Outils de base en analyse numérique

Transcription

1 Outls de bse en nlyse numérque Sébsten Chrnoz & Adrn Derr Unversté Prs 7 Dens Dderot CEA Scly

2 En nlyse numérque, un certn nombre de clculs sont fts de mnère répéttve. Eemple : Résoudre un système lnére, Inverser une mtrce, Clculer le détermnnt, vleurs propres, vecteurs propres Interpoler une foncton Etrpoler une foncton Décomposer une foncton sur une bse de fonctons (e: TF) «ftter» des ponts de mesure vec des fonctons connues Etc Des lgorthmes performnts estent souvent, ms qu ont chcun des spécfctés. En foncton de nos besons, l fudr chosr l lgorthme dpté

3 L pluprt de ces outls «de bse» sont souvent déjà progrmmés dns des lbrres de clculs mthémtques (e: NAG). De mnère générle, l n est jms bon de l utlser comme une «boîte nore» : En foncton du problème, en chosssnt l lgorthme le plus dpté, on peut ggner du temps de clcul, ou meu : évter des nstbltés numérques. Eemple : S vous vez besons de clculer l nverse d une mtrce, et que sont détermnnt est très proche de (ms non ectement ), le clcul ser très sensbles u erreurs de tronctures de l mchne. Dns ce cs l fut préférer une nverson tértve, plutôt qu une nverson ecte Eemple : S vous souhtez décomposer une foncton sur une bse de fonctons, ll vut meu ben connître cette bse, snon vous ne surez ps vrment ce que vous ftes Souvent, une telle décomposton engendre des nstbltés dns le schéms numérque en rson de l dscrétston etc

4 Dns ce chptre, nous borderons ponts : Systèmes lnéres Clcul mtrcel, nversons etc Interpolton et Etrpolton de fonctons Dfférentes méthodes, décomposton sur une bse, mondres crrés etc.. Générteurs de nombres pseudo-létores Qu est ce qu un bon générteur? Comment les construre? etc

5 LES SYSTEMES LINEAIRES En nlyse numérque, résoudre un système lnéres, c est résoudre A b Où A est une mtrce (à pror) nversble, b est un vecteur, et X est le vecteur nconnu. Les questons ttenntes à ce problème sont : Clculer A -, Det(A), vleurs propres de A, vecteurs propres de A Une dzne de méthodes estent, ms certns outls sont commun à de nombreuses méthodes (Pvot de Guss, Décomposton en mtrce trngulre, Méthode de substtuton )

6 Un tel système est fclement soluble dns le cs où l mtrce A est trngulre Pourquo? Pr ce qu une smple substtuton tértve permet de résoudre fclement le système E : b b b b On lors : ( )... / etc b b Mtrce NN vec N4

7 b b b b D une mnère générle, on peut trouver toutes les vleurs de X pr l méthode tértve suvnte (substtuton rrère) N j j j nn n N b b / On clcule X n, pus X n-, X n- X

8 Une méthode smlre mrche uss pour un mtrce trngulre nféreure b b b b / j j j b b On clcule X, pus X, X X N Substtuton vnt

9 Dns de nombreuses méthodes, l objectf est de trnsformer A pour l rendre Trngulre, nféreure ou supéreurs, et ensute clculer les solutons en utlsnt une substtuton (vnt ou rrère s A est nféreure ou supéreure). grndes méthodes EXACTES: ELIMINATION DE GAUSS JORDAN Smple à comprendre, ms nécesste de modfer b en même temps que A Ne donne ps drectement A - et les vecteurs propres FACTORISATION L U Un peu plus subtle, ne modfe ps b, donc on peut utlser l même décomposton pour tout vecteur b, donne A- et les vecteurs propres

10 Guss Jordn (pvot de Guss) Prenons l eemple suvnt : On conserve l lgne L, qu sert de pvot pour élmner l'nconnue des utres lgnes; pour cel, on retre L à L, et fos L à L. On obtent :

11 On conserve lors l lgne L qu sert de pvot pour élmner y de l trosème lgne; pour cel, on remplce l lgne L pr L-L. On trouve : On rèsoud fnlement le système pr substtuton rrère (cr on résoud d bord Z, pus Y, pus X) Comment cel se psse vec des mtrces??

12 8 8 5 z y 4 z y 4 z y pvot pvot Le pvot prcours l dgonle

13 Pvot de Guss 4 prncpes fondmentu On ne chnge ps l soluton lorsque l on :. permute lgnes. permute colonnes. dvse pr un même terme non nul les éléments d une lgne 4. joute ou retrnche à une lgne un certn nombre de fos une utre lgne Strtége : Trnsformer le système lnére en un système équvlent fcle à résoudre Trngulre!

14 Pvot de Guss : un utre eemple pvot () Attenton u vleurs nulles du pvot

15 Pvot de Guss : un eemple L L-L /pvot ()

16 Pvot de Guss : un eemple L L-L /pvot ()

17 Pvot de Guss : un eemple L L-L /pvot () Le premère vrble à été élmnée de toutes les équtons suf une

18 L lgorthme du pvot de Trngulrston A b On vot que s kk ~, on ntrodut une nstblté dns le système pour ft Guss k s jusqu' à pvot pvot kk n lors pour k jusqu' à n k b b bk pvot (*strtége de pvot *) pour j k jusqu' à n k j j kj ft ft pvot snon "problème"

19 ; ; mtrcellement :,..., pour,..., pour ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( k k k k k k k k k kk k k k k k kj k kk k k k j k j b M b A M A b b b n k j n k Représentton Mtrcelle du Pvot de Guss pour une mtrce NN À chque étpe kk est le pvot.

20 Remrques Cho du pvot : mnmser les erreurs d rronds s un pvot est nul, on permute deu lgnes s tous les pvots restnt sont nuls l mtrce est sngulère (.e. le système d équtons n dmet ps de soluton unque) pour mnmser les erreurs d rronds : on chos le plus grnd pvot possble (en vleur bsolue) et donc on permute les lgnes (vor les colonnes ssocées) c est l strtége du pvot mml (prtel (lgnes) ou totl) détermnnt d une mtrce produt des pvots

21 Problème de l méthode du pvot de Guss seule : Nécesste de modfer b, Donc pour résoudre Ab et A b l fut recommencer l procédure deu fos Il fudrt une méthode qu ne modfe ps b > Décomposton LU

22 Décomposton LU Supposons que nous sommes cpbles d écrre l mtrce A sous l forme d une produt de deu mtrces trngulres L (lower) et U (upper) L U A l l l l 4 l l l 4 l l 4 u l 44 u u u u u u u u u Trng. Inféreure (lower) Trng. Supéreure (upper)

23 Alors résoudre Ab peut uss s écrre A(L U) L (U ) b Que l on peut décomposer en deu étpes, vec une vrble ntermédre : y Ab (LU)b L (U) b L yb vec yu. Résoudre L y b. Résoudre U y Intérêt de l méthode : S on connît L et U les étpes () et () se résolvent smplement En pplqunt pour () une substtuton vnt (L est trngulre nf.) En pplqunt pour () une susbsttuton rrère (U est trngulre sup.) De plus on peut clculer smplement l nverse de A, on ne touche ps à b

24 On peut montrer qu en temps norml l este une nfnté de décomposton LU S A est nversble. Cependnt l n este qu une seule décomposton telle que L t pour éléments dgonu des unquement: Pour Clculer L et U fclement on se sert de l méthode du pvot de Guss, en utlsnt une mtrce ntermédre un peu spécle, : l mtrce ugmentée Eemple : Sot à Résoudre : 5 4 b b b où

25 b b b b b b On peut écrre ce système mnère plus compcte vec l mtrce ugmentée (qu n est plus crré ) Mtrces ugmentées

26 On peut grder l trce des dfférentes étpes du pvot de guss en consdérnt L mtrce ugmentée > ere étpe : Pvot vec : L eme lgne L- 4/ L Idée génle : Au leu de grder le dns l nouvelle mtrce ugmentée On conserve dns cette cse le coeffcent pr lequel on multplé L Nouvelle mtrce A Nouveu vecteur b On chngé le En 4

27 Mntennt on echnge LL-/ L Augmentée : Nouvelle ugmentée Au leu du c, on ms le pr lequel on vt multplé L On pvote mntennt sur l lgne, le pvot vut «-5» ( ) L ne chnge ps, et LL - (-/-5) L 5 / Au leu des on conservé les coefs. multplcteurs

28 5 / Augmentée fnle. On en dédute l forme trngulre de A et l nouvelle forme de b - 5 b et 5 5 A Et on trouve X pr substtuton clssquement

29 Alors, pourquo tout cel, le rpport vec L et U? Et ben on peut montrer que U 4 5 / ~ L Plus précsement, on dvse chque colonne pr l élément dgonl pour mettre des sur l dgonle de L

30 U et / L Vous pourrez vérfer que LUA!!

31 ALGORITHME DE CROUT (r j u j et l j l j vec nos nottons) Mtrce U Mtrce L

32 Une fos qu on possède l décomposton LU, on obtent sément : Le détermnnt : Det(A)Det(L)*Det(U) u u U nn L mtrce nverse : On résoud successvement pour toute dmenson A j e j où e j est le vecteur untre de l dmenson j > En combnnt tous les j on trouve successvement toutes les colonnes de l mtrce A - M M M M M M A A A A M Avntge de l méthode L-U : On ne clcule que L et U qu une seule fos

33 METHODES ITERATIVES (Relton) Pour les très grosses mtrces on préférer les méthodes tértves : Elle convergent vers l soluton progressvement: Idée : Résoudre une équton du type : F()X Avec une sute du type : X k F(X k ) S X n est ps trop lon de l soluton, on X k converger vers l bonne vleur de X. Comment trnsformer : AXB en un équton du type XF(X)? Où F est une opérton lnére??

34 Idée : Décomposer A M-N Alors AXB (M-N)X B MXNXB XM - N X M - B P X C F() Donc s on rrve à trouver une décomposton de A vec une mtrce M fclement nversble, lors on peut mettre en mrche un lgorthme tértf du type : X k P X k C

35 Décomposton E, D, F : dée : prendre pour M une smple mtrce dgonle D Donc A D-(EF) MD et NEF

36 Dns ce cs M - D - L formule de récurrence : X k M - N X k M - B S écrt : Où les k sont les composntes du vecteur X k C est l méthode de Jcob

37 Méthode de Guss Sedel : Converge plus rpdement. On s nspre du clcul de Jcob Ms on ft l premère somme sur les coeffs déjà clculés de l étpe k C converge plus vte, ms dffclement prrlélsble A dot être à «domnnte dgonle».e ABS( dgonle )sot être > somme des v.bs des élements sur l lgne pour être sûr de l convergence.

38 Nous vons vu fmlles de méthodes : -Les méthodes ectes, type pvot de Guss Précses, peu rpdes, sensbles u fluctutons - Les méthodes tértves (ou dtes de «relton») Mons précses, plus rpdes, plus stbles Ms l est prfos dffcle de prédre s elles convergent Plus on ft d tértons, plus l méthode est précse.. L mtrce dot être à dgonle domnnte

39 Interpoltons et Etrpoltons de fonctons Le problème : On un ensemble de n ponts :. X n- et pour chque pont on connît l vleur d une foncton f nconnue (à-pror): f( ). f( n- ) (rem :les f( ) seront uss notés f ) Queston : Quelle est l vleur de f sur les ponts ntermédre? * Pour cel on dot supposer un modèle mthémtque de f (polynome, somme de snus etc ) * On dot uss svor : ) Les f( ) sont-elles des vleurs ectes ) Les f( ) sont-elles des vleurs pprochées (e : pts de mesure)?

40 DONC : l n y ps de mnère «déle» d nterpoler/etrpoler une foncton cr on besons d hypothèses sur f. Dfférentes hypothèses donneront des nterpoltons/etrpoltons dfférentes eh ou Donc ce ser à nous de svor, en fonctons de l physque du problème, quelle est l melleur hypothèse sur l forme de f à effectuer. S les f( ) sont des vleurs ectes on fer une décomposton sur une bse de fonctons (des polynômes le plus souvent) S les f() sont des vleurs pprochées on esser d dpter (de ftter en ngls) un modèle mthémtque u ponts de de mesure.

41 Les f( ) sont des vleurs ectes : Décomposton sur une bse de fonctons On suppose que f est l combnson lnére d une fmlle de fonctons ϕ f ( ) ϕ ( ) f est toujours défne sur un domne : [ mn, m ] er queston : que chosr comme bse ϕ? ème queston : Comment clculer les? Remrque : prfos on ps beson de connître les eplctement, Certns lgorthmes fournssent les, d utres donnent drectement le résultt f( )

42 . Décomposton polynomle Supposons que f est polynomle. Avec N ponts on peut construre un polynôme d ordre N- qu trverser les N ponts : N On suppose : f ( ) Pour clculer les coeffcents On n équtons à n nconnues : Les nconnues sont les coeffcents Et les n équtons sont : f( )f où les f sont les vleurs de f u ponts. > Cel peut s écrre mtrcellement

43 n n n n n n n n n n n n n n f f f f f N équtons lnéres à N nconnues. Les sont les nconnues Les j sont les coeffcents M A f Pour trouver A l sufft de clculer : A M - f > Il fut donc nverser une mtrce de N ponts cette méthode est ntéressnte, mrche ms elle est coûteuse temps de clcul Cr souvent on ps beson connître les Seul f() nous nteresse

44 . Décomposton en polynômes de Lgrnge Pour clculer une décomposton polynomle sns clculer les on peut utlser les polynômes de Lgrnge : f ( ) N l ( ) : coeffcents f( ) em polynôme de Lgrnge l ( ) ( ) n j j, j ( j ) Les L () sont des polynômes d ordre n- : ~ produts de (- j ) pour j dfférent de

45 Eemple : X [,, 4, 6] et F [, 4,, 4] Clculer les polynomes de Lgrnge.

46 On donc un polynôme d ordre. Les polynomes de Lgrnge sont une méthode rpde de clculer des ponts sur l courbes sns vor à clculer eplctement les coeffcents S on peu de ponts à clculer c est nteressnt S l y en beucoup, l est plus ntéressnt de clculer les coeffcents (mons de clculs à effectuer).

47 On vot que les méthodes polynomles dvergent toujours à l nfn : Ps un problème pour l nterpolton s N est fble Peut être un problème pour l etrpolton Ms c est une méthode : INSTABLE Autre eemple vec 5 ponts

48 On nterpole ces 5 ponts vec un polynome d odre 49

49 Notre polynôme psse ben pr tous les ponts ms entre ces ponts Il des vrtons IMPORTANTES (c : ou!!!!) > TRES INSTABLE qund on beucoup de ponts

50 Autre eemple (mons suvge) Interpolton pr polynômes de Lgrnge

51 L nterpolton polynomle ne dot-être utlsée que : -S on peu de ponts (mons de ) -S on est sur que les f sont des vleurs EXACTES (ps de pts de mesure) Pour résoudre ce problème d nstblté en conservnt un pproche polynomle : Méthode smple : Ne ps utlser tous les ponts, ms seulement les vosns pont : F est constnte pr morceu (ms dscontnue) ponts : F est ffne pr morceu (ms de non dérvble, clsse C ) ponts : F est prbolque pr morceu (dérvble fos, clsse C ) Etc

52 pont : constntes pr morceu ponts : ffne pr morceu ponts : Prbolque pr morceu Ces méthodes sont plutôt stbles souvent très utles ms ont de muvses proprétés de dérvbltés

53 Pour les clculer : On utlse les polynômes de Legendre. On veut clculer f() en utlsnt les p plus proches vosns : X j X jp On lors : j < < X jp pt f ( ) jp jp ( j j j, j ( ) j j ) pt pt

54 Dns le cs pont : F()f( p ) (X P est le pt mmédtement nféreur à X) Dns le cs à ponts : f ( p) ( ) ( f ( p) f ( p)) ( ) p p ( p, F( p ) ) ( p, F( p ) ) Smple nterpolton lnére Une méthode d nterpolton populre s ppelle «CUBIC SPLINE», elle utlse 4 ponts > F est de clsse C (polynome d odre )

55 Interpolton prbolque ( vosns). Interpolton lnére ( vosns)

56 Les nterpoltons polynomles sont smples à progrmmer MAIS Elles sont dngereusement nstbles. Plus l ordre est élevé plus l nstblté ser grnde. > Il fut préférer les nterpoltons qu se bsent sur les ou vosns (ordre fble) Il este encore d utres méthodes d nterpolton ectes : On peut uss décomposer en frctons rtonnelles f p p p... n n ( ) n q q q... qn p Les nconnues sont les p et les q. Les frctons rtonnelles sont mons nstbles que les polynomes ms mons fcles à coder. Elles peuvent modélser des fonctons vec des pôles (complees) etc Pour plus d nfo, lre «Numercl Recpes»

57 Les f( ) sont des vleurs pprochées : Adptton d un modèle de fonctons Souvent en physque, on obtent des ponts de mesures f( ) u ponts : E : - tempérture d un solde en fct de l tempérture -Nombre d tomes rdo-ctfs en foncton du temps Etc. Eemple de mesure : Nb d tomes en foncton du temps S les f sont des ponts de mesures, ls sont soums à des erreurs, des fluctutons (on ppelle cel du brut) qu rend une nterpolton ecte INSTABLE et nvrblement FAUSSE!!

58 Dns ce genre de problème, typquement on veut trouver quelle est l melleure foncton mthémtque qu représente les données. > Elle ne psse ps ectement pr les ponts, ms elle s en pproche. On ppelle souvent cel «ftter» une foncton (en frnçs «dpter»). E : fre psser une gussenne pr des ponts

59 Ftter un nuge de ponts pr une drote (Régresson lnére) Ftter un nuge pr une eponentelle (decrossnce rdo-ctve) Etc

60 Le problème c n est donc ps d nterpoler MAIS De trouver le melleur modèle mthémtque qu représente les données. Donc nécessté d un modèle mthémtque à pror!!! Ce modèle ser chost en foncton : -Sot de l physque du problème -Sot de l «forme» des données epérmentles (Schez que «l œl humn» est un ecellent outl pour nlyser rpdement un ensemble de données ne jms néglger cel!!)

61 On se chost donc un modèle mthémtque : C est un ensemble de fonctons qu dépendent d un ou pluseurs prmètres. EXEMPLES: modèles YXB Y e b Y cos (ω ϕ) descrpton Régresson lnére eponentelle Snus/Cosnus prmètres et b et b, ω, ϕ Etc Mons on de prmètres lbres, plus robuste ser le modèle (mons sujet u nstbltés), ms le ft ser plus dffcle

62 L objectf n est PAS de reprodure tous les ponts ectement (s c est le cs, cf. Cours sur l nterpolton) L objectf EST de trouver l foncton qu psse u plus prés des ponts de mesure : > Mnmser l dstnce entre chque pont de l foncton et chque pts de mesure EXEMPLES

63 On dot donc se donner une MESURE de l dstnce entre les ponts et l foncton. On peut en mgner de nombreuses. Une mesure cournte : MOINDRES CARRES (h, χ ) * ( y y, b, c.. ( )) χ (, b, c,...) Δ tt les pts Y * pt de mesure numéro (bsce ) Y,b,c.. ( ) Modèle (qu dépend des prmètres,b,c..) u pont Δ ncerttude de mesure sur le pont Donc le problème consste à trouver les prmètres,b,c etc qu mnmsent le Xh En clr le h c est : l somme des crrés des erreurs

64 Consdérons cet ensemble de mesures Y * pour n A l œl on vot que c est l foncton constnte Y() On v utlser un modèle à prmètre : Y() Quelle est l melleure vleur de?

65 Ic nous vons trcé l vleur du XHI en foncton du prmètre Nous voyons que le XHI est mnmsé pour C est un eemple smple à dmenson ( prmètre) En prtque souvent on utlse ou prmètres.. Mnmston en pluseurs dmensons Notez que l vleur du XHI nous donne une estmton de l qulté du ft.

66 Nous vons donc beson d un lgorthme de mnmston pour trouver le melleur ensemble de prmètres {,b,c } qu mnmse le XHI. Nous verrons de tels lgorthmes plus trd dns le cours. CEPENDANT Pour le cs d une régresson lnére (ft pr une drote, YXb) l este un lgorthme smple et nlytque qu donne drectement l melleure vleur de et b ( prmètres) u sens des mondres crrés. Cette méthode peut-être générlsée pour des fonctons polynomles : Y X X n X n

67 Etude du XHI Δ les pts tt..,, * )) ( (,...),, ( c b y y c b χ Le XHI est une foncton des prmètres,b,c, notés mntennt :,, n S le XHI est mnml u pont (*,, * n ) lors toutes les dérvées prtelle s nnulent à ce pont là.... * * * * * *,..,,..,,.., n n n n χ χ χ

68 Δ Δ tt lespts lespts tt *..,, * ) ( )) ( (,...),, ( c b y y y y c b χ... * * * * * *,..,,..,,.., n n n n χ χ χ L dstnce,..,... n p p p n n y y n L foncton. On cherche l melleure combnson de pour mnmser l dstnce On dot lors résoudre smultnement les n équtons

69 ( ) Δ Δ Δ Np n p p p k k k Np pts n p p p y y y y c b * : * * ) (,...),, ( χ χ χ les pts tt Où les (,, y * ) sont les ponts de mesure Et les (,, y ) sont les ponts de l foncton «modèle»!! Attenton u ndces : k : numéro de l vrble que l on dérve p: coeffcent p du polynome : numéro du pont de mesure

70 ( ) Δ Δ Δ Δ Δ Np N N N k n k n n k k Np n p p p k k p p p y y * *...

71 Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ pts n pts pts n n pts n n pts n n pts n pts n pts pts pts n pts y y y n /... / / /... / / /... / ) / ( On obtent donc le système lnre, pour k, n- M A Y > AM - Y

72 CAS PARTICULIER : Régresson lnére Y X, donc n et k, Et on pose Δ (même ncerttude de mesure sur tous les ponts) Ordre du polynôme

73 L Vleur du XHI est nteressnte : elle donne une ndcton sur l qulté du ft : Dstnce moyenne ~ (XHI/n ponts) / en untés de Δ > Ft «dél» : XHI~n ponts (chque ponts est «ftté en moyenne à Δ) S XHI >> n ponts : muvs ft ou brres d erreur surestmées S XHI << n ponts : trop bon ft : Vous vez sûrement surestme les brres d erreurs SOUVENT, qund on beson rpdement d un ft, on met toutes les brres Ms dns ce cs on ps d estmton robuste de l qulté du ft

74 Eemple : Ft pr une drote Ic tous les Δ.5 Vleur du χ 5. L devton moyenne est ~ sqrt(5./n ponts) ~. Delt

75 Eemple : Ft pr une drote vec un pont berrnt Δ.5 pour tous les pts L drote été «trée» vers le bs XHI4 >> nb de pts Muvs ft Soluton?? En ft l brre d erreur sur le derner pt peut etre plcée à beucoup plus, dsons Δ. pour ce pts, et.5 pour les utres

76 Δ.5 pour tous les pts et Δ pour le pt bérrnt On retrouve une soluton cceptble XHI (Ok) Concluson: même s souvent on ouble de consdérer les brres d erreur de mesure peut être très utle pour s ssurer de l qulté du ft

77 Eemple : Ft pr une foncton eponentelle : Y e b les pts de mesure (, y * ) On utlse l regresson lnére sur le LOG des ponts cr : S les (, y *) sont représentbles pr Y e b > Les (, Ln(y *) ) sont représentbles pr Y Ln() b X ( c est une drote) > Y LOG(Y)

78 En résumé: Ftes ttenton qund vous clculez un ft : yez toujours une estmton de s qulté en consdérnt l vleur du XHI. Pour cel vous devez toujours connître l qulté de vos ponts de mesure (brre d erreur). S votre modèle de foncton est polynoml, vous pouvez trouver de mnère nlytque l melleure soluton en pssnt pr une smple nverson de mtrce. S vous voulez ftter pr une foncton plus complquée Il fudr fre une VRAIE mnmston du XHI vec un lgorthme de mnmston tértf (Amoeb, Smple etc ) plus trd dns le cours

79 Les générteurs de nombres pseudo-létores

80 Pour beucoup d pplctons en physque et en mthémtque l est utle (vore nécessre) d vor un générteur de nombres létores : Eemples : Smulton d une source rdoctve Smulton du mouvement brownen Estmton d une ntégrle complee en N dmensons (N>) Smulton d un gz Etc On ne peut PAS réellement créer des nombres létores de mnère lgorthmque cr tous les outls sont détérmnstes. Nous construrons des séres de nombres que nous qulferont de «pseudo-létores» s elles répondent à certnes tests sttstques.e s elle les mêmes proprété sttstque qu une vre sére létore. Toutes les séres pseudo-létores dépendent d un chffre, ppelé «grîne» («seed» ). On pourr regénéer l même sére de chffre en prtnt de l même «grîne»> reproductblté de l sére (ndspensble pour tester les progrmmes)

81 DISTRIBUTION UNIFORMES Dns de nombreu lngges de progrmmton, des générteurs de nombres pseudo-létores sont mplémentés. Il s ppellent souvent : RAN, RANDOM, RANDOMU etc Un ppel typque : XRANDOM(seed) où seed est un nombre ppelé «grîne» L mjorté des fonctons RANDOM sont ppelé : Générteurs congruentels Se sont des séres du type : U j U j (mod m) Ou U U c (mod m) j j

82 U j U j (mod m) Ou U U c (mod m) j j m grnd nombre ~ mmum représentble pr l mchne (~ 4. 9 ) U grne, c : prmètres du générteur Donc une sére de nombres pseudo-létores est une sute de chffre clculés tértvement, vec U grne. Donc s on utlse l même grîne > on obtent l même sute L «qulté» de l sute dépend d un cho Judceu de et de c. Certns couples (,c) sont connus pour être bons, d utres muvs.

83 Eemple : U j U j c (mod M) Avec 47, b5, m6556 S on veut une sére entre et on dvse pr m Ps ml comme résultt ms s on tre 5 nombres les pb pprssent :

84 Trge de mllon de chffres pseudo-létores On vot clrement pprître des «corréltons» entre les nombres, Pérode tous les ~ 65

85 Même générteur, ms vec m 6 > des corréltons estent toujours MAIS plus longues : tous les 6 typquement

86 Donc l fut ben chosr les vleurs de, c et m Il en este beucoup dns l lttérture U j (U j c) mod (m)

87 Les générteurs congruentels sont fcles à coder et rpdes (mportnt s on beson de 9 nombres pr eemples) MAIS Ils fnssent toujours pr se répéter (.e modulo m), les corréltons sont névtbles Donc l fut jms utlser des séres de N nombres où N est comprble à m Il fut svor uss que le «hsrd» est toujours plus mportnt sur les premères décmles (essyez pour vor)> S vous vez beson de nombres létores, Trez en, et NE FAITES PAS «je csse le nombre en pluseurs bouts pour en fre deu»

88 Un générteur reltvement smple et performnt est : A M C Pour 6 chffres ç à l r OK

89 Trge entre et Vleurs théorques : <X>.5 Vrnce (Sgm^)./..8 A l vue des premers moments notre dstrbuton est ssez fdèlement unforme..

90 Pour dmnuer encore les corréltons, dverses technques estent, Pr eemple on tre u hsrd «l ndce» du chffre numéro j («shufflng») On peut uss utlser des sutes de Fboncc (demndent de mémore) U j (U j- bu J- c) mod (m) etc Les générteurs congruentels permettent de trer une sére de nombre vec un dstrbuton ~ unforme entre et m- S vous vez beson d une sére entre et, dvsez les résultt pr m.

91 EN PRATIQUE On préférer utlser des lgorthmes préprogrmmés en SE RENSEIGNANT sur leur robustesse!!! Trez u hsrd 7 chffres et ffchez le résultt déjà à l œl vous urez une dée s l y des corréltons évdentes ou non Méfez vous s vous vez beson d une LONGUE séquence ROBUSTE.. Des corréltons cchées peuvent vrment ffecter l vldté de votre résultt!! ENFIN S vous voulez du VRAI hsrd, c est possble.. Sur le web!! Où vous urez des séres VRAIMENT létores, trées de systèmes physques

92 Fbrcton de sutes pseudo-létores non-unformes Nous svons fbrquer une dstrbuton unforme entre et b : Ms de nombreu problèmes nécesstent des dstrbutons non-unformes : eemples b p ) ( ) ( ) ( σ μ π σ e p Gussenne (Normle)! ) ( e p λ λ Posson ) ( ) ( p π Cuchy / Lorentzenne ) ( σ σ e p Rleygh etc. P() densté de probblté

93 Problème : Nous voulons générer une sére de N ponts pseudo-létores qu sont dstrbués suvnt une densté de probblté p() Pour cel nous llons utlser un théorème fondmentl de trnsformton des los de probbltés : Prélmnres : On consdère une sére de nombre létores entre et b p() d est l probblté qu un nombre sot entre et d b p ) d ( «l probblté d être dns le domne de défnton [,b] est égle à» (Normlston) On défnt C() l dstrbuton cumulée : Probblté d être < : C ) p( ) d ( On donc C(b) Eemple : p()/(b-) > c() (-)/(b-)

94 Trnsformons les probbltés : On consdère une sére de nombre { } dstrbués unforméments On consdère mntennt l sére des { y } où y f( ) est une foncton bjectve sur [,b Les { y } sont uss noté les { f( )} Connssnt p() nous voulons connître l dstrbuton p(y) des {y } Sot Y - (y) p(y) dy p() d p( y) p( ) Avec f - (y) d dy Eemple : Prenons y-ln(), et p(). entre et Alors : P(y)p()* d/dy vec -/ddy > d/dy-/ P(y). / or e -y p(y)e y Dstrbuton eponentelle!!!

95 Eemple : { }{5.74e-5,.965,.9,.6,.6,.,.85,.94,.9,.7,.44667,.} > {y }{9.76,.47,.466, 4.54,.,.6455,.99,.67,.8,.574,.87 } { } dstrb. unforme > { -ln( )} : dstrb. eponentelle entre et

96 [ ] dy y df y f p y p y f dy d p y p ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( où Donc en utlsnt l formule de trnsformton des dstrbutons On peut trnsformer notre dstrbuton unforme en n mporte quelle utre dstrbuton Sous réserve que l on pusse clculer d/dy et f - (ce qu n est ps toujours les cs..)

97 De mnère plus prtque : On peut utlser fre ntervenr l dstrb. cumultve Supposons que nous voulns obtenr une dstrbuton p(y) à prtr de nombres unformément { } dstrbués entre et, p(). Comme l dstrb. Cumultve C( y) y ynf p( y) dy S on pose : yf ()C - () <> f - (y)c(y) Alors : p( y) p( y) p( y) p [ ( )] f y p( ) d dy dc / d df ( y) dy <> dc dy <> p( y)

98 EN PRATIQUE : Sot une sére de nombres {} unformément dstrbués entre et On veut construre une dstrbuton {y } qu sut l los p(y) Sot P(y) l dstrbuton cumultve : p( y) y ynf p( y) dy On clcule lors y P - ( ) Les y ont l bonne dstrbuton

99 Eemple : p( y) π ( y rctn( y) > C( y) π > C ( ) tn( π π / ) ) Lorentzenne On clcule des {} dstrbués unformément > On clcule les y C - ( ) qu seront dstrbués selon une Lorentzenne

100 >

101 Approche Grphque: Sot C l dstrbuton cumultve de p P() Gussenne Eemple de l Gussenne Ms ttenton l y ur un pett problème

102 On prend des ponts { } dstrbués unformément entre - et Sur l e de X on obtent les ponts {Y } dstrbués selon une gussenne Grphquement cel mrche ben, ms nlytquement problème!

103 Tout cel est très ben ms pour de nombreuses fonctons on ne st ps clculer C - () Eemple : Pour l Gussenne : ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( y ERF dy e y C e y p y y y > σ μ σ μ π σ π σ Où Erf est l foncton «Erreur» Non nlytque donc non nversble nlytquement

104 Autre eemple : Dstrbuton Gmm: p( ) e Γ( ) On n ps d epresson de C() nlytque encore mons de C - Etc

105 Dns d utres cs, on connît C ms on n est ps cpble de clculer C - Eemple C() X X X. N X N On polynôme d ordre elevé (> 5) n est ps nlytquement nversble Et même un polynôme d ordre est dffclement nversble Dns ces deu cs là on utlser une méthode de REJECTION Que nous n étuderons ps cette nnée

106 Pour le cs prtculer de l dstrbuton Gussenne, l este un lgorthme cournt qu genère deu vrbles létores.* Méthode de : Bo-Muller Soent et deu vrbles unformes entre et Consdérons les trnsformton suvntes : y y ln( ln( ) cos(π ) sn(π ) ) On peut montrer que Y et Y sont dstrbués selon un dstrbuton gussenne de vrnce > L norme uss : (Y Y ) / > utle s on beson d un seul chffre

107 INTEGRATION MONTE-CARLO Les nombres létores servent uss à ntégrer des fonctons. L ntégrton «Monte Crlo» est en générl ntéressnte pour une ntégrle mult-dmensonnelle (N>~) Idée de bse : S on tre N ponts u hsrd le nombre de ponts sous l courbe est proportonnelle à l re de celle -c AAre de l bote Y f X

108 AAre de l bote Y f X L ntégrle de f à l ntéreure de l bote (entre X mn et X m ) est X X m mn f N F ( ) d N sous totl A

109 En ft l ntégrton Monté Crlo est uss ntéressnte s le domne d ntégrton est dffcle à clculer (l foncton peut-être très smple): Eemple : z y ( ) y F() On veut clculer le volume : V v ddydz

110 On peut donc consdérer un volume smple qu entoure le morceu de tore et compter le nombre de ponts qu tombent à l ntéreure MAIS cette méthode est très neffcce : l fudr trer beucoup de ponts pour converger vers le résultt Voc une méthode plus effcce : On veut Clculer I f ( ) d A Sur un domne complqué A, et d sont mult-dmensonnels On se donne un domne plus smple, D qu englobe A Sot V le volume de D

111 A d f I ) ( On réécrt l ntégrle : Comme : A s A s ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( g g où d g f d f I D A Que l on peut encore réécrre : D D Vd g f V d g f I ) ( ) ( ) ( ) ( Où V est le volume du domne D.

112 Pourquo cette trnsformton? Écrt sous cette forme : I f ( ) d f ( ) g( ) Vd A V D On vot que I est l vleur moyenne de h()f()g()v sur le domne D Donc mntennt s { } sont des ponts unformément dstrbués dns D Alors V I h( ) N N f ( ) g( ) Volà un lgorthme qu converge beucoup plus rpdement que de trer des ponts sous l courbe. CEPENDANT : pour le clcule de g(), on dot toujours tester s pprtent u domne

113 Eemple : Intégrons f()cos() sur l ntervlle - Le résultt ecte est :

114 I V N f ( ) g( ) V longueur de l ntervlle : g() s on tre unquement des ponts entre et F()cos() L erreur sur le résultt dmnue vec le nb de ponts

115 Voc l erreur sur le résultt en foncton du nombre de ponts trés On peut montrer que souvent, l erreur décrot en N Donc pour vor une erreur fos plus fble, l fut 4 fos plus de ponts!!! > pour 5 ponts l erreur (reltve) est envron.5 pour vor une erreur de seulement.5 l fut envron ponts Et pour erreur~. l ft envron 8 ponts..

116 En concluson : L ntégrton pr méthode Monte-Crlo permet d ntégrer des fonctons -Complees - Sur des domnes complquées - A pluseurs dmensons.