LOI EXPONENTIELLE EXERCICES. La durée T, en minutes, d une conversation téléphonique suit une loi exponentielle de moyenne 4 minutes.

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1 EXERIES 3 La duré T, n minuts, d un convrsation téléphoniqu suit un loi xponntill d moynn 4 minuts. ) alculr P(T>5) ) alculr P( < T < 8). Pour un variabl T, xprimé n minuts, qui rprésnt un duré d vi t suit un loi xponntill, on a : P(T>3)=0,. ) Qull st la duré d vi moynn? ) alculr P(T < 5). Un chên a un duré d vi moynn d 40 ans t on convint d modélisr sa duré d vi n annés par un variabl aléatoir X suivant un loi xponntill. ) Qul st l paramètr λ d X? ) alculr la probabilité qu la duré d vi d un chên soit : a) supériur à 480 ans. b) infériur à 0 ans. c) infériur à 360 ans sachant qu il a déjà 40 ans. 4 Un variabl aléatoir X suit un loi xponntill d paramètr λ ) Détrminr λ sachant qu P(X 50) = ) alculr P(X > 5) 5 Un variabl aléatoir X suit un loi xponntill d paramètr λ Sachant qu P( X ) =, détrminr λ. 6 La duré d vi moynn d un motur élctriqu st d 5 ans t suit un loi xponntill. ) Si l motur st garanti un an, qull proportion d ss clints dvra-t-on dépannr avant la fin d la garanti? ) Qull st la duré d la garanti pour qu on ait à dépannr 50 % ds clints durant ctt garanti? 3) Dans un lot d 0 moturs, soit X l nombr ds moturs qui n ont pas d panns durant dux ans. a) Qull st la loi d X? b) alculr E(X). 7 Un fabricant d matéril élctroniqu sait, à l aid d étuds statistiqus, qu son matéril fonctionn n moynn ans sans réparation t qu la duré d vi avant la prmièr pann suit un loi xponntill. On désign par X la duré d vi n anné. ) Détrminr la fonction F tll qu F(x) = P(X x). ) alculr la probabilité pour qu l matéril tomb n pann avant la fin d la prmièr anné. 3) alculr la probabilité pour qu il n ait pas d pann au cours ds trois prmièrs annés. 8 Un machin prc ds tôls. La loi d duré d vi d ctt machin st un loi xponntill. La moynn d duré d vi d un tll machin annoncé par l constructur st d hurs. ) alculr λ. ) alculr la probabilité qu il n y ait pas d défaillanc au cours ds 000 prmièrs hurs d utilisation d ctt machin. 3) Sachant qu la machin n a connu aucun défaillanc au cours ds 000 prmièrs hurs d utilisation, qull st la probabilité qu ctt machin n connaiss aucun défaillanc pndant ls 6000 prmièrs hurs d utilisation? On considèr un production d composants. On admt qu la variabl aléatoir T qui à tout composant tiré au hasard dans la production associ sa duré d vi t xprimé n hurs, suit un loi xponntill d paramètr λ. ) Soit F(t) la probabilité pour qu un composant n ait u aucun pann jusqu à l instant t. Ecrir F(t) n fonction d t. ) On sait qu F(600) = 0.3. Détrminr la valur xact d λ puis un valur approché à 0-5 près. 3) alculr à 0-4 près la probabilité pour qu la duré d vi d un composant dépass 500 hurs. 0 Un élémnt radioactif a un duré d vi T n siècls qui suit un loi xponntill d paramètr Détrminr t tl qu P(T < t) 0.5. FRLT Pag 7/07/04

2 Un mouch ntr dans un sall t on tnt d la tur. On not T la variabl aléatoir égal à la duré d vi d la mouch. La loi d T st un loi xponntill. EXERIES ) La probabilité pour qu la mouch soit tué au cours ds 0 prmièrs minuts st 0.8. alculr la duré d vi moynn d la mouch. ) Quinz mouchs ntrnt dans la sall. a) Qull st la probabilité pour qu 0 d ntr lls soint tués dans l prmir quart d hur? b) Qull st la probabilité pour qu plus d un mouch soit tué n moins d 5 minuts? Un fabricant d jux élctroniqus stim qu un pièc a un duré d vi moynn d 700 jours. On suppos qu la variabl aléatoir T qui rprésnt la duré d vi d un tll pièc suit un loi xponntill. ) alculr la probabilité ds évènmnts suivants : A : «la pièc n a pas d défaillanc durant ls 4 prmirs mois» B : «la pièc st ncor n fonctionnmnt au bout d ans.» : «sachant qu la pièc fonctionn ncor au bout d ans, ll fonctionn ncor au bout d 5 ans.» ) Au bout d qull duré put-on s attndr à c qu 0 % ds piècs soint n pann? 3 Polynési 004. L laboratoir d physiqu d un lycé dispos d un parc d oscilloscops idntiqus. La duré d vi n annés d un oscilloscop st un variabl aléatoir noté X qui suit un «loi d duré d vi sans viillissmnt» (ou ncor loi xponntill d paramètr λ avc λ > 0). Touts ls probabilités sront donnés à 0-3 près. ) Sachant qu P (X 0)=0,86, montrr qu un valur approché à 0-3 près d λ st 0.5. ) alculr la probabilité qu un oscilloscop du modèl étudié ait un duré d vi infériur à 6 mois. 3) Sachant qu un apparil a déjà fonctionné huit annés, qull st la probabilité qu il ait un duré d vi supériur à 0 ans? 4) On considèr qu la duré d vi d un oscilloscop st indépndant d cll ds autrs apparils. L rsponsabl du laboratoir décid d commandr 5 oscilloscops. Qull st la probabilité qu au moins un oscilloscop ait un duré d vi supériur à 0 ans? 5) ombin l établissmnt dvrait-il achtr d oscilloscops pour qu la probabilité qu au moins l un d ntr ux fonctionn plus d dux ans soit supériur à 0,? 4 Franc 008 La duré d vi, xprimé n hurs d'un agnda élctroniqu st un variabl aléatoir X qui suit un loi xponntill d paramètr λ où λ st un rél strictmnt positif. La fonction R défini sur l'intrvall [0 ; + [, par R(t) = P( X > t ) st applé fonction d fiabilité. ) Rstitution organisé d connaissancs : a) Démontrr qu pour tout t 0 on a R(t) = -λt b) Démontrr qu la variabl X suit un loi d duré d vi sans viillissmnt, c st-à-dir qu pour tout rél s 0, la probabilité conditionnll P ( X> t) (X > t + s) n dépnd pas du nombr t 0. ) Dans ctt qustion, on prnd λ= 0,0006. a) alculr P(X < 000) t P (X > 000). b) Sachant qu l'événmnt (X >000) st réalisé, calculr la probabilité d l'événmnt (X > 000). c) Sachant qu'un agnda a fonctionné plus d 000 hurs, qull st la probabilité qu'il tomb n pann avant 3000 hurs? 5 Pondichéry Avril 04. Dans ct xrcic, sauf indication contrair, ls résultats sront arrondis au cntièm. ) La duré d vi, xprimé n annés, d un motur pour automatisr un portail fabriqué par un ntrpris A st un variabl aléatoir X qui suit un loi xponntill d paramètr λ, où λ st un rél strictmnt positif. On sait qu P(X = ) = 0,5. Détrminr la valur xact du rél λ. Dans la suit d l xrcic on prndra 0,08 pour valur d λ. ) Détrminr P(X >3). 3) Montrr qu pour tous réls positifs t t h, P ( X> t) (X > t + h) = P(X > h) 4) L motur a déjà fonctionné durant 3 ans. Qull st la probabilité pour qu il fonctionn ncor ans? 5) alculr l spéranc d la variabl aléatoir X t donnr un intrprétation d c résultat. FRLT Pag 7/07/04

3 6 Franc 004 EXERIES On s intérss à la duré d vi, xprimé n smains, d un composant élctroniqu. On modélis ctt situation par un loi d probabilité p d duré d vi sans viillissmnt défini sur l intrvall [0;+ [; la probabilité qu l composant n soit plus n état d march au bout d t smains st : t λ p([0 ; t[)= λ x dx. 0 Un étud statistiqu, montrant qu nviron 50 % d un lot important d cs composant sont ncor n état d march au bout d 00 smains, prmt d posr p([0 ; 00[ = 0.5. ln ) Montrr qu λ =. 00 ) Qull st la probabilité qu un d cs composants pris au hasard ait un duré d vi supériur à 300 smains? On donnra la valur xact t un valur approché décimal au cntièm près. A λ 3) On admt qu la duré d vi moynn d m d cs composants st la limit quant A tnd vrs + d λ x dx 0 λx + a) Montrr qu la fonction G défini pour tout x rél positif par G(x) = st un primitiv d la λ fonction g défini pour tout x rél positif par g(x) = λ. b) Montrr qu λ 0 A λ x λa λa λa + dx = λ c) En déduir d m ; on donnra la valur xact t un valur approché décimal à la smain près. ORRIGE : La duré T, n minuts, d un convrsation téléphoniqu suit un loi xponntill d moynn 4 minuts. ) alculr P(T>5) λ = P(T > 5) = 0. ) alculr P( < T < 8). 0.5 P( < T < 8) = 0.47 Pour un variabl T, xprimé n minuts, qui rprésnt un duré d vi t suit un loi xponntill, on a : P(T>3)=0,. ) Qull st la duré d vi moynn? P(T > 3) = 0. 3λ = 0.8 ln5 λ = ) alculr P(T < 5). 0.54x5 P(T < 5) = Un chên a un duré d vi moynn d 40 ans t on convint d modélisr sa duré d vi n annés par un variabl aléatoir X suivant un loi xponntill. ) Qul st l paramètr λ d X? λ = 40 ) alculr la probabilité qu la duré d vi d un chên soit : a) supériur à 480 ans. P(T 480) 480 λ > = b) infériur à 0 ans. P(T 0) 0 λ < = λ 360λ c) infériur à 360 ans sachant qu il a déjà 40 ans. P( T> 40) (T < 360) = λ 5 Un variabl aléatoir X suit un loi xponntill d paramètr λ Sachant qu P( X ) =, détrminr λ. FRLT Pag 3 7/07/04

4 P( X ) = λ dx = λ λ + = 0 λ = ln(3) ou λ = ln(.5) EXERIES 8 Un machin prc ds tôls. La loi d duré d vi d ctt machin st un loi xponntill. La moynn d duré d vi d un tll machin annoncé par l constructur st d 5000 hurs. ) alculr λ ) alculr la probabilité qu il n y ait pas d défaillanc au cours ds 000 prmièrs hurs d utilisation d ctt machin. λ = 5000 P(X 000) = ) Sachant qu la machin n a connu aucun défaillanc au cours ds 000 prmièrs hurs d utilisation, qull st la probabilité qp ) (X 6000) 0. 45u ctt machin n connaiss aucun défaillanc pndant ls 6000 prmièrs 3 Polynési 004. ( X 000 hurs d utilisation? L laboratoir d physiqu d un lycé dispos d un parc d oscilloscops idntiqus. La duré d vi n annés d un oscilloscop st un variabl aléatoir noté X qui suit un «loi d duré d vi sans viillissmnt»(ou ncor loi xponntill d paramètr λ avc λ > 0). Touts ls probabilités sront donnés à 0-3 près. ) Sachant qu P (X 0)=0,86, montrr qu un valur approché à 0-3 près d λ st 0.5. ) alculr la probabilité qu un oscilloscop du modèl étudié ait un duré d vi infériur à 6 mois ) Sachant qu un apparil a déjà fonctionné huit annés, qull st la probabilité qu il ait un duré d vi supériur à 0 ans? 0.5x x8 4) On considèr qu la duré d vi d un oscilloscop st indépndant d cll ds autrs apparils. L rsponsabl du laboratoir décid d commandr 5 oscilloscops. Qull st la probabilité qu au moins un oscilloscop ait un duré d vi supériur à 0 ans? = 0.4 5) ombin l établissmnt dvrait-il achtr d oscilloscops pour qu la probabilité qu au moins l un d ntr ux fonctionn plus d dux ans soit supériur à 0,? n ln0.00 n ln0.74 n 4 Franc 008 La duré d vi, xprimé n hurs d'un agnda élctroniqu st un variabl aléatoir X qui suit un loi xponntill d paramètr λ où λ st un rél strictmnt positif. La fonction R défini sur l'intrvall [0 ; + [, par R(t) = P( X > t ) st applé fonction d fiabilité. ) Rstitution organisé d connaissancs : a) Démontrr qu pour tout t 0 on a R(t) = -λt b) Démontrr qu la variabl X suit un loi d duré d vi sans viillissmnt, c st-à-dir qu pour tout rél s 0, la probabilité conditionnll P ( X> t) (X > t + s) n dépnd pas du nombr t 0. ) Dans ctt qustion, on prnd λ= 0,0006. a) alculr P(X < 000) t P (X > 000). P( X<000) = 0. t P (X> 000) = 0.77 FRLT Pag 4 7/07/04

5 EXERIES b) Sachant qu l'événmnt (X >000) st réalisé, calculr la probabilité d l'événmnt (X > 000) c) Sachant qu'un agnda a fonctionné plus d 000 hurs, qull st la probabilité qu'il tomb n pann avant 3000 hurs? -0.6 = 0. FRLT Pag 5 7/07/04

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