( ) et de vecteur directeur u 3 5

Transcription

1 Révisions conseillées pour un passage en terminale S rentrée 2014 Pour que le passage de la classe de première S à la terminale se fasse de façon fluide, nous vous conseillons de prévoir dix jours de révision fin août avant la rentrée du 2 septembre Pour plus d efficacité, prévoyez de faire un exercice de chaque thème par jour! Géométrie * Calcul vectoriel dans le plan, équation cartésienne d une droite, produit scalaire et applications. - Colinéarité de vecteurs : problèmes d alignement, configuration et vecteurs. - équation cartésienne d une droite, position relative de droites, vecteur directeur - décomposition d un vecteur dans une base 3 3m 1. Dans un repère du plan, pour quelles valeurs de m les vecteurs u et v sont-ils colinéaires? m 4 2. Démonstration du cours : Soit A, B et C trois points non alignés dans le plan, M un point du plan. Il existe un couple de réel (x ; y) tels que AM = x AB + y AC, montrer, par l absurde, que ce couple (x ; y) est unique. On se place dans un repère du plan (O ; I ; J) orthonormé. 3. Dans chaque cas, dire si les points sont alignés ou non. a) A 7 2 ; 1 2 ; B 1 2 ; 3 2 ; C 5 2 ;5 2 b) E 1;3 4. On donne I 1 2 ;1 ; J 3 2 ;3 ; K 1; 1 4 et L 0; ABC est un triangle. K est le point tel que AK = AB + 2AC, M est le milieu du segment [ AB] et I celui du segment [ MC]. a) Faire une figure. b) Exprimer le vecteur AI en fonction des vecteurs AB et AC. c) En déduire que les points A, I et K sont alignés. 6. (a) Déterminer une équation de la droite (d) passant par A 2; 3 ( ) ; F 1 2 ;2 ; G 2; 5 2. Les droites (IJ) et (KL) sont-elles parallèles?.. ( ) et de vecteur directeur u 3 5 (b) Donner l équation cartésienne de la droite (d ) passant par les points E 1;3 ( ) et F 1 2 ;2 (c) Donner l équation cartésienne de la droite (d ) passant par le point B(-1 ; 2) et de vecteur normal. Les droites (d) et (d ) sont-elles parallèles? Perpendiculaires? Si oui, déterminer leur point d intersection I. 7. Déterminer l équation du cercle passant par les points A(-1 ; 3) et B(2 ; 5) * Angles orientés et trigonométrie - cercle trigonométrique - mesure des angles en radians, sinus, cosinus, résolution d équations - mesure d un angle orienté, mesure principale - formules d addition et de duplication 1. Convertir en radian ou en degré les angles suivants : a) 150 et b). 2. Déterminer la mesure principale de chacun des angles suivants : a) et b) Placer les points A et B sur le cercle trigonométrique ci-contre associés aux réels et puis déterminer la mesure principale de l angle,. B O A

2 4. Simplifier l expression suivante : sin 32cos# $ %sin. 5. La figure ci-contre est composée de deux triangles équilatéraux : calculer la mesure principale de l angle & ; (& en radians. 6. Démontrer que )*+, +-, $ par la méthode de votre choix. $ 7. A l aide du cosinus et du sinus de et des angles associés, déterminer le cosinus et le sinus des angles : a) $ ; b). 8. Résoudre dans / l équation 2 cos 2 t + cos t 1 = 0. Analyse et suites * Le trinôme du second degré - définition d un polynôme de degré 2, courbe représentative, forme canonique et applications. - sens de variation (démonstration), recherche du maximum ou du minimum. - résolution d équations ax²+bx+c = 0 avec ou sans calcul du discriminant. - résolution d inéquations et recherche du signe d un trinôme * Fonctions de référence et opération sur les fonctions - Valeur absolue d un nombre, fonction valeur absolue - Fonction racine carrée - opération sur les fonctions * Généralités sur les suites, suites arithmétiques et géométriques - Définir une suite par une formule explicite ou par une formule dite de récurrence - Reconnaître une suite arithmétique ou géométrique - Calculer le terme de rang n d une suite - Déterminer le sens de variation d une suite - Calculer la limite d une suite géométrique - Analyser un algorithme de seuil. * Dérivation : nombre dérivé et tangente, fonctions dérivées des fonctions de référence, applications - lecture graphique d un nombre dérivé, recherche de tangente - équation de la tangente, définition du nombre dérivé (limite du taux d accroissement) - définition de la fonction dérivée de x -> x² puis de la dérivée de chaque fonction de référence - application de la dérivation, optimisation 1. Déterminer l ensemble de dérivabilité ainsi que la fonction dérivée de chacune des fonctions suivantes : f (x) = 2 + x + x 5 1 g(x) = h(x) = 3x+1 1 4x+ x 2 3 2x 0, Le plan est muni d un repère orthonormé. Montrer que les deux courbes 2:4, $ 2 et 2 5 :4, $ 6 2 ont pour point commun le point 1 ;3 et que les deux courbes ont la même tangente en A. Remarque : On dit alors que les courbes P et P sont tangentes en A. 3. On donne les courbes représentatives d une fonction f et de sa dérivée f. Qui est qui?

3 4. Lire graphiquement les solutions des équations suivantes : 5. Déterminer les variations des deux fonctions : Problème de synthèse sur le second degré:

4 Exercices sur les suites : Exercice 1 Exercice 2

5 Statistiques et probabilités * Statistiques, échantillonnage - médiane, quartiles, diagramme en boîte - moyenne, variance, écart-type - intervalle de fluctuation à l aide de la loi binomiale * Probabilités : généralités - variable aléatoire et loi, espérance, variance, écart-type - gain algébrique et interprétation de l espérance - loi binomiale, espérance, variance et écart-type - coefficients binomiaux, dénombrement Exercice de probabilité : Un sac contient 1 jeton rouge, 3 jetons blancs et n jetons noirs (n entier, n 1). Partie A On tire successivement et avec remise 10 jetons dans le sac. On note X la variable aléatoire égale au nombre de jetons rouges obtenus au cours des 10 tirages. 1. Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable X? 2. Donner la loi de X ainsi que son espérance et son écart-type. 3. a. On souhaite programmer un algorithme qui donne le nombre de jetons rouges obtenus au cours de ces 10 tirages. Compléter l algorithme ci-contre. b. Modifier l algorithme afin qu il permette de répéter 1000 fois cette expérience et qu il affiche le nombre moyen E de boules blanches obtenues au cours de ces 1000 répétitions. Partie B Un joueur mise m, (m entier m 1), puis il tire un jeton dans le sac. S il tire le jeton rouge, il gagne 10, pour un jeton blanc, il gagne 5 et pour un jeton noir, il perd sa mise. On note Y la variable aléatoire associée au gain algébrique du joueur. 1. On choisit m = 1. Combien de jetons noirs faut-il mettre dans l urne pour que le jeu soit équitable? 2. De façon générale, calculer l espérance de la variable aléatoire Y en fonction de n et de m. Comment choisir n et m pour que le jeu soit équitable? Exercice d échantillonnage : Une entreprise qui propose des services d installation de matériel informatique, met en place un service de Hotline pour ses clients qui rencontreraient des difficultés à utiliser leur matériel. D après le prestataire de service qui gère la Hotline, la proportion de clients non totalement satisfaits (NTS) est de 20%. Pour vérifier cette affirmation, l entreprise décide de demander à 300 de ses clients prélevés au hasard s ils sont satisfaits ou non de la Hotline. 91 clients s affirment non totalement satisfaits. 1. a. Quelle est la population étudiée? Quelle est la proportion p des clients NTS? b. Quelle est la taille de l échantillon prélevé par l entreprise? c. Pourquoi peut-on associer une variable aléatoire X à cette expérience? quelle est la loi de X? 2. Déterminer l intervalle de fluctuation I au seuil de 95% à l aide de la simulation de la loi binomiale ci-dessous. 3. Que peut-on en déduire quant à l affirmation du prestataire de service? k P(X k) k P(X k) 41 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,

6