Évaluation et Interpolation rapide.

Transcription

1 Évaluation et Interpolation rapide une généralisation de la FFT Adrien Poteaux inspiré du cours d Alin Bostan aux JNCF Univ Lille 1 - LIFL, équipe Calcul Formel Groupe de Travail de Calcul Formel 20 Mai merci à lui pour le partage de ses fichiers tex! adrienpoteaux@liflfr Évaluation - Interpolation 1 / 19

2 Algorithmes modulaires Choix de modulos m i Réductions du problème modulo m i Calculs modulo m i Reconstruction : Théorème des Restes Chinois Résultats corrects si modulos assez nombreux et indépendants, Intérêt si explosion des expressions intermédiaires déterminant de matrices entières, calcul de pgcd de polynômes à coefficients entiers adrienpoteaux@liflfr Évaluation - Interpolation 2 / 19

3 Choix des modulos? Dans le cadre polynomial, si ξ A racine de l unité d ordre suffisamment élevé, la taille des données (degré) est suffisamment grande, un choix intéressant est : m i = X ξ i = évaluation-interpolation similaire à la FFT Remarque : parfois, choix des modulo imposé par le problème adrienpoteaux@liflfr Évaluation - Interpolation 3 / 19

4 Évaluation multi-point (univariée) A anneau commutatif unitaire, α 0,, α n 1 A, α i α j Le problème Étant donné P A[X ] tq deg X (P) < n, calculer les valeurs P(α 0 ),, P(α n 1 ) adrienpoteaux@liflfr Évaluation - Interpolation 4 / 19

5 Interpolation A anneau commutatif unitaire, α 0,, α n 1 A Le problème Étant donnés β 0,, β n 1 A trouver P = p i X i A[X ] tq P(α 0 ) = β 0,, P(α n 1 ) = β n 1 Remarque : solution unique si α i α j A pour i j adrienpoteaux@liflfr Évaluation - Interpolation 5 / 19

6 Lien avec la matrice de Vandermonde V = 1 α 0 α n α 1 α n α n 1 αn 1 n 1 ; p = p 0 p 1 p n 1 ; b = β 0 β 1 β n 1 Évaluation : calculer V p Interpolation : résoudre le système linéaire V p = b Deux conséquences : Premières complexités en respectivement O(n 2 ) et O(n ω ), Preuve de la remarque précédente (det(v) = i<j (α j α i )) adrienpoteaux@liflfr Évaluation - Interpolation 6 / 19

7 Interpolation de Lagrange Formule d interpolation de Lagrange : X α j P(X ) = β i α i α j j i adrienpoteaux@liflfr Évaluation - Interpolation 7 / 19

8 Interpolation de Lagrange Formule d interpolation de Lagrange : P(X ) = β i j i X α j = α i α j β i A i (X ) A i (α i ) adrienpoteaux@liflfr Évaluation - Interpolation 7 / 19

9 Interpolation de Lagrange Formule d interpolation de Lagrange : A i (X ) P(X ) = β i A i (α i ) ; A i(x ) = X α j j i Calcul direct : 1 Calculer les A i (X ), (naïvement) O(n 3 ) 2 Évaluations A i (α i ), O(n 2 ) 3 Combinaisons linéaires O(n 2 ) adrienpoteaux@liflfr Évaluation - Interpolation 7 / 19

10 Interpolation de Lagrange améliorée A i (X ) P(X ) = β i A i (α i ) ; A i(x ) = X α j j i 1 A 1; P 0 2 Pour i = 0,, n 1 faire A A (X α i ) 3 Pour i = 0,, n 1 faire A i (X ) A/(X α i ) q i A(α i ) P P + β i A i /q i adrienpoteaux@liflfr Évaluation - Interpolation 8 / 19

11 Interpolation de Lagrange améliorée A i (X ) P(X ) = β i A i (α i ) ; A i(x ) = X α j j i 1 A 1; P 0 2 Pour i = 0,, n 1 faire A A (X α i ) O(i) 3 Pour i = 0,, n 1 faire A i (X ) A/(X α i ) q i A(α i ) P P + β i A i /q i adrienpoteaux@liflfr Évaluation - Interpolation 8 / 19

12 Interpolation de Lagrange améliorée A i (X ) P(X ) = β i A i (α i ) ; A i(x ) = X α j j i 1 A 1; P 0 2 Pour i = 0,, n 1 faire O(n 2 ) A A (X α i ) O(i) 3 Pour i = 0,, n 1 faire A i (X ) A/(X α i ) q i A(α i ) P P + β i A i /q i adrienpoteaux@liflfr Évaluation - Interpolation 8 / 19

13 Interpolation de Lagrange améliorée A i (X ) P(X ) = β i A i (α i ) ; A i(x ) = X α j j i 1 A 1; P 0 2 Pour i = 0,, n 1 faire O(n 2 ) A A (X α i ) 3 Pour i = 0,, n 1 faire A i (X ) A/(X α i ) q i A(α i ) P P + β i A i /q i O(i) O(n) adrienpoteaux@liflfr Évaluation - Interpolation 8 / 19

14 Interpolation de Lagrange améliorée A i (X ) P(X ) = β i A i (α i ) ; A i(x ) = X α j j i 1 A 1; P 0 2 Pour i = 0,, n 1 faire O(n 2 ) A A (X α i ) O(i) 3 Pour i = 0,, n 1 faire O(n 2 ) A i (X ) A/(X α i ) q i A(α i ) O(n) P P + β i A i /q i adrienpoteaux@liflfr Évaluation - Interpolation 8 / 19

15 Algorithme rapide? Diviser pour régner Hypothèse dans la suite : n = 2 k Idée du processus : 1 Calculer P 0 = P mod (X α 0 ) (X α n/2 1 ) et P 1 = P mod (X α n/2 ) (X α n 1 ), 2 Appliquer récursivement ce procédé à P 0 et P 1 3 Terminer quand n = 1 : on a P mod (X α i ) = P(α i ) Préliminaire : calculer rapidement les modulo (X α i ) Remarque : dans la suite, O(n) omis quand M(n) dans la complexité adrienpoteaux@liflfr Évaluation - Interpolation 9 / 19

16 Préliminaire : propriétés pour la multiplication rapide La fonction M(n) (complexité pour multiplier deux polynômes de degrés < n) vérifie : M(n/2) + M(n/4) + + M(1) < M(n) 2M(n/2) + 4M(n/4) + + nm(1) < M(n) log(n) (cf eg thèse Alin Bostan, Lemma 22 page 49) Pour rappel, M(n) = O(n 2 ) pour l algorithme naïf, O(n log 2 3 ) = O(n 159 ) avec l algorithme de Karatsuba, O(n log(n)) via FFT si racines de l unité dans A O(n log(n) log log(n)) sinon adrienpoteaux@liflfr Évaluation - Interpolation 10 / 19

17 Arbre des sous-produits B 0 = n/2 1 n 1 A = (X α i ) (X α i ) 2 M(n/4) B 1 = M(n/2) n 1 i=n/2 1 (X α i ) (X α 0)(X α 1) n/2 M(1) (X α n 2)(X α n 1) (X α 0) (X α 1) M(n) log(n) (X α n 2) (X α n 1) < 1 2 adrienpoteaux@liflfr Évaluation - Interpolation 11 / 19

18 Évaluation multi-point rapide : complexité [Borodin-Moenck, 1974] 2 P(X ) 5 M(n/2) complexité de la division euclidienne P mod B 0 P mod B M(n/4) P mod (X α 0)(X α 1) P mod (X α n 2)(X α n 1) n 5 M(1) P(α 0) P(α 1) P(α n 2) P(α n 1) < 5 M(n) log(n) Complexité totale : < 11 2 M(n) log(n) ( 9 2 possible) adrienpoteaux@liflfr Évaluation - Interpolation 12 / 19

19 Interpolation rapide [Borodin-Moenck, 1974] n 1 Formule de Lagrange modifiée - A(X ) = (X α i ) P(X ) = A(X ) β i /A (α i ) X α i Calculer c i = β i /A (α i ) (évaluation multi-point) 11 2 M(n) log n A(X ) Calculer c i : diviser pour régner M(n) log n X α i Coût total : 13 2 M(n) log n adrienpoteaux@liflfr Évaluation - Interpolation 13 / 19

20 Interpolation rapide : combinaisons linéaires [Borodin-Moenck, 1974] A(X ) P(X ) = c i (X α i ) B 1 B 0 2 M(n/2) n/2 1 c i B 0 (X α i ) c 1 (X α 0) + c 0 (X α 1) 4 M(n/4) n/2 1 c i B 1 (X α i ) c n 1 (X α n 2) + c n 2 (X α n 1) (X α 1) (X α 0) n M(1) (X α n 1) (X α n 2) c 0 c 1 c n 2 c n 1 < M(n) log(n) adrienpoteaux@liflfr Évaluation - Interpolation 14 / 19

21 Arbre des produits : cas géometrique [Bostan-Schost, 2005] Le problème : q A donné, calculer A = n 1 (X qi ) Idée : B 0 = n/2 1 (X q i ) = B 1 = n 1 i=n/2 ( ) X B 1 (X ) = B 0 q n/2 q (n/2)2 (X q i ) par homothétie : Diviser pour régner : Calcul récursif de B 0 (X ) Déduction de B 1 (X ) à partir de B 0 (X ) Retourner A(X ) = B 0 (X ) B 1 (X ) O(n) M(n/2) Coût total : M(n) (+O(n)) adrienpoteaux@liflfr Évaluation - Interpolation 15 / 19

22 Évaluation multi-point rapide, cas géometrique [Bluestein, 1970] Problème : q A, P A[X ] <n donnés, calculer P(q i ), 0 i < n On cherche : P(q i ) = c j q ij, 0 i < n Astuce de Bluestein : ij = (i + j)2 i 2 j 2 2 j=0 = q ij = q (i+j)2 /2 q i 2 /2 q j2 /2 D où : P(q i ) = q i 2 /2 c j q j2 /2 q (i+j)2 /2 k=0 j=0 } {{ } convolution : [ X n 1+i ] ( ) ( 2n 2 c k q k2 /2 X n k 1 Conclusion : Évaluation rapide pour α i = q i en O(M(n)) l=0 q l2 /2 X l ) adrienpoteaux@liflfr Évaluation - Interpolation 16 / 19

23 Interpolation rapide, cas géometrique [B-Schost, 2005] Problème : q A, v 0,, v n 1 A donnés, calculer P K[X ] <n tq P(1) = v 0,, P(q n 1 ) = v n 1 Algorithme rapide : Formule de Lagrange modifiée P(X ) = A(X ) v i /A (q i ) X q i, A = i (X q i ) Calculer n 1 (X q i ) : diviser pour régner O(M(n)) Calculer c i = v i /A (q i ) : algorithme de Bluestein O(M(n)) Calculer c i X q i : diviser pour régner O(M(n)) adrienpoteaux@liflfr Évaluation - Interpolation 17 / 19

24 Combinaisons linéaires : cas géometrique [B-Schost, 2005] On a : q A, c 0,, c n 1 A On veut calculer : R(x) = c i x q i Idée 1 : changer de représentation ; suffit pour calculer R mod x n Idée 2 : R mod x n = évaluation multi-point en 1, q 1,, q (n 1) c i x q i mod x n = c i q i(j+1) x j = j=0 C(q j 1 )x j j=0 Conclusion : algorithme en O(M(n)) (généralisation de la transformée de Fourier inverse) adrienpoteaux@liflfr Évaluation - Interpolation 18 / 19

25 Conclusion Algorithme simple O(n 2 ) Algorithme rapide O(M(n) log n) Cas géométrique O(M(n)) Plus de détails? cours d Alin Bostan aux JNCF 2010, Modern Computer Algebra adrienpoteaux@liflfr Évaluation - Interpolation 19 / 19