Bac Blanc Mathématiques - Terminale S Candidats n ayant pas choisi la spécialité maths. 18 avril 2011

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1 Lycée Marlioz - Aix les Bains Bac Blanc 0 Mathématiques - Terminale S Candidats n ayant pas choisi la spécialité maths 8 avril 0 Pour cette épreuve, la rédaction, la clarté et la précision des explications entrent pour une large part dans l appréciation des copies, sauf mention explicite du contraire dans l énoncé. Le barème est donné à titre indicatif. Les calculatrices sont autorisées. Aucune sortie définitive n est autorisée avant h55.

2 TS Bac Blanc Page Exercice (7 points). Commun à tous les candidats PARTIE A - Restitution organisée des connaissances On suppose connues la dérivée de la fonction exponentielle et la formule de dérivation de u v ainsi que ses conditions d utilisation. On suppose savoir que la fonction ln est dérivable sur ]0 ; + [ et que pour tout x de ]0 ; + [ on a : exp(ln x) =x. À partir de ces quatre arguments, montrer que la dérivée de la fonction ln est la fonction définie sur ]0 ; + [ quiàxassocie x. PARTIE B - Étude de fonction On considère la fonction f définie sur ]0 ; + [ par f(x) =x + ln x x. Le but du problème est l étude de cette fonction et le calcul d une aire. On note C la courbe représentative de la fonction f dans le plan muni d un repère orthonormal (O; i, j) d unité graphique 3 cm. I - Étude d une fonction auxiliaire On considère la fonction g définie sur ]0 ; + [ par g(x) =x + ln x.. Étudier les variations de g sur ]0 ; + [.. En déduire le signe de g sur ]0 ; + [. II - Étude de la fonction f ettracédesacourbereprésentativec. Déterminer la limite en 0 de la fonction f. Quelle est l interprétation graphique de ce résultat?. Déterminer la limite en + de f puis montrer que la droite D d équation y = x est asymptote à la courbe C. 3. Soit f la fonction dérivée de la fonction f. Calculerf (x) pour tout réel x de ]0 ; + [. 4. En déduire le sens de variation de f sur ]0 ; + [ puis dresser le tableau de variations de la fonction f. 5. Déterminer le point A de la courbe C en lequel la tangente T est parallèle à la droite D. 6. Dans le repère (O; i, j) tracer les droites D et T et la courbe C. III - Calcul d une aire e ln x. Montrer que x dx =.. En déduire l aire de la région du plan délimitée par les droites d équation x =, x = e, l axe des abscisses et la courbe C. On exprimera cette aire en cm. Hachurer cette région sur le graphique.

3 TS Bac Blanc Page 3 Exercice (3 points). Commun à tous les candidats Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.. On considère la suite (t n ) définie pour tout entier naturel n par : t 0 = 0 et pour tout entier naturel n, t n+ = t n + (n +)(n +). Proposition : Pour tout entier naturel n, t n = n. n+. On considère trois suites (u n ), (v n ) et (w n ) définies sur N telles que : pour tout entier naturel n, u n w n v n. Proposition :Silessuites(u n ) et (v n ) sont adjacentes alors la suite (w n ) est convergente. 3. Soient f et g deux fonctions définies et continues sur l intervalle [0 ; ]. Proposition 3 :Si f(x)dx = g(x)dx alors f = g sur l intervalle [0 ; ]. 0 Exercice 3 (5 points). Commun à tous les candidats On considère la suite de nombres réels (u n ) définie sur N par : u 0 =, u = et, pour tout entier naturel n, u n+ = u n+ 4 u n. 0. Calculer u et en déduire que la suite (u n ) n est ni arithmétique ni géométrique.. On définit la suite (v n ) en posant, pour tout entier naturel nv n = u n+ u n. a. Calculer v 0. b. Exprimer v n+ en fonction de v n. c. En déduire que la suite (v n ) est géométrique de raison. d. Exprimer v n en fonction de n. 3. On définit la suite (w n ) en posant, pour tout entier naturel n : w n = un v n. a. Calculer w 0. b. En utilisant l égalité u n+ = v n + u n,exprimerw n+ en fonction de u n et de v n. c. En déduire que pour tout n de N, w n+ = w n +. d. Exprimer w n en fonction de n. 4. Montrer que pour tout entier naturel n on a u n = n n. 5. Pour tout entier naturel n, onpose:s n = k=n k=0 Démontrer par récurrence que pour tout n de N : S n = n +3 n. u k = u 0 + u + + u n.

4 TS Bac Blanc Page 4 Exercice 4 (5 points). Pour les candidats n ayant pas suivi l enseignement de spécialité maths Le plan complexe est muni d un repère orthonormé direct (O; u, v) (unité : cm). On fera une figure que l on complétera au fur et à mesure des questions. On considère les points A, B, S et Ω d affixes respectives a = +4i, b = 4+i, s = 5+5ietω = +i. Soit h l homothétie de centre S et de rapport 3. On appelle C l image du point A par h et D l image du point B par h.. a. Déterminer l écriture complexe de h. b. Démontrer que le point C a pour affixe c = 4 + i et que le point D a pour affixe d = 4i.. Démontrer que les points A, B, C et D sont sur un même cercle dont on précisera le centre et le rayon. 3. Démontrer que la droite (SΩ) est la médiatrice du segment [AB]. 4. Soit P le milieu du segment [AC]. a. Déterminer l affixe p du point P. b. Démontrer que ω p = i. En déduire une mesure de l angle ( ) d b BD ; PΩ. 5. Soit Q le milieu du segment [BD]. QuereprésentelepointΩpourletrianglePQS?

5 TS Bac Blanc Page 5 Corrigés des exercices Corrigé de l exercice. PARTIE A - Restitution organisée des connaissances Considérons la fonction h : x [exp(ln x)] définie sur R+. La fonction h est dérivable sur R+ et pour x>0ona: h (x) =ln (x) exp (ln x) =ln (x) exp(ln x). Or on remarque que pour tout x>0onah(x) =x donc on a aussi pour x>0, h (x) =. Finalement, pour tout x>0ona:ln (x) exp(ln x) =, ou encore ln (x) x = c est-à-dire ln (x) =,carx 0. x PARTIE B - Étude de fonction I - Étude d une fonction auxiliaire. g somme de fonctions dérivables sur ]0 ; + [ est dérivable et sur cet intervalle on a : g (x) =x +0 = x. x x Comme x>0lesigne de la dérivée est donc celui du trinôme x = ( x + )( x ) ou encore de celui de x puisque x +> > 0. Ce trinôme s annule donc en =. Sur ] [ 0;,g (x) < 0 : la fonction est décroissante ; Sur ] ;+ [, g (x) > 0 : la fonction est croissante.. On a g ( ) ( ) ( ) = + ln = + ln + ln = 3 + ln > 0, car somme de deux termes positifs. Le minimum de g étant supérieur à zéro, on a donc g(x) > 0, sur ]0 ; + [. II - Étude de la fonction f ettracédesacourbereprésentativec ln x. On sait que lim x 0, x>0 x ln x x =, donc lim f(x) =. x 0, x>0. On sait que lim = 0 et comme lim x =+, on a lim x + x + Soit la fonction d définie sur ]0 ; + [ pard(x) =f(x) x = ln x ln x On a vu que lim x + x f(x) =+. x + x. = 0 ce qui montre que lim d(x) = 0, c est-à-dire que la droite x + D est asymptote à la courbe C au voisinage de plus l infini. [ ] ln x 3. On a = x ln x x = ln x,doncf (x) =+ ln x = x + ln x. x x x x x 4. On a donc f (x) = g(x) : d après la question précédente les deux termes de ce quotient sont x supérieurs à zéro, donc le quotient l est aussi : la fonction f est croissante sur ]0 ; + [. 5. La droite D a pour coefficient directeur. Il faut donc chercher l abscisse x A telle que f (x A ) =. Donc on résout f (x) =: f (x) = + ln x = x ln x =0 x =e

6 TS Bac Blanc Page 6 Or f(e) = e +. Finalement : e A( e; e+ e 6. Voir figure. III - Calcul d une aire. On a : I = e e [ ] e x ln(x)dx = ln (x) ln(x)dx = (ln(x)) = ). La fonction f est croissante et continue sur ]0 ; + [ etf() =, donc sur l intervalle [ ; e], on a : f(x) > 0. L aire de la surface délimitée par les droites d équation x =,x= e, l axe des abscisses e et la courbe C est donc égale en unités d aire à l intégrale f(x)dx. e e [ ] e ln x x e Or f(x)dx = x dx + x dx = + I = e + = e (u.a.). L unité d aire étant égale à 3 3=9cm, l aire de la surface est donc égale à 9e 33, 5 cm, ce que l on vérifie approximativement sur la figure. Corrigé de l exercice.. Proposition :Vraie On raisonne par récurrence : soit, pour n N, la proposition P n :«t n = n. n+ n Initialisation : on a t 0 =0etpourn =0, = 0 donc P n+ 0 est vraie. Hérédité : on fait l hypothèse que pour un n fixé on a P n vraie (c-à-d que pour ce n on a t n = n ) ; montrons qu alors P n+ n+ est vraie aussi (c-à-d que t n+ = n+). n+ On a t n+ = t n + = n + = n(n+)+ = (n+) = n+ (car (n+)(n+) n+ (n+)(n+) (n+)(n+) (n+)(n+) n+ n +> 0). Donc P n+ est vraie. Conclusion : d après l axiome de récurrence en conclut que pour tout n on a t n = n. n+. Proposition :Vraie Les suites (u n )et (v n ) sont adjacentes : elles convergent et ont la même limite l. Comme u n w n v n, d après le théorème des «gendarmes», la suite (w n ) converge vers la même limite l. 3. Proposition 3 : Fausse Il suffit de prendre f définie sur [0 ; ] par f(x) =x et g définie sur [0 ; ] par g(x) = x. Lesintégralessontégalesà (aires de triangles rectangles isocèles) et les fonctions ne sont pas égales. Corrigé de l exercice 3.. D après la définition u = u u 4 0 = + = Si la suite était géométrique, d après les deux premiers termes la raison serait égale à ;oru ( ) = u. Si la suite était arithmétique, d après les deux premiers termes la raison serait égale à ( ) = 3 ;oru + ( ) 3 = 4 = u. Conclusion : la suite (u n ) n est ni arithmétique ni géométrique.

7 TS Bac Blanc Page 7. a. v 0 = u u 0 = ( ) =. b. On a pour tout naturel n, v n+ = u n+ u n+ = u n+ u 4 n u n+ = u n+ u ( 4 n = un+ u ) n = v n. c. v n+ = v n signifie que la suite (v n ) est une suite géométrique de premier terme et de raison. d. On a donc quel que soit n N, v n = ( ) n =. n 3. a. w 0 = u 0 v 0 = =. b. On a w n+ = u n+ v n+ = vn+ un vn =+ un v n. c. On a par définition un v n = w n, donc l égalité ci-dessus s écrit : w n+ =+w n. d. L égalité précédente montre que la suite (w n ) est une suite arithmétique de premier terme etderaison. On a donc w n = w 0 + n = +n. 4. On a trouvé que w n =n = un v n = un = n u n. n Donc u n = n,car n 0 quel que soit n N. n 5. Démonstration par récurrence : Initialisation : S 0 = u 0 = et 0+3 = 3 = 3=. La formule est vraie 0 au rang 0. Hérédité : supposons qu il existe un naturel k tel que : k=n k +3 S n = u i = u 0 + u + + u k =. i=0 k Donc S k+ = S k + u k+ = k+3 + (k+) =+ 4k 6+k+ =+ k 5 = k+5 k k+ k+ k+ (k+)+3 k+. Laformuleestvraieaurangk +. Conclusion : on a donc démontré par récurrence que pour tout n de N : S n = n +3 n. k+ = Corrigé de l exercice 4.. a. Pour un point M d affixe z et son image M par h d affixe z, la traduction complexe de l égalité SM =3 SM est : SM =3 SM z ( 5 + 5i) = 3[z ( 5+5i)] z = 5+5i+3z +5 5i z =3z +0 0i b. On a C = h(a), donc c =3( + 4i) + 0 0i = 4 + i. De même D = h(b) donc d =3( 4+i+0 0i = 4i.. On a : a =4+6=0, b =6+4=0, c =6+4=0et d =4+6=0, d où a =OA= b =OB= c =OC= d =OD= 0 = 5. Les points A, B, C et D appartiennent au cercle de centre O et de rayon 5.

8 TS Bac Blanc Page 8 3. Le milieu I de [AB] a pour coordonnées ( 3 ; 3). M(x ; y) appartient à la médiatrice de [AB] si et seulement si (MI) (AB) (MI) (AB) MI AB = 0 ( 3 x) (3 y) =0 x + y =0 S( 5 ; 5) appartient à cette médiatrice ; Ω( ; ) appartient à cette médiatrice. Conclusion : (SΩ) est la médiatrice de [AB]. 4. a. On a p = ( +4i+4+i)=+3i. ω p b. = +i 3i = 3 i = ( 3 i)(+6i) = 6+6 8i i = 0i = i. d b 4i+4 i 6i ( 6i)(+6i) En ( terme d argument la relation précédente signifie que : ) BD, PΩ = π. Conclusion : la droite (PΩ) est perpendiculaire à la droite (BD). 5. Par l homothétie h l image (CD) de la droite (AB) est parallèle à cette dernière : le quadrilatère ABDC est un trapéze ; dans ce trapèze la droite des «milieux» (PQ) est parallèle à (AB) et à (CD). Or on a vu que (AB) et (SΩ) sont perpendiculaires. Donc (SΩ) est aussi perpendiculaire à (PQ). Donc dans le triangle PQS, (SΩ) et (PΩ) sont deux hauteurs : le point Ω est l orthocentre du triangle PQS. S B A Ω 4 3 P C v 5 4 Q 3 O u D 4 5

9 TS Bac Blanc Page 9 Figure Exercice, Partie B II. Q 6 3 A T C e 3