Terminale ES Contrôle de mathématiques (2 heures) Mardi 21 septembre 2004

Transcription

1 Terminale ES Contrôle de mathématiques ( heures) Mardi septembre 004 La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l appréciation des copies. L usage d une calculatrice est autorisé. Exercice : La figure ci-dessous représente une fonction f définie sur [ 0 ; 4 ].. a) Dresser le tableau de variation de f. b) La fonction f est-elle continue sur [ 0 ; 4 ]? 4 points. a) Sur [ ; 4 ], pour résoudre l équation f(x) = 3, quel théorème peut-on appliquer et pourquoi? b) En appliquant ce théorème à l intervalle [ ; 4 ], montrer que l équation f(x) = 3 possède une unique solution α. c) Lire graphiquement une valeur approchée de α. Exercice : On considère la fonction polynomiale f définie par f(x) = 3 x 4 4 x 3 6 x + x 5. On admet que lim f(x) = + f(x) = +.. Calculer l expression dérivée f (x).. Vérifier que f (x) = (x ) (x + ). 3. En déduire les variations de f. Construire le tableau de variation de f. 4. En déduire le nombre de solutions de l équation f(x) = À l aide de la calculatrice, donner la valeur exacte ou une valeur approchée de chacune d elles à 0 près.,5 7 points Exercice 3 : 9 points Soit f la fonction définie sur par f(x) = x3 x + 5 x, et C sa courbe représentative dans un plan muni d un + 3 repère orthogonal (O ; i r, r j ) d unité cm, ci-joint.. a) Démontrer que pour tout réel x non nul, f(x) = x +. b) En déduire la limite de f en, en +.. Soit D la droite d équation y = x. a) Démontrer que D est asymptote oblique à C en et en +. b) Étudier la position relative de C par rapport à D. 3. Voici le tableau de variation de f. signe de x + variations de f a) Recopier puis compléter le tableau de variation avec les limites du.a) puis calculer f(0). b) Construire la droite D et la courbe C. 4. a) Montrer que l équation f(x) = 9 admet une unique solution α. 5 b) À l aide de la calculatrice, donner un encadrement de α d amplitude 0.

2 NOM : Prénom : TERMINALE ES O REPRÉSENTATION GRAPHIQUE DE LA FONCTION f

3 Mardi septembre 004 MATHÉMATIQUES Durée : Terminale ES Devoir Corrigé h Exercice :. a) Tableau de variation de f. valeurs de x 0 4 variations de f 0 4 points b) La courbe représentant la fonction f ne présente aucun saut sur [ 0 ; 4 ], Donc la fonction f est continue sur [ 0 ; 4 ].. a) Sur [ ; 4 ], f est définie et continue. On a f() = et f(4) = or 3 [ ; ] Donc pour résoudre l équation f(x) = 3, on peut appliquer le théorème des valeurs intermédiaires. b) Sur [ ; 4 ], f est définie, continue et strictement décroissante. On a f() = et f(4) = or 3 [ ; ] d après le corollaire des valeurs intermédiaires l équation f(x) = 3 possède une unique solution α dans l intervalle [ ; 4 ]. c) Graphiquement pour lire une valeur approchée de α, on recherche sur le dessin l antécédent de 3 par f sur [ ; 4 ]. Une valeur approchée de α est,7. Exercice :. f est définie sur or f est une fonction polynôme donc f est dérivable sur. Pour tout réel x, f (x) = x 3 x x + 7 points

4 . Pour tout réel x, (x ) (x + ) = (x x + ) (x + ) (x ) (x + ) = (x 3 + x x x + x + ) (x ) (x + ) = (x 3 x x + ) (x ) (x + ) = x 3 x x + (x ) (x + ) = f (x) Donc pour tout réel x, f (x) = (x ) (x + ) 3. Pour tout réel x, f (x) = (x ) (x + ) f (x) = 0 (x ) (x + ) = 0 (x ) = 0 ou x + = 0 x = ou x = de plus, pour tout réel x, (x ) > 0 donc f (x) est du signe de x + or x + < 0 sur ] ; [, donc f (x) < 0 sur ] ; [ et x + > 0 sur ] ; + [, donc f (x) > 0 sur ] ; + [. Donc f est strictement décroissante sur ] ; ], et f est strictement croissante sur [ ; + [. Tableau de variation de f. valeurs de x + signe de f (x) variations de f f est définie, continue et strictement décroissante sur ] ; ] on a lim f(x) = + et f( ) = 6 or 0 [ 6 ; + [ d après le corollaire des valeurs intermédiaires, l équation f(x) = 0 admet une unique solution, notée α, dans ] ; ]. f est définie, continue et strictement croissante sur [ ; + [ on a f( ) = 6 f(x) = + or 0 [ 6 ; + [ d après le corollaire des valeurs intermédiaires, l équation f(x) = 0 admet une unique solution, notée β, dans [ ; + [. Donc l équation f(x) = 0 admet deux solutions dans. 5. À l aide de la calculatrice, On tabule avec un pas de on a f( ) = 7 et f( ) = 6 donc < α < on tabule avec un pas de 0, on a f(,7) =,963 et f(,6) = 3,55 donc,7 < α <,6 on tabule avec un pas de 0,0 on a f(,67) 0,903 et f(,66) 0,3764 donc,67 < α <,66 on tabule avec un pas de 0,00 on a f(,667) 0,090 et f(,666) 0,0379 donc,667 < α <,666 donc une valeur approchée à 0 près de α est,67. et d après le tableau de variation du 3., on a f() = 0 donc β =.

5 Exercice 3 :. a) Pour tout réel x, x + x + x + x + Donc pour tout réel x, f(x) = x + = (x )(x + 3) + = x3 + 3 x x 3 + = x3 x + 5 = f(x) 9 points b) On a lim x = = 0 donc, par somme, lim f(x) = On a lim x = + = 0 donc, par somme, lim f(x) = +. Soit D la droite d équation y = x. a) Pour tout réel x, f(x) (x ) = x + f(x) (x ) = or lim = 0 donc lim f(x) (x ) = 0 x + Donc D est asymptote oblique à C en et en +. b) Pour tout réel x, f(x) (x ) = or pour tout réel x, > 0 donc > 0 donc pour tout réel x, f(x) (x ) > 0 donc pour tout réel x, f(x) > (x ) Donc la courbe C se situe au-dessus de la droite D. 3. a) Voici le tableau de variation de f. signe de x variations 5 de f 3 f(0) = f(0) = 5 3 = 0 f(x) (x ) = 0 b) Construction de la droite D. Construction de la courbe C. Propreté

6 4. a) f est définie, continue et strictement croissante sur on a lim f(x) = or 9 5 f(x) = + d après le corollaire des valeurs intermédiaires, Donc l équation f(x) = 9 admet une unique solution, notée α, dans. 5 b) À l aide de la calculatrice, On tabule avec un pas de on a f(0) = 5 3 et f() = donc 0 < α < on tabule avec un pas de 0, on a f(0,),757 et f(0,),36 donc 0, < α < 0, on tabule avec un pas de 0,0 on a f(0,5),796 et f(0,6),04 donc 0,5 < α < 0,6. Donc [0,5 ; 0,6] est un encadrement de α d amplitude 0.