Chapitre 12 Vecteurs. Table des matières. Chapitre 12 Vecteurs TABLE DES MATIÈRES page -1

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1 hapitre 12 Vecteurs TLE ES MTIÈRES page -1 hapitre 12 Vecteurs Table des matières I Exercices I I I I I I I I I I I I-5 12 Vecteurs colinéaires I-5 13 oordonnées de vecteurs I-6 14 oordonnées de vecteurs et coordonnées de points I-6 15 oordonnées de la somme de vecteurs I I-6 17 oordonnées du produit d un vecteur par un nombre I I-6 II ours II-1 1 Translation et vecteurs II-1 2 Égalité de deux vecteurs II-1 3 Somme de deux vecteurs II-1 4 Produit d un vecteur par un nombre réel II-2 5 oordonnées de vecteurs II-2

2 hapitre 12 Vecteurs I EXERIES page I-1 I Exercices ctivité 1. Le triangle EF est l image du triangle par une transformation. Laquelle? 2. Le triangle JKL est l image du triangle IH par une transformation. Laquelle? Le triangle RST est l image du triangle MNP par une transformation qui s appelle une translation. On dit que cette translation est celle qui transforme le point M en le point R. On dit aussi que cette translation est la translation de vecteur MR E R F I H J K M T S L P N

3 hapitre 12 Vecteurs I EXERIES page I Figure 1 : on translate le triangle de façon à amener le point sur le point. Tracer EF l image du triangle par cette translation. 2. Figure 2 : tracer le triangle EF, image du triangle par la translation de vecteur H. Figure 1 Figure 2 H 2 Les questions ci-dessous concernent la figure Quelle est l image du triangle JS par la translation qui transforme en T? Quelle est l image du triangle ST par la translation de vecteur J? Quelle est l image du rectangle ES par la translation qui transforme en J? Quelle est l image du triangle TN par la translation de vecteur S Les questions ci-dessous concernent la figure Tracer le point image du point par la translation qui transforme en. 2. Quelle est la nature du quadrilatère (le tracer)? 3. Que sait-on alors pour les segments [] et []? 4. Tracer le point F image du point E par la même translation. 5. Que constate-t-on pour le milieu du segment [F] et le milieu du segment [E]? Figure 3 Figure 4 K L M J S T E E R P N I H F

4 hapitre 12 Vecteurs I EXERIES page I L image du triangle par la translation de vecteur est le triangle EH. Le tracer 2. L image du triangle EH par la translation de vecteur est le triangle FI. Le tracer. 3. Tracer le vecteur w de la translation qui transforme directement en FI. e vecteur w est la somme des vecteurs et. w = + 4. Tracer les vecteurs et. On constate alors ce qu on appelle la relation de hasles : + = 5 1. Placer un point sur le quadrillage de son cahier, et à partir de ce point, construire la somme Même consigne, avec un nouveau point chaque fois, pour les sommes + w + w + a w + b + c u v w a b c 6 Les questions ci-dessous concernent la figure 3 de l exercice 3. J + H =... + E = ompléter : 2. ompléter : (a) HS + E = HS + S... = H... (b) + S = +... =... (c) JS + J = JS + S... = J... (d) F + F = F +... = F... FH + HT = Tracer un parallélogramme. 2. ompléter : + = +... =... ette construction est une deuxième méthode de construction de la somme de deux vecteurs, c est la construction du parallélogramme.

5 hapitre 12 Vecteurs I EXERIES page I onstruire le point tel que + = en utilisant la construction du parallélogramme. 2. Même consigne pour les points H, L, R tels que EF + E = EH IJ + IK = IL MN + MP = MR F E I K J N P M 9 onstruire à la règle et au compas les points, E, F tels que : = + E = + F = +.

6 hapitre 12 Vecteurs I EXERIES page I À partir du point, tracer le vecteur 2 u (2 u = u + u). 2. Tracer chaque fois le vecteur indiqué à partir du point indiqué. (a) le vecteur 3 v à partir du point ; (b) le vecteur 2 w à partir du point ; (c) le vecteur 1, 5 z à partir du point. z w 11 éterminer chaque fois le nombre indiqué. (1) Le nombre k tel que k u 1 = u 2 ; (2) le nombre m tel que m v 1 = v 2 ; (3) le nombre n tel que n w 1 = w 2 ; (4) le nombre p tel que p z 1 = z 2 ; u 1 u 2 v 1 v 2 w 1 w 2 z 1 z 2 12 Vecteurs colinéaires Exemple et vocabulaire : on dit que les vecteurs u et v ci-dessous sont colinéaires parce que 2 u = v. On a aussi 1 v = u. En revanche, les vecteurs u et w ne sont pas colinéaires parce qu on ne 2 peut pas trouver un nombre k ou un nombre k tels que u = k w ou w = k u. 1. Les vecteurs et sont-ils colinéaires? Si la réponse est oui, donner le nombre k tel que = k ou le nombre k tel que = k. 2. Même question pour les vecteurs (a) EF et H (b) IJ et KL (c) MN et P R (d) ST et UV u v H w F E L K I J M N P R S U T V

7 hapitre 12 Vecteurs I EXERIES page I-6 13 oordonnées de vecteurs Exemple : dans l exercice 11 voici deux exemples de coordonnées de vecteurs : u 1 (2 ; 1) v 1 ( 4 ; 2) Indiquer les coordonnées des vecteurs u 2, v 2, w 2, z 2 de l exercice 11 et du vecteur MN de l exercice oordonnées de vecteurs et coordonnées de points 1. Tracer schématiquement la figure suivante : un repère (0, I, J) et les points (13 ; 29) et (31 ; 56). 2. alculer les coordonnées du vecteur. 3. Quand on a les coordonnées (x ; y ) et (x ; y ), comment calcule-t-on les coordonnées du vecteur? 15 oordonnées de la somme de vecteurs ans l exercice 8, indiquer les coordonnées des vecteurs (a), et + (b) EF, E et EF + E (c) IJ, IK et IJ + IK 2. Que constate-t-on pour les coordonnées de deux vecteurs et pour les coordonnées du vecteur somme? 1. Tracer un repère (O, I, J) et placer les points ( 2 ; 1), ( 4 ; 3), (1 ; 3), (6 ; 2), E(3 ; 1) 2. On pose u = et v =. Tracer ces deux vecteurs. 3. onstruire le point F tel que EF = u + v 4. alculer les coordonnées des vecteurs u, v, u + v. 5. alculer les coordonnées du point F. 17 oordonnées du produit d un vecteur par un nombre Indiquer les coordonnées des vecteurs u, v, w, 2 u, 3 v, 2 w. de l exercice omment on a les coordonnées d un vecteur u et un nombre k, comment obtient-on les coordonnées du vecteur k u? 1. Tracer un repère (O, I, J) et placer les points (1 ; 2), (5 ; 1), (6 ; 3), ( 2 ; 1). 2. Tracer les vecteurs et et calculer leurs coordonnées. 3. Les vecteurs et sont-ils colinéaires? Justifier par un calcul. 4. Quelle est la nature du quadrilatère? Justifier.

8 hapitre 12 Vecteurs II OURS page II-1 II ours 1 Translation et vecteurs Exemple ans la figure ci-contre, on dit que le triangle RST est l image du triangle MNP par une transformation qui s appelle une translation. Intuitivement, on peut dire qu on a fait glisser le triangle MNP sur le triangle RST, en ligne droite, sans tourner. On dit aussi que cette translation est la translation de vecteur MR Vecteur Pour un vecteur, le point est l origine du vecteur et le point est son extrémité. Un vecteur peut être nommé par son origine et son extrémité (comme ) ou par une seule lettre (comme u). Si les points et sont confondus, on obtient le vecteur qui est le vecteur nul. 2 Égalité de deux vecteurs M P R T N u = 0 S éfinition Pour quatre points,,,, dire que = signifie que c est la même translation qui transforme en et en. Pour quatre points,,,, dire que = équivaut à dire que les segments [] et [] ont le même milieu. Pour quatre points,,,, si est un parallélogramme, alors = si,, ne sont pas alignés, et si = alors est un parallélogramme, Pour quatre points,,,, dire que = équivaut à dire que les vecteurs et ont la même direction (c est à dire () // ()) ; sont de même sens ; ont la même longueur.

9 hapitre 12 Vecteurs II OURS page II-2 3 Somme de deux vecteurs. w = + éfinition Si on enchaîne une translation de vecteur u puis une translation de vecteur v on obtient une translation de vecteur w. On dit alors que ce vecteur w est la somme des vecteurs u et v. Relation de hasles. Pour trois points,,, on a : + =. Méthodes de construction de la somme de deux vecteurs. onstruction «bout à bout» onstruction du parallélogramme + + Opposé d un vecteur L opposé d un vecteur u s écrit u Un vecteur et son opposé ont même direction, même longueur, et sont de sens opposés. Pour deux points et, = Pour trois points,, dire que = équivaut à dire que est le milieu de [] Pour deux points et et pour un vecteur u, on a les égalités : + ( ) = + = = 0 et u + ( u) = 0 / / 4 Produit d un vecteur par un nombre réel. Exemples u + u + u = 3 u v v = 2 v 3 2

10 hapitre 12 Vecteurs II OURS page II-3 Remarques Si k est positif u et k u sont de même sens ; si k est négatif u et k u sont de sens opposés. éfinition ire que deux vecteurs u et v sont colinéaires signifie que il existe un nombre k tel que u = k v ou qu il existe un nombre k tel que v = k u lignement et parallélisme Trois points,, sont alignés si et seulement si les vecteurs et sont colinéaires. Pour quatre points,,,, les droites () et () sont parallèles si et seulement si les vecteurs et sont colinéaires. 5 oordonnées de vecteurs 5a Exemple +5 Les coordonnées du vecteur sont (4 ; 2) Les coordonnées du vecteur sont (5 ; 3) b oordonnées d un vecteur dans un repère du plan Pour deux points et de coordonnées (x ; y ) et (x ; y ) dans un repère du plan, les coordonnées du vecteur sont (x x, y y ) Exemple ans le repère ci-contre, les coordonnées de et sont (4 ; 2) et (10 ; 5). alcul des coordonnée du vecteur : x x = 10 4 = 6 y y = 5 2 = 3 Les coordonnée du vecteur sont donc (6 ; 3)

11 hapitre 12 Vecteurs II OURS page II-4 5c oordonnées de la somme de deux vecteurs Pour deux vecteurs u et v de coordonnées u (x ; y) et v (x ; y ) les coordonnées du vecteur u + v sont (x + x ; y + y ) Exemple ans la figure ci-contre, les coordonnées de u et v sont : u (5 ; 4) et v (3 ; 6) alcul des coordonnée du vecteur u + v : = ( 6) = 2 Les coordonnée du vecteur u + v sont donc u + v (8 ; 2) + v 5d oordonnées du produit d un vecteur par un réel Pour un vecteur u de coordonnées (x ; y), les coordonnées du vecteur k u sont (kx ; ky). Exemple ans la figure ci-contre, les coordonnées de u sont u (4 ; 1) alcul des coordonnée du vecteur 2 u : ( 2) 4 = 8 ( 2) ( 1) = 2 Les coordonnée du vecteur 2 u sont donc 2 u ( 8 ; 2) 2 Remarque Pour un vecteur u et un nombre k, on sait que les vecteurs u et k u sont colinéaires, et que leurs coordonnées (x ; y) et (kx ; ky) sont proportionnelles, puisque x et y sont multipliés par le même coefficient k. On a donc la propriété ci-dessous. eux vecteurs colinéaires ont des coordonnées proportionnelles. Exemple : comment justifier, avec des coordonnées, si des vecteurs sont colinéaires ou non? ans la figure ci-contre, les vecteurs u, v, w ont pour coordonnées u (7 ; 2), v (9 ; 6), w (6 ; 4) Les vecteurs u et v sont-ils colinéaires? eux vecteurs colinéaires ont des coordonnées proportionnelles, on calcule donc les produits en croix des coordonnées : 7 6 = = 18 Les produits en croix sont différents, donc les vecteurs u et v ne sont pas colinéaires. Les vecteurs v et w sont-ils colinéaires? On calcule les produits en croix des coordonnées : 9 4 = = 36 Les produits en croix sont égaux, donc les vecteurs u et v sont colinéaires. w