SYMETRIE A L'ECHELLE ATOMIQUE DES CRISTAUX

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1 SYMETRIE A L'ECHELLE ATOMIQUE DES CRISTAUX Les groupes ponctuels décrivent la symétrie macroscopique du cristal. Pour décrire la symétrie microscopique, on a besoin de définir des opérations de symétrie supplémentaires. L'ensemble des opérations de symétrie qu'admet un cristal forme son groupe d'espace (ou groupe spatial) de symétrie.

2 I-Eléments de symétrie des groupes d'espace L'opération de symétrie la plus générale permettant de passer d'un point à un point équivalent dans un cristal est le produit d'une opération de symétrie ponctuelle du groupe et d'une translation. Le produit d'une rotation (u,j) par une translation parallèle à u est appelé vissage. L'élément de symétrie correspondant est appelé axe hélicoïdal. Le produit d'une réflexion sur un miroir par une translation parallèle au miroir est une réflexion avec glissement. L'élément de symétrie correspondant est appelé plan de glissement. Le produit d'une rotation (u,j) par une translation perpendiculaire à u est une rotation de même angle autour d'un axe situé sur la médiatrice de t, à une distance d=t/2tan(j/2). Le produit d'une réflexion sur un miroir (u,j) par une translation perpendiculaire au miroir est une réflexion sur le même miroir translaté de t/2. Le produit d'une inversion par une translation est une inversion dont le centre d'inversion est translaté de t/2. Même résultat pour le produit d'une roto-inversion/rotation impropre (u,j) par une translation, parallèle ou perpendiculaire à u.

3 Impossible d'afficher l'image. Votre ordinateur manque peut-être de mémoire pour ouvrir l'image ou l'image est endommagée. Redémarrez l'ordinateur, puis ouvrez à nouveau le fichier. Si le x rouge est toujours affiché, vous devrez peut-être supprimer l'image avant de la réinsérer. II-Opérations de symétrie compatibles avec l'existence d'un réseau 1-Axes de symétrie : cf groupes ponctuels 2-Axes hélicoïdaux (figure 11) Soit un axe hélicoïdal d'ordre n. Si l'on répète n fois le vissage à partir d'un nœud du réseau, on doit retomber sur un autre nœud dans la rangée parallèle à u. Dans la direction c (souvent la direction de l'axe de plus haute symétrie), on a donc nt=mc où m est un entier, soit t=(m/n)c. On peut considérer m/n<1, sinon t c et l'on peut se ramener au cas précédent par des translations entières du réseau 0 t-kc < c. L axe hélicoïdal correspondant se note n m. axes binaires : i) si m=0, axe "normal", ii) si m=1, axe binaire hélicoïdal, noté 2 1

4 Impossible d'afficher l'image. Votre ordinateur manque peut-être de mémoire pour ouvrir l'image ou l'image est endommagée. Redémarrez l'ordinateur, puis ouvrez à nouveau le fichier. Si le x rouge est toujours affiché, vous devrez peut-être supprimer l'image avant de la réinsérer. Impossible d'afficher l'image. Votre ordinateur manque peut-être de mémoire pour ouvrir l'image ou l'image est endommagée. Redémarrez l'ordinateur, puis ouvrez à nouveau le fichier. Si le x rouge est toujours affiché, vous devrez peut-être supprimer l'image avant de la réinsérer. axes ternaires : i) si m=0, axe normal, ii) si m=1 ou 2, axes ternaires hélicoïdaux, notés 3 1 et 3 2. L'axe 3 2 est l'image de l'axe 3 1 dans un miroir parallèle à l'axe de rotation. L'axe 3 1 correspond à une rotation dans le sens direct, et l'axe 3 2 dans le sens rétrograde. Les deux axes sont dits énantiomorphes. Impossible d'afficher l'image. Votre ordinateur manque peut-être de mémoire pour ouvrir l'image ou l'image est endommagée. Redémarrez l'ordinateur, puis ouvrez à nouveau le fichier. Si le x rouge est toujours affiché, vous devrez peut-être supprimer l'image avant de la réinsérer. axes quaternaires : 4, 4 1, 4 2, et 4 3 sont énantiomorphes. axes sénaires : 6, 6 1, 6 2, 6 3, 6 4, 6 5.

5 3-Plans de glissement Pour un miroir parallèle à (001) et un mode de réseau primitif, 3 translations sont possibles : a/2, b/2 et (a+b)/2. Même résultat pour tous les miroirs autorisés par la symétrie ponctuelle. Il faut aussi tenir compte des translations permises pour certains modes de Bravais (translations dites "diamant", en référence au groupe spatial du diamant). Pour les réseaux F, on peut considérer (a+b)/4, (a+c)/4 et (b+c)/4. Pour les réseaux I, (a+b+c)/4.

6 III-Notations des GE En notation Hermann-Mauguin, on utilise 4 symboles : le 1er, une lettre majuscule, indique le type de réseau. les trois suivants correspondent aux symboles du GP, remplacés éventuellement par l'opération de symétrie translatoire correspondante (un axe par un axe hélicoïdal, un miroir par un plan de glissement). Réciproquement, on retrouve facilement le GP correspondant à un GE.

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8 IV-Dénombrement des GE Pour chacune des 32 classes, on envisage l'effet des translations pour chaque mode de réseau autorisé (on répète les éléments de symétrie à chaque translation du réseau). On obtient 73 groupes, dits symmorphiques, générés uniquement à partir d'éléments de symétrie simples (mais pouvant contenir des éléments de symétrie translatoire). Dans un deuxième temps, on remplace chaque élément de symétrie simple par tous les éléments translatoires dérivés pour chaque mode de réseau autorisé. On obtient ainsi tous les GE possibles, dont certains plusieurs fois. Si on élimine les doublets, on dénombre 230 groupes d'espace.

9 V-Construction des GE Pour déterminer la position des éléments de symétrie dans la maille, on place les éléments de symétrie du GP à l'origine, on place les éléments qui s'en déduisent par les translations du réseau (entières et non entières si le réseau n'est pas primitif). Ensuite, on ajoute les éléments qui proviennent du produit d'opérations ponctuelles par les translations. On applique trois règles simples : le produit d'une rotation d'angle ϕ par une translation perpendiculaire est une rotation de même angle autour d'un axe situé sur la médiatrice du vecteur translation, à la distance d=t/2tan(ϕ/2) à mi-distance de deux axes binaires, équivalents par une translation entière de réseau, existe un autre axe binaire à mi-distance de deux miroirs, équivalents par une translation entière de réseau, existe un autre miroir On peut à partir de ces règles simples trouver la position des éléments de symétrie dans la maille. Quand la position de tous les éléments de symétrie est connue, on peut déterminer le nombre de positions équivalentes de n'importe quel objet placé dans la maille. Si un objet est placé sur un élément de symétrie non translatoire, il n'est pas répété par cet élément de symétrie.

10 Impossible d'afficher l'image. Votre ordinateur manque peut-être de mémoire pour ouvrir l'image ou l'image est endommagée. Redémarrez l'ordinateur, puis ouvrez à nouveau le fichier. Si le x rouge est toujours affiché, vous devrez peut-être supprimer l'image avant de la réinsérer.

11 Impossible d'afficher l'image. Votre ordinateur manque peut-être de mémoire pour ouvrir l'image ou l'image est endommagée. Redémarrez l'ordinateur, puis ouvrez à nouveau le fichier. Si le x rouge est toujours affiché, vous devrez peut-être supprimer l'image avant de la réinsérer.

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13 V-Construction des GE L'ensemble des positions équivalentes correspond à un ensemble de positions particulières. La symétrie ponctuelle des objets (atomes, molécules) doit alors être compatible avec la symétrie des sites occupés car les objets qui se répètent suivant les translations du réseau doivent se correspondre par les opérations de symétrie du GE. Cas particuliers (exceptions) : il arrive qu'un cristal moléculaire présente un ordre de position mais pas d'orientation, on parle alors de phases à désordre orientationnel ou de phases cristallines plastiques. Réciproquement, il arrive qu'une phase présente un ordre orientationnel mais pas d'ordre de position, on parle alors de cristaux liquides.