Les réseaux électriques en régime permanent (Cours XI, XII et XIII)

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1 Les réseaux électriques en régime permanent (Cours XI, XII et XIII) 1. Générateurs de tension Un générateur de tension est un appareil à deux bornes qui maintient une différence de potentiel entre ses bornes qui est à peu près indépendante de l intensité qui le parcourt. Lorsque cette différence de potentiel est exactement indépendante de l intensité, on dit que le générateur est idéal. 1. (*) Dessiner le symbole représentant un générateur idéal de tension dont la différence de potentiel entre ses bornes A et B est V A V B = E. Comment s appelle la quantité E? 2. (*) On branche un fil conducteur de résistance R aux bornes du générateur de tension ci-dessus. (a) Quelle est l intensité qui circule dans le circuit? (b) Représenter le champ électrique tout le long du circuit, à l extérieur et à l intérieur du générateur. (c) Montrer que le courant électrique circule contre le courant électrique à l intérieur du générateur. Comment cela est-il possible? (d) Calculer la puissance apportée par le générateur. Que devient cette énergie? 3. Les piles chimiques fonctionnent grâce à une réaction d oxydo-réduction. Décrire le fonctionnement d une pile de ce type (par exemple la pile Plomb-acide utilisée dans les batteries de voiture, ou la pile Daniell). On indiquera en particulier le sens du courant électrique, le sens du champ électrique, et le mouvement des porteurs de charges dans la pile, lorsque celle-ci est branchée sur une résistance R. Comment peut-on faire pour recharger une telle pile? 4. Décrire le fonctionnement de la pile gravitationnelle de lord Kelvin ( Kelvin water dropper ). À retenir : le principe d un générateur continu de tension est de pouvoir faire circuler le courant électrique contre le champ électrique. Pour ce faire, les charges doivent être soumises à une force supplémentaire qui peut vaincre la force de Coulomb. Dans le cas des piles chimiques, il s agit d une force chimique qui est en fait d origine statistique (voir le cours de Chimie ou le cours de Physique macroscopique 38

2 de deuxième année). Pour le générateur de Kelvin, il s agit de la force gravitationnelle. Par l intermédiaire du travail de cette force, le générateur transmet de l énergie au circuit. 2. Dipôles électrocinétiques Un dipôle électrocinétique est un appareil à deux bornes A et B, pour lequel il existe une certaine relation entre la tension V A V B = u AB appliquée à ses bornes et l intensité I qui le parcourt : I = f(u AB ) (36) pour une certaine fonction f (attention : ne pas oublier de préciser dans chaque cas la convention utilisée pour choisir le signe de I). Lorsque la courbe représentative de la fonction f (que l on appelle la courbe caractéristique du dipôle) est une droite, on dit que le dipôle est linéaire. Attention : il devrait être clair qu il n y a aucun lien entre la notion de dipôle électrique étudiée dans des cours précédents et celle de dipôle électrocinétique. Ici, dipôle réfère simplement au fait que l appareil a deux bornes. 1. Montrer qu une portion de conducteur ohmique (une résistance ) est un dipôle électrocinétique linéaire. Tracer sa courbe caractéristique. 2. Montrer qu un générateur idéal de tension est un dipôle électrocinétique linéaire. Tracer sa courbe caractéristique. 3. Un générateur idéal de courant est un dipôle électrocinétique linéaire pour lequel la fonction f dans (36) est une constante appelée intensité de court-circuit du générateur. Rappeler quel est le symbole représentant un générateur idéal de courant. 4. Montrer qu un dipôle électrocinétique linéaire quelconque est équivalent à l association en série d un générateur idéal de tension et d une résistance (quitte à prendre cette résistance négative, cas qui n existe pas en pratique). Une telle représentation s appelle la représentation de Thévenin du dipôle linéaire. 5. Montrer qu un dipôle électrocinétique linéaire quelconque est équivalent à l association en parallèle d un générateur idéal de courant et d une conductance (quitte à prendre cette conductance négative, cas qui n existe pas en pratique). Une telle représentation s appelle la représentation de Norton du dipôle linéaire. 6. Pour un dipôle électrocinétique linéaire donnée, quelle est la relation entre la force électromotrice du générateur de tension et la résistance intervenant dans la représentation de Thévenin d une part, et la conductance et l intensité de court 39

3 circuit du générateur de courant intervenant dans la représentation de Norton d autre part? 7. (*) Tracer la courbe caractéristique d un dipôle linéaire général (on prendra bien sûr la résistance positive!) et indiquer sur cette courbe les zones où le dipôle dissipe de l énergie et les zones où il apporte de l énergie. 8. Tracer la caractéristique d une diode jonction idéale, d une diode jonction réelle, et d une diode Zener. Ces diodes sont-elles des dipôles linéaires? 3. Les lois de Kirchhoff Les deux lois de Kirchhoff (la loi des nœuds et la loi des mailles) permettent de déduire, dans un réseau électrique, les intensités dans chaque branche et les différences de potentiels entre deux points quelconques du réseau. En d autres termes, il suffit d appliquer les deux lois de Kirchhoff pour résoudre n importe quel problème faisant intervenir un réseau électrique. Ces deux lois sont strictement valables en régime permanent (c est-à-dire lorsqu aucune quantité physique ne dépend du temps) et sont des conséquences directes de deux lois de la Physique que nous avons déjà étudiées. 1. Énoncer la loi des nœuds et montrer qu elle est une conséquence de la loi de conservation de la charge électrique. 2. Énoncer la lois les mailles et montrer qu elle est une conséquence du fait que le champ électrique est à circulation conservative (ou, ce qui est équivalent, dérive d un potentiel). Nous verrons que la loi des nœuds reste essentiellement valable même en régime dépendant du temps (en tout cas tant que les fréquences de variation des intensités ne sont pas trop élevées). Par contre, la loi des mailles n est plus valable dans ce cas et nous verrons plus tard comment elle doit être modifiée. Pour l instant, nous nous limitons au cas du régime permanent. 1. Énoncer et démontrer les règles d association en série de deux dipôles électrocinétiques linéaires (on utilisera la représentation de Thévenin et la représentation de Norton). Expliciter en particulier le cas de deux résistances en série. 2. Énoncer et démontrer les règles d association en parallèle de deux dipôles électrocinétiques linéaires (on utilisera la représentation de Thévenin et la représentation de Norton). Expliciter en particulier le cas de deux résistances en parallèle. 3. Énoncer et démontrer la loi de Pouillet. 40

4 4. Énoncer et démontrer la loi de Millmann. 5. Qu est-ce qu un diviseur de tension? Un diviseur de courant? L application des lois de Kirchhoff à un réseau constitué uniquement de dipôles électrocinétiques linéaires donne un résultat particulièrement simple, comme nous le discutons ci-dessous. 1. Expliquer comment la notion d intensités de maille permet de paramétriser les intensités circulant dans toutes les branches d un réseau, en tenant compte automatiquement de la loi des nœuds (on pourra prendre l exemple d un réseau à trois mailles). 2. Montrer que l on a une relation matricielle de la forme RI = E, (37) où : le vecteur colonne I est le vecteur colonne des intensités de maille ; le vecteur colonne E est le vecteur colonne des forces électromotrices de maille, sommes des forces électromotrices dans chaque maille ; la matrice R est telle que ses éléments diagonaux R ii correspondent à la somme des résistances de la maille numéro i et ses éléments non-diagonaux R ij à l opposé de la somme des résistances communes aux mailles numéro i et j. On pourra faire la démonstration en prenant le cas particulier d un circuit à trois mailles. 3. Indiquer le principe de la méthode de superposition et expliquer comment cette méthode se justifie en utilisant le résultat de la question précédente. 4. Le théorème de Thévenin Le théorème de Thévenin s énonce comme suit : Tout dipôle électrocinétique constitué uniquement d éléments linéaires (c est-à-dire tout circuit à deux bornes construit uniquement à l aide de dipôles électrocinétiques linéaires) est équivalent à un dipôle électrocinétique linéaire. De plus, la résistance de ce dipôle peut être calculée en éteignant tous les générateurs dans le circuit et en calculant la résistance équivalente. Quant à la force électromotrice de ce dipôle, elle peut être obtenue en calculant la différence de potentiel aux bornes du circuit ouvert. Nous n avons pas cherché à justifier ce théorème en cours, mais nous invitons les étudiants motivés (et/ou ceux de la section de mathématiques en particulier!) à en faire la démonstration. C est un petit exercice d algèbre linéaire, similaire à celui qui permet d obtenir (37). 41

5 La meilleure façon de comprendre ce théorème est de l appliquer sur des exemples concrets : vous êtes invités à bien étudier la solution donnée dans le complément de cours Exemple de réseau à trois mailles et à vous exercer sur la série 5 des exercices d application! 5. Sur les lignes à haute tension Pour transporter l électricité sur de grandes distances, on utilise en général des lignes à haute tension, typiquement à V, voire V pour les lignes à très haute tension. Nous allons tâcher dans ce paragraphe de comprendre quel est l intérêt d utiliser ces très hautes tensions. 1. Une centrale électrique produit une puissance de P centrale = 1 GW (c est environ la puissance développée par un réacteur nucléaire). Quelle est la relation entre la tension V aux bornes des lignes quittant la centrale, l intensité I qui circule dans les lignes et la puissance P? 2. Pour apporter l électricité jusqu à la ville la plus proche, qui se trouve à une distance d de la centrale, on utilise un câble de conductivité σ 10 8 S/m et de section S 10 cm 2. (a) Quelle est la résistance totale R du câble? (b) Quelle est la puissance P Joule dissipée par effet Joule dans le câble, en fonction de la puissance P centrale de la centrale électrique et de la tension V sur la ligne? (c) Conclure. Faire l application numérique pour d = 100 km. En réalité, le courant qui circule dans les lignes est alternatif alors que l analyse cidessus est strictement valable en régime permanent et donc pour un courant continu. On verra cependant plus tard dans le cours que la passage du courant continu au courant alternatif n entraîne aucun changement notable. Mais le courant alternatif n est pas utilisé par hasard... Indépendamment des pertes par effet Joule, il y a d autres raisons fondamentales qui rendent son utilisation indispensable, comme nous le verrons plus tard dans le cours. 42

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