Estimations d erreur a priori de la méthode de Lagrange Galerkin pour les équations de type Kazhikhov Smagulov

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1 Estiations d erreur a priori de la étode de Lagrange Galerkin pour les équations de type Kazikov Sagulov Jocelyn Étienne b,a Pierre Saraito a a LMC-IMAG, BP 53, 3841 Grenoble cedex b Adresse actuelle: BP Institute for Multipase Flow, Madingley Road, Cabridge CB3 EZ, Grande-Bretagne Abstract Kazikov Sagulov type systes are a subclass of non-oogeneous, incopressible Navier Stokes equations were density is subject to diffusion, as in ixtures of gases of different densities. An algorit is devised for tese systes, te tie discretization being based on a backward-euler scee togeter wit te etod of caracteristics, and a ixed density-velocity-pressure (P k, P k, P k 1 ) finite eleent etod is used for te space discretization inêd, d = 2, 3. Under te constraint tat k > d 1 and = C r, wit r ]d, 2k + 2 d[, we give optial error bounds O( + k ) for te tie step and te es size. Résué Les systèes de type Kazikov Sagulov correspondent aux équations de Navier Stokes non-oogènes et incopressibles lorsque la densité obéit à une loi de diffusion, coe dans les élanges de gaz de densités différentes. Nous proposons un algorite pour ces systèes qui s appuie sur la discrétisation en teps par un scéa d Euler rétrograde de la étode des caractéristiques, et sur une étode d éleents finis ixtes (P k, P k, P k 1 ) pour la discrétisation en espace dansêd, d = 2,3, des densités-vitesses-pressions. Sous la contrainte k > d 1 et = C r, avec r ]d,2k + 2 d[, nous donnons une estiation d erreur optiale O( + k ) pour le pas de teps et le pas de aillage. Eail addresses: jocelyn@bpi.ca.ac.uk (Jocelyn Étienne), pierre.saraito@iag.fr (Pierre Saraito). Preprint subitted to Elsevier Science 9t May 25

2 Abridged Englis version Let us consider a flow of two iscible, incopressible Newtonian fluids. Te density of eac of tese fluids will be supposed constant, and denoted respectively ρ d and ρ l, ρ d > ρ l >. In tis Note, we address te case wen no assuption is ade on te order of agnitude of te density contrast α = (ρ d ρ l )/ρ l. Tis departs fro te coon fraework of α 1, and allows to apply te results of tis work to gas-ixtures and suspension flows of industrial and environental relevance [1]. Let Ω be a bounded open set inêd, d = 2, 3, and T >. Let ρ, u and p denote respectively te density, velocity and pressure of te ixture. Te Navier-Stokes equations express te conservation of ass and oentu in te ixture: t ρ + (ρu) = in Ω ], T[, (1) ρd t u [2µ(ρ)D(u)] + [p + 23 ] µ(ρ) u = f in Ω ], T[, (2) were µ(ρ) is te viscosity, wic can depend on density, and D t ϕ = ( t + u )ϕ. Denoting Φ te volue fraction of te denser fluid, te density of te ixture can be written ρ = ρ d Φ +ρ l (1 Φ), and (1) guarantees tat Φ [, 1] if it olds at tie t =. Because of te ass diffusion between te iscible fluids, one as D t Φ. Te closure of te syste is tus brougt by a constitutive law expressing tis ass diffusion [2,3], known as Fick s law: D t Φ (1 + αφ) (F(Φ) Φ) = in Ω ], T[. (3) Note tat tis iplies u = α (F(Φ) Φ), wic in general is not zero, so tat in spite of te incopressibility of eac fluid separately, te ixture does not ave a zero-divergence velocity. Initial and boundary conditions in ρ and u copleent te syste, wic is said to be of Kazikov Sagulov type [4]. Let µ(φ) = µ(ρ l (1 + αφ)). Te weak forulation of te proble is given in ters of te ultilinear fors: a(φ; u, v) = 2 ( µ(φ)d(u), D(v)) 2 3 ( µ(φ) u, v), (Φ, u, v) L (Ω) ( H 1 (Ω) d) 2 b(v, q) = ( v, q), (v, q) H 1 (Ω) d L 2 (Ω), (5) te proble being to find u L (, T; H 1 (Ω)d ), p L (, T; L 2 (Ω)), i.e., te subspace of L2 (Ω) functions of zero ean, and Φ L (, T; H 1 (Ω)), suc tat, ((1 + αφ)d t u, v) + a(φ; u, v) + b(v, p) = (f, v), v H 1 (Ω) d, (6a) ( ) α 1 + αφ D tφ + u, q =, q L 2 (Ω), (6b) (D t Φ, ψ) + (F(Φ) Φ, ψ) + (Φ u, ψ) =, ψ H 1 (Ω), (6c) wit u(, ) = u, Φ(, ) = Φ. (6d) In tis Note we propose algorit (7) to solve syste (6) in a Lagrange finite eleent space of degree k for u and Φ, and sow in Téorèe 1 tat, under usual regularity (8) and discretisation ypoteses, optial error estiates (9) old for te discrete solution. Moreover, it is sown tat te iage of te approxiation of Φ can be brougt arbitrarily close to [, 1]. Te proof involves siilar tecniques as te analysis of te Lagrange Galerkin etod for oogeneous Navier Stokes equations in [5], wit several additional difficulties tat tis Note describes. 1. Présentation du problèe Nous considérons dans cette Note l écouleent de deux fluides newtoniens incopressibles et iscibles, ρ d et ρ l étant leurs densités respectives, supposées constantes, ρ d > ρ l >. Aucune ypotèse n est faite sur l ordre de grandeur du coefficient α = (ρ d ρ l )/ρ l. Soit Ω 2 (4)

3 un ouvert borné deêd, d = 2, 3, T > et notons ρ la densité du élange, u sa vitesse et p la pression. Les équations de Navier-Stokes (1,2) exprient la conservation du ouveent et de la asse du élange. En notant Φ la fraction voluique du fluide le plus dense, la densité du élange s écrit ρ = ρ d Φ + ρ l (1 Φ), et la fereture du systèe est alors apportée par une loi de coporteent expriant la diffusion de asse entre les deux fluides [2,3], dite loi de Fick (3). Rearquons que (1) et (3) ipliquent u = α (F(Φ) Φ), qui n est en général pas nul : en dépit de l incopressibilité de caque fluide, la vitesse du élange n est pas à divergence nulle. Le systèe (2-3) est coplété par des conditions initiales et aux liites pour ρ et u, et appartient à la classe des systèes de Kazikov Sagulov [4]. Il est identique à celui obtenu en faisant tendre le nobre de Mac vers zéro dans les équations des fluides copressibles [6,7,8], voir [9] pour une justification de l obtention d un tel odèle dans le cas des gaz parfaits. Pour certaines conditions aux liites, l existence de solutions faibles globales pour faible diffusivité α est ontrée dans [1], de solutions globales proces de l équilibre dans [8] et de solutions faibles globales dans [11]. 2. Approxiation et algorite découplé de résolution Soit M Æ. Nous introduisons la subdivision de [, T] en posant t =, M avec = T/M. Soit (T ) > une faille quasi-unifore de triangulation. Pour tout l 1, l espace d éléents fini de degré l est définit par : H l, = {ϕ C( Ω); ϕ K P k, K T }. Pour tout k 2, nous introduisons les espaces T = H k,, V = H d k,, Q = H k 1,. Notons que le couple (V, Q ) vérifie la condition de Babuška-Brezzi [12]. Pour k = 1, nous pouvons coisir pour (V, Q ) la discrétisation stabilisée du type P 1 bulle P 1 [12], et T = Q. L approxiation du problèe (7) consiste à construire la séquence (Φ, χ, u, p ) T T V Q, M définie par l algorite suivant : Initialisation : Pour =, Soient Φ et χ projections de Φ et u sur T et T L 2 (Ω), respectiveent. Soit u projection de u sur { v V, v = χ}. Récurrence : Pour M 1, connaissant Φ, χ et u, Étape 1 : Calculer la caractéristique approcée X par X (x) := x u (x). Étape 2 : Trouver Φ +1 T satisfaisant, pour tout ψ T, ( Φ +1 Φ X Étape 3 : Calculer expliciteent Γ +1 T, (7a), ψ ) + ( F(Φ ) Φ +1, ψ ) = (χ Φ, ψ ). (7b) Γ +1 α := 1 + αφ +1 Φ+1 Φ X Étape 4 : Calculer expliciteent χ +1 par projection sur L 2 (Ω) : ( χ +1 := Γ +1 1 Γ +1 dx)½. (7d) es(ω) Ω Étape 5 : Trouver u +1 V et p +1 Q L 2 (Ω), tels que, pour tout v V et q Q : ( (1 + αφ +1 ) u+1 u ) X, v + a(φ +1 ; u +1, v ) + b(v, p +1 ) = (f(t +1 ), v ), (7e) b(u +1, q ) = (χ +1, q ). (7f) 3 (7c)

4 La projection (7d) est nécessaire pour l existence d une solution au problèe de Stokes : en effet, Γ +1 n est pas nécessaireent à oyenne nulle, du fait de l erreur nuérique, et n appartient donc pas nécessaireent à l iage de la divergence discrète. En insérant l étape (7d) de projection dans L 2 (Ω), l existence et l unicité de la solution de (7e,7f) peut ensuite être déontrée [13, p. 67]. 3. Convergence de l approxiation Pour tout espace de Banac Y, uni de la nore. Y, et pour 1 p <, on introduit : { ( N l p (, T; Y ) = ϕ : (t 1,...,t N ) Y ; ϕ l p (,T;Y ) = n=1 ϕ(t i ) p Y ) 1/p < }, { } l (, T; Y ) = ϕ : (t 1,..., t N ) Y ; ϕ l (,T;Y ) = ax ϕ(t i) Y <. 1 i N Nous noterons aussi L p (Y ) et C(Y ) les espaces L p (O, T; Y ) et C([, T]; Y ), respectiveent. Supposons qu il existe une unique solution globale au problèe (6), vérifiant les conditions de régularité : u L (H k+1 (Ω) d ) C(C,1 (Ω) d H 1 (Ω)d ), t u L 2 (H k+1 (Ω) d ) L (L 2 (Ω)), D t u L (L (Ω)), Φ L (H k+1 (Ω) W 2, (Ω)) C(H 1 (Ω)), t Φ L 2 (H k+1 (Ω)) L (H 1 (Ω)), D 2 tφ L (L 2 (Ω)), D 2 t u L2 (L 2 (Ω)), p L (H k (Ω) L 2 (Ω)). (8) et que de plus u(t = ) H k+1 (Ω) d. Si par ailleurs µ et F sont lipscitziennes et cacune inorée par une constante positive, et que de plus F a une dérivée lipscitzienne, on a alors le téorèe : Téorèe 1 Supposons k > d 1 (ou k > d 2 si F est constante) et = C r, avec d < r < 2k+2 d (ou (d 1)/2 < r < 2k + 2 d si F est constante). Alors, pour tout ε positif, il existe positif tel que, pour <, l algorite (7) adette une unique solution (Φ, χ, u, p ) l (T T V Q ), et celle-ci vérifie pour une constante κ : Φ Φ l (,T,H 1 (Ω)) + u u l (,T,H 1 (Ω)) + p p l 2 (L 2 (Ω)) κ( + k ), Φ Φ l (,T,L 2 (Ω)) + u u l (,T,L 2 (Ω)) + u χ l (,T,L 2 (Ω)) κ( + k+1 ). (9) De plus, Φ vérifie : ε Φ (x) 1 + ε, x Ω, M. Rearque 1 Dans le cas où F n est pas constante, la condition C d est restrictive, car ne peret pas de coisir de grands pas de teps : ceci a été vérifié dans les siulations nuériques [1]. Les siulations indiquent de plus qu un algorite consistant à replacer dans (7b) le tere F(Φ ) Φ+1 par le tere F(Φ +1 ) Φ +1 peret de lever cette liitation dans la pratique. Le problèe (7b) est alors non-linéaire et est résolu par une étode de point fixe ou de Newton. L analyse nuérique de cette variante, et de la contrainte en pas de teps associé, sera étudiée dans un travail en préparation [14]. Indications sur la déonstration L estiation donnant Φ arbitraireent proce de l intervalle [, 1] est indispensable à l aboutisseent de la preuve. Elle est basée sur les inégalités inverses [5] ψ,,ω C a d/p ψ,p,ω, ψ,,ω C b 1 d/2 log 1 1/d ψ 1,Ω ψ W. (1) On prendra tel que 1 d/2 log 1 1/d ( k + ) = 1. On procède par récurrence sur n, en supposant que les bornes annoncées sont prouvées pour (Φ, χ, u ), n, et en ontrant les estiations successiveent pour Φ n+1, χ n+1 et u n+1 avec la êe constante κ, indépendante de n. Si une grande partie des difficultés rencontrées sont siilaires à celles de la preuve de Süli [5], les teres non-linéaires nécessitent un traiteent particulier. 4

5 Posons Φ = π Φ(, t ). Ainsi, pour estier l erreur ǫ = Φ π Φ dans H 1, où π est l interpolateur de Lagrange sur T, on applique le lee de Gronwall discret à la suite ( ) F(Φ ) ǫ entre = 1 et = n. La borne inférieure sur F peret ensuite d obtenir une ajoration Φ n Φn 1,Ω κ( k + ). Les caractéristiques continues sont définies pour tout x Ω et s [, T] par l équation différentielle : X (x, s; t) = u(x(x, s; t), t), t ], T[ et la condition initiale X(x, s; s) = x. t Posons X (x) = X(x, t +1, t ). On ontre que les caractéristiques approcées X définies par (7a) sont telles que pour tout ψ L q (Ω), 1/p + 1/q = 1/2, ( ǫ X ǫ ) ) X, ψ C d ( u u K 2, ψ,q,ω ǫ,p,ω ( ) 2. où K, = C u L (L (Ω)) { t u L (t,t +1;L (Ω)) + D tu L (t,t +1;L (Ω))} Il s en suit, grâce à (1), une ajoration utilisée pour borner ǫ +1 : ( ǫ X ǫ ) X (, ǫ +1 C c u u 2 )1 + K 2,n 1 d 1 2 log 1 d ǫ +1 1,Ω ǫ L ypotèse de récurrence peret de borner 1 d/2 log 1 1/d ǫ par 1 pour. La ajoration du êe tere avec la fonction-test ( ǫ +1 ) ǫ / est plus tecnique, et fait apparaître la contrainte r > d 2 pour ajorer ǫ +1 1,Ω. Lorsque F n est pas constante, on utilise aussi que, pour β > arbitraire : A 1 = ({F(Φ ) F(Φ )} Φ +1, ǫ+1 ǫ ) 1 β F (Φ ) Φ F (Φ ) Φ 2 Φ +1 2,,Ω + 1 β F(Φ ) F(Φ ) 2 Φ +1 2,,Ω + β ǫ +1 ǫ 2, dont le preier tere peut être ajoré par (1/β) ǫ 2 Φ +1 2 pour <,,Ω, en utilisant l ypotèse de récurrence sur Φ. Les teres faisant apparaître les bornes les plus restrictives sur r ont la êe fore, A 2 = 1 ( ) F(Φ +1 ) F(Φ ) 2 ǫ +1, A 2 = 1 ( 1 + αφ +1 ) αφ e, où e = u πs u(, t +1), avec π S un opérateur de projection de H1 (Ω) sur V, et iposent de donner une ajoration en o() de Φ +1 Φ 2,,Ω. 4. Conclusion L algorite présenté ici a peris dans [1] de réaliser les preières siulations nuériques d écouleents dits d écange pour de forts rapports de densité entre des fluides iscibles. Ces écouleents consitent à ettre en présence dans un canal deux fluides de densité différente, initialeent séparés par une paroi verticale. Lorsqu on supprie celle-ci, deux courants de fluides dense et léger se propagent respectiveent aux parois inférieure et supérieure du canal, et atteignent des vitesses constantes, respectiveent U d et U l. La Fig 1 copare observations expérientales et résultats nuériques pour µ(ρ) et F(Φ) prises constantes, et indique que le systèe de Kazikov-Sagulov est approprié pour odéliser ce type d écouleents et que l algorite proposé ici peret d en approcer la solution. 5

6 2. 1. U d gd U l gd α 1..5 α 1 Fig. 1. Vitesses U d et U l des fronts dense et léger respectiveent selon le paraètre de contraste de densité α = (ρ d ρ l )/(ρ d + ρ l ). D est la dei-auteur du canal, g l accélération de la gravité., observations expérientales,, siulations nuériques. Reercieents Les auteurs souaitent reercier très viveent Didier Bresc, avec qui de nobreuses discussions ont été déterinantes pour ce travail. Références [1] J. Étienne, E. J. Hopfinger, and P. Saraito. Nuerical siulation of ig density ratio lock-excange flows. Pysics of Fluids, 17(3), 25. [2] K. R. Rajagopal and L. Tao. Mecanics of Mixtures, volue 35 of Series on advances in ateatics for applied sciences. World scientific publising Co., Inc., River Edge, NJ, USA, [3] D. D. Josep and Y. Y. Renardy. Fundaentals of two-fluid dynaics. Part II : Lubricated Transport, Drops and Miscible Liquids. Interdisciplinary Applied Mateatics. Springer Verlag, New-York, etc, [4] S. N. Antonsev, A. V. Kazikov, and V. N. Monakov. Boundary value probles in ecanics of nonoogeneous fluids. Nort-Holland, Asterda, 199. [5] E. Süli. Convergence and nonlinear stability of te Lagrange-Galerkin etod for te Navier-Stokes equation. Nuer. Mat., 53 : , [6] A. Majda. Copressible fluid flow and systes of conservation laws in several space diensions, volue 53. Springer- Verlag, [7] P. Ebid. Well-posedness of te nonlinear equations for zero ac nuber cobustion. Co. Partial Diff. Eqs., 12 : , [8] P.-L. Lions. Mateatical topics in fluid ecanics. Lecture series in Mateatics and its applications. Oxford Science, 1996, [9] T. Alazard. Low Mac nuber liit of te full Navier Stokes equations. subitted, 25. [1] A. Kazikov and S. Sagulov. Te correctness of boundary value probles in a diffusion proble of an oogeneous fluid. Sov. Pys. Dokl., 22 : , [11] D. Bresc, E. H. Essoufi, and M. Sy. De nouveaux systèes de type Kazikov Sagulov : odèles de propagation de polluants et de cobustion à faible nobre de Mac. C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, 335 : , 22. [12] F. Brezzi and M. Fortin. Mixed and ybrid finite eleents etods. Springer-Verlag, New-York, [13] J. Étienne. Siulation nuérique d écouleents gravitaires à fortes différences de densité. Application aux avalances. PD tesis, INP Grenoble, Septeber 24. [14] J. Étienne and P. Saraito. A priori error estiates of te Lagrange Galerkin etod for Kazikov Sagulov type systes. in preparation. 6