Examen terminal (Éléments de correction)

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1 Université Rennes mardi 5 mars 23 Intégration géométrique des équations différentielles Master 2 Mathématiques (P. Chartier, G. Vilmart) (Analyse et Applications) Examen terminal (Éléments de correction) Durée: 2 heures (h5-2h5) Examen sans document ni calculatrice. Ce sujet comporte deux pages. Les exercices sont indépendants et peuvent être traités dans un ordre quelconque. La clarté de la rédaction constituera un élément important dans l appréciation des copies. Exercice On considère un système hamiltonien de la forme q i = H p i (p, q), ṗ i = H q i (p, q), i =... s, où p(t) = (p (t),..., p d (t)) T R d, q(t) = (q (t),..., q d (t)) T R d, et H(p, q) désigne l hamiltonien. Le but de cet exercice est de démontrer le résultat suivant : Il n existe pas de méthode de Runge-Kutta (consistante, i.e. d ordre au moins ) qui conserve exactement l hamiltonien de tous les systèmes hamiltoniens polynomiaux. Cependant, pour tout hamiltonien polynomial fixé, il existe une méthode de Runge-Kutta (consistante) qui le conserve exactement. Remarque: Ce résultat est dû à E. Celledoni, R.I. McLachlan, D. LcLaren, B. Owren, G. R. Quispel, W. Wright, 29. i) On suppose que l hamiltonien est de classe C 2. Montrer que c est une intégrale première du système hamiltonien. On dérive: d dt H(p, q) = ph(p, q) ṗ + q H(p, q) q = ( q) ṗ + ṗ q =. ii) Montrer qu une méthode de Runge-Kutta (consistante) ne peux pas préserver exactement l hamiltonien, H(p n+, q n+ ) = H(p n, q n ), pour toute fonction hamiltonienne de type polynomial. Indication. Pour d =, considérer l hamiltonien H(p, q) = p q g(t)dt où g(t) est un polynôme arbitraire. La préservation de l hamiltonien H(p, q ) = H(p, q ), équivaut à p p = q q g(t)dt pour H(p, q) = p q g(t)dt. Si on applique une méthode de Runge-Kutta consistante, avec coefficients a ij, b i, et c i = s j= a ij, on a q = q + h et p = p + h s i= b i g(q + c i h). Ainsi, la méthode de Runge-Kutta préserve l hamiltonien si et seulement si q +h g(t)dt = h b i g(q + c i h). q i=

2 La formule ci-dessus une formule de quadrature standard avec s nœuds, elle ne peut pas être exacte pour tous les polynômes. Ceci montre que toute méthode de Runge- Kutta ne peut pas préserver l hamiltonien H(p, q) = p q g(t)dt pour tous les polynômes g. iii) Trouver une matrice J telle que le système hamiltonien se réécrive sous la forme ẏ = f(y), avec f(y) = J H(y), et y = (p, q) T R 2d. ( ) I J =, matrice de taille (2d) (2d). I iv) On considère la méthode du champs de vecteur moyen y n+ = y n + h f(θy n+ + ( θ)y n )dθ. On suppose que le champ de vecteur f est lipschitzien de R d dans R d. Montrer que cette méthode numérique est bien définie pour tout pas de temps h assez petit. On considère l application Y G(Y ) = y n + h f(θy + ( θ)y n)dθ. On a G(Y ) G(Z) h h f(θy + ( θ)y n ) f(θz + ( θ)y n ) dθ Lθ Y Z dθ = hl 2 Y Z où L désigne la constante de Lipchitz de f. Ainsi, pour hl <, l application G est 2 contractante, et possède donc un unique point fixe y n+ = G(y n+ ). Ceci montre que la méthode du champ moyen est bien définie pour tout pas h assez petit. Remarque: le fait que la méthode du champ moyen est bien définie reste vrai si f est localement lipschitzienne, avec h < 2/L où L est la constante locale de Liptchitz. v) Montrer que la méthode du champs de vecteur moyen est d ordre de convergence deux, et symétrique (on rappellera la définition de symétrique). Une méthode Φ h est dite symétrique si elle coïncide avec sont adjoint Φ h = Φ h. L adjoint de la méthode du champ moyen s obtient en échangeant y n y n+ et h h, y n = y n+ h f(θy n + ( θ)y n+ )dθ. En faisant le changement de variable θ = θ, on retrouve bien la même méthode. Enfin, comme l ordre de convergence (maximal) d une méthode symétrique est toujours pair, la méthode du champ moyen est bien d ordre deux.. vi) Montrer que la méthode du champs de vecteur moyen conserve exactement l hamiltonien pour tout pas h assez petit, H(y n+ ) = H(y n ). Indication: considérer d dθ ( H(θyn+ + ( θ)y n ) ) dθ. 2

3 On pose V n := H(θy n+ + ( θ)y n )dθ, de sorte que y n+ = y n + hj V n. En utilisant l indication, on a H(y n+ ) H(y n ) = H(θy n+ + ( θ)y n )dθ (y n+ y n ) = V T n (y n+ y n ) = hv T n J V n =. Le scalaire V T n J V n ci-dessus est nul car J = J T est une matrice anti-symétrique. vii) On suppose que la fonction hamiltonienne H(p, q) est polynômiale. (a) Trouver une formule de quadrature (b i, c i ) i=...s telle que f(θy n+ + ( θ)y n )dθ = b i f(y n + (y n+ y n )c i ). i= Soit r le degré du polynôme H(p, q). Alors, θ f(θy n+ + ( θ)y n ) est une fonction polynomiale R R 2d de degré au plus r. Ainsi, une formule de quadrature d ordre au moins r est exacte pour ce polynôme, ce qui donne l identité cherchée. Autrement dit, on peut choisir n importe quelle formule de quadrature avec s = r nœuds (sont ordre est automatiquement au moins s). Une possibilité est de choisir la quadrature de Gauss avec s r/2 nœuds (l ordre de la formule de quadrature est alors 2s). (b) Construire une méthode de Runge-Kutta (consistante) qui préserve exactement l hamiltonien. Il suffit de considérer la méthode y n+ = y n + h b i f(y n + (y n+ y n )c i ) i= où les b i, c i sont les coefficients de la formule de quadrature de la question précédente. Cette méthode conserve l énergie car elle coïncide avec la méthode du champ moyen (la formule de quadrature considérée étant exacte). En posant Y i = (y n+ y n )c i, on remarque, Y i = y n + h b j c i f(y j ) j= On a donc bien construit une méthode de Runge-Kutta de coefficients b j c i b i (c) Pour p arbitrairement fixé, construire une méthode d ordre (au moins) p qui préserve exactement l hamiltonien. 3

4 Exercice 2 La méthode construite à la question précédente, notée Φ h, préserve l énergie exactement et elle est symétrique si l on choisit une formule de quadrature symétrique (par exemple la formule de quadrature de Gauss). On peut alors appliquer la technique standard des méthodes de composition Φ γ h Φ γ2 h Φ γ3 h avec γ = γ 3, γ + γ 2 + γ 3 =, γ 2r+ + γ2 2r+ + γ3 2r+ pour construire par récurrence sur r des méthodes d ordre 2r préservant l énergie exactement pour le système hamiltonien polynomial considéré. On considère un système hautement oscillant de la forme ẏ ε = εf t (y ε (t)), y ε () = y. () On suppose que la fonction (y, t) R n R f t (y) est 2π-périodique en t et qu elle est développable en série de Fourier θ [, 2π], f θ (y) = k Z e ikθ f k (y), avec des coefficients satisfaisant l estimation C >, µ >, k Z, f k K := sup f k (y) Ce µ k (2) y K où K est un compact de R n. On rappelle que l équation moyenne à l ordre associée à () est de la forme ż ε = εf (z ε (t)), z ε () = y où F (z) = 2π f τ (z)dτ. 2π L objectif de cet exercice est de montrer que, lorsque la période (ici 2π) est inconnue, il est néanmoins possible de calculer F (z). i) Justifier que F = f. Par définition des coefficients de Fourier, on a donc en particulier f = F. k Z, f k (z) = 2π f τ (z)e ikτ dτ, 2π ii) En utilisant le développement de Fourier de f, montrer que la limite suivante existe et qu elle coïncide avec F (z): F (z) = lim T T f τ (z)dτ. (3) iii) Montrer qu on a l estimation suivante: C >, z K, F (z) T f τ (z)dτ C T. 4

5 Justifier les calculs et préciser la valeur de C. donc On calcule T T f τ dτ = dτf + e ikτ dτf k k = Tf + e ikt f k k ik f τ dτ f K T k 2 k Ce µ k = 4C T k> k e µk et on a k> k e µk = log( e µ ), donc C = 4C log( e µ ). On considère maintenant, pour p N, la fonction x [, ] ϕ p (x) = x p ( x) p et on note N p = ϕ p(x)dx. vi) Montrer qu on a encore l égalité suivante, pour tout p N: F (z) = lim T N p T ϕ p ( τ T ) f τ (z)dτ. v) Prouver qu on a alors l estimation améliorée suivante pour tout p N: C p >, z K, Un calcul similaire donne ϕ p (τ/t)f τ dτ = T = T F (z) T ϕ p (x)f (T x) dx ϕ p (x)dxf + T k = TN p f + T k ( ) τ ϕ p f τ (z)dτ T C p T. p+ donc, pour p, T ϕ p (τ/t)f τ dτ f TN P K N p C N p T ϕ p (x)e ikt x dxf k k k k ϕ p (x)e ikt x dxf k ϕ p (x)e ikt x dx f k K 2C ϕ p L ([,]) T ϕ p(x) dxe µ k e µk k> = 2C ϕ p L ([,]) log( e µ ) T k 5

6 Les questions vi),vii),viii),ix) suivantes sont des questions bonus à traiter si toutes les autres questions ont été traitées. On remplace finalement ϕ p par la fonction ϕ définie, pour x [, ] par ϕ (x) = exp ( ) x( x). On admettra que ϕ est de classe C sur [, ] et qu elle satisfait n N, ϕ (n) () = ϕ (n) () =. On pourra en outre utiliser sans la démontrer la majoration p, ϕ (p) L ([,]) := ϕ (p) (x) dx (2p 3 ) p. vi) (bonus) Par quelle formule utilisant ϕ peut-on calculer F? vii) (bonus) Etablir l identité suivante viii) (bonus) En déduire l estimation T TN ϕ (x)e ikt x dx = ( ) p e ikt x (ikt) p ϕ(p) (x)dx ϕ (τ/t)f τ dτ f K C ϕ(p) L ([,]) e µ k N T p k k p ix) (bonus) Conclure en majorant le membre de droite de l inégalité précédente par un terme de la forme Ĉe ct /3 (on utilisera ici la majoration sur ϕ (p) L ([,])). On peut faire mieux en calculant (multiples intégrations par parties) [ p e ϕ p (x)e ikt x dx = ( ) l ikt x ϕ(l) l= (ikt) l+ p (x) Or, pour l =,..., p, ϕ (l) p () = ϕ (l) p () =, donc de sorte que T TN P ϕ p (x)e ikt x dx ] ( ϕ (p+) k p+ T p+ p ϕ p (τ/t)f τ dτ f K ϕ(p+) p + ( ) p+ e ikt x (ikt) ϕ(p+) p+ p (x)dx L ([,]) + ϕ (p+) p () + ϕ (p+) p () ) L ([,]) + ϕ (p+) p () + ϕ (p+) p () e µ k N p T p+ k k p+ ce qui donne C p = ϕ(p+) p L ([,]) + ϕ (p+) p () + ϕ (p+) p () N p k e µ k. La dernière question requiert k p+ de considérer l expression T ϕ (τ/t)f τ dτ TN où N = ϕ (x)dx comme nouvelle approximation. Le même calcul que précédemment donne T ϕ (τ/t)f τ dτ f TN K C ϕ (x)e ikt x dx e µ k N 6 k

7 et par ailleurs p [ ϕ (x)e ikt x dx = ( ) l l= e ikt x ϕ(l) (ikt) l+ (x) ] + ( ) p e ikt x (ikt) p ϕ(p) (x)dx où p est maintenant un entier arbitraire. Or, pour tout l N, ϕ () (l) = ϕ () (l) =, donc, pour tout p : où T TN ϕ (τ/t)f τ dτ f K C ϕ(p) L ([,]) e µ k N T p k k p Ĉ = C N k e µ k Finalement, l erreur d approximation est de la forme k = 4C log( e µ ) N. Ĉ (2p3 ) p T p Ĉ ϕ(p) L ([,]) T p et donc en choisissant p = E((T/4) /3 ), on a une estimation d erreur exponentielle de la forme e ct /3. 7