Techniques «Soft-Computing» pour l Identification de Systèmes. Une Perspective d Optimisation Gonzalo Joya. Dpto. Tecnología Electrónica

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1 Technques «Soft-Computng» pour l Identfcaton de Systèmes. Une Perspectve d Optmsaton Gonzalo Joya ETSI Telecomuccacón 9017 Málaga joya@dte.uma.es Pars, le 8 févrer 003

2 Plan - Identfcaton d un Système Dynamque - Estmaton Paramétrque en temps réel - Modèle d Hopfeld - Estmaton paramétrque hors de temps - Algorthmes Génétques - Un cas d étude smulé: Epdéme VIH-SIDE à Cuba - Résultats - Conclusons - Références

3 Identfcaton d un Système Dynamque Un système dynamque: - Il a un fonctonnement nterne non drectement observable - Il est formulé par un système d équatons dfférentelles ordnares Identfcaton - Il faut caractérser le fonctonnement du système - Il faut trouver le modèle EDO qu décrt le système

4 Identfcaton d un Système Dynamque Identfcaton type «boîte nore» Il n exste aucune connassance addtonnelle Identfcaton type «boîte grse» Le modèle physque a des paramètres nconnus Estmaton paramétrque Identfcaton en temps réel L estmaton évolue avec les observatons du système Réseaux de neurones d Hopfeld Identfcaton hors temps réel Le modèle est évalué une fos à partr d un ensemble d observatons hstorques Algorthmes Génétques

5 Estmaton Paramétrque en temps réel Descrpton du problème y = ẋ = f ( x, u, θ) Système Dynamque. ˆ = g( θˆ,x,u θ ) Règle d adaptaton des paramètres estmés e θˆ - θ Erreur d estmaton = y f ( x, u, ˆ) θ Objectf de mnmsaton Erreur de prédcton

6 Estmaton Paramétrque en temps réel Estmaton par gradent. ˆθ = k e θˆ Estmaton par gradent y = ẋ = A( x, u) θ Système Lnéare de Paramètres. Règle d adaptaton e ˆθ = k = k A A θ ˆ θ ( ) T T ˆ + A y

7 Modèle d Hopfeld Applcaton à l Optmsaton du dt s = ( t ) tanh ( u ( t = j t j s j I )) Réseaux rebouchés d Hopfeld Dynamque D Abe E (s) 1 = s Ws T + s T Foncton d Energe I = 1 E(s) tj s sj + j I s Applcaton à l Optmsaton Pour optmser F(x) Fare E F et s x Obtenr W et I

8 Estmaton Paramétrque en temps réel Par des Réseaux d Hopfeld ( ) T T + F(θˆ) = k A A θˆ A y du = net (s) dt s ( t ) =tanh ( u ( t )) 1 E(s) = tjss j + j Dynamque d Hopfeld Réalsaton du modèle de Hopfeld I s T = A I = A (t 0) T T A y E 1 e s θˆ 1 T = ˆ θ A Assocaton E F T A ˆ T θ ˆ θ A T y Dynamque partculère. T T u = A As+ A y s = tanh( net/ β) Calcul des pods et seuls

9 Estmaton Paramétrque hors temps réel Descrpton du problème Trouver les θ qu mnmsent J ẋ = EDO f ( t, x, θ) J(θ ) = x(τ ) Σ σ y Ensemble dscret d observatons y =x(τ ) + ε ˆ = arg(mn J( θ θ )) Valeurs obtenues par la Méthode Lnéarsaton Locale ~ J(θ ) = Σ ~ x τ σ y Mnmsaton obtenue par un Algorthme Génétque ~ ˆ = arg(mn J( θ θ ))

10 Estmaton Paramétrque hors temps réel Descrpton de l Algorthme Génétque Populaton Vecteur des paramètres θ =(θ 1,, θ ) Les Indvdus ou chromosomes Sélecton par Tourno Foncton Objectve (Ftness) Pour chaque ~ -Calculer lesxτ par la méthode LL - Obtenr son «ftness» J( θ ) ~ Crosement Lnéare Mutaton aléatore Nouvelle Populaton

11 Estmaton Paramétrque hors temps réel Descrpton de l Algorthme Génétque Sélecton par Tourno Quelques caractérstques des opérateurs Chaque ndvdu partcpe deux fos dans un tourno par couples Le melleur ndvdu aura deux réplques dans la prochane génératon Le pre ndvdu ne sera pas dans la prochane génératon Crosement Lnéare On peut fare une combnason lnéare ( Les vecteurs chromosomes ont des composantes contnues) S un ndvdu est crosé, un de ses possbles descendants sera très proche de lu on conserve les beau ndvdus Possblté de Mnma Locaux Mutaton aléatore Ade à évter les Mnma Locaux

12 Un cas d étude smulée: Epdéme VIH-SIDA à Cuba. (H. de Arazoza) µ λ k β X µ λ k1 λ Y1 β Y µ λ=0.5594, µ=0.0053, µ =0.76, β=1/b (con b=8.8), β =1/b (con b =7.41), λ =r/λ (con r=0.048), k1=0.161, k=0.3. Z représente le nombre de personnes qu ont développé le SIDA X représente le nombre de personnes qu portent le VIH mas qu ne sont pas connues β Z µ dx dt X ( Y1+ Y ) = ( λ k1 β µ ) X + λ'( Y1+ Y ) k X + Y1+ Y dy1 X ( Y1+ Y ) = ( µ β') Y1+ k dt X + Y1+ Y dy = ( µ β') Y + k1x dt dz = βx + β'( Y1+ Y ) µ ' Z dt X(0)=50, Y1(0)=6, Y(0)=68, Z(0)=3 400 valeurs sont obtenues (Il y a un changement dans les paramètres a partr de la mesure 00) Y1 représente le nombre de personnes qu Portent le VIH et qu sont détectées Y représente le nombre de personnes qu portent le VIH et qu sont détectées par hasard

13 Résultats Estmaton Paramétrque en temps réel (M.A. Atenca, G. Joya, F.Sandoval) Estmaton du paramètre (λ- k1- β - µ) a La valeur ntale est très proche de la valeur réelle b La valeur ntale est un peu séparée de la valeur réelle

14 Résultats Estmaton Paramétrque en temps réel (M.A. Atenca, G. Joya, F.Sandoval) Estmaton du paramètre (-µ-β ) Erreur de prédcton pour les tros varables d état (Valeurs absolues)

15 Résultats Estmaton Paramétrque hors temps réel (L.M. Pedroso-Rodrguez, A.A. Marrero, H. Arazoza) Parametres réels et estmés k1 k λ β µ µ β λ P. Réels P. Estmés Résultats de l estmaton des observatons Résultats de la prédcton de nouvelles données

16 Un autre exemple physque. Le pendule θ g v 1 y = x = sn x x + u l ml ml T g v 1.,, A = sn x, x, u = l.. ml ml ( ) Gradent (k=10) Gradent (k=100) Hopfeld Gradent (k=10) Gradent (k=100) Hopfeld rθ 1 o e r r fo n o a t E st m Intégrale del erreur de prédcton Tme (secs) Erreur d estmaton pour ϑ1

17 Conclusons L estmaton des paramètres d un système modélsé par des ODEs peut être consdéré comme un problème d optmsaton Il peut être abordé par des RNAs (Modèle d Hopfeld) et par des AGs Le Modèle d Hoplfeld permet une estmaton en temps réel (S les paramètres et sortes du système ne changent pas très vte) Les Algorthmes Génétques permettent une estmaton hors temps réel (Plus approprés pour processus avec un ensemble lmte de mesures séparées en temps) Un ensemble d observatons peut être estmé par dfférents vecteurs de paramètres. (L approxmaton des courbes du système peut être bonne, mas l estmaton de ses paramètres peut ne pas être bonne)

18 Conclusons Possblté d être applquées à l dentfcaton de systèmes non lnéares en les paramètres

19 Références Abe, S.. Global convergence and suppresson of spurous states of the Hopfeld neura networks, IEEE Trans. On Crcuts and Systems I: Fundamental Theory and Applcatons, Vol. 40, No. 4, pp , (1993). H. de Arazoza, R.A. Lounes, A non-lnear Model for a Sexully Transmtted desease wth contact tracng, IMA J. Math. Appl; Med. Bol. 13, 1614 (00) Atenca, M.A., Joya, G., Sandoval, F., Gray Box Identfcaton wth Hopfeld Neural Networks, Rev. Investgacon en Operacones, (accepté pour publcaton), (00 ) Atenca, M.A., Joya, G., Sandoval, F.,, presenté au IWANN 003 Joya, G., Atenca, M.A., Sandoval, F., Hopfeld neural networks for optmzaton: study of thdfferent dynamcs, Neurocomputng, Vol. 43, pp , (00) L.M. Pedroso-Rodrguez, Aplcacon de Algortmos Evolutvos a la Solucon del Problema de Parametros en Modelos Defndos por Ecuacones Dferencales Ordnaras, Tess de Dploma, Unversdad de La Habana (Cuba) (00) L.M. Pedroso-Rodrguez, A.A. Marrero, H. de Arazoza, Nonlnear parametrc model dentfcaton usng genetc algorthms, presenté au IWANN003. (003)