UNE APPROCHE D OPTIMISATION-BASEE SUR LA SIMULATION POUR LA CONCEPTION D UN RESEAU DE DISTRIBUTION STOCHASTIQUE MULTI FOURNISSEURS

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1 8 e Conférence Internationale de MOdélisation et SIMulation - MOSIM au 12 mai Hammamet - Tunisie Évaluation et optimisation des systèmes innovants de production de biens et de services UNE APPROCHE D OPTIMISATION-BASEE SUR LA SIMULATION POUR LA CONCEPTION D UN RESEAU DE DISTRIBUTION STOCHASTIQUE MULTI FOURNISSEURS F. MALIKI, L. BENYOUCEF Z. SARI Univ. Abou-Bekr Belkaid / INRIA COSTEAM Project, ISGMP Univ. Abou-Bekr Belkaid B. P. N 119 Tlemcen Algérie/ Bât. A, Ile de Saulcy, Metz France B. P. N 119 Tlemcen Algérie f.maliki@univ-tlemcen.dz, lyes.benyoucef@loria.fr z.sari@univ-tlemcen.dz RÉSUMÉ : Dans cet article, nous traitons un problème de conception d un réseau stochastique de distribution où les décisions stratégiques de choix des fournisseurs, de localisation des centres de distribution (DCs) et d affectation des zones de demande/détaillants sont intégrées dans un même modèle d optimisation non-linéaire. Le réseau est composé de plusieurs fournisseurs potentiels approvisionnant, dans des délais aléatoires et en utilisant plusieurs connexions avec des modes de transport différents, un ensemble de DCs qui ont pour rôles de satisfaire les demandes (en un seul type de produit) provenant des différentes zones de demande/détaillants. Notre problème consiste à chercher les meilleures localisations des DCs, dont le nombre et les localisations sont inconnues et où chaque DC est identifié par la zone de sa localisation, ainsi que la meilleure affectation des détaillants aux DCs et des DCs aux fournisseurs potentiels avec la meilleure répartition des ordres d approvisionnement sur les différentes connexions de transport. Pour cela, une approche d optimisation-basée sur la simulation utilisant la relaxation lagrangienne et les algorithmes génétiques multi critères (MOGAs) est proposée. Des résultas numériques sont présentés et analysés pour montrer l efficacité de notre approche. MOTS-CLÉS :chaîne logistique, localisation, relaxation lagrangienne, MOGA, simulation. 1 CONTEXTE ET MOTIVATIONS Dans un contexte économique instable, sous la pression de la globalisation, d une concurrence croissante, nombreuses sont les entreprises qui constatent les limites de l optimisation seule de leurs systèmes de production et cherchent à explorer de nouvelles sources de compétitivité à travers l optimisation de leurs chaînes logistiques et de la relation avec leurs partenaires. Fournir le produit et/ou le service désiré par le client, rapidement, moins cher et plus performant que celui proposé par l entreprise concurrente sur le marché est de nos jours le souci majeur de chaque entreprise existant dans un marché local et/ou international. La concurrence dans un futur proche ne sera pas entre différentes entreprises mais entre différentes chaînes logistiques (Supply Chains). Une chaîne logistique inclut la transformation et le transport des produits, de la forme de composants et matières premières, passant par différents stades de production, d assemblage, de stockage et de distribution, jusqu à l obtention des produits finis. En plus des flux de matières, une chaîne logistique compte deux autres flux qui sont les flux d informations et les flux financiers. Chaque étape de transformation ou de distribution des produits peut impliquer des entrées venant de plusieurs fournisseurs et des sorties allant vers plusieurs clients intermédiaires, avec également des flux d informations différents. Les décisions liées à la gestion des chaînes logistiques sont regroupées en trois niveaux décisionnels: stratégiques, tactiques et opérationnelles. La conception d une chaîne logistique, en particulier la localisation et le choix des différentes entités (fournisseurs, usines, centres de stockage et de distribution) et les différents modes de transports utilisés (camion, train, bateau, avion), est l une des décisions stratégiques que les entreprises cherchent à optimiser en premier. Cette optimisation, traditionnellement axée sur les coûts, est rendue difficile à cause de l introduction de nouveaux critères de décision tels que la satisfaction du client (délais de livraison, qualité du produit et/ou service,...), et la prise en compte explicite des différents risques (sociaux, environnementaux et économiques). Dans cet article, nous nous intéressons à l utilisation d une approche hybride combinant simulation et optimisation pour la résolution d un problème stochastique de choix de fournisseurs et localisation de centres de distribution (DCs) lors de la conception des réseaux logistiques avec prise en compte des coûts in-

2 dustriels et logistiques ainsi que le niveau de service client. Plus précisément, la complexité de notre problème est triple: 1. Prise en compte de coûts non-linéaires dans la fonction objectif (principalement les coûts de stockage et de maintien des stocks de sécurité dans les DCs); 2. Prise en compte des délais aléatoires d approvisionnement fournisseurs - DCs avec des choix multiples de modes de transport (camion, train, bateau et avion); 3. Prise en compte de la politique de répartition des quantités à approvisionner par les DCs localisés. Nous serrons en face d un problème complexe du choix par les DCs des fournisseurs, des connexions de transport et de la stratégie de répartition des quantités demandées. Le reste de l article est organisé comme suit : La section 2 présente quelques travaux dédiés aux problèmes de localisation-allocation et de sélection des fournisseurs. La section 3 décrit notre problématique. La section 4 présente l approche d optimisation-basée sur la simulation proposée. La section 5 illustre les résultats numériques obtenus et leurs analyses. La section 6 conclut l article et présente quelques directions de recherches futures. 2 ÉTAT DE L ART Dans ce travail de recherche, nous étudions un problème de prise de décisions vue sur deux axes de recherches complémentaire à savoir la localisation des sites logistiques et le choix des fournisseurs avec répartition des ordres d approvisionnement. Notons que peu de travaux considèrent les deux problèmes simultanément. 2.1 Problèmes de localisation L état de l art est très riche de travaux traitants des problèmes de localisation déterministes et stochastiques. Le problème de localisation des sites à deux niveaux constitue la base de plusieurs modèles de localisation utilisés dans la conception des chaînes logistiques. En effet, deux types de problèmes sont considérés respectivement le Fixed Charge Facility Location (FCFL) et le Capacitated Fixed Charge Facility Location (CFLP). Ces deux problèmes considèrent des données déterministes et connues et où l objectif est de trouver la meilleure localisation des sites permettant la minimisation des coûts de localisation et de transport. Dans la pratique, plusieurs approches ont été proposées pour la résolution du problème (FCFL). Aikens (1985) indique que Spielberg a résolu le problème en utilisant une méthode par simple énumération. Galvao (1993) et Daskin (1995) proposent l utilisation d une relaxation lagrangienne pour la résolution du problème. Un algorithme basé sur la recherche Tabou pour la résolution des problèmes (FCFL) de taille réduite est proposé dans (Al-Sultan et Al-Fawzan, 1999), une recherche tabou est aussi proposée par Michel et Hentenryck (2004). Pour la résolution du problème (CFLP), Sridharan (1993) propose une heuristique basée sur la relaxation lagrangienne, Gong et al. (1997) utilisent une hybridation d un algorithme génétique (AG), d une méthode évolutionniste et d une relaxation lagrangienne. Arostegui Jr. et al. (2006) comparent les performances de la recherche tabou, des AGs et du recuit simulé pour la résolution de 3 problèmes (CFLP). Plusieurs variantes du problème de localisation sont discutés dans (ReVelle et al., 2005) et (ReVelle et al., 2008). Les auteurs présentent une revue complète des travaux antérieurs proposant des méthodes de résolution des problèmes de localisation déterministes. Parallèlement, plusieurs auteurs se sont intéressés aux problèmes de localisation stochastique. Aikens (1985) présente une version stochastique du problème (FCFL) où il suppose que la demande des clients est aléatoire. Snyder et Daskin (2004) considèrent une version stochastique du problème (FCFL) et du problème médian en assumant des demandes clients et des coûts de transport aléatoires. Ricciardi et al. (2002) proposent une solution au problème de Localisation de DCs intermédiaires en optimisant le coût de transport total incluant le coût de transport classique (entre usine et clients en passant par les DCs) et un coût aléatoire au niveau des DCs. Louveaux et Thisse (1985) présentent un modèle stochastique de localisation de centres de production à deux niveaux. Dans le premier niveau la localisation du centre de production et son niveau de production sont déterminés avant que la demande ne soit connue. Dans le second niveau et après réalisation des certaines variables aléatoires représentant la demande, les décisions de distribution sont prises par le centre de production. Certains travaux considèrent des problèmes de localisation intégrant les coûts de stockage. Barahona et Jensen (1998) intègrent les coûts de stockage dans un modèle de localisation basé sur le problème (FCFL) dont l objectif est de minimiser les coûts de localisation, les coûts de transport et les coûts de stockage. Nozick et Turnquist (1998) expriment le coût de stockage comme une fonction linéaire du nombre de DCs à ouvrir. Par conséquent, ils proposent une méthode permettant d intégrer le coût de stockage dans le coût fixe de localisation des DCs et présentent

3 un modèle mathématique du problème. Les mêmes auteurs proposent une extension du modèle précédent dans (Nozick et Turnquist, 2001) où l objectif est de maximiser les zones de demandes couvertes. De même, Owen et Daskin (1998) présentent un état de l art riche des problèmes de localisation stochastiques. Erlebacher et Meller (2000) présentent un modèle de localisation intégrant les coûts de stockage. Par hypothèses, les demandes clients sont aléatoires et les distances entre les centres de production, les DCs et les zones de demandes sont rectilinéaire. Un modèle de programmation non linéaire est proposé où on cherche à trouver le nombre et les localisations optimales des DCs ainsi que la meilleure affectation des clients aux DCs avec comme objectif de minimiser les coûts fixe de localisation, les coûts de transport et les coûts de stockage. Les auteurs proposent une méthode heuristique pour approcher la solution optimale du problème connu comme NP-difficile. Concernant l intégration des coûts de stockage dans les problèmes de localisation stochastique, Shen et al. (2002, 2003) ont été les premiers à introduire de façon plus implicite les coûts de stockage dans un problème de localisation (FCFL). Les auteurs modélisent un réseau de distribution constitué d un fournisseur unique de capacité infinie approvisionnant un ensemble de détaillants par un seul type de produit, chaque détaillant effectue une demande aléatoire, le problème consiste à déterminer le nombre de DCs à localiser dans les même régions que les détaillants, leur localisation ainsi que les détaillants qui lui sont affectés afin de minimiser une fonction coût intégrant le coût de localisation des DCs, le coût de transport(fournisseur, DC, clients), le coût de stockage et le coût de maintient des stocks de sécurité au niveau des DCs. Daskin et al. (2002) présentent un modèle d optimisation non linéaire représentant le problème, la non linéarité est due à l introduction de la politique de la quantité économique (EOQ) pour gérer les stocks et du maintient des stocks de sécurité au niveau des DCs. Pour réduire la complexité du problème, les auteurs considèrent que les délais d approvisionnement entre l unique fournisseur et les différents DCs potentiels sont constants et que le rapport entre la demande moyenne et sa variance est constant pour tous les clients. Les auteurs présentent un algorithme basé sur une approche de relaxation lagrangienne pour résoudre le problème. Dans (Shen et al., 2003), les auteurs présentent un modèle non linéaire du problème basé sur le (FCFL). Ce modèle est transformé en un modèle linéaire en utilisant une transformation en un problème de recouvrement. Pour deux cas particuliers du problème original, ils proposent une méthode de génération de colonnes. Le premier cas particulier assume que le rapport entre la variance et la demande moyenne est constant pour tous les clients. Tandis que pour le deuxième car particulier, les variances de toutes les demandes clients sont nulles. D autre part, Shu et al. (2005) considèrent le même problème que celui proposé dans (Shen et al., 2003) et proposent une méthode basée sur la génération de colonnes pour résoudre le problème de façon générale avec une hypothèse restrictive qui impose à ce que tout DC ouvert dans la même région du détaillant sert la demande de ce détaillant ce qui n est pas toujours vrai dans la solution optimale. Tanonkou et al. (2007) traitent un problème de conception d un réseau de distribution stochastique où les décisions de choix des fournisseurs, de localisation des centres de distribution et d affectation des zones de demande sont intégrées dans un même modèle d optimisation. Le réseau est composé de plusieurs fournisseurs approvisionnant, dans des délais aléatoires, un ensemble de centres de distribution à localiser qui ont pour rôles de satisfaire les demandes (en un seul type de produit) provenant des différentes zones de demande/clients. Par hypothèse, chaque fournisseur est connecté à chaque DC potentiel par une et une seule connexion de transport. L objectif est de choisir les meilleurs fournisseurs, les meilleures localisations des centres de distribution, et les meilleures affectations des zones de demande aux centres de distribution dans le but de minimiser une fonction de coût non linéaire. Pour cela, ils proposent une méthode basée sur la relaxation lagrangienne. Les résultats numériques obtenus attestent de la validité de la méthode proposée. Tanonkou et al. (2008) présentent une relaxation lagrangienne pour la résolution d un problème de localisation stochastique avec demandes clients et délai d approvisionnement (fournisseur-dc) aléatoires. Les auteurs traitent le même problème que celui présenté dans (Daskin et al., 2002) tout en considérant que le délai de livraison est aléatoire et que le rapport entre la demande moyenne et sa variance n est pas constant pour tous les clients ce qui complique plus le problème. Ils montrent l efficacité de leur méthode en l appliquant sur un exemple de réseau de distribution contenant un fournisseur et 10 localisations clients parmi lesquels les DCs sont choisies. A l exception des travaux de Tanonkou et al. (2007), dans la majorité des travaux recensés seul le cas mono-fournisseur est abordé. Evitant par conséquent l intégration des décisions de sélection des fournisseurs dans des problèmes de localisation utilisant des modèles analytiques.

4 2.2 Problème de sélection des fournisseurs Lors de la conception de toute chaîne logistique, trouver une méthode/approche de sélection des fournisseurs est d une importance cruciale. Selon De Boer et al. (2001) la sélection des fournisseurs passe par quatre étapes : la définition du problème, le choix des critères de sélection des fournisseurs, la pré qualification des fournisseurs et la sélection finale des fournisseurs. La décision de sélection des fournisseurs est compliquée du fait que plusieurs critères de natures qualitatives et quantitatives doivent être considérés. Weber et al. (1991) proposent une classification de 74 articles apparus depuis 1966 en se basant sur les 23 critères de sélection proposés par (Dickson, 1966). Les résultats de cette analyse montrent que 22 critères sont utilisés au moins dans un article et que 47 articles discutent au moins deux critères. En plus, les résultats montent que le prix net, le délai de livraison, la qualité, la capacité de production et le lieu de production sont les critères les plus utilisés dans ces 74 articles. Verma et Pullman (1998) définissent une méthode qui permet de déterminer l importance des critères de sélection des fournisseurs, les auteurs se limitent à l utilisation des critères suivants : coût, qualité, délai de livraison, livraison à temps et flexibilité et une méthode probabiliste pour le choix des fournisseurs. Les auteurs effectuent une étude sur 58 entreprises, examinent les résultats obtenus et annotent que la qualité est le critère le plus important dans la sélection des fournisseurs et que cette sélection se base fortement sur le coût et le délai de livraison. La méthode Analytical Hierarchy Process (AHP) est l une des méthodes les plus utilisées pour la sélection des fournisseurs (Ghodsypour et O Brien, 1998), cette méthode consiste à définir les critères sur lesquels se base le choix des fournisseurs, ces derniers sont structurés de façon hiérarchique, la méthode AHP procède par comparaison par paire de chaque niveau hiérarchique pour déterminer les poids des critères. L étape suivante consiste à déterminer le taux de sélection de chaque fournisseur en prenant en considération la nature de chaque critère (quantitative ou qualitative). Liao et Rittscher (2007) présentent un modèle multi objectifs permettant de sélectionner les fournisseurs, de déterminer la quantité à livrer par chaque fournisseur et d affecter une connexion pour chaque fournisseur avec pour objectif de minimiser le coût logistique total, la quantité de produits rejetés à cause du non respect de la qualité produit et le nombre total de produits non livrés dans les délais. Pour la résolution du problème, un algorithme génétique est développé et les résultats numériques obtenus analysés. Ding et al. (2003) considèrent un problème de conception d une chaîne logistique où les décisions de localisation des DCs et de sélection des fournisseurs doivent être prisent simultanément. Les auteurs utilisent une approche d optimisation basée sur la simulation permettant d optimiser la structure du réseau de distribution, les règles de pilotage utilisées ainsi que les paramètres associés. Plus précisément, ils considèrent un réseau de distribution contenant K fournisseurs candidats approvisionnant un ensemble de DCs potentiels en différents types de produits. Par hypothèse, plusieurs connexions relient deux sites différents en utilisant différents modes de transports. Un cas d étude issue de l industrie textile est présenté et les résultats numériques obtenus analysés. Pour plus de détails sur les travaux de recherche existants sur ce sujet, le lecteur peut consulter les deux références respectivement (Aissaoui et al., 2007) et (Jain et al., 2009). Aissaoui et al. (2007) définissent le processus de sélection des fournisseurs en quatre étapes : définition du problème, choix des critères, présélection des fournisseurs et la sélection finale des fournisseurs. Jain et al. (2009) présentent un état de l art complet sur le problème de sélection des fournisseurs, et décrivent les différentes étapes prises en considération dans le cycle de sélection des fournisseurs et les différents critères utilisés pour l évaluation des performances des fournisseurs. De plus, les auteurs recensent les caractéristiques de ce problème ainsi que les différentes méthodes existantes dans la littérature permettant de le résoudre. 3 NOTRE PROBLÉMATIQUE 3.1 Hypothéses Dans ce travail de recherche, nous considérons une chaîne logistique composée d un ensemble de fournisseurs potentiels connectés à un ensemble de détaillants. Chacun des détaillants est identifié par sa zone de localisation (ville ou région). Chaque zone est une zone potentielle de localisation d un DC. Les demandes aléatoires, en un seul type de produit, générées par les différentes zones de demandes sont satisfaites par les DCs localisés. Pour la gestion de son stock, chaque DC utilise la politique de la quantité économique (EOQ). De plus, pour garantir un certain niveau de service client, un stock de sécurité est maintenu par chaque DC. Comme extension possible du problème de Tanonkou et al. (2007) et Tanonkou (2007), nous considérons le cas où plusieurs connexions de transport (liaisons utilisant différents modes de transport) existent entre chaque zone de demande et chaque fournisseur potentiel. Les délais de transport sont par hypothèse aléatoires. De même, nous nous limitons au cas où seule une connexion relie chaque couple de détaillants sans prise en compte du délai de transport. La figure 1 illustre la structure

5 de la chaîne logistique considérée. Le MOGA utilisé à pour objectif de guider la solution dans un espace de solutions possibles vers une solution proche de l optimum. Le cycle optimisation-simulation est répété pour un certain nombre d itérations fixé d avance. La figure 2 donne une vue globale de la structure de l approche hybride proposée. Figure 1: Structure de la chaîne étudiée Notre problème consiste à trouver les meilleures localisations des DCs (chaque DC est identifié par la zone de sa localisation) ainsi que la meilleure affectation des zones de demandes/détaillants aux DCs et des DCs aux fournisseurs ainsi que la répartition des ordres d approvisionnement sur les différentes connexions de transport reliant les fournisseurs et les DCs. Pour la résolution de ce problème stochastique nous utilisons une approche hybride combinant optimisation (basée sur les algorithmes génétiques multicritère) et la simulation. Dans un premier temps, la résolution du problème consiste en la prise de trois types de décisions qui sont : localisation des DCs, affectation des détaillants aux DCs et choix des fournisseurs. Ces trois premières décisions sont obtenues en considérant l existence d une seule et unique connexion entre chaque couple de fournisseur- DC et en utilisant l algorithme de relaxation Lagrangienne développé par (Tanonkou, 2007 et Tanonkou et al., 2007). Cet algorithme permet d obtenir la structure globale de la chaîne logistique dite solution Lagrangienne. Partant de cette solution Lagrangienne et en utilisant un algorithme génétique multicritères NSGA- II hybridé avec la simulation, nous cherchons à déterminer la meilleure répartition des ordres d approvisionnement sur les différentes connexions. Dans notre cas, une solution candidate est constituée de poids (valeur comprise entre 0 et 1) tel que la somme des poids pour chaque solution est égale à 1. Les poids représentent le pourcentage des produits transportés du fournisseur au DC par connexion donnée. Ainsi, nous simulons le comportement de la chaîne considéré et nous obtenons les indicateurs de performances nécessaires (coût et délai de transport du fournisseur au DC). Une évaluation globale en terme de fitness est associée à cette solution candidate. Ainsi, toutes les solutions proposées par le MOGA sont évaluées de la même façon et le processus est répété pour toutes les chaînes obtenues. Il est important de signale que dans notre cas, la solution Lagrangienne qui présente la structure globale de la chaîne n est rien d autre qu un ensemble de souschaînes car chaque détaillant est affecté à un et un seul DC, et chaque DC est affecté à un et un seul fournisseur sans contrainte de capacité pour ce dernier. Figure 2: Structure de l approche hybride 3.2 Notations et variables de décisisons Les notations suivantes sont utilisées pour la formulation mathématique de notre problème : I ensemble des zones de demandes (détaillants) indexés par i. K ensemble des fournisseurs indexés par k. DC j centre de distribution localisé dans la zone de demande j. µ i demande moyenne générée par jour par le détaillant i. σi 2 variance de demande générée par jour par le détaillant i. f j coût fixe de localisation du DC j. d ij coût de livraison unitaire du DC j vers le détaillant i. h j coût de stockage annuel (par unité de produit) dans le DC j. F jk coût fixe de commande (inclus coût fixe de transport) placée par le DC j auprès du fournisseur k. a jk coût unitaire d approvisionnement (prix d achat et de transport) du DC j auprès du fournisseur k. a jkl coût unitaire d approvisionnement (prix d achat et de transport) du DC j auprès du fournisseur k à travers la connexion l. L jk délai moyen d approvisionnement en jours du DC j chez le fournisseur k. L jkl délai moyen d approvisionnement en jours du DC j chez le fournisseur k à travers la connexion l. Λ 2 jk variance du délai d approvisionnement du DC j chez le fournisseur k. Λ 2 jkl variance du délai d approvisionnement du DC j chez le fournisseur k à travers la connexion l. Θ nombre de jours travaillés par an. α taux de service dans les centres de distribution. Z α coefficient de sécurité. X j ={1 si le DC j est localisé, 0 sinon}

6 Y ij ={1 si le détaillant i est servi par DC j, 0 sinon} Z jk ={1 si le fournisseur k est sélectionné pour approvisionner le DC j, 0 sinon} 3.3 Formulation mathématique Comme nous l avons signalé précédemment, nous considérons dans un premier temps l existence d une seule connexion de transport entre les fournisseurs potentiels et les détaillants/zones de demandes pour définir les variables de décisions X j, Y ij et Z jk. Pour les choix de cette connexion, trois scénario sont considérés (voir section 5). Ainsi, la formulation mathématique du premier problème se présente comme suit : (MF )J = min J(X, Y, Z) X,Y,Z Avec J(X, Y, Z) définie par: + j I + j I J(X, Y, Z) = j I f j X j + j I Θµ i a jk Y ij Z jk + j I Θµ i d ij Y ij 2h j F jk Θ µ i Y ij Z jk ( ) 2 Z α h j Ljk σi 2Y ij + Λ 2 jk µ i Y ij Z jk (1) Sous les contraintes : Y ij = 1 i I (2) j I Z jk = X j j I (3) Y ij X j i, j I (4) X j, Y ij, Z jk {0, 1} i, j I k (5) La fonction objectif représente la somme des coûts de localisation, coûts de livraison, coûts d approvisionnement, coûts de stockage et de commande ainsi que les coûts de maintien des stocks de sécurité. La contrainte (2) exige que chaque détaillant soit servi par un et un seul DC localisé. La contrainte (3) assure que chaque DC ouvert est approvisionné par un et un seul fournisseur. La contrainte (4) assure que si un détaillant est servi par un DC, ce dernier est déjà localisé. La nature binaire des différentes variables de décision est exprimée par la contrainte (5). Le modèle présenté ci-dessous et un modèle d optimisation combinatoire non linéaire dont la résolution est très complexe. Notre objectif consiste à utiliser une approche de résolution basée sur la relaxation lagrangienne proposée initialement par Tanonkou (2007). Pour simplifier ce modèle, nous utilisons les notations suivantes : D ij = Θµ i d ij, A ijk = Θµ i a jk, c ijk = 2Θµ i h j F jk, α ijk = L jk σ 2 i (Z αh j ) 2, e jk = (Λ jk Z α h j ) 2 Pour résoudre le problème (MF), nous introduisons une nouvelle variable de décision D j qui indique la demande moyenne au niveau du DC j. Compte tenu des notations précédentes et de la nouvelle variable de décision D j, le problème (MF) peut être réécrit de la façon suivante : min J(X, Y, Z, D) = f j X j + X,Y,Z,D j I j I D ij Y ij + A ijk Y ij Z jk + c ijk Y ij Z jk j I j I + α ijk Y ij + e jk Dj 2Z jk (6) j I Sous les contraintes : Y ij = 1 i I (7) j I Z jk = 1 j I (8) µ i Y ij D j j I (9) Y ij X j i, j I (10) X j, Y ij, Z jk {0, 1} i, j I k (11) 4 APPROCHE DE RÉSOLUTION 4.1 Localisation des DCs et choix des fournisseurs Pour la résolution du problème (MF), nous utilisons une approche basée sur la relaxation lagrangienne qui consiste en (voir Tanonkou, 2007): 1. Relaxer les contraintes (7) et (9) qui rendent le problème difficile à résoudre et introduire les coûts de pénalisation obtenus par la relaxation dans la fonction objectif du problème. 2. Obtenir une borne inférieure en résolvant le problème relaxé pour chaque couple de multiplicateur de Lagrange associés aux contraintes (7) et (9). 3. Trouver une solution candidate pour déterminer une borne supérieure. 4. Maximiser la borne inférieure en utilisant la méthode de recherche du pas d armijo. Nous associons respectivement aux contraintes (7) et (9) les vecteurs des multiplicateurs de lagrange λ =

7 (λ i ) i I et β = (β j ) j J. Nous obtenons le problème relaxé suivant : L(λ, β) = min f j X j + ( ) Dij λ i + β j µ i Y ij W j I j I + A ijk Y ij Z jk + c ijk Y ij Z jk j I j I + j I α ijk Y ij + e jk Dj 2Z jk+ λ i β j D j jini (12) sous les contraintes (8), (10) et (11) avec W = (X, Y, Z, D). 4.2 Répartition des ordres d approvisionnement Après avoir déterminé les variables de décision X j, Y ij et Z jk, nous présentons dans cette section un algorithme génétique multi critères permettant de répartir les ordres d approvisionnement sur les différentes connexions reliant les fournisseurs sélectionnés aux DCs localisés. Plus précisément, notre algorithme d optimisation est une adaptation de l algorithme NSGA-II proposé initialement par Deb et al. (2002). Cet algorithme est considéré par les praticiens comme l un des algorithmes les plus performants parmi les différents MOGAs (Deb et al., 2002). Notre algorithme est utilisé par le module d optimisation pour guider la recherche dans un espace de solutions vers la frontière des solutions optimales au sens de pareto. Les principales étapes du MOGA implémenté s appuie sur : Une méthode de classement des solutions d une population selon les fronts Pareto. Une méthode élitiste préservant les meilleures solutions dans la population future. Une méthode crowd-comparison pour la sélection élitiste. Une procédure de réparation des solutions infaisables. Initialement, nous créons un ensemble de solutions candidates (ensemble de chromosomes) générées aléatoirement. Nous utilisons une représentation en nombres réels tel que chaque gène représente le pourcentage de la quantité de produit à transporter à travers la connexion correspondante. La valeur d un gène est comprise entre 0 et 1 et la somme des éléments d un chromosome est égale à 1. Dans le cadre de ce travail et pour une première tentative, nous considérons que chaque fournisseur potentiel est relié par trois connexions différentes avec chaque DC potentiel. Aussi, chaque connexion utilise un mode de transport ou un mixage de moyens de transport avec un coût et un délai de transport correspondant. La figure 3 illustre un exemple d une chaîne candidate avec les connexions possibles. Figure 3: Exemple de trois connexions reliant un fournisseur à un DC Pour cette chaîne, la figure 4 montre un exemple de chromosome avec 20% des produits seront transportés par la première connexion, 25% par la seconde connexion et 55% par la troisième connexion. Figure 4: Exemple de chromosome Les différentes étapes du MOGA utilisé se présentent comme suit : Algorithme Etape 1. Générer aléatoirement une population initiale P de taille N (de N chromosomes). Etape 2. Evaluer toutes les solutions dans P par la simulation. Etape 3. Calculer les rangs des solutions dans P. Etape 4. Mettre à jour la frontière Pareto avec les nouvelles solutions. Etape 5. Sélectionner les deux parents en utilisant la sélection binaire par tournoi. Elle consiste à tirer aux hasard deux solutions de la population P puis sélectionner la solution avec le rang le plus élevé. Etape 6. Générer deux solutions enfants par le croisement des deux solutions parents avec une probabilité P c. Etape 7. Exécuter l opérateur de mutation avec une probabilité P m pour chaque solution enfant. Etape 8. Ajouter les deux solutions enfants dans la population suivante G. Etape 9. Répéter les étapes de 5 à 8 pour obtenir N solutions enfants dans G. Etape 10. Générer la population suivante par la sélection élitiste sur P et G.