0 : u n n + 3n 5 Or Donc n 0 u n 3.. u n 4n + 3n + 3 n n + 4 n 3n 5 3n. + n 5 3 3n + n 5 3n Roussot 7 0 / 0

8 Pour n 0 : u n 4n + 3n + 3 n n + 4 Or Donc 3 4n 0 u n u n n 4n 3n + Pour tout n 0 : Récurrence et suites numériques 3 4n 4n + 3n 4n + 3 4n 4 3 4n 3 4n n n n + 4 n n + 4 n n u n n 4n 3n + n 4n 3n + n + 4n 3n + n + 4n 3n + 4n 4n 3n + n + 4n 3n + 3n n + 4n 3n 4n + 4n Or Donc 3n n + n 3n 4n + 4n 3n 3n n + 3n 4n + 4n 3 3n + 3 4n + 4n 3n 0 3 4n u n u n 4n 3 n 4 n + n Pour tout n : u n 4n 3 n 4 n 4 n + n 3 n Or 4 De même Donc n N u n. 4n. 4 n + n 4 n 4n. 3n 3 4 n n n est une suite géométrique de raison 3 4 < donc n est une suite géométrique de raison 4 4 < donc n N 3 n 0. 4 n 0. 4 Roussot 8 0 / 0

9 u 0 a Exercice. Soit a [ ; + [. On définit la suite u n sur N par : u n+ + u n À l aide d un raisonnement par récurrence, étudions la monotonie de la suite u n suivant les valeurs de a. Pour montrer la monotonie de la suite par récurrence, il faut d abord conjecturer si la suite est croissante ou décroissante. Pour cela, on va comparer les premiers termes, en particulier on va comparer u 0 et u. u 0 a et u + a On a un premier problème c est que u 0 et u dépendent de a que l on ne connait pas, on sait juste que a [ ; + [. On va regarder ce qu il se passe pour certaines valeurs de a : si a alors u 0 et u 0 0 ainsi u 0 < u ; si a 0 alors u 0 0 et u ainsi u 0 < u ; si a 3 alors u 0 3 et u 4 ainsi u 0 > u ; si a 8 alors u 0 8 et u 9 3 ainsi u 0 > u. On remarque que l ordre de u 0 et u dépend de la valeur de a. On va donc chercher les conditions sur a pour que u 0 > u ie a > + a. Résolvons dans [ ; + [ l inéquation : a > + a. a > a > + a a a > 0 + la première équivalence vient de la stricte croissance des fonctions «carré» et «racine carrée» sur [0; + [ On va donc étudier le polynôme du second degré a a, et en particulier étudier son signe > 0 : Ainsi a 5 < 0 et < 5 car : 4 < 5 < 9 3 > 5 > 3 > 5 > 3 et a + 5 > 0 car : 4 < 5 < < + 5 < < + 5 < 4 On obtient le tableau de signes suivant : > 5 > a a a Roussot 9 0 / 0

10 Ou bien, si on veut détailler le tableau de signes, on a : a a d où le tableau de signes suivant : a 5 a + 5 a a 5 a a a On obtient alors : a > a > + a + Ainsi si a > + 5 alors u 0 > u. a a > 0 a > + 5 On va maintenant chercher les conditions sur a pour que u 0 u ie a + a. Résolvons dans [ ; + [ l inéquation : a + a. En utilisant le travail précédant sur le polynôme du second degré a a : a a + a a a 0 + a + 5 Ainsi si a + 5 alors u 0 u. On va enfin chercher les conditions sur a pour que u 0 < u ie a < + a. Résolvons dans [ ; + [ l inéquation : a < + a. Comme dans [ ; + [ : a > + a a > + 5 a + a a + 5 on obtient donc, dans [ ; + [ : a < + a a < + 5 Autre rédaction en utilisant le travail précédant sur le polynôme du second degré a a : si a < 0 alors a < 0 + a, d où a < + a a [ ; 0[ a < + a a < + a a a < 0 si : D où a < [ + a a ; + [ 5 a [ 0; + 5 [ Ainsi si a < + 5 alors u 0 < u. Roussot 0 0 / 0

11 Il reste en définitive à montrer par récurrence les 3 conjectures suivantes : Conjecture. si a < + 5 alors u n est strictement croissante sur N ; Conjecture. si a + 5 alors u n est constante sur N ; Conjecture 3. si a > + 5 alors u n est strictement décroissante sur N. On note, avant tout, que pour tout n N : u n récurrence à partir de la définition de u n. Preuve. Soit a tel que a < + 5. Montrons que u n est strictement croissante sur N. Pour n N, notons la propriété Pn : u n < u n+ Initialisation : d après le travail précédent u 0 < u donc P0 est vraie. Hérédité : soit n N. Supposons Pn vraie ie u n < u n+. Montrons que Pn + est vraie ie u n+ < u n+ ie + u n < + u n+. u n < u n+ 0 + u n < + u n+ + u n < + u n+ car la fonction «racine carrée» est strictement croissante sur [0; + [ Conclusion : On a montré par récurrence que n N, u n < u n+, ainsi u n est strictement croissante sur N. Preuve. Soit a + 5. Montrons que u n est constante sur N. Pour n N, notons la propriété Pn : u n u n+ Initialisation : d après le travail précédent u 0 u donc P0 est vraie. Hérédité : soit n N. Supposons Pn vraie ie u n u n+. Montrons que Pn + est vraie ie u n+ u n+ ie + u n + u n+. u n u n+ 0 + u n + u n+ + u n + u n+ Conclusion : On a montré par récurrence que n N, u n u n+, ainsi u n est constante sur N. Preuve 3. Soit a tel que a > + 5. Montrons que u n est strictement décroissante sur N. Pour n N, notons la propriété Pn : u n > u n+ Initialisation : d après le travail précédent u 0 > u donc P0 est vraie. Hérédité : soit n N. Supposons Pn vraie ie u n > u n+. Montrons que Pn + est vraie ie u n+ > u n+ ie + u n > + u n+. u n > u n+ + u n > + u n+ 0 + u n > + u n+ car la fonction «racine carrée» est strictement croissante sur [0; + [ Conclusion : On a montré par récurrence que n N, u n > u n+, ainsi u n est strictement décroissante sur N. Roussot 0 / 0

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