BREVET BLANC 02 février Épreuve de MATHÉMATIQUES

Transcription

1 Collège de la Coutancière BREVET BLANC 02 février 2005 Épreuve de MATHÉMATIQUES L'usage des instruments de calcul est autorisé. La précision de la rédaction et la qualité de la présentation seront notées sur 4 points Ne pas oublier de rendre la dernière page du sujet (graphique du problème) Durée de l'épreuve : 2 heures PAGE 1 sur 5

2 ACTIVITÉS NUMÉRIQUES (12 points) Exercice 1 En indiquant les différentes étapes, calculer les nombres suivants sous la forme la plus simple possible. 5 A = B = C = ( )( ) D = (10²) 3 Exercice 2 Vous donnerez le résultat sous forme a E = b avec b entier positif le plus petit possible. Exercice 3 On considère l expression : A = ( 2x + 1 )² ( x 3 )( 2x + 1 ) 1) Développer et réduire l expression A 2) Factoriser A 3) Calculer A pour x = 1 2 Exercice 4 Soit les deux nombres entiers 1309 et ) Calculer leur PGCD. 2) Application : Barnabé possède un champ rectangulaire dont les dimensions sont : longueur L = 1309 m largeur l = 1001 m. Il souhaite entourer son champ avec une rangée de peupliers. Sachant que : les arbres doivent être régulièrement espacés. la distance en mètres entre deux arbres consécutifs doit être un nombre entier compris entre 30 et 80. il doit y avoir un peuplier à chaque sommet du rectangle. calculer le nombre de peupliers nécessaires pour entourer le champ de Barnabé. PAGE 2 sur 5

3 GÉOMÉTRIE (12 points) Les figures ne sont pas à l échelle. On ne demande pas de les refaire. Exercice 1 : Dans le triangle ABC (croquis ci-dessous), on donne : [AH] hauteur issue de A AH = 5 cm AB = 8 cm ACH = 51 A C H B 1 ) a) Déterminer la valeur arrondie au dixième de degré de l angle HBA. b) Le triangle ABC est-il rectangle en A? Justifier. 2 ) Calculer la valeur exacte de la longueur du segment [HB] puis sa valeur arrondie au millimètre près. 3 ) Calculer la valeur arrondie au millimètre près de la longueur du segment [CH]. 4 ) Déterminer une valeur approchée de l aire du triangle ABC. Exercice 2 : Soit un triangle ABC, dans lequel on a tracé une droite (EF) parallèle à la droite (BC). A E D F B 3 C On donne AE = BC = 3 cm et EB = AD = 2 cm 1 ) Calculer les valeurs exactes de AC, DC et ED. 2 ) On sait que DF = 2,7 cm Les droites (EC) et (AF) sont-elles parallèles? Bien justifier la réponse. PAGE 3 sur 5

4 PROBLÈME (12 points) Réglage des feux de croisement d'une voiture. On envisage de régler rapidement, mais avec précision, les feux de croisement d'une voiture. Pour cela, on place le véhicule face à un mur vertical. Le phare est assimilé à un point P, la distance entre le sol et le phare est HP. On considère que le phare émet un rayon lumineux dirigé vers le sol. Il rencontre le mur en B. En l'absence d'obstacle ce rayon atteindrait le sol au point M. La distance HM est appelée la portée du feu de croisement. Consigne de sécurité : On admet que cette portée doit, à la fois, être : d'au moins 30 mètres, afin d'éclairer suffisamment loin. d'au plus 45 mètres, pour ne pas éblouir les autres automobilistes. PHM est un triangle rectangle en H et (BA) est perpendiculaire à (HM). Pour l'ensemble du problème le phare P est à une hauteur de 0,60 m et la voiture est à 3 m du mur. (HP = 0,60 m et HA = 3 m) 1. Démontrer que (HP) et (AB) sont parallèles. 2. Démontrer que : AB HP = AM HM Justifier rapidement que HP x AM = AB x HM 3. a. Calculer la hauteur AB pour une portée de feu de croisement HM égale à 50 m. b. Calculer tan HPM à 0,01 près. En déduire la mesure de l angle HPM, arrondie au dixième de degré près. 4. A partir de quelle hauteur minimale AB, le rayon lumineux doit-il atteindre le mur pour que, d'après la consigne de sécurité, le véhicule éclaire suffisamment loin? 5. On pose pour la suite du problème : AB = x (0 x < 0,6) et on note y la portée du feu de croisement (HM = y). 1,8 Démontrer, en utilisant la question 2, que y = 0,6 x. On remarquera que AM = HM 3. PAGE 4 sur 5

5 CETTE FEUILLE EST À RENDRE OBLIGATOIREMENT AVEC LA COPIE 6. Sur la figure ci-après, on a tracé la courbe qui représente la portée du feu de croisement en fonction de la distance x qui sépare le point B du sol. y portée en mètres distance AB x a. Placer en rouge sur la courbe le point qui correspond à la situation de la question 3.a (on désignera ce point par la lettre E.) b. Trouver, à l'aide du graphique, l'entier y qui indique la portée du feu de croisement lorsque la distance AB est x = 0,42 m Retrouver, à l'aide de la question 5, ce résultat par le calcul. Le phare éclaire-t-il alors suffisamment loin? c. On décide de régler un feu de croisement, de façon à respecter la "consigne de sécurité ". Quelles sont, d'après le graphique, les valeurs minimale et maximale de AB que l'on peut accepter? On laissera apparents les traits de construction. PAGE 5 sur 5