On choisit de fixer le seuil de décision de telle sorte que la probabilité de rejeter l hypothèse, alors qu elle est vraie, soit inférieure à 5 %.

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1 Vdouie Termiale S Activités Chapitre 9 Fluctuatio et estimatio Prise de décisio (avec la loi biomiale) O cosidère ue populatio das laquelle o suppose que la proportio d u certai caractère est p 0. Pour aalyser cette hypothèse, o y prélève, au hasard et avec remise, u échatillo de taille sur lequel o observe ue fréquece f du caractère. O rejette l hypothèse selo laquelle la proportio das la populatio est p 0 lorsque la fréquece f observée est trop éloigée de p 0, das u ses ou das l autre. O choisit de fixer le seuil de décisio de telle sorte que la probabilité de rejeter l hypothèse, alors qu elle est vraie, soit iférieure à 5 %. Lorsque la proportio das la populatio vaut p 0, la variable aléatoire X correspodat au ombre de fois où le caractère est observé das u échatillo aléatoire de taille, suit la loi biomiale de paramètres B ; p 0. O cherche à partager l itervalle 0;, où X pred ses valeurs, e trois itervalles 0; a 1, ab ; et b 1; de telle sorte que X pree ses valeurs das chacu des itervalles extrêmes avec ue probabilité proche de 2,5%, sas dépasser p X k, pour k allat de 0 cette valeur. E tabulat les probabilités cumulées croissates à, il suffit de détermier das le tableau le plus petit etier a tel que p X a 0,025 plus petit etier b tel que p X b 0,975 et le. La règle de prise de décisio est la suivate : si la fréquece observée f appartiet à l itervalle a ; b, l hypothèse selo laquelle la proportio est p 0 das la populatio est pas remise e questio et o l accepte, sio, o rejette l hypothèse selo laquelle cette proportio vaut p 0. Page 1

2 Vdouie Termiale S Activités Chapitre 9 Fluctuatio et estimatio Saté U médeci veut savoir si, das sa régio, le pourcetage d habitats atteits d hypertesio artérielle est égal à la valeur de 16 % récemmet publiée pour des populatios semblables. E otat p la proportio d hypertedus das la populatio de sa régio, le médeci formule l hypothèse p=0,16. Pour vérifier cette hypothèse, le médeci costitue u échatillo de =100 habitats de la régio, dot il détermie la fréquece f d hypertedus (l échatillo est prélevé au hasard et la populatio est suffisammet importate pour cosidérer qu il s agit de tirages avec remise). Eocer la règle de décisio permettat de rejeter ou o l hypothèse p=0,16 selo la valeur de la fréquece f d hypertedus observée das l échatillo prélevé au hasard das la populatio. Politique Mosieur Z, chef du gouveremet d u pays loitai, affirme que 52 % des électeurs lui fot cofiace. O iterroge 100 électeurs au hasard (l échatillo est prélevé au hasard et la populatio est suffisammet grade pour cosidérer qu il s agit de tirages avec remise). Sur les 100 électeurs iterrogés au hasard, 43 déclaret avoir cofiace e Mosieur Z. Peuto cosidérer l affirmatio de Mosieur Z comme exacte? Votre raisoemet sera justifié par la détermiatio d u itervalle de cofiace au seuil de 5%. Discrimiatio E Novembre 1976 das u comté du sud du Texas, Rodrigo Partida est codamé à huit as de priso. Il attaque ce jugemet au motif que la désigatio des jurés de ce comté est, selo lui, discrimiate à l égard des Américais d origie mexicaie. Alors que 80 % de la populatio du comté est d origie mexicaie, sur les 870 persoes covoquées pour être jurés lors des aées précédetes, il y a eu que 339 persoes d origie mexicaie. Devat la Cour Suprême, u expert statisticie produit des argumets pour covaicre du bie fodé de la requête de l accusé. E vous situat das le rôle de cet expert, utilisez la loi biomiale pour motrer que la sous-représetatio des américais d origie mexicaie das les jurys de ce comté est «sigificative». Ue table des probabilités cumulées croissates de la loi B 870;0,8 est fourie ci-après. Page 2

3 Vdouie Termiale S Activités Chapitre 9 Fluctuatio et estimatio Sécurité U groupe de citoyes demade à la muicipalité d ue ville la modificatio d u carrefour e affirmat que 40 % des automobilistes touret e utilisat ue mauvaise file. U officier de police costate que sur 500 voitures prises au hasard, 190 preet ue mauvaise file. 1. Détermier, e utilisat la loi biomiale sous l hypothèse p = 0,4, l itervalle de fluctuatio à 95 %. 2. D après l échatillo, peut-o cosidérer, au seuil de 5 %, comme exacte l affirmatio du groupe de citoyes? Sous cotrôle Das l idustrie automobile, certais véhicules, après leur passage e peiture, présetet u défaut de type «grais poctuels». Ce défaut est pratiquemet imperceptible, mais costitue u témoi de la qualité du processus de peiture. Lorsque le processus est «sous cotrôle», 20 % des capots produits ot ce type de défaut. Des modificatios apportées au processus de fabricatio sot susceptibles de modifier ce pourcetage, das u ses ou das l autre. O cotrôle la productio e prélevat des échatillos de = 50 capots. La productio est suffisammet importate pour cosidérer qu il s agit de tirages au hasard avec remise. O choisit de fixer le seuil de décisio de sorte que la probabilité de rejeter l hypothèse à tort soit iférieure à 5 %. O accepte l hypothèse selo laquelle la proportio das la productio est p = 0,2, lorsque la fréquece f observée sur l échatillo se situe das l itervalle de fluctuatio à plus de 95 % correspodat au complémetaire de la zoe de rejet. Les «limites de cotrôle» sot les bores de l itervalle de fluctuatio à 95 %, calculées e cosidérat la variable aléatoire X correspodat au ombre de capots présetat le défaut sur u échatillo de taille 50. Sous l hypothèse p = 0,2, cette variable aléatoire suit la loi biomiale de paramètres = 50 et p = 0,2. Calculer les limites de cotrôle. Le processus est sous cotrôle, quelle est la probabilité de commettre ue erreur de décisio à partir d u échatillo? Gauchers Das le mode, la proportio de gauchers est 12 %. Soit le ombre d élèves das votre classe. Détermier, à l aide de la loi biomiale, l itervalle de fluctuatio à 95 % de la fréquece des gauchers sur u échatillo aléatoire de taille. Votre classe est-elle «représetative» de la proportio de gauchers das le mode? Page 3

4 Vdouie Termiale S Activités Chapitre 9 Fluctuatio et estimatio Homme/femme Deux etreprises recrutet leur persoel das u vivier comportat autat d hommes de que de femmes. Voici la répartitio etre hommes et femmes das ces deux etreprises. Peut-o suspecter l ue des deux etreprises de e pas respecter la parité hommes/femmes? Hommes Femmes Total Et A Et B Extrait d écra d ue calculatrice Extrait d écra d u tableur Page 4

5 Vdouie Termiale S Activités Chapitre 9 Fluctuatio et estimatio Itervalle de fluctuatio (avec la loi biomiale) Das ue certaie populatio la proportio d idividus présetat le caractère C est p. O aalyse ce que l o peut dire de la fréquece f du caractère C sur u échatillo de taille prélevé de maière aléatoire das cette populatio. Si o ote X la variable aléatoire associat à chaque échatillo de taille le ombre d idividus présetat le caractère C et si o ote F la variable aléatoire défiie par F X qui correspod à la fréquece du caractère C das l échatillo, alors ous avos vu que : X suit la loi biomiale, B p. O peut doc détermier à l aide de la loi biomiale u itervalle de la forme a ; b, avec a et b deux etiers tels que p X a 0,025 et p X b 0,025 a b U tel itervalle vérifie pf ; 0,95.. U tel itervalle est doc appelé itervalle de fluctuatio au seuil de 95%. Rappel idispesable : le théorème de Moivre-Laplace (admis) O cosidère ue variable aléatoire O ote Z X p p 1 p X qui suit la loi biomiale ; B p. la variable cetrée et réduite associée à la variable x b 1 2 Pour tous réels a et b tels que a b : lim pa Z b pa Z b e dx a 2 Autre rappel idispesable Soit Z est la variable aléatoire qui suit la loi ormale N 0;1 de desité 1 f x e 2 2 x 2 Pour tour ombre réel tel que 0 1 il existe u uique réel positif u tel que : 1 p u Z u Rappelos que la démostratio se base sur l utilisatio du théorème des valeurs iterm. X. 2 Page 5

6 Vdouie Termiale S Activités Chapitre 9 Fluctuatio et estimatio Remarquos les équivaleces suivates : X p I u u p 1 p I u p 1 p X p u p 1 p I 1 1 u p p X u p p p 1 1 p p X p p I p u p u Utilisos les deux rappels pour affirmer que : Pour tout ombre réel tel que 0 1 il existe u uique réel positif u tel que : 1 1 X p p p p p lim pu u lim p p u F p u 1 p1 p Nous pouvos e déduire que : Pour u «assez grad» (*) et pour u ombre réel tel que 0 1, il existe u uique réel positif u (défii au chapitre précédet) tel que l approximatio ci-dessous soit vérifiée : 1 1 p p p p pp u F p u 1 (*) e pratique, les coditios commuémet admises pour pratiquer ce type d approximatio sot les suivates : 30, 5 1 p 5. p et Itervalle de fluctuatio asymptotique 1 1 p p p p L itervalle I p u ; p u est u itervalle de fluctuatio X asymptotique de la variable aléatoire F au seuil 1, cela sigifie que pour u assez grad, la variable F pred ses valeurs das l itervalle I avec ue probabilité proche de 1. Page 6

7 Vdouie Termiale S Activités Chapitre 9 Fluctuatio et estimatio Théorème fodametal O cosidère ue variable aléatoire O cosidère u ombre réel tel que 0 1 X qui suit la loi biomiale ; X B p et o ote F. p u Z u et u le réel tel que 1 où Z est la variable aléatoire qui suit la loi ormale cetrée réduite N 0;1. Si 1 1 p p p p I p u ; p u alors lim p F I 1. U troisième rappel importat Itervalle de fluctuatio Au seuil de 95% : Au seuil de 99% : 1 1 p p p p I p 1,96 ; p 1, p p p p I p 2,58 ; p 2,58 Prise de décisio au seuil de 5% O cherche à savoir, au seuil de décisio de 5%, si la proportio p du caractère C das ue populatio doée vaut p p0 ou o. O prélève u échatillo de taille (o fait e sorte que 30, 5 1 p 5). p et La prise de décisio cosiste e : Calcul de l itervalle de cofiace I, Calcul de la fréquece f du caractère C sur l échatillo de taille prélevé, Prise de décisio : si f I o rejette l hypothèse p p0, sio o l accepte. Page 7

8 Vdouie Termiale S Activités Chapitre 9 Fluctuatio et estimatio Petits pois Selo la théorie de Medel, certaies cosses de petits pois devraiet fourir des petits pois jaues et verts das des proportios respectives de 75% et 25%. O souhaite tester l hypothèse selo laquelle la proportio des pois jaues est p=0,75 e mettat e place ue expériece permettat d obteir 224 petits pois cosidérés comme u échatillo aléatoire. 1. Sous l hypothèse p=0,75, détermier l itervalle de fluctuatio asymptotique au seuil de 95% de la variable aléatoire correspodat à la fréquece des pois jaues sur u échatillo de taille 224 (arrodir les bores de l itervalle au cetième près). 2. Eocer la règle de décisio permettat de rejeter, ou o, l hypothèse p=0,75, au seuil de 5% sur u échatillo aléatoire de taille L expériece a permis d obteir 176 pois jaues et 48 pois verts, que peut-o e déduire? Lacers de pièces O lace 100 fois ue pièce de moaie. 1. E supposat que la pièce est équilibrée, détermier l itervalle de fluctuatio asymptotique de la fréquece de «pile» : au seuil de 95%? au seuil de 99%? 2. O lace ue pièce 100 fois et o obtiet 38 «pile» et 62 «face». Peut-o cosidérer que la pièce est équilibrée : au seuil de décisio de 5%? au seuil de décisio de 1%? La pièce de Buffo Das so essai d arithmétique morale, Buffo relate ue expériece selo laquelle u efat ayat lacé 4040 fois ue pièce de moaie, obtiet 2048 fois «pile». O peut cosidérer que cette expériece costitue ue observatio d u échatillo de taille =4040 das la populatio de tous les lacers possibles avec la pièce de Buffo. 1. Sous l hypothèse p=0,5 détermier l itervalle de fluctuatio au seuil de 95% de la variable aléatoire F correspodat à la fréquece de «pile» sur u échatillo aléatoire de taille Eocer la règle de décisio permettat de rejeter, ou o, l hypothèse p=0,5 au seuil de 5%. Quelle coclusio peut-o tirer du ombre de «pile» obteus par l efat? Groupes saguis Les cetres de trasfusio saguie ot diffusé le tableau des répartitios, e Frace, des pricipaux groupes saguis. La proportio des groupes O+ et O- est p=0,44. Ue collecte de sag a été orgaisée sur le campus d ue uiversité à laquelle ot participé 356 étudiats. O souhaite tester l hypothèse selo laquelle ces étudiats sot représetatifs, au seuil de 95%, de la proportio des groupes O. L aalyse des prélèvemets motre que sur les 356 doeurs, 148 appartieet au groupe O. Quelle coclusio peut-o e tirer? Page 8

9 Vdouie Termiale S Activités Chapitre 9 Fluctuatio et estimatio D u itervalle de fluctuatio asymptotique vers u itervalle de cofiace O souhaite estimer la prévalece du surpoids das ue ville, c est-à-dire la proportio de persoes ayat ue masse trop importate par rapport à leur taille. Pour cela 460 persoes ot été sélectioées de maière aléatoire à partir de la liste des logemets coue par la muicipalité, c est-à-dire que le fait d avoir été sélectioé pour participer à l étude est uiquemet dû au hasard. O admet que cette procédure permet d assimiler la sélectio des persoes iterrogées à u schéma de Beroulli. U equêteur s est déplacé au sei de chaque logemet après avoir coveu d u redez-vous afi de recueillir les iformatios écessaires à l equête. L échatillo est-il représetatif de la populatio? Das u premier temps, l equêteur va s assurer que l échatillo est représetatif de la populatio qu o étudie sur des iformatios qu o peut vérifier et qui sot e lie avec le critère étudié. Das le cas préset o peut coaître par exemple la proportio d hommes et de femmes das la populatio de la ville, aisi que la répartitio selo l âge e demadat à la muicipalité qui se référera aux iformatios du recesemet. Aisi o sait que das la populatio il y a 46% d hommes et 20% de persoes de plus de 60. Parallèlemet o peut comptabiliser le ombre d hommes et de femmes das l échatillo aisi que la répartitio selo l âge. Homme Femme Total échatillo <60as >60as Total échatillo Détermier l itervalle de fluctuatio asymptotique au seuil de 95% de la variable aléatoire «proportio de femmes» das u échatillo aléatoire de taille Détermier l itervalle de fluctuatio asymptotique au seuil de 95% de la variable aléatoire «proportio des plus de 60 as» das u échatillo aléatoire de taille Si pour chacue de ces variables aléatoires, gere et âge, l itervalle de fluctuatio asymptotique cotiet la valeur de l échatillo, o cosidère que l échatillo est représetatif de la populatio pour ces iformatios. Quelle coclusio peut-o tirer ici? Page 9

10 Vdouie Termiale S Activités Chapitre 9 Fluctuatio et estimatio La première étape de ce travail a doc été de sélectioer u échatillo qui soit accepté comme «représetatif» de la populatio. Aisi les iformatios qui serot obteues à partir de cet échatillo serot gééralisables, avec u certai ombre de précautios, à l esemble de la populatio dot il est extrait. Das le cas de l étude présetée ici, o souhaite estimer la proportio de persoes e surpoids ; pour cela il est tout d abord importat de défiir le surpoids. La défiitio du surpoids doée par l OMS (Orgaisatio Modiale de la Saté) est la suivate : ue persoe est cosidérée e surpoids si so IMC (Idice de masse corporelle) est supérieur à 25. L IMC se calcule de la maière suivate : masse e kg/(taille e m)². Itervalle de cofiace d ue probabilité La proportio de persoes e surpoids das l échatillo étudié est de 29,5%. Comme il s agit d u calcul réalisé à partir des doées d u échatillo o sait que cette valeur e correspod pas exactemet à la valeur de la prévalece du surpoids das la populatio, car si ous avios pris u autre échatillo ous aurios obteu ue autre valeur. Pour cette raiso il est écessaire de commuiquer u itervalle qui sera obteu à partir des iformatios observées et pour lequel o puisse dire avec u «iveau de cofiace» supérieur à 0,95 qu il cotiet la vraie valeur de la prévalece du surpoids das la ville. Détermier graphiquemet cet itervalle de cofiace. Page 10

11 Vdouie Termiale S Activités Chapitre 9 Fluctuatio et estimatio Ue majoratio Motrer que pour tout p compris etre 0 et 1 la quatité 1,96 p1 p est majorée par 1. O pourra pour cela étudier les variatios de la foctio g x x1 x sur l itervalle 0;1. Deux iégalités Motrer que pour tout p compris etre 0 et 1 et etier o a Motrer que pour tout p compris etre 0 et 1 et etier o a 1 1 1,96 p p p p (1) 1 1 1,96 p p p p (2) Ue iclusio O ote 1 1 p p p p I p 1,96 ; p 1,96 et 1 1 J p ; p. O rappelle que I est l itervalle de fluctuatio asymptotique au seuil de 95%. O appellera le ouvel itervalle J défii ci-dessus «itervalle de fluctuatio asymptotique simplifié». Déduire des iégalités (1) et (2) l iclusio de l itervalle I das l itervalle J. Ue coclusio O peut «agradir» l itervalle de fluctuatio asymptotique au seuil de 95% e majorat la quatité 1,96 p1 p Aisi si par 1 pour 0 p 1. X est ue variable aléatoire qui suit la B, p et si F X alors : loi biomiale pour tout p tel que 0 p 1, il existe u etier 0 tel que si 0 o puisse affirmer : 1 1 p p F p 0,95 Page 11

12 Vdouie Termiale S Activités Chapitre 9 Fluctuatio et estimatio Remarquos l équivalece suivate : p F p F p F Utilisos la coclusio précédete pour affirmer que : Si X est ue variable aléatoire qui suit la loi biomiale, p tel que 0 p 1, il existe u etier 0 tel que si 0 Proposos la défiitio d u itervalle de cofiace à 95% : B p et si F X alors pour tout 1 1 pf p F 0, Soit f la fréquece observée sur u échatillo de taille. L itervalle f ; f est u itervalle de cofiace de la proportio icoue p au iveau de cofiace de 95%. NB : les coditios commuémet admises sot les suivates : 30, 5 f et f 1 5. Page 12

13 Vdouie Termiale S Activités Chapitre 9 Fluctuatio et estimatio Surpoids Das ue certaie populatio, o a observé u échatillo de taille =500 d adolescets de 15 as das lequel 210 présetet u surpoids. Doer u itervalle de cofiace de la proportio p d adolescets de cette populatio présetat u surpoids au iveau de cofiace 95%. Poissos malades O a observé 180 poissos malades sur 800 poissos pêchés das ue rivière. E cosidérat qu il s agit d u échatillo aléatoire prélevé avec remise (il y a de ombreux poissos das la rivière), doer u itervalle de cofiace de la proportio de poissos malades das la rivière au iveau de cofiace de 95%. Pièces sas défaut O cosidère ue grade quatité de pièces idustrielles devat être livrées à ue chaîe d hypermarchés. O prélève au hasard u échatillo de 100 pièces das cette livraiso. La livraiso est assez importate pour que l o puisse assimiler ce tirage à u tirage avec remise. O costate que 96 pièces sot sas défaut. Détermier u itervalle de cofiace de la proportio de pièces de la livraiso qui sot sas aucu défaut, avec u iveau de cofiace de 95%. Virus O veut estimer la proportio p de persoes immuisées cotre u certai virus parmi la populatio d ue ville. O prélève u échatillo aléatoire de 500 persoes parmi cette populatio. La populatio est suffisammet importate pour assimiler ce prélèvemet à u tirage au hasard avec remise. Après aalyses, o déombre 241 persoes immuisées cotre ce virus, parmi les 500 de l échatillo. Doer u itervalle de cofiace de la proportio de persoes immuisées cotre ce virus parmi la populatio de la ville, avec u iveau de cofiace de 95%. Quelle est la taille miimale de l échatillo qui aurait permis d obteir u itervalle de cofiace de rayo iférieur ou égal à 0,01? Ue optio à predre Ue agece de voyage propose, e optio supplémetaire das u de ses circuits, la visite d ue expositio. E cosultat au hasard et avec remise 60 fiches de cliets parmi les 2054 cliets iscrits sur la période cosidérée, le directeur de l agece observe que l optio est metioée seulemet 9 fois. Doer u itervalle de cofiace à 95% de la proportio icoue p de persoes ayat fait le choix de cette optio parmi les 2054 cliets. Le directeur cosidère que l iformatio fourie par l itervalle de cofiace est trop imprécise (logueur de l itervalle trop grade). Il procède à u ouveau prélèvemet de 60 fiches parmi les Sur l échatillo global de taille 120 prélevé, l optio apparaît 18 fois. Quel itervalle de cofiace de 95% l échatillo complété permet-il de fourir? Page 13

14 Vdouie Termiale S Activités Chapitre 9 Fluctuatio et estimatio Sodage Pour décider de la costructio d u grad stade, ue muicipalité veut soder la populatio pour estimer si plus de 50% des électeurs y sot favorables. La muicipalité réalise u sodage aléatoire de taille 100 et obtiet 54 avis favorables. Quelle est la fréquece d avis favorables sur ce sodage? La muicipalité peut-elle décider de la costructio du stade e prétextat que plus de 50% de la populatio y est favorable? O suppose que la muicipalité réalise u sodage de taille et que la fréquece des votes favorables reste égale à 0,54. Si p est la proportio (icoue) d avis favorables das la populatio, doer l expressio d u itervalle de cofiace de p au iveau de 95%. La muicipalité e costruira ce stade que si la proportio p d avis favorable dépasse 50%. Détermier à partir de quelle valeur de la muicipalité pourra predre cette décisio. Statistiquemet fodé? Pour comparer les cotes de popularité de trois persoalités X, Y et Z u joural a réalisé u sodage : sur 1320 persoes iterrogées, 27% ot voté pour X, 38,5% ot voté pour Y et 34,5% ot voté pour Z. Estimer par u itervalle la cote de popularité de X, de Y et de Z das la populatio au iveau de cofiace de 95%. U classemet peut-il être publié? Avec ces mêmes taux, pour quelle taille du sodage u classemet aurait été statistiquemet fodé au iveau de cofiace de 95%? Premier tour d ue électio présidetielle Le 18 avril 2002, l istitut IPSOS effectue u sodage das la populatio e âge de voter. O costitue u échatillo de 1000 persoes (iscrites sur les listes électorales) que l o suppose choisies de maière aléatoire. Sur les 1000 persoes : 140 ot déclaré vouloir voter pour Jea- Marie Le Pe, 195 persoes ot déclaré vouloir voter pour Jacques Chirac, 170 ot déclaré vouloir voter pour Lioel Jospi. Quels serot les deux cadidats présets au secod tour? Pour iformatio les résultats obteus par ces trois cadidats au premier tour de l électio ot été les suivats : 16,9% - 19,9% - 16,2% Itervalles disjoits U maraîcher achète u lot de semeces de tomates pour produire ses plats de tomate. Il lui reste des semeces de l'aée passée, dot il doit cotrôler le taux de germiatio pour pouvoir les utiliser avec les autres. E effet, des taux de germiatio trop différets provoquet des trous das les plates bades de productio, ce qui géère u coût de mautetio plus élevé. Il lui faut doc comparer les taux de germiatio des semeces des deux aées. Ue stratégie cosiste à calculer et à comparer les itervalles de cofiace des taux de germiatio (qui sot des proportios) des plats de l'aée et de l'aée précédete. Si les deux itervalles e se recoupet pas, o peut coclure à ue différece de taux de germiatio etre les semeces des deux origies. Il faudra alors les semer séparémet. Pour faire cette comparaiso, le maraîcher prélève, aléatoiremet das les semeces de l'aée, u échatillo de 200 graies qu'il met à germer. Il costate que 185 graies germet. Il prélève esuite, aléatoiremet das les semeces de l'aée précédete, u échatillo de 200 graies qu'il met à germer. Il costate que 150 graies germet. Aidez le maraîcher à predre ue décisio. Page 14

15 Vdouie Termiale S Activités Chapitre 9 Fluctuatio et estimatio Dépistage de la brochiolite Das le but d évaluer la prise e charge de la brochiolite du ourrisso das u hôpital de la régio Aquitaie, ue étude rétrospective a été mise e place. Il est recommadé de coucher l efat de maière très icliée (couchage e proclive) das le cadre de la prise e charge de la brochiolite. O évalue cette pratique à partir d u échatillo de 134 dossiers. 106 des efats ot été couchés e proclive. Détermier u itervalle de cofiace au iveau de cofiace de 95% de la proportio d efats dot le couchage respecte la recommadatio. Ue étude plus fie permet de comparer les pratiques etre les différets services ayat admis des efats. Le tableau ci-dessous doe la répartitio des cas suivat le type de services et le respect de la recommadatio de couchage e proclive. Couchage proclive E service des urgeces E service hospitalier Total Oui No Total Détermier u itervalle de cofiace au seuil de 95% de la proportio de couchage e proclive pour chaque type de service. Peut-o coclure selo vous au seuil de 95% que la pratique de couchage est pas idetique selo le service? Chikuguya à Mayotte L image proposée ci-dessous, extraite d ue revue médicale illustre la prévalece du chikuguya à Mayotte (pourcetage de persoes ayat été e cotact avec la maladie). Les «barres d erreur» figurat sur le graphique correspodet à des itervalles de cofiace à 95%. Estimer la taille de l échatillo, tous âges cofodus utilisé das cette étude. Doer ue raiso expliquat pourquoi les barres d erreurs sot de logueurs différetes selo les classes d âge. Peut-o, d après cette étude, cosidérer qu il existe ue différece sigificative de la prévalece du chikuguya selo les classes d âge? Page 15

16 Vdouie Termiale S Activités Chapitre 9 Fluctuatio et estimatio Itervalle de fluctuatio? ou itervalle de cofiace? Règle géérale O utilise u itervalle de fluctuatio lorsque la proportio p das la populatio est coue ou si l o fait ue hypothèse sur sa valeur. O utilise u itervalle de cofiace lorsque l o veut estimer ue proportio icoue das ue populatio. Test de coformité d ue proportio O veut détermier si la proportio observée das u échatillo est coforme à ue valeur de référece coue das la populatio. Sous l hypothèse que l échatillo est issu d u tirage aléatoire correspodat à u schéma de Beroulli (tirage avec remise ou s y apparetat), la variable fréquece F appartiet à u itervalle de fluctuatio avec ue probabilité détermiée. E foctio de l apparteace ou o de la fréquece observée à cet itervalle, o peut predre ue décisio cocerat la coformité de l échatillo. Si les coditios d utilisatio sot réuies, o détermie l itervalle de fluctuatio asymptotique, sio o a recours à u itervalle de fluctuatio calculé avec la loi biomiale. Estimatio d ue proportio icoue p grâce à u échatillo aléatoire O se place das le cas où l échatillo comporte au mois 30 élémets afi de pouvoir utiliser l itervalle de cofiace au programme de la classe de termiale (*). Si la fréquece f observée est telle que 5 f et f 1 5, o cosidère qu o peut coclure qu u itervalle de cofiace de la proportio icoue p au iveau de cofiace de 95% est f 1 ; f 1 (*) u itervalle de cofiace de 95% plus précis est U tableau pour récapituler f 1 1 1,96 f f ; f 1,96 f f Itervalle de fluctuatio au seuil de 95% Itervalle de cofiace à 95% Itervalle obteu avec la loi biomiale : Itervalle de fluctuatio asymptotique : O l utilise lorsque : ; a 0,025 et p X b 0,025 a b avec a et b deux etiers tels que p X 1 1 p 1,96 p p ; p 1,96 p p la proportio p das la populatio est coue ou quad o fait ue hypothèse sur sa valeur. / f 1 ; f 1 o veut estimer p icou à partir d u échatillo. Page 16

17 Vdouie Termiale S Activités Chapitre 9 Fluctuatio et estimatio L éducatio à l'aléatoire devrait avoir pour but fodametal la prise de cosciece que toute décisio s'accompage d'u risque mais que ce risque peut être évalué.» Norbert Meuier. Gauchers et décisio uilatérale Page 17