Chapitre I Rappels de mécanique et d'électromagnétisme classiques. I. Etat dynamique d'un système

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1 Chapite I Rappels de mécanique et d'électomagnétisme classiques Ce chapite a pou but de appele quelques notions physiques impotantes pou la compéhension de la stuctue de la matièe et de la stabilité des édifices atomiques et moléculaies. Bien que l'on puisse monte que la physique classique ne peut ende compte coectement de l'existence des atomes et des molécules, elle este poteuse de concepts utiles qui pemettent de pose les poblèmes physiques en les fomalisant dans un langage mathématique. Nous nous attacheons donc à défini des notions impotantes telles que celles d'état dynamique, de gandeus physiques (énegie potentielle et énegie cinétique pa exemple), ainsi que l'équation fondamentale de la dynamique classique ; nous monteons pouquoi ces notions sont essentielles pou compende comment des paticules peuvent este liées ensemble et fome des atomes ou des molécules. I. Etat dynamique d'un système I.1. Définition En mécanique classique, l'état dynamique d'un système de paticules est défini pa l'expession de leus positions et de leus quantités de mouvement (les vaiables dynamiques) en fonction du temps. Dans un epèe catésien, chaque paticule (indicée pa la lette i) est donc epéée pa la donnée de 6 vaiables fonctions du temps : xi (t), yi (t), zi (t), pxi (t), pyi (t), pzi (t) Cet ensemble de elations définit la tajectoie du système de paticules au cous du temps et caactéise totalement son mouvement. C'est ce que l'on cheche à détemine en mécanique classique. I.2. Coodonnées sphéiques Dans le cas d'un poblème à foce centale, c'est-à-die quand la foce qui s'exece su le système ne dépend que de sa distance à un point fixe, (comme le mouvement d'une planète soumise au champ gavitationnel du soleil ou un électon soumis à l'attaction d'un noyau atomique), le choix des coodonnées catésiennes xi, yi et zi n'est pas judicieux : elles conduisent à des équations et une epésentation du mouvement top compliquées. On péfèe utilise les coodonnées sphéiques (, θ, φ) pemettant de simplifie ces équations et de visualise le mouvement de manièe plus simple : 3

2 II. Gandeus physiques II.1. Définition Oute les positions et vitesses (ou quantités de mouvement), on peut s'intéesse à d'autes gandeus telles que l'énegie cinétique T, l'énegie potentielle V, l'énegie totale E, ou le moment cinétique de chaque paticule : l =! p Ces gandeus sont des fonctions continues des vaiables dynamiques : elles vaient continuement au cous du temps (le long de la tajectoie). En mécanique classique toutes les valeus possibles de l'énegie sont accessibles et cette énegie peut s'échange continuement. II.2. Exemples - Enegie cinétique d'une paticule de masse m : T i 2 mv 2 i = p 2 i 2m Pou paticules, l'énegie cinétique totale est simplement la somme des énegies cinétiques individuelles. T = - Enegie potentielle d'inteaction coulombienne ente deux paticules :! Dans un atome constitué de paticules chagées, l'énegie d'inteaction ente ces paticules est de type coulombien ; elle dépend des chages des paticules et de la distance qui les sépae. Soient deux paticules i et j de chage qi et qj distantes de ij ; leu énegie d'inteaction est (en Joules) : V ij # q iq j ij #! 0 est la pemittivité du vide. T i q i q j ((x i $ x j ) 2 + (y i $ y j ) 2 + (z i $ z j ) 2 ) 1/2 Cette énegie potentielle dépend des positions des paticules i et j. Elle n'est donc pas caactéistique d'une seule paticule. L'énegie potentielle totale ne peut donc pas ête mise sous la fome d'une somme d'énegies potentielles individuelles. Ainsi l'énegie potentielle totale d'inteaction ente électons en obite autou d'un noyau se met sous la fome : 4

3 V = 5!! La sommation su j > i évite de compte deux fois la même inteaction. Dans le cas de l'inteaction ente un électon et un noyau atomique j beaucoup plus loud et lent, on peut considée ce denie comme fixe et le place à l'oigine des coodonnées (xj = yj = zj = 0). L'énegie potentielle d'attaction à laquelle est soumis l'électon i est alos : j>i V i # q i q j i # V ij q i q j ((x i ) 2 + (y i ) 2 + (z i ) 2 ) 1/2 Elle ne dépend plus des coodonnées du noyau et peut ête considéée comme une énegie potentielle pope à l'électon et due au champ "extene" du noyau. L'énegie potentielle totale d'inteaction de électons avec le noyau est alos : - Enegie totale : V =! L'énegie totale d'un ensemble de paticules est simplement la somme de l'énegie cinétique totale et de l'énegie potentielle totale. Dans le cas d'un atome neute composé de électons de chage e gavitant autou d'un noyau de chage +e (considéé comme fixe et placé à l'oigine des coodonnées), l'énegie totale s'écit : 1 E = T + V ee + V Me =! +!! $ e2 2m 4"# 0 II.3. Invaiant du mouvement p i 2 V i j>i ij! 1 4"# 0 $ e2 i Cetaines gandeus physiques se consevent au cous du mouvement. Elles sevent alos à caactéise le mouvement. On les appelle invaiants ou constantes du mouvement. Dans le cas où les foces déivent d'une énegie potentielle (système consevatif), il en est ainsi de l'énegie totale E : l'énegie totale d'un ensemble de paticules en inteaction est constante au cous du temps. Un aute invaiant du mouvement est le moment cinétique l =! p. C'est un vecteu de coodonnées : " l x = yp z! zp y $ # l y = zp x! xp z $ l z = xp y! yp x

4 Cette gandeu physique n'est cependant invaiante que dans le cas de foce centale. III - Equation fondamentale de la dynamique L'équation fondamentale de la mécanique, ou équation de Newton, pemet de détemine l'état dynamique et donc la tajectoie des paticules. III.1. Notion de foce Nous nous limiteons aux foces consevatives : pa définition, la foce consevative qui s'exece su une paticule i déive de l'énegie potentielle à laquelle est soumise cette paticule. F i =! " i V, soit su chaque axe : # F xi =! "V "xi $ F yi =! "V "yi F zi =! "V "zi Si l'énegie potentielle V dépend des coodonnées de plusieus paticules, il en est de même pou la foce. On dit alos que les mouvements de ces paticules sont couplés Une fois connues les positions, les vitesses et les foces à un instant donné, il est théoiquement possible de détemine exactement ces gandeus à n'impote quel instant gâce à l'équation de Newton. III.2. Equation de Newton Pou chaque paticule i, on définit une équation aux déivées patielles qui elie la foce à l'accéleation! i : F i =! "V " = m d v i i dt = m d 2 i = m # i soit pou chaque composante dans le epèe catésien : $ ' F xi =! "V = m d 2 x i "x i F yi =! "V = m d 2 y i "y i F zi =! "V = m d 2 z i "z i 6 = m# xi = m# yi = m# zi On obtient donc, si l'on veut décie N paticules, un ensemble de 3N équations difféentielles aux déivées patielles dont la ésolution (analytique ou numéique) nécessite la

5 donnée de conditions initiales pou les positions et les vitesses. S'il existe une énegie potentielle d'inteaction ente les paticules alos ces équations sont couplées : la foce qui s'exece su une paticule dépend de la position des autes paticules. Il s'en suit une complication mathématique insumontable qui fait qu'au delà de 2 paticules on est confonté au poblème à N cops : les équations mathématiques sont insolubles à cause de cette inteaction ente les paticules. On se contente le plus souvent de cheche des solutions appochées. Exemple : dans le cas de l'étude du système solaie, on néglige en pemièe appoximation l'inteaction gavitationnelle ente les planètes, qui est beaucoup plus faible que l'inteaction avec le soleil. On décit alos le mouvement de chaque planète indépendamment des autes dans le seul champ du soleil supposé fixe. Dans le cas de l'inteaction coulombienne, cette appoximation est délicate ca la épulsion ente les électons gavitant autou du noyau atomique est du même ode de gandeu que l'attaction du noyau. IV - Etats liés ou libes La compétition ente l'énegie cinétique et l'énegie potentielle est d'une impotance cuciale pou détemine si une paticule se déplace libement dans tout l'espace ou si au contaie elle este attachée à une potion seulement de l'espace. Dans le pemie cas on dit que la paticule est libe, dans le second, on dit qu'elle est dans un état lié ou liant. Exemple : Cas d'une paticule se déplaçant su un axe x'0x soumise à un "puits de potentiel caé" ente 0 et L. L'énegie potentielle pend la fome suivante : Si l'énegie cinétique initiale est non nulle et inféieue à la hauteu du puits, le système va évolue au cous du temps selon la ligne hoizontale (1). La tajectoie de la paticule est confinée ente les deux bods du puits de potentiel. La paticule est donc pisonnièe du segment [0, L]. On dit qu'elle est liée au segment. L'existence de ce "puits de potentiel" est à l'oigine de ce phénomène. Si au contaie l'énegie cinétique initiale est plus gande que la hauteu du puits, alos la tajectoie à énegie totale constante ne enconte jamais la coube d'énegie potentielle (ligne 2), et la paticule peut alos se déplace su l'axe x'ox. Elle n'est pas liée au segment et est dite libe. 7

6 V. Ondes électomagnétiques V.1. Notion d'onde A côté de la mécanique classique coexiste indépendamment la théoie de Maxwell de l'électomagnétisme. Dans ce cade, la lumièe visible ou invisible est décite pa une onde, c'est à die une oscillation du champ électomagnétique dans le temps et l'espace. Une onde électomagnétique est décite pa la donnée du champ électique E et du champ magnétique B comme fonctions de l'espace et du temps. La popagation de l'onde est décite pa les équations de Maxwell. Dans le vide, il suffit de ésoude pou chaque composante de E ou B (notée Ψ) :! 2 "!x +!2 " 2!y +!2 "! 2 " 2!z 2 c 2!t 2 La solution d'une telle équation est de la fome (pou une popagation suivant l'axe x) :! =! 0 expi( kx " #t) où k est le vecteu d'onde et ω la pulsation, liée à la féquence du ayonnement pa la elation : ω = 2πν. La longueu d'onde λ et le nombe d'onde! sont définis pa : V.2. Enegie électomagnétique! = 2" k = c # # Les ondes lumineuses tanspotent de l'énegie. L'énegie électomagnétique U disponible à un instant donné pa unité de volume est popotionnelle au caé du module du champ électique (on néglige le champ magnétique). Pou une onde plane se déplaçant dans le vide, on a : U =! 0 E 2 L'intensité lumineuse I est définie comme l'énegie tanspotée pa unité de temps à taves une unité de suface. Elle est popotionnelle à la moyenne tempoelle du caé du module du champ électique. Pou une onde plane se déplaçant dans le vide, l'intensité lumineuse s'expime pa la elation : I =! 0 c E 2 Dans cette fomule, le symbole signifie "moyenne tempoelle". 8

7 La conséquence de l'existence de cette énegie électomagnétique est que tout cops qui émet un ayonnement et donc ped de l'énegie sous fome électomagnétique doit en vetu du pincipe de consevation de l'énegie totale pede de l'énegie mécanique (cinétique ou potentielle). V.3. Inteféences lumineuses La popiéte d'inteféence est inhéente à tout phénomène ondulatoie. C'est en paticulie une manifestation typique du caactèe ondulatoie de la lumièe. L'inteféence se poduit losque l'on combine deux ondes. Appelons Ψ 1 et Ψ 2 les amplitudes de deux ondes se combinant. Dans le cas de la lumièe se popageant dans un milieu isotope, ces amplitudes sont des amplitudes de champ électique, ca ce denie est la gandeu physique vectoielle caactéistique de l'onde électomagnetique. D'apès le pincipe de supeposition, l'amplitude de l'onde ésultante est la somme des amplitudes Ψ 1 et Ψ 2 :! =! 1 +! 2 L'intensité ésultante est popotionnelle au caé de l'amplitude Ψ. En négligeant (pou simplifie les notations) la moyenne tempoelle, on a donc : I! " 2 = " " # " 1 " 2 Les intensités ne s'ajoutent pas et il appaaît un teme supplémentaie dit d'inteféence. Losque ce teme est négatif, il diminue l'intensité lumineuse globale ; l'inteféence est dite destuctive. Losqu'il est positif, l'intensité globale est plus impotante que la somme des intensités de Ψ 1 et Ψ 2 ; l'inteféence est dite contuctive. L'expéience illustative de cette popiété d'inteféences est celle des fentes de Young. Diffaction du ayonnement électomagnétique pa des tous d Young. En pointillé, l intensité I 1 (x) ou I 2 (x) du flux diffacté pa un tou unique. En tait plein, l intensité I(x) diffactée pa deux tous. 9