PREVIEW MÉCANIQUE CLASSIQUE. 1ère partie. EMTO - La physique enseignée. Exercices et problèmes corrigés.

Transcription

1 F EMTO - La physique enseignée MÉCANIQUE CLASSIQUE 1ère partie Exercices et problèmes corrigés par Jimmy Roussel Professeur agrégé de physique B 1 B 2! g

2 AVANT-PROPOS Ce recueil d exercices et problèmes corrigés est destiné aux étudiants du 1er cycle universitaire et à ceux des Classes Préparatoires des Grandes Écoles (CPGE). Dans cette première partie, on aborde les notions déjà rencontrées au lycée : vitesse, accélération, forces, lois de Newton, théorème de l énergie cinétique, énergie mécanique, oscillateurs. Chaque thème commence par quelques rappels de cours. Pour plus de détail, on renvoit le lecteur au site de l auteur : Les énoncés sont assortis d un niveau de difficulté allant d un astérisque à quatre. Bien que subjective, cette classification tente de suivre la règle suivante : * Exercice ou QCM évaluant l acquisition des connaissances. ** Exercice simple demandant un minimum de calcul et de formalisation. *** Exercice plus technique. **** Problème souvent inspiré des Concours aux Grandes Écoles demandant un esprit de synthèse et de recherche. Enfin, les solutions des exercices sont regroupés en fin d ouvrage. Un soin tout particulier a été fourni pour proposer des solutions entièrement rédigées. Précisons tout de même que chaque correction propose un exemple de traitement d un exercice lequel peut parfois se résoudre d une autre manière. En vous souhaitant bonne lecture. JIMMY ROUSSEL

3 Table des matières ÉNONCÉS 3 1 CINEMATIQUE 5 RÉSUMÉ DE COURS Ex. 1 Va et vient d une abeille **... 6 Ex. 2 Mouvement uniformément accéléré **... 6 Ex. 3 Poursuite **... 6 Ex. 4 La voyageuse en retard ***... 6 Ex. 5 Equation cartésienne **... 6 Ex. 6 Rotation uniforme **... 7 Ex. 7 Equation en coordonnées polaires ***... 7 Ex. 8 Rayon de courbure ***... 7 Ex. 9 Mouvement hélicoïdal ***... 7 Ex. 10 Slalom ***... 7 Ex. 11 Courbe de poursuite **** POSTULATS DE LA DYNAMIQUE 9 RÉSUMÉ DE COURS Ex. 12 Force magnétique ** Ex. 13 Mouvement circulaire *** Ex. 14 Descente en luge ** Ex. 15 Mesure d un coeficient de frottement dynamique ** Ex. 16 Mouvement d un bloc sur un papier *** Ex. 17 Système masse-poulie ** Ex. 18 Profondeur d un puits ** Ex. 19 Deux ressorts en équilibre ** Ex. 20 Le saut à l élastique *** Ex. 21 1ère balle ** Ex. 22 Vols paraboliques ** Ex. 23 Mesure de viscosité *** Ex. 24 Ressort tournant *** ÉNERGIES 15 RÉSUMÉ DE COURS Ex. 25 Travail d une force ** Ex. 26 Le toboggan *** Ex. 27 Mouvement d une particule sur une sphère *** Ex. 28 Pendule simple *** Ex. 29 Consommation d une voiture *** Ex. 30 Tir d un obus vers le zénith *** Ex. 31 Chute de la Terre sur le Soleil *** Ex. 32 Energie électrostatique du CO 2 ** Ex. 33 Énergie réticulaire d un cristal *** OSCILLATEURS 20 RÉSUMÉ DE COURS Ex. 34 Oscillations d une voiture ** Ex. 35 Oscillateur lancé ** Page 3/56

4 Ex. 36 Oscillations dans un tube en U *** Ex. 37 Pendule amorti *** Ex. 38 Oscillateur spatial *** Ex. 39 Modèle de liaison chimique *** Ex. 40 Phénomène de dilatation thermique ** Ex. 41 Oscillateur anharmonique *** PROBLÈMES INSPIRÉS DES CONCOURS 24 Ex. 42 Chute d une bille d acier **** Ex. 43 Freinage d une navette spatiale **** Ex. 44 Pendule simple amorti *** Ex. 45 Couplage de deux modes d un pendule élastique **** SOLUTIONS DES EXERCICES 28 Page 4/56

5 ÉNONCÉS DES EXERCICES

6 1 CINEMATIQUE RÉSUMÉ DE COURS Vitesse d un point! v M = d! r dt où! r =! OM est le vecteur position. Accélération d un point! a M = d! v M dt = d2! r dt 2 base cartésienne Un point M décrit par les coordonnées cartésiennes x(t), y(t) et z(t), possède une vitesse et une accélération données par! v M = ẋ! u x + ẏ! u y + ż! u z et! a M = ẍ! u x + ÿ! u y + ż! u z base polaire Un point M décrit par les coordonnées polaires r(t) et µ(t), possède une vitesse et une accélération données par! v M = ṙ! u r + r µ! uµ et! a M = ( r r µ2 )! u r + (r µ + 2ṙ µ)! uµ base de Frenêt Un point M décrivant une trajectoire C, présente une vitesse et une accélération! v M = ṡ! u et! a M = s! u + v2 où s(t) est l abscisse curviligne le long de la trajectoire,! u le vecteur unitaire local dirigé dans le sens positif et! u? le vecteur unitaire perpendiculaire à! u et dirigé vers le centre de courbure. R désigne le rayon de courbure. Mouvement rectiligne uniformément accéléré Mouvement rectiligne présentant une acélération a constante. L équation du mouvement s écrit R! u? v x = at+ v 0 et x = 1 2 at2 + v 0 t + x 0 Mouvement circulaire un point M se déplaçant sur un cercle de rayon R à la vitesse angulaire!, présente une vitesse et une accélération! v = R!! u et! d! a = R! u + R! 2! u? dt Page 6/56

7 Ex. 1 Va et vient d une abeille ** Deux cyclistes partent en même temps de deux points A et B distants de d = 20 km. Le cycliste C 1 part de A et rejoint B en ligne droite à la vitesse v c = 20 km.h 1 alors que le cycliste C 2 part de B pour rejoindre A en ligne droite à la même vitesse v c. Au moment du départ, une abeille, à la hauteur de C 1, se dirige à la vitesse v a = 40 km.h 1 vers C 2 puis, lorsqu elle arrive au niveau de C 2, change de sens et va vers C 1, ce processus se répétant jusqu à la rencontre des cyclistes. 1. Au bout de combien de temps les cyclistes se rencontrent? 2. Quelle est la distance parcourue par l abeille lorsque les cyclistes se rencontrent? Ex. 2 Mouvement uniformément accéléré ** Un véhicule se déplaçe en ligne droite avec une accélération constante a = 6 m.s 2. Déterminer le temps mis pour passer de 0 à 100 km.h 1 ainsi que la distance parcourue. Ex. 3 Poursuite ** Une voiture roule à la vitesse constante v 0 = 90 km.h 1 sur une route rectiligne ; un motard, qui démarre à t = 0 au moment où la voiture passe à sa hauteur, accélère uniformément. Il atteint une vitesse de 90 km.h 1 au bout de 10 s. 1. Quel temps T faudra-t-il au motard pour rattraper la voiture? 2. Quelle sera alors la distance d parcourue? 3. Quelle sera la vitesse v 1 acquise par le motard? Ex. 4 La voyageuse en retard *** Sur le quai d une gare, une voyageuse en retard court pour essayer de prendre son train à une vitesse constante v = 8 m.s 1. Le train démarre alors qu elle est encore à d = 100 m du dernier wagon. L accélération constante du train vaut a = 0,5m.s La voyageuse rejoindra-t-elle son train? Sinon, à quelle distance minimale s en trouvera-t-elle? 2. Reprendre la question 1. dans le cas où le démarrage du train a lieu lorsque le dernier wagon est à 40 m de la voyageuse. 3. Quelle devrait-être, à l instant du démarrage, la distance maximale entre le train et la voyageuse pour que celle-ci atteigne effectivement le dernier wagon? Ex. 5 Equation cartésienne ** Considérons le mouvement d un point du plan cartésien donné par l équation paramétrique suivante : ( x(t) = at C t 2 R y(t) = bt avec a et b des constantes. 1. Quelle courbe décrit le point M? Donner son équation. 2. Exprimer le vecteur vitesse ainsi que sa norme. Caractériser alors le mouvement. Page 7/56

8 3. Exprimer de deux manières différentes, la distance parcourue par le point M pendant une durée T. Ex. 6 Rotation uniforme ** 1. On met en rotation une roue de rayon R = 35 cm, autour de son axe. La roue fait alors 1 tour par seconde et le mouvement est supposé uniforme. On considère un point B situé à la périphérie de la roue. Calculer la vitesse et l accélération du point B. 2. Un avion engage un virage de rayon R = 600 m à vitesse uniforme. Déterminer la vitesse maximale sachant que l accélération ne doit pas dépasser a = 10g (g = 9,81 m.s 2 ). Ex. 7 Equation en coordonnées polaires *** Considérons le mouvement d un point M du plan donné par l équation paramétrique suivante dans le système polaire : ( r(t) = R C µ(t) = Æt 2 R et Æ étant des constantes positives. 1. Décrire la trajectoire. 2. Que vaut la vitesse scalaire v M? 3. Exprimer de deux façons différentes, la longueur d arc décrite par M entre les instants t = 0 et t = T. Ex. 8 Rayon de courbure *** Montrer que le rayon de courbure Ω en un point M d une trajectoire s obtient à l aide des vecteurs vitesse et accélération : v 3 Ω = k! v ^! avec v =k! v k a k Ex. 9 Mouvement hélicoïdal *** Dans un référentiel R muni d un repère cartésien, un point M décrit une courbe d équation paramétrique : 8 >< x = R cos(!t) y = R sin(!t) avec R, p et! trois constantes positives. >: z = p! 2º t 1. Décrire la trajectoire. Que représentent R, p et!? 2. Exprimer, dans la base cartésienne, les composantes des vecteurs vitesse et accélération. En déduire la norme de ces vecteurs. 3. Que vaut le rayon de courbure de la trajectoire au point M(t)? Commenter. Ex. 10 Slalom *** Lors d un test de stabilité, une voiture est astreinte à suivre une trajectoire sinusoïdale de slalom entre des plots espacés d une distance L. L amplitude du mouvement sinusoïdal est d = 3 m. Page 8/56

9 y! u y! ux L d x 1. Établir l équation y = f (x) de la trajectoire. 2. On impose à tout moment ẋ = 50 m.s 1. Quelle est la valeur maximale de l accélération? 3. Sachant que l on veut conserver une accélération a < 0,7 m.s 2, quelle doit être la distance L entre chaque plot? Ex. 11 Courbe de poursuite **** Quatre souris A, B, C et D se trouvent initialement aux quatre coins d un carré de côté 2a et de centre O. À t = 0, les coordonnées de A, B, C et D sont respectivement ( a, a), (a, a), (a, a) et ( a, a). Chaque souris court en direction de l autre avec la même vitesse constante v. A court après B, B après C, etc...la symétrie du problème implique que les 4 souris restent sur un carré d arête `(t) qui tourne autour de O. On repère la souris A par ses coordonnées polaires (r, µ). y A B r µ D O x C 1. Montrer que A décrite une spirale dont on donnera l équation paramétrique r = f (µ). 2. Calculer `(t). 3. Quelle distance chaque souris parcourra-t-elle avant de se rencontrer? Page 9/56

10 2 POSTULATS DE LA DYNAMIQUE RÉSUMÉ DE COURS Principe d inertie Dans un référentiel galiléen, un point matériel isolé (libre de toute influence extérieure) conserve sa quantité de mouvement. En conséquence, sa trajectoire est rectiligne uniforme. Principe fondamental de la dynamique Dans un référentiel galiléen R, un point matériel M soumis à une force! f voit sa quantité de mouvement varier d autant plus vite que la force est importante. L équation du mouvement est donnée par d! p M = m! a M =! f (1) dt Principe des actions réciproques Tout corps A exerçant une force sur un corps B, subit de la part de B une force d intensité égale, de même droite d action et de sens opposé. Autrement dit, les actions réciproques sont opposées et coaxiales. Théorème du centre d inertie Dans un référentiel R galiléen, le centre d inertie d un système matériel vérifie l équation m! a G =! F ext où! F ext désigne la résultante des forces extérieures. Frottements solide L action d un solide sur un autre présente une composant normale! N et une composante tangentielle! T, dite force de friction. S il y a adhérence, alors! T < µn. S il y a glissement, alors T = µn. où µ désigne le coefficient de frottement solide qui ne dépend que de la nature des corps en contact. Tension élastique La tension! T d un ressort élastique s écrit avec `0 la longueur au repos, ` sa longueur et k la constante de raideur.! T = k(` `0)! u (2) Page 10/56