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1 FICHE TD PREMIER PRINCIPE DE LA MECANIQUE CLASSIQUE EXERCICE N 1 Un sismographe est un appareil destiné à enregistrer les vibrations de la surface terrestre sous l action d un séisme. Son S g principe est représenté sur la figure ci-contre. Il est constitué d un h m ressort dont l extrémité supérieure S est fixée à un boîtier rigide qui sol repose sur le sol. Lorsque le sol est localement mis en mouvement O B sous l effet de secousses sismiques, le référentiel du boîtier est animé, par rapport au référentiel terrestre galiléen d un mouvement vertical représenté par la fonction B = o cos ( ). Le ressort est de masse négligeable, de raideur k et de longueur à vide L. Un point matériel M de masse m est fixée à l extrémité libre du ressort ; sa position est repérée par sa cote (t) sur l axe (O ) fixe par rapport au boîtier. L origine O de cet axe correspond à la position d équilibre du point matériel en l absence d onde sismique. 1) En l absence d onde sismique, le point M est immobile et =. Exprimer la longueur L eq du ressort en fonction de m, g, k et L. ) Lors des mouvements du sol sous l action d un séisme, la masse oscille verticalement, amortie par un frottement fluide sur l. Ce frottement est supposé proportionnel à la vitesse de la masse par rapport au sol, de coefficient. Montrer que l équation du mouvement de M dans le référentiel du boîtier peut se mettre sous la forme : d d d B. Exprimer τ et ω en fonction des données et donner leur d t d t d t signification. 3) En régime sinusoïdal forcé, (t) est de la forme : (t) = m cos( t + ). En utilisant la notation complexe, établir la fonction de transfert mécanique H. B

2 4) En supposant que τ ω = 1, montrer que la fonction de transfert peut s écrire : H B 1 1 j. En déduire le module ou gain du filtre G = H. 5) Examiner les cas limites ω >> ω et ω << ω? Commenter le comportement en fréquence du sismographe et préciser la nature du filtre. Dans quel cas, le mouvement relatif de M par rapport au boîtier, reproduit-il l amplitude de la secousse sismique? EXERCICE N Une bille de masse m, assimilée à un point matériel est lâchée à l'intérieur d'une demisphère de rayon R, sans vitesse initiale, dans la position indiquée par la figure. La position de la bille au cours du mouvement sera repérée par l angle que fait Om avec la verticale. On négligera les frottements. 1 ) Analyser les forces agissant sur la bille. ) En déduire l équation différentielle du mouvement en en appliquant le théorème du moment cinétique. 3 ) Résoudre cette équation différentielle dans le cas ou reste petit. 4 ) Que vaut la réaction de la demi-sphère sur la bille pour une position quelconque? On donnera le résultat en fonction de m, g, R, et sa dérivée. Pour quelle position la réaction est-elle minimale? EXERCICE N 3 Un bouchon de liège, homogène, de volume V, de forme cylindrique, flotte horiontalement à la surface de l de masse volumique. Il a pour longueur L et son rayon est égal à R.

3 La position du bouchon est repérée par l abscisse de son centre de gravité. L axe O est vertical et dirigé vers le haut. Le point O est au niv de la surface de l. On suppose que le bouchon garde toujours son axe horiontal au cours du mouvement. On négligera toute force de frottement due à la viscosité du liquide. L R Cas de l équilibre : vue de face Cas de l équilibre : vue de profil O Cas d une position quelconque : vue de face Cas d une position quelconque : vue de profil 1) A l équilibre, le bouchon est à moitié enfoncé dans l, l abscisse de son centre de gravité est donc nulle dans ce cas. Déterminer la masse volumique liège en fonction de. du bouchon de ) On étudie dans cette question les petites oscillations du bouchon de liège autour de sa position d équilibre. On se place donc dans le cas où est petit devant R ( << R). 3) Montrer que si << R, le volume V de bouchon immergé peut se mettre sous la forme i V V i a. où V est le volume total du bouchon et a une constante que l on exprimera en fonction des dimensions L et R du bouchon. 4) En appliquant la deuxième loi de Newton, déterminer l équation différentielle vérifiée par l abscisse en utilisant les grandeurs, R et g

4 En déduire la pulsation de R et g. des petites oscillations verticales de ce bouchon en fonction 5) A l instant t =, le bouchon est éloigné de sa position d équilibre. Il est lâché sans vitesse initiale d une position repérée par l abscisse ( > et petit devant R). Déterminer l expression de l abscisse en fonction du temps.

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