I) CAS D UN PROBLEME DE MAXIMISATION

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1 CHAPITRE I : FORMULATION D UN PROGRAMME LINEAIRE ET RESOLUTION GRAPHIQUE I) CAS D UN PROBLEME DE MAXIMISATION ) Enoncé d un problème M. KORE est un artisan installé à KOUMASSI. Il fabrique deux types de bracelets en or et en argent décorés de diamants. Le type A est destiné aux hommes et le type B est destiné aux femmes. Un bracelet de type A doit contenir 0g d or, 0g d argent et décoré de 0 éclats de diamant. Un bracelet de type B doit contenir 0g d or, 50g d argent et 40 éclats de diamant. Pour cet ouvrage, l artisan reçoit par semaine, une matière première composée de 07g d or, 600g d argent et 450 éclats de diamant. Il ne dispose que de 46 heures de travail par semaine. Un bracelet de type A lui demande 3 heures de travail, tandis qu un bracelet de type B demande heures. Par ailleurs, si la vente des bracelets des dames ne pose pas de problème, celle des bracelets des hommes est estimée à un maximum de bracelets par semaine. Enfin, l artisan est rémunéré à 5000F pour un bracelet de type A confectionné et à 6750F pour un bracelet de type B confectionné. L artisan souhaite maximiser son revenu. ) Mise en équations Activité préparatoire Les programmes de production et de ventes hebdomadaires suivants sont ils réalisables? justifier votre réponse. - 4 bracelets A et 5 bracelets B - 3 bracelets A et 7 bracelets B - 9 bracelets A et 3 bracelets Pour chacun des programmes réalisables, déterminer la quantité d or, d argent, de diamant utilisée ainsi que le temps de travail utilisé et le nombre de bracelets A produits et vendus. Déterminer aussi pour ces programmes de production, les quantités de ces facteurs de production restantes. Toujours pour ces programmes de production réalisables, déterminer le revenu total de M. KORE. Quel est alors le meilleur programme pour lui? Justifier votre réponse.

2 Désignons par x et par x respectivement le nombre de bracelets A et le nombre de bracelets B que M. KORE va fabriquer par semaine. Exprimer en fonction de x et x, les quantités d or, d argent, de diamant et d heures de travail utilisées, ainsi que le revenu total de M.KORE. Quelles relations doivent vérifier ces quantités pour que le programme soit réalisable? formulation mathématique a- Choix des variables Soit x le nombre de bracelets de type A à fabriquer par semaine Soit x le nombre de bracelets de type B à fabriquer par semaine. b- Détermination des contraintes - signe : Il est clair que ces deux nombres ne peuvent être négatifs. Donc, x 0 et x 0 - disponibilité de l or ( quantité utilisée est inférieure ou égale à quantité disponible) On a : 0 x 0 x 07 - disponibilité de l argent On a : 0 x 50 x disponibilité diamant On a : 0 x 40 x disponibilité d heures de travail On a : 3x x 46 -vente des bracelets de type A ( quantité à produire inférieure ou égale à quantité qu on peut vendre) On a : x c- Détermination de la fonction économique Ici, l artisan veut maximiser son revenu. Ce revenu résultant de la production et la vente de x bracelets de type A et x bracelets de type B est : Z 5000 x 6750 x On écrit alors : Z (max) 5000 x 6750 x

3 d- Forme canonique du programme linéaire x 0x 3x 0x 0x x 0; x Z(max) 0x x 50x 40x x 6750x 3

4 II) CAS D UN PROBLEME DE MINIMISATION ) Enoncé d un problème L entreprise OURAGAN est désignée pour construire le grand marché de la ville de YAMOUSSOUKRO. Pour répondre aux exigences des travaux, elle a besoin d au moins 50 tonnes de ciment, 300 bottes de fer et 40 tonnes de peinture. Elle veut faire alors appel à deux sociétés spécialisées dans le transport pour acheminer d ABIDJAN à YAMOUSSOUKRO ces éléments. Il s agit des sociétés KT et TT. Chaque camion de la société KT peut transporter 3 tonnes de ciment, 0 bottes de fer et tonne de peinture. Chaque camion de la société TT peut transporter 5 tonnes de ciment, 6 bottes de fer et tonne de peinture. La location de ces camions coûte 75000F et 00000F respectivement pour un camion de KT et pour un camion de TT. L entreprise souhaite acheminer ces éléments sur YAMOUSSOUKRO au moindre coût. ) Mise en équations Activité préparatoire Pour chacun des programmes de location suivants, combien de tonnes de ciment, de bottes de fer et de tonnes peinture arriveront à YAMOUSSOUKRO - 30 camions de KT et 6 camions de TT - 0 camions de KT et 8 camions de TT - 5 camions de KT et 8 camions de TT. L entreprise peut-elle construire le marché pour chacun de ces programmes de location? justifier votre réponse. Pour chacun des programmes qui réalisent la construction du marché, déterminer la quantité de ciment, de fer, et de peinture transportées en surplus. Pour chacun des programmes qui réalisent la construction du marché, déterminer les frais de location supportés par l entreprise. Quel est alors le meilleur programme? justifier. Désignons par xet par x respectivement le nombre de camions de KT et le nombre de camions de TT à solliciter par l entreprise. Exprimer en fonction de x et x la quantité de ciment, de fer et de peinture transportée, ainsi que le coût total de transport. 4

5 Quelles relations doivent vérifier ces quantités pour que la construction du marché soit possible? EXERCICE DE MAISON Le district d Abidjan décide de rénover ses jardins publiques. Pour cela, il aura besoin de 600 plans de lauriers, 600 pieds de rosiers et 500 pieds de ficus. Sur le marché, deux fleuristes proposent ces plants mais par lots. Le premier fleuriste propose son lot (A) comprenant 5 rosiers, 0 lauriers et 5 ficus à 4000F ; le second fleuriste propose son lot (B) comprenant 5 rosiers, 0 lauriers et 5 ficus à 3000 F. Le district souhaite connaître le nombre de lots à acheter à chaque fleuriste, pour que la rénovation soit la plus économique possible. Donner le programme linéaire relatif à ce problème. 5