Université Lumière Lyon 2 L3-Economie & Gestion

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1 Uiversité Lumière Lyo L3-Ecoomie & Gestio UFR de Scieces Ecoomiques et de Gestio Statistique Iféretielle - Support de cours 1 Estimatio poctuelle & Itervalle de cofiace Rafik Abdesselam Courriel : rafik.abdesselam@uiv-lyo.fr Support pédagogique : rabdesselam/documets/ Rafik Abdesselam L3 : Aée Uiversitaire Septembre / 75

2 Pla du cours L3 : Scieces Ecoomiques et de Gestio Itroductio Chapitre 1 : Estimatio poctuelle & Itervalle de cofiace Chapitre : Tests d hypothèses paramétriques Chapitre 3 : Tests d hypothèses o-paramétriques Rafik Abdesselam L3 : Aée Uiversitaire Septembre 016 / 75

3 Objectif du cours L objet de ce cours est de préseter des cocepts d iférece statistique : préseter des pricipes qui vot permettre, sur la base de résultats d échatillo, d estimer les valeurs des paramètres d ue populatio avec u iveau de cofiace ou ecore de vérifier certaies hypothèses statistiques posées sur les valeurs mêmes des paramètres. Les problèmes traités sot de deux types : l estimatio de paramètres et les tests d hypothèses. Ue boe base de statistique et de probabiltés est écessaire pour bâtir ue statistique iféretielle solide, qui soit o seulemet u esemble de tests-recettes, effectivemet écessaires, mais aussi l expressio du "pourquoi" et du "commet" de ces solutios. Rafik Abdesselam L3 : Aée Uiversitaire Septembre / 75

4 Objectif du cours Pré-requis : Cours de Statistique & Probabilités. Approche pédagogique : (1) séaces de cours magistraux (durée 1h45 - Amphi) et (10) séaces de travaux dirigés (durée 1h45 - Salle : ). Matériel pédagogique : (1) Polycopié de support de cours, (1) aide mémoire, (1) polycopié de travaux dirigés et (1) polycopié tables statistiques. Modalités de Cotrôle des Coaissaces : Cotrôle Cotiu (40% - durée 1h30) et u Exame Termial (60% - durée 1h30). Quelques référeces bibliographiques : [1] P. Roger "Probabilités, statistique et processus stochastiques" Cours et exercices. Collectio sythex, Pearso Educatio. [] B. Grais "Méthodes statistiques" Modules Écoomiques, Duod. [3] Y. Herbert "Mathématiques probabilités et statistique" Vuibert. [4] Sheldo Y. Ross "Iitiatio aux probabilités" Traductio de la 4ème Etidio américaie Presses Polytechiques et Uiversitaires Romades. [5] J.R. Reau G. Chauvat "Probabilités et statistiques" Flash pour les scieces écoomiques et sociales. Armad Coli. [6] G.R. Grimmett ad D.R. Stirzaker "Probability ad Radom Processes" Oxford Sciece Publicatios. Rafik Abdesselam L3 : Aée Uiversitaire Septembre / 75

5 Pla détaillé Itroductio Echatilloage - Estimatio de paramètres - Populatio, échatillo. Théorème de la limite cetrale - Covergece e loi et e probabilité. Chapitre 1 : Estimatio poctuelle & Itervalle de cofiace Lois costruites à partir de la loi ormale : Khi-deux de Pearso, Studet et Fisher-Sédécor, lecture des tables. Estimateurs - Costructio : Méthode du Maximum de Vraisemblace, Méthode des Momets - Propriétés. Estimatio poctuelle - itervalle de cofiace : moyee, proportio et variace. Comparaisos : moyees (échatillos idépedats - appariés), proportios et rapport de variaces. Chapitre : Tests d hypothèses paramétriques Cocept et formulatio des hypothèses et coditios d applicatio. Démarche d u test statistique. Risques de première et deuxième espèce. Tests de coformité d ue moyee, d ue proportio et d ue variace. comparaisos : moyees, proportios et variaces. Chapitre 3 : Tests d hypothèses o-paramétriques Rafik Abdesselam L3 : Aée Uiversitaire Septembre / 75

6 Pla détaillé Itroductio Chapitre 1 : Estimatio poctuelle & Itervalle de cofiace Chapitre : Tests d hypothèses paramétriques Chapitre 3 : Tests d hypothèses o-paramétriques Pricipe gééral et formulatio des hypothèses. Applicatio des tests du Khi-deux de Pearso : - Test d idépedace etre caractères - Tableau de cotigece. - Test d homogééité de plusieurs populatios. - Test d ajustemet - Coformité etre deux distributios. Echatillos idépedats - Test de la somme des rags (Wilcoxo & Ma-Whitey) ou Test U de Ma-Whitey. Echatillos appariés - Test de la somme des rags des différeces positives (Wilcoxo). - Test de corrélatio de rags de Spearma. Rafik Abdesselam L3 : Aée Uiversitaire Septembre / 75

7 Itroductio La statistique iféretielle ou cofirmatoire, passerelle etre la statistique descriptive et la statistique mathématique, établit des relatios etre populatios et échatillos. O distigue deux types de démarche : 1 ECHANTILLONNAGE (Populatio Echatillo) démarche déductive de la statistique classique "du gééral au particulier". O coaît la populatio, o s itéresse à l échatillo. ESTIMATION (Echatillo Populatio) démarche iductive "du particulier au gééral". O coaît l échatillo, o s itéresse à la populatio. Elle vise à étudier, à prédire les paramètres d ue populatio icoue à partir des résultats obteus grâce à des échatillos. Estimatio poctuelle et par itervalle de cofiace, Tests d hypothèses statistiques. Rafik Abdesselam L3 : Aée Uiversitaire Septembre / 75

8 ESTIMATION (Echatillo Populatio) Schématiquemet Rafik Abdesselam L3 : Aée Uiversitaire Septembre / 75

9 Estimatio de paramètres La théorie de l estimatio dot l objectif est d estimer u ou plusieurs paramètres (icous) de la populatio par u ombre ou u itervalle dit de cofiace. La théorie des tests dot l objectif est de cofroter ue hypothèse cocerat les paramètres théoriques (populatio) avec la réalité observée (échatillo) puis décider. Exemples : 1. O étudie le redemet d u titre de l idice CAC40. Le redemet est pas costat. La populatio est l esemble des redemets du titre, - la variable aléatoire de l expériece : le redemet, - les paramètres d itérêt : l espérace m (redemet moye du titre) et la variace σ (volatilité du titre).. O étudie la o-coformité de pièces usiées. La populatio est l esemble des pièces de la productio, - la variable aléatoire de l expériece : Présece ou Absece de défauts de fabricatio, - le paramètre d itérêt : la probabilité p avec laquelle ue pièce est o-coforme. Ces méthodes reposet sur le choix d u modèle statistique : loi de probabilité de la variable aléatoire de l expériece. Rafik Abdesselam L3 : Aée Uiversitaire Septembre / 75

10 Théorème Cetral Limite Soit (X i ) i=1, ue suite de v.a. idépedates et de même loi (i.i.d.), dot les momets d ordres u et deux existet otés E(X i ) = m et V(X i ) = σ. Posos la somme S = i=1 X i E(S ) = m ; V(S ) = σ alors : S E(S ) V(S ) = S m σ loi N(0; 1) La loi de la somme S est approximativemet ormale N(m,σ ) lorsque est assez grad, quelle que soit la loi de probabilité des X i (coue ou icoue). Le T.C.L. justifie l importace doée à la loi ormale, loi de probabilité la plus utilisée e statistique. Le T.C.L. fourit doc o seulemet ue méthode simple pour le calcul approximatif de probabilités liées à des sommes de v.a.r., mais il explique égalemet ce fait empirique remarquable que bie des phéomèes aturels admettet ue distributio e forme de cloche (foctio desité d ue loi ormale). Das beaucoup de situatios, le phéomèe étudié est la résultate d u grad ombre de composates idépedates et le T.C.L. ous assure alors que la loi ormale est tout à fait adéquate. Moyee : X = S = 1 i=1 X i E(X ) = m ; V(X ) = σ alors : X m σ loi N(0; 1) Rafik Abdesselam L3 : Aée Uiversitaire Septembre / 75

11 Estimatio poctuelle Obteir des estimatios fiables de certais paramètres (icous) de la populatio échatilloée. La loi, gééralemet icoue, de cette populatio est caractérisée par u voire plusieurs paramètres icous otés θ, par exemple : θ = m, (m 1 m ), p, (p 1 p ), σ, σ 1. σ Le but d ue estimatio poctuelle est de fourir ue valeur approchée de θ, e utilisat les observatios (x 1,x,...,x ). L idée de la procédure classique d estimatio cosiste à choisir ue statistique (variable aléatoire) particulière appelée "estimateur". Cet estimateur, oté θ, est ue foctio des variables aléatoires (X 1,X,...,X ) i.i.d. L estimatio du paramètre θ de la populatio est la valeur (umérique) que pred cet estimateur selo les observatios (x 1,x,...,x ) de l échatillo. Rafik Abdesselam L3 : Aée Uiversitaire Septembre / 75

12 Propriétés d u estimateur Ayat choisi u estimateur θ pour estimer le paramètre θ, o souhaite évidemmet que cet estimateur soit de boe qualité, c est-à-dire : 1 Estimateur sas biais : E(θ ) = θ. Estimateur asymptotiquemet sas biais : E(θ ) θ La précisio de l estimateur doit augmeter avec le ombre d observatios : taille de l échatillo. 3 Estimateur coverget e probabilité : Sas biais ou asymptotiquemet sas biais : Var(θ ) 0. 4 Estimateur efficace : soiet θ et θ deux estimateurs sas biais de θ, θ est dit plus efficace que θ si Var(θ ) Var(θ ). Rafik Abdesselam L3 : Aée Uiversitaire Septembre / 75

13 Estimatio par itervalle de cofiace Les otios d itervalle, de iveau de cofiace, d erreur et de risque, liées aux problèmes de distributio d échatilloage, se trasposet sas difficulté aux problèmes d estimatios. L estimatio poctuelle, bie qu utile, e fourit aucue iformatio cocerat la précisio de l estimatio : elle e tiet pas compte de l erreur possible das l estimatio ; erreur attribuable aux fluctuatios d échatilloage. O se propose doc d estimer θ, paramètre icou de la populatio, par itervalle de cofiace afi de le cerer avec ue certaie fiabilité. Coaissat l estimatio poctuelle θ du paramètre icou θ de la populatio, il s agit alors de détermier u itervalle das lequel il est vraisemblable que la vraie valeur de θ s y trouve. Rafik Abdesselam L3 : Aée Uiversitaire Septembre / 75

14 Estimatio par itervalle de cofiace O obtiet cet itervalle e calculat deux limites auxquelles est associée ue certaie assurace de coteir la vraie valeur de θ (icoue). L itervalle recherché, das lequel doit se trouver θ avec ue probabilité (1 α), se défiit à partir de la distributio de l estimateur θ d après l équatio suivate : P(θ E θ θ + E) = 1 α et les limites predrot, après avoir prélevé l échatillo et calculé l estimatio poctuelle θ, la forme suivate : θ E θ θ + E où E : la marge das l estimatio de θ (précisio), sera détermié à l aide de l écart-type de la distributio d échatilloage de θ et du iveau de cofiace (1 α) ou du risque d erreur α choisi à priori. Rafik Abdesselam L3 : Aée Uiversitaire Septembre / 75

15 Quelques lois de probabilités utiles 1 Loi du Khi-deux : ue v.a.r. du khi-deux à degrés de liberté, otée χ, est la somme de carrés de v.a.r. ormales N(0 ; 1) cetrées réduites idépedates : χ = i=1 U i (i,j)i j U i N(0;1) U i et U j idépedates Loi de Studet : ue v.a.r. de Studet à degrés de liberté, otée T, est le quotiet d ue v.a.r. ormale N(0,1) par la racie carrée d ue v.a.r. du χ divisée par so ombre de degrés de liberté (d.d.l.) : T = U X U N(0;1) X χ U etx idépedates 3 Loi de Fisher : ue v.a.r. de Fisher à m et degrés de liberté, otée F (m,), est le quotiet de deux v.a.r. χ m et χ idépedates, divisées par leur ombre de d.d.l. m et : F (m,) = X m Y X χ m Y χ X ety idépedates Rafik Abdesselam L3 : Aée Uiversitaire Septembre / 75

16 Hypothèses et coditios d applicatio Hypothèses d applicatio : Soiet (x 1,x,...,x ) observatios réalisées à partir de v.a.r. (X 1,X,...,X ) idépedates et de même loi de probabilité (i.i.d.) comme X de moyee m et de variace σ. 1 La loi de probabilité de X est ormale ( la taille de l échatillo prélevé). Si la loi de probabilité de X est quelcoque (coue ou icoue) et est grad ( 30) : T.C.L. assure la ormalité, 3 Si la loi de probabilité de X est quelcoque (coue ou icoue) et est petit ( < 30) :??? Utiliser plutôt des tests o-paramétriques Coclusio : O se placera doc toujours das le cas ou l échatilloage s effectue à partir d ue populatio ormale N(m,σ ) ou d u grad échatillo ( 30). Rafik Abdesselam L3 : Aée Uiversitaire Septembre / 75

17 Estimatio de paramètres Démarche à suivre pour meer à bie ue estimatio : 1 Etablir ou costruire le ou les estimateurs du paramètre (Méthode du Maximum de Vraisemblace, Méthode des Momets,...), Choisir le "meilleur" ou le plus efficace (Vérifier les propriétés d u "bo" estimateur), 3 Détermier la distributio de probabilité de l estimateur reteu (Statistique de test), 4 Etablir des itervalles de cofiace et/ou des tests d hypothèses sur le paramètre à estimer (prise de décisio). Rafik Abdesselam L3 : Aée Uiversitaire Septembre / 75

18 1 Estimatio poctuelle de la moyee : m (X 1,X,...,X ) i.i.d. N(m ; σ ) ou grad échatillo ( 30). i = 1, E(X i ) = m ; V(X i ) = σ. Pour estimer la moyee m de la populatio, o utilise le plus souvet la distributio d échatilloage de la moyee dot l estimateur est : X = 1 i=1 X i 1 Estimateur sas biais : E(X ) = E( 1 i=1 X i) = 1 i=1 E(X i) = 1 i=1 m = m = m Estimateur coverget e probabilité : V(X ) = V( 1 i=1 X i) = 1 i=1 V(X i) = 1 i=1 σ = σ 0 La moyee x observée sur l échatillo est ue estimatio poctuelle de la moyee m de la populatio. Rafik Abdesselam L3 : Aée Uiversitaire Septembre / 75

19 1.1 Estimatio de la moyee : m (σ coue) Lorsque la variace de la populatio σ est coue, la distributio d échatilloage de X est approximativemet ormale de moyee E(X ) = m et de variace coue Var(X ) = σ. La statistique de test : O peut alors écrire : X m σ/ P( u α N(0;1) X m σ/ u α ) = 1 α O détermie les fractiles u α de la loi N(0 ; 1) : P( u α U u α ) = P( U u α ) = 1 α O e déduit l itervalle de cofiace de iveau (1 α) de m : x u α σ m x + u α σ Marge d erreur das l estimatio de m : E = u α Itervalle "bilatéral symétrique" de iveau 1 α de la moyee m cetré e x. Rafik Abdesselam L3 : Aée Uiversitaire Septembre / 75 σ

20 1. Estimatio de la moyee : m (σ icoue) C est gééralemet le cas. Lorsque la variace σ est icoue o doit d abord estimer la moyee m pour estimer σ : Estimateur sas biais : S = 1 1 i=1 (X i X ) Estimatio : s = 1 1 i=1 (x i x ) Das ce cas, la distributio d échatilloage de X a pour moyee E(X ) = m et de variace estimée Var(X ) = s. La statistique de test : O peut alors écrire : X m S / T 1 d.d.l. P( t α X m s / t α ) = 1 α Les fractiles t α de la loi de Studet à d.d.l. (cf. table) : P( t α T t α ) = P( T t α ) = 1 α O e déduit l itervalle de cofiace de iveau (1 α) de m : s x t α s m x + t α Rafik Abdesselam L3 : Aée Uiversitaire s Septembre / 75

21 Remarque - Exemple d applicatio Approximatio : si la taille de l échatillo est grade ( 30) alors o peut remplacer la valeur du fractile t α de Studet à (-1) d.d.l. par celle du fractile u α de la loi ormale cetrée-réduite N(0,1) (cf. Tables statistiques N(0,1) et T ν ). Exemple d applicatio : O suppose que le chiffre d affaires mesuel d ue etreprise suit ue loi ormale de moyee icoue m mais dot l écart-type s a été estimé à 5 K.Euros. Sur les 16 deriers mois, la moyee des chiffres d affaires mesuels a été de 50 K.Euros. Doer ue estimatio de m par itervalle de cofiace au iveau 98%. Rafik Abdesselam L3 : Aée Uiversitaire Septembre / 75

22 Exemple d applicatio - Solutio Niveau de cofiace : 1 α = 98% Coditios d applicatio : = 16 petit, mais C.A. mesuel est supposé ormalemet distribué : C.A. N(m,σ ) de variace σ icoue. Statistique de test : X m S / T 1 d.d.l. Les doées : = 16 ν = 1 = 15 d.d.l. x 16 = 50 K.Euros : moyee calculée sur l échatillo de taille = 16 (estimatio poctuelle de m.) s 16 = 5 K.Euros s 16 = s 16 1 = 5 16 = K.Euros 15 Seuil de sigificatio : α = % t α = t 1% = ±.605 cf. Table de Studet à ν = 1 = 15 d.d.l. s Marge d erreur das l estimatio de m : E = t α 16 = = K.Euros Itervalle de cofiace de iveau 98% de m (variace σ icoue) : = m = m [15.06K.Euros, 84.94K.Euros] Coclusio : Il y a 98 chaces sur 100 que le chiffre d affaires mesuel moye m de cette etreprise se trouve das cet itervalle. Rafik Abdesselam L3 : Aée Uiversitaire Septembre 016 / 75

23 Estimatio poctuelle d ue proportio : p Soiet A 1,...,A i,...,a évéemets idépedats de probabilité p. Pour estimer la la proportio p de la populatio, o utilise la proportio de réalisatio des évéemets A i : Estimateur sas biais : P = 1 i=1 1 A i Estimatio : p = 1 i=1 P(A i) L estimateur aisi défiit, 1 Estimateur sas biais : E( P ) = E( 1 i=1 1 A i ) = 1 i=1 E(1 A i ) = 1 i=1 P(A i) = p = p Estimateur coverget e probabilité : V( P ) = Var( 1 i=1 1 A i ) = 1 i=1 Var(1 A i ) = 1 i=1 P(A i)(1 P(A i )) = 1 pq i=1 p(1 p) = 0 La proportio p observée sur l échatillo est ue estimatio poctuelle de la proportio p de la populatio. Rafik Abdesselam L3 : Aée Uiversitaire Septembre / 75

24 Estimatio poctuelle d ue proportio p Remarque : o est rameé au cas précédet : estimatio de la moyee d ue loi de Berouilli. E effet, (X 1,...,X i,...,x ) i.i.d. X i B(p) Berouilli i E(X i ) = p et V(X i ) = pq ( grad : 30) Y = i X i B(;p) Biomiale E(Y ) = p V(Y ) = pq avec q = 1 p P = Y / = 1/ i X i E( P ) = 1 E(Y ) = p V( P ) = 1 V(Y ) = pq pq P N(p ; ( ) ) E( P ) = p et V( P) = pq N(0; 1) Normale ( P p) pq Rafik Abdesselam L3 : Aée Uiversitaire Septembre / 75

25 Itervalle de cofiace de p ( grad : 30) Dès lors que la taille de l échatillo prélevé est grade ( 30), l estimatio par itervalle de cofiace de p (icoue) de la populatio se déduit de la distributio d échatilloage de la proportio : P = 1 i X i (X 1,...,X i,...,x ) i.i.d. X i B(p) La distributio d échatilloage de P est approximativemet ormale de moyee E( P ) = p et de variace e foctio de p (icoue) Var( P ) = pq La statistique de test : p q (estimatio de la variace). P p N(0;1) p q / Rafik Abdesselam L3 : Aée Uiversitaire Septembre / 75

26 Itervalle de cofiace de p ( grad : 30) O peut alors écrire : P( u α P p p q / u α ) = 1 α O e déduit l itervalle de cofiace de iveau (1 α) de p : p u α p q p p + u α p q Marge d erreur das l estimatio de p : E = u α p q. Itervalle "bilatéral symétrique" de iveau 1 α de la proportio p cetré e p. Rafik Abdesselam L3 : Aée Uiversitaire Septembre / 75

27 Exemple d applicatio U sodage effectué auprès d u échatillo aléatoire de 50 employés d ue etreprise doe la répartitio selo les catégories salariales suivates : Cat. salariale/mois Nombre de salariés Mois de M.Euros 18 [ 4[ 0 4 M.Euros et plus 1 Total 50 1 Doer ue estimatio poctuelle de la proportio vraie d employés de cette etreprise dot le salaire est supérieur ou égal à M.Euros. Doer u itervalle de cofiace pour p, la proportio vraie d employés de cette etreprise dot le salaire est supérieur ou égal à M.Euros, avec u risque d erreur de 10%, de 5% et de 1%. Rafik Abdesselam L3 : Aée Uiversitaire Septembre / 75

28 Exemple d applicatio - Solutio Coditios d applicatio : = 50, approximatio par ue distributio ormale. P Statistique de test : p N(0;1) p q / 1 Estimatio poctuelle de la proportio vraie d employés de cette etreprise dot le salaire est supérieur ou égal à M.Euros : p 50 = 0+1 = = 64%. Les doées : Niveau de cofiace : 1 α = 95%. Risque d erreur : α = 5% u α = u.5% = ±1.96 cf. Table de la loi ormale N(0, 1) p q Marge d erreur das l estimatio de p : E = u α = = 13.30%. Avec 50 p 50 = 64% et q 50 = 1 p 50 = 36%. Itervalle de cofiace de iveau 95% de p : = p = p [50.70%, 77.30%] Coclusio : das cette etreprise, Il y a 95 chaces sur 100 que la proportio p d employés dot le salaire est supérieur ou égal à M.Euros, soit comprise etre 50.70% et 77.30%. α 1 α u α Marge Itervalle de cofiace 10% 90% [5.83%, 75.17%] 5% 95% [50.70%, 77.30%] 1% 99% [46.49%, 81.51%] Rafik Abdesselam L3 : Aée Uiversitaire Septembre / 75

29 Précisio - Taille d échatillo - Risque d erreur ou Niveau de cofiace 1 La marge d erreur ou iveau de précisio recherché das l estimatio par itervalle de cofiace, lorsqu o utilise l estimatio θ de l échatillo pour estimer la vraie valeur θ de la populatio, est l écart (e valeur absolue), oté E = θ θ. E pratique, o peut fixer la marge d erreur qu o e veut pas excéder et détermier la taille miimale de l échatillo requise. 3 O peut déduire le risque d erreur ou le iveau de cofiace attribué à ue estimatio par itervalle. Paramètre Marge d erreur Taille d échatillo Risque d erreur Moyee m (σ σ coue) E = u α σ = (u α E ) u α = σ E Moyee m (σ icoue) E = t α s s = (t α E ) t α = s E p q Proportio p E = u α = ( u α E ) p q u α = p q E Rafik Abdesselam L3 : Aée Uiversitaire Septembre / 75

30 Exemples d applicatio Exemple 1 : O suppose que le C.A. mesuel d ue etreprise suit ue loi ormale de moyee icoue m mais dot l écart-type s a été estimé à 5 K.Euros. Sur les 16 deriers mois, la moyee des C.A. mesuels a été de 50 K.Euros. Détermier la taille de l échatillo requise de sorte que la marge d erreur excède pas 15 K.Euros avec u risque d erreur α = % Exemple : Le sodage effectué auprès d u échatillo aléatoire de 50 employés d ue etreprise a motré que 3 employés ot u salaire supérieur ou égal à M.Euros. Détermier la taille de l échatillo requise "ombre d employés à iterroger" de sorte que la marge d erreur, das l estimatio de la proportio d employés dot le salaire est supérieur ou égal à M.Euros, excède pas 4% avec u risque d erreur α = 5% Rafik Abdesselam L3 : Aée Uiversitaire Septembre / 75

31 Exemple 1 - Solutio Taille de l échatillo requise de sorte que la marge d erreur excède pas 15 K.Euros avec u risque d erreur α = % Coditios d applicatio : C.A. mesuel m est supposé ormalemet distribué : C.A. N(m,σ ) de variace σ icoue. Statistique de test : X m S / T 1 d.d.l. Remarque : pour = 16 mois et avec u risque d erreur α = %, la marge d erreur das l estimatio du C.A. mesuel moye était de E = 34.94K.Euros. O réduit cette marge à E 15K.Euros doc la taille d échatillo requise va augmeter ( > 16 mois) : la coditio d approximatio de la loi de Studet par celle de la loi ormale ( grad). O pourra doc remplacer le fratile de la loi de Studet t α (le ombre de degrés de liberté déped de la taille d échatillo recherchée) par celui de la loi ormale u α. Les doées : Risque d erreur : α = % u α = u 1% = ±.35 cf. Table de la loi ormale N(0, 1) Marge d erreur das l estimatio de m : E = t α s u α s 15 ( u α s E ) = ( ) = Coclusio : Pour avoir u itervalle de cofiace de iveau 98% avec ue marge d erreur au plus égale à 15 K.Euros, la taille d échatillo requise doit être supérieure ou égale à 70 relevés mesuels. Rafik Abdesselam L3 : Aée Uiversitaire Septembre / 75

32 Exemple - Solutio Taille de l échatillo requise de sorte que la marge d erreur, das l estimatio de la proportio d employés dot le salaire est supérieur ou égal à M.Euros, excède pas 4% avec u risque d erreur α = 5% : Remarque : pour = 50 employés et avec u risque d erreur α = 5%, la marge d erreur était de E = 13.33%. O réduit cette marge (meilleure précisio) à E 4% doc la taille d échatillo requise va augmeter ( > 50 employés) : la coditio d applicatio ( grad) sera toujours respectée. Statistique de test : P p N(0;1). p q / Les doées : Niveau de cofiace : 1 α = 95%. Risque d erreur : α = 5% u α = u.5% = ±1.96 cf. Table de la loi ormale N(0, 1) Marge d erreur das l estimatio de p : E = u α p q 4% ( u α E ) p q = ( ) = Coclusio : Pour avoir u itervalle de cofiace de iveau 95% avec ue marge d erreur au plus égale à 4%, il faudrait iterroger 554 employés et plus. Rafik Abdesselam L3 : Aée Uiversitaire Septembre / 75

33 3.1 Estimatio de la variace σ (m coue) x 1,x,...,x observatios idépedates de même loi de moyee m et de variace σ. Pour estimer σ, si la moyee m est coue, o peut costruire l estimateur : S = 1 i=1 (X i m) 1 Estimateur sas biais : E(S ) = E( 1 i=1 (X i m) ) = 1 i=1 E[(X i m) ] Estimateur coverget : (variace mathématique) = 1 i=1 σ = σ = σ V(S) = V( 1 i=1 (X i m) ) = 1 i=1 V[(X i m) ] = 1 i=1 (E[(X i m) 4 ] [E(X i m) ] ) = 1 i=1 (E[(X i m) 4 ] σ 4 ) = 1 i=1 cste 0 La variace s = 1 i=1(x i m) observée sur l échatillo est ue estimatio poctuelle de la variace σ de la populatio échatilloée lorsque la moyee m de la populatio est coue. Rafik Abdesselam L3 : Aée Uiversitaire Septembre / 75

34 Itervalle de cofiace de σ (m coue) Lorsque la moyee m est coue, o peut motrer que : i=1 (X i m) σ = i=1 ( X i m σ ) = i=1 U i χ d.d.l. avec U i N(0,1). (cf. défiitio d ue variable aléatoire du khi-deux comme somme de carrés de variables aléatoires ormales cetrées réduites idépedates). La statistique de test : i=1 O peut alors écrire : (X i m) σ = S σ χ d.d.l. P(k 1 S σ k ) = 1 α où, k 1 = χ α et k = χ 1 α sot les fractiles de la du khi-deux à degrés de liberté (cf. table du khi-deux). c est-à-dire : P(χ k 1 ) = α et P(χ k ) = 1 α O e déduit l itervalle de cofiace de iveau (1 α) de σ : s k σ s k 1 Rafik Abdesselam L3 : Aée Uiversitaire Septembre / 75

35 3. Estimatio de la variace σ (m icoue) Lorsque la moyee m est icoue (cas le plus fréquet), pour estimer σ, o pourrait utiliser aturellemet l estimateur : S = 1 i=1 (X i X ) après avoir estimé m. Cepedat, l estimateur S est biaisé : E(S ) = 1 σ, o préfère alors utiliser l estimateur : S = 1 i=1 (X i X ) = 1 S appelé : carré de la déviatio stadard empirique. 1 Estimateur sas biais : E(S ) = E( 1 S ) = 1 E(S ) = 1 1 σ = σ Estimateur coverget : Var(S ) = V(S ) = V( 1 S ) = ( 1) V(S) V(S) 0 La variace s = 1 1 i=1(x i x ) = 1 s observée sur l échatillo est ue estimatio poctuelle de la variace σ de la populatio échatilloée lorsque la moyee m de la populatio est icoue. Rafik Abdesselam L3 : Aée Uiversitaire Septembre / 75

36 Itervalle de cofiace de σ (m icoue) Lorsque la moyee m est icoue, o peut égalemet motrer que la statistique de test : i=1 (X i X ) σ = ( 1) S σ χ ( 1) d.d.l. O peut alors écrire : P(k 1 ( 1) S σ k ) = 1 α où, k 1 = χ α et k = χ 1 α sot les fractiles de la du khi-deux à ( - 1) degrés de liberté (cf. table du khi-deux). c est-à-dire : P(χ ( 1) k 1) = α et P(χ ( 1) k ) = 1 α O e déduit l itervalle de cofiace de iveau (1 α) de σ : ( 1) s k σ ( 1) s k 1 Ou ecore pour l écart-type σ : ( 1) s k σ ( 1) s k 1 Rafik Abdesselam L3 : Aée Uiversitaire Septembre / 75

37 Exemple d applicatio O suppose que le chiffre d affaires mesuel d ue etreprise suit ue loi ormale de moyee icoue m mais dot l écart-type s a été estimé à 5 K.Euros. Sur les 16 deriers mois, la moyee des chiffres d affaires mesuels a été de 50 K.Euros. 1 Doer ue estimatio poctuelle de l écart-type σ du chiffre d affaires mesuel cette etreprise. Etablir u itervalle de cofiace de iveau 95% de σ. Rafik Abdesselam L3 : Aée Uiversitaire Septembre / 75

38 Cas d u tirage sas remise Si la populatio échatilloée a u ombre fii d idividus de taille N, o coçoit que la loi de la populatio chage après chaque tirage et que les tirages e soiet pas idépedats. Cepedat, pour l estimatio de la moyee E(X ) = m : V(X ) = σ N N 1 N N 1 (variace coue) V(X ) = s (variace icoue) de même, pour l estimatio d ue proportio E( P ) = p : N N 1 V( P ) = p q Doc, lorsque l échatilloage s effectue sas remise (tirage exhaustif) à partir d ue populatio fiie de taille N, o doit apporter u facteur de correctio : N N 1 1 à la variace de N l estimateur, si le taux de sodage t = N > 10%. Toutefois ce facteur de correctio peut être igoré ( N 1) si le N 1 taux de sodage t = N 10%. Rafik Abdesselam L3 : Aée Uiversitaire Septembre / 75

39 Exemple d applicatio Supposos que cette etreprise compte 00 employés et que l échatillo de 50 employés a été prélevé au hasard parmi les deux cets. Cat. salariale/mois Nombre de salariés Mois de M.Euros 18 [ 4[ 0 4 M.Euros et plus 1 Total 50 1 Doer ue estimatio de la proportio de l esemble des employés dot le salaire mesuel est de M.Euros et plus. Quel est le taux de sodage? 3 Détermier la probabilité qu au mois 30 employés de cet échatillo possèdet u salaire mesuel de M.Euros et plus lorsque la populatio échatilloée e cotiet 64%. Rafik Abdesselam L3 : Aée Uiversitaire Septembre / 75

40 Exemple d applicatio - Solutio Coditios d applicatio : = 50, approximatio par ue distributio ormale. 1 Estimatio poctuelle de la proportio vraie d employés de cette etreprise dot le salaire est supérieur ou égal à M.Euros : p = 0+1 = 3 = %. Taux de sodage : t = = 50 = 5% (> 10% : ajouter le facteur de N 00 correctio : N das le calcul de l écart-type de l estimateur.) N 1 Statistique de test : P p p q ( N N 1 ) N(0;1) 3 Probabilité qu au mois 30 employés de cet échatillo possèdet u salaire mesuel de M.Euros et plus lorsque la populatio échatilloée e cotiet 64% : P[ P > 30 = 0.6] = 50 1 P[ P 0.6] = 1 P[U ( ) ] = 1 Φ( 0.68) = Φ(0.68) = 75.17%. cf. Table de la loi ormale N(0, 1). Rafik Abdesselam L3 : Aée Uiversitaire Septembre / 75

41 Comparaisos de échatillos idépedats Il existe de ombreuses applicatios qui cosistet, par exemple, à comparer deux groupes d idividus e regard d u caractère particulier (poids, taille, redemet,...), ou comparer deux procédés de fabricatio selo ue caractéristique (résistace, diamètre, logueur,...), ou ecore comparer les proportios d apparitio d u caractère de deux populatios (proportio de défectueux, proportio de ges favorisat u parti politique,...). Les distributios d échatilloage qui sot alors utilisées pour effectuer ces comparaisos Tests d hypothèses ou calcul d itervalles de cofiace sot celles correspodat aux fluctuatios d échatilloage de la différece de moyees, de proportios ou ecore du rapport de variaces observées. Rafik Abdesselam L3 : Aée Uiversitaire Septembre / 75

42 Comparaisos de échatillos idépedats Idépedats sigifie que l échatillo 1 est costitué de maière idépedate de l échatillo (par oppositio aux échatillos appariés) : Les idividus de l échatillo 1 e sot pas les mêmes que ceux de l échatillo. Rafik Abdesselam L3 : Aée Uiversitaire Septembre / 75

43 Estimatio de la différece de moyees O prélève des échatillos x 1,x,..,x et y 1,y,..,y p das deux populatios distictes. O cosidère que ces échatillos sot des réalisatios de v.a.r. idépedates X 1,X,..,X et Y 1,Y,..,Y p les premières de loi de probabilité L x, les secodes de loi de probabilité L y telles que : Populatios, échatillos idépedats { x1,x,..,x X = 1 i=1 X i y 1,y,..,y p Y p = 1 p p j=1 Y j O suppose ormales les populatios, avec respectivemet des moyees m x et m y, et des variaces σ x et σ y. { i = 1, E(X i ) = m x et V(X i ) = σ x { j = 1,p E(Y j ) = m y et V(Y j ) = σ y Rafik Abdesselam L3 : Aée Uiversitaire Septembre / 75

44 Estimatio de la différece de moyees 1 Il est évidemmet itéressat d estimer la différece (m x m y ) et o le fait aturellemet par la différece des distributios d échatilloages des moyees : X Y p Estimateur sas biais : E(X Y p ) = E(X ) E(Y p ) = m x m y Estimateur coverget : V(X Y p ) = V(X )+V(Y p ) = σ x + σ y p. La différece des moyees (x y p ) observée sur les échatillos est ue estimatio poctuelle de la différece (m x m y ) des moyees des populatios. Remarque : De même pour l estimatio poctuelle de la différece de proportios, la différece ( p x p y ) observée sur les échatillos est ue estimatio poctuelle de la différece des proportios (p x p y ) des populatios. Rafik Abdesselam L3 : Aée Uiversitaire Septembre / 75

45 Itervalle de cofiace de la différece de moyees Cas ou les variaces σ x et σ y sot coues Moyees : E(X ) = m x et E(Y p ) = m y E(X Y p ) = m x m y. Variaces : V(X ) = σ x et V(Y p ) = σ y p V(X Y p ) = σ x + σ y p La distributio d échatilloage de la différece (X Y p ) : (X Y p ) N(m x m y ; ( La statistique de test : σ x + σ y p ) ) (X Y p ) (m x m y ) σ x + σ y p N(0;1) Ce qui fourit aisémet u itervalle de cofiace de iveau (1 α) pour la différece (m x m y ) : σ (x y p ) u α x + σ y p m σ x m y (x y p ) + u α x + σ y p Marge d erreur das l estimatio de (m x m y ) : σ E = u α x + σ y p Rafik Abdesselam L3 : Aée Uiversitaire Septembre / 75

46 Exemple d applicatio Le temps mis par ue machie pour fabriquer ue pièce est supposé suivre ue loi ormale de paramètres m et σ. Das u atelier, deux machies A et B fabriquet la même pièce. Pour u échatillo de 9 pièces fabriquées, o a obteu les résultats suivats : Machie A Machie B Nombre de pièces fabriquées 9 9 Temps moye observé (m) Variaces des populatios Détermier u itervalle de cofiace, de iveau (1 α) = 95%, de la différece des temps moyes des deux machies m a m b. Questio : La machie A est-elle aussi performate que la machie B? Rafik Abdesselam L3 : Aée Uiversitaire Septembre / 75

47 Exemple - Solutio Remarques : Petits échatillos A = B = 9 pièces mais le temps de fabricatio est supposé ormalemet distribué. Les variaces σ A = 5 et σ B = 36 sot coues. Statistique de test : (X A X B ) (m A m B ) σ A A + σ B B N(0;1). Les doées : A = B = = 9. Niveau de cofiace : 1 α = 95% risque d erreur : α = 5%. u α = u.5% = ±1.96 cf. Table de la loi ormale N(0, 1) σ Marge d erreur das l estimatio de (m A m B ) : E = u α A +σ B = 1.96 Estimatio poctuelle de la différece (m A m B ) : x A x B = = 5m. Itervalle de cofiace de iveau 95% de (m A m B ) : = 0.10 (m A m B ) = (m A m B ) [ 0.10m, 10.10m] = 5.10m Coclusio : 0 I.C. 95%, doc la différece de 5 m observée sur les échatillos est pas sigificative (avec u risque d erreur de 5%), o peut doc cosidérer que ces deux machies ot des performaces idetiques. Questio : oui, la machie B est aussi performate que la machie A, l écart observé de 5 m est pas sigificatif, il est dû aux fluctuatios d échatilloage. Rafik Abdesselam L3 : Aée Uiversitaire Septembre / 75

48 Itervalle de cofiace de la différece de moyees Grads échatillos : 30 et p 30 Cas ou les variaces σ x et σ y sot icoues Si les échatillos prélevés das chaque populatio (quelcoque, par forcémet ormale) sot de grades tailles alors o peut remplacer les variaces icoues σ x et σ y par leur estimatio respective s x et sy. Das ce cas, La distributio d échatilloage de la différece (X Y p ) est approximativemet ormale. La statistique de test : (X Y p ) (m x m y ) s x + s y p N(0;1) Ce qui fourit aisémet u itervalle de cofiace de iveau (1 α) pour la différece (m x m y ) : (x y p ) u α s x + s y p m x m y (x y p ) + u α s x + s y p Rafik Abdesselam L3 : Aée Uiversitaire Septembre / 75

49 Exemple d applicatio O fait subir à des cadres itermédiaires de deux grades etreprises (ue oeuvrat das la fabricatio d équipemet de trasport et l autre das la fabricatio de produits électriques) u test d appréciatio et d évaluatio. La compilatio des résultats pour chaque groupe à l issue de cette évaluatio s établit comme suit : 1 Equipemet Produits Electriques Nombre de cadres 34 3 Appréciatio globale moyee Somme des Carrés des Ecarts Détermier u itervalle de cofiace qui a 95 chaces sur 100 de coteir la valeur vraie de la différece des moyees (m 1 m ) des deux groupes de cadres. Questio : Selo cet itervalle, que peut-o coclure quat à la performace des cadres de ces deux secteurs au test d évaluatio? Est-ce qu e moyee, la performace est vraisemblablemet idetique ou semble-t-il ue différece sigificative etre ces deux groupes? Rafik Abdesselam L3 : Aée Uiversitaire Septembre / 75

50 Exemple - Solutio Remarques : Grads échatillos 1 = 34 et = 3 idépedats. Les variaces σ 1 et σ sot icoues. Statistique de test : (X 1 X ) (m 1 m ) s 1 + s 1 N(0;1). Les doées : 1 = 34 et = 3. Niveau de cofiace : 1 α = 95% risque d erreur : α = 5%. u α = u.5% = ±1.96 cf. Table de la loi ormale N(0, 1) Estimatio des variaces : s 1 = SCE = = 478 et s = SCE 1 = 9858 s Marge d erreur das l estimatio de (m A m B ) : E = u α s = 1.96 Estimatio poctuelle de la différece (m 1 m ) : x 1 x = = 6. Itervalle de cofiace de iveau 95% de (m 1 m ) : = 3.6 (m 1 m ) = 15.6 (m 1 m ) [ 3.60, 15.60] 31 = = 9.6 Coclusio : 0 I.C. 95%, doc la différece de 6 poits observée sur les appréciatios moyees est pas sigificative (avec u risque d erreur de 5%), o peut doc cosidérer que les deux groupes de cadres ot des appréciatios globales idetiques. Questio : oui, e moyee, la performace est idetique etre ces deux groupes de cadres. L écart observé de 6 poits est attribuable aux fluctuatios d échatilloage. Rafik Abdesselam L3 : Aée Uiversitaire Septembre / 75

51 Itervalle de cofiace de la différece de moyees Petits échatillos (et/ou) p < 30 : Populatios ormales 1. Cas où les variaces sot icoues mais supposées égales σ x = σ y = σ Das ce cas, o e peut pas remplacer les variaces icoues σ x et σ y par leur estimatio s x et sy calculées sur chacu des échatillos (elles serot peu précises). Puisqu o les suppose égales à ue valeur icoue σ, o se servira de l iformatio des deux échatillos pour obteir ue estimatio uique s, de la variace σ = σ x = σ y. Rafik Abdesselam L3 : Aée Uiversitaire Septembre / 75

52 Itervalle de cofiace de la différece de moyees Petits échatillos (et/ou) p < 30 : Populatios ormales 1. Cas où les variaces sot icoues mais supposées égales σ x = σ y = σ O motre que : S = S x +ps y +p est u bo estimateur de σ. Moyee : E(X Y p ) = m x m y Variace : V(X Y p ) = s La statistique de test : (X Y p ) (m x m y ) s p + s p = s ( p ) T (+p )d.d.l. D où l itervalle de cofiace de iveau (1 α) de (m x m y ) : (x y p ) t α s p m x m y (x y p ) + t α s p Rafik Abdesselam L3 : Aée Uiversitaire Septembre / 75

53 Itervalle de cofiace de la différece de moyees Petits échatillos (et/ou) p < 30 : Populatios ormales 1. Cas où les variaces sot icoues mais supposées égales σ x = σ y = σ O motre que : S = S x +ps y +p est u bo estimateur de σ. Moyee : E(X Y p ) = m x m y Variace : V(X Y p ) = s La statistique de test : (X Y p ) (m x m y ) s p + s p = s ( p ) T (+p )d.d.l. D où l itervalle de cofiace de iveau (1 α) de (m x m y ) : (x y p ) t α s p m x m y (x y p ) + t α s p Rafik Abdesselam L3 : Aée Uiversitaire Septembre / 75

54 Cas particulier Variaces icoues mais supposées égales σ x = σ y = σ Si = p (échatillos idépedats de même taille), o a plus simplemet : s = (s x+s y ) ( 1) La statistique de test : (X Y p ) (m x m y ) s T ( 1)d.d.l. Les Limites de l itervalle de cofiace de (m x m y ) : (x y p ) ± t α s Rafik Abdesselam L3 : Aée Uiversitaire Septembre / 75

55 Exemple d applicatio U laboratoire idépedat a effectué, pour le compte d ue revue sur la protectio du cosommateur, u essai de durée de vie sur u type d ampoules électriques d usage courat (60 Watts, 10 Volts) fabriquées par deux etreprises cocurretielles, das le secteur de produits d éclairage. Les durées de vie des ampoules des deux fabricats sot supposées ormalemet distribuées et dot les variaces sot supposées égales. Les essais effectués das les mêmes coditios, sur u échatillo de 1 lampes proveat de chaque fabricat, doet les résultats suivats : Fabricat 1 Fabricat Nombre d essais 1 1 Durée de vie moyee observée (h) Somme des Carrés des Ecarts Détermier u itervalle de cofiace de iveau 95% de la différece des durées de vie moyees des ampoules de ces deux fabricats. Questio : Est-ce que la revue peut affirmer, qu e moyee, les durées de vie des ampoules des deux fabricats sot idetiques (ou différetes)? E d autres termes, est-ce que la différece observée lors des essais est sigificative? Rafik Abdesselam L3 : Aée Uiversitaire Septembre / 75

56 Exemple - Solutio Remarques : petits échatillos 1 = = = 1 idépedats. Les variaces σ 1 et σ sot icoues mais supposées égales : σ 1 = σ = σ. Statistique de test : (X 1 X ) (m 1 m ) T ( 1)=40d.d.l.. s Les doées : 1 = = = 1. Niveau de cofiace : 1 α = 95% risque d erreur : α = 5%. = t.5% = ±.01 cf. Table de la loi de Studet à 40 d.d.l. t α Estimatio de la variace commue : s = SCE 1+SCE ( 1) = = Marge d erreur das l estimatio de (m 1 m ) : E = t α s = = 7.11h. Estimatio poctuelle de la différece (m 1 m ) : x 1 x = = 45h. Itervalle de cofiace de iveau 95% de (m 1 m ) : = 5.11 (m 1 m ) = (m 1 m ) [ 5.11h, 37.89h] Coclusio : 0 appartiet pas à I.C. 95%, l écart de - 45 h observé sur les durées de vie moyees est sigificatif (avec u risque d erreur de 5%). Cet écart est doc pas attribuable aux fluctuatios d échatilloage. Questio : oui, la revue doit coclure, avec u risque d erreur de 5%, que les durées de vie des ampoules de ces deux fabricats e sot pas idetiques. Rafik Abdesselam L3 : Aée Uiversitaire Septembre / 75

57 Itervalle de cofiace de la différece de moyees Petits échatillos (et/ou) p < 30 : Populatios ormales. Cas où les variaces sot icoues mais supposées iégales σ x σ y Das ce cas, o remplace les variaces icoues σ x et σ y par leur estimatio sx et sy calculées sur chacu des échatillos, mais la distributio suivie par la statistique de test est différete. Das ce cas, il existe ue correctio dite de Welch de la Statistique de test : (X Y p ) (m x m y ) s x + s y p T ν ν est le ombre de degrés de liberté de la loi de Studet à détermier. Das ce cas, il est gééralemet u ombre réel. Rafik Abdesselam L3 : Aée Uiversitaire Septembre / 75

58 Itervalle de cofiace de la différece de moyees Petits échatillos (et/ou) p < 30 : Populatios ormales. Cas où les variaces sot icoues mais supposées iégales σ x σ y Le calcul du degré de liberté ν est approché par l équatio de Welch suivate : ν = ( s x + s y p ) sx 4 ( 1) + s 4 y p (p 1) Pour la suite des calculs, comme le ombre de degrés de liberté doit être u ombre etier, il faut predre la partie etière de ν : [ν]. D où l itervalle de cofiace de iveau (1 α) de (m x m y ) : (x y p ) t α,[ν] sx + s y p m x m y (x y p ) + t α,[ν] sx + s y p Rafik Abdesselam L3 : Aée Uiversitaire Septembre / 75

59 Itervalle de cofiace de la différece de moyees Quelques remarques sur cette correctio dite de Satterthwaite, utilisée pour tester la différece de moyees d échatillos idépedats lorsque les variaces das les populatios sot icoues et iégales σ x σ y : 1 Ue autre faço de calculer la valeur de cette correctio de ν : ν = ( 1) (p 1) ( 1)a y +(p 1)a x avec, a x = s x s x + s y p et a y = s x s y p + s y p Le degré de liberté de ce test t de Welch, ν < + p, (cas précédet où les variaces étaiet égales). = 1 a x 3 Lorsque p, alors les degrés de liberté sot approximativemet les mêmes das les deux cas (variaces égales ou variaces iégales), ν + p. Rafik Abdesselam L3 : Aée Uiversitaire Septembre / 75

60 Exemple d applicatio Quel placemet choisir? A partir de deux échatillos de redemets auels (%), o veut comparer les redemets auels d ue baque privée et d ue baque publique. Privée Publique Nombre d essais 8 10 redemet moye observé (%) Somme des Carrés des Ecarts Les redemets des deux baques sot supposés ormalemet distribués avec des variaces supposées iégales. Détermier u itervalle de cofiace de iveau 95% de la différece des redemets de ces deux types de baques. Rafik Abdesselam L3 : Aée Uiversitaire Septembre / 75

61 Exemple - Solutio Cas de petits échatillos 1 = 8 et = 10 idépedats. Les variaces σ 1 et σ sot icoues et supposées iégales : σ 1 σ. Statistique de test : (X 1 X ) (m 1 m ) T ν d.d.l.. s 1 + s p Niveau de cofiace : 1 α = 95% risque d erreur : α = 5% ; s1 = et s = 6.78 Calcul du ombre de degrés de liberté ν = O predra doc [ν] = [9.13] = 9 d.d.l. et ( s x + s y p ) sx 4 ( 1) + s 4 y p (p 1) Marge d erreur das l estimatio de (m 1 m ) : s E = t α 1 + s p = = 6.31 = 9.13 t.5%;9d.d.l. = ±.6 cf. Table de Studet. Estimatio poctuelle de la différece (m 1 m ) : x 1 x = =.90 Itervalle de cofiace de iveau 95% de (m 1 m ) : = 3.41 (m 1 m ) = 9.1 (m 1 m ) [ 3.41, 9.1] Coclusio : 0 appartiet pas à I.C. 95%, l écart observé de.9 sur les redemets moyes est pas sigificatif. O peut coclure avec u risque d erreur de α = 5%, que les redemets moyes de ces baques sot idetiques : m prive m publique. L écart observé de.9 est attribuable aux fluctuatios d échatilloage. Rafik Abdesselam L3 : Aée Uiversitaire Septembre / 75

62 Différece de moyees : Echatillos appariés Echatillos dépedats (Doées associées par paires) Exemple 1 : O compare méthodes de mesures e soumettat à ces méthodes les mêmes idividus. Les échatillos sot issus de deux lois différetes, mais e sot pas idépedats (e gééral!). Exemple : Lorsque ous avos, pour chaque élémet de l échatillo, deux valeurs obteues à des périodes différetes (avat / après ) ou selo des traitemets différets. Doc, das ce cas, les deux séries de mesures e sot pas idépedates l ue de l autre. Il serait alors (échatillos idépedats) icorrect de procéder à u test de comparaiso de moyees tel que décrit précédemmet. O doit alors procéder comme suit avec la coditio suivate : Z 1 = (X 1 Y 1 ),Z = (X Y ),...,Z = (X Y ) sot idépedates de loi N(m z = m x m y ; σ z = σ x y) : les différeces de chaque paire d observatios suivet des lois ormales. Rafik Abdesselam L3 : Aée Uiversitaire Septembre / 75

63 Différece de moyees : Echatillos appariés Echatillos dépedats (Doées associées par paires) O reviet aisi à u seul échatillo différece (z 1,z,...,z ). σ z état gééralemet icoue, o l estime à partir : S = 1 ( 1) i=1 (Z i Z ) O obtiet, comme au paragraphe sur l estimatio par itervalle de cofiace d ue moyee m z lorsque la variace σ z est icoue : La statistique de test : Z m z S / T 1 d.d.l. O e déduit l itervalle de cofiace de iveau (1 α) de s m z = (m x m y ) : z t α s m z z + t α Rafik Abdesselam L3 : Aée Uiversitaire Septembre / 75

64 Exemple d applicatio O mesure 1 pièces avec deux méthodes différetes. La différece des mesures est supposée ormalemet distribuée. O a obteu les résultats suivats : x = 1, y =.08, SCE x = , SCE y = et SCE x y = Détermier u itervalle de cofiace de iveau 95% de la différece des deux méthodes de mesures. Rafik Abdesselam L3 : Aée Uiversitaire Septembre / 75

65 Exemple d applicatio - Solutio Echatillos appariés (dépedats). Coditios d applicatio : la mesure différece Z = X - Y est supposée ormalemet distribuée. Statistique de test : Z mz S / T ( 1=11 d.d.l.) Les doées : = 1 ν = 1 = 11 d.d.l. z 1 = x 1 y 1 = 1.08 = 1.08 : moyee calculée sur l échatillo différece de taille = 1 (estimatio poctuelle de m z.) s1 = SCEz=x y = = = Seuil de sigificatio : α = 5% = t.5% = ±.01 cf. Table de Studet à ν = 1 = 11 d.d.l. t α s Marge d erreur das l estimatio de m : E = t α 1 = = Itervalle de cofiace de iveau 95% de m (variace σ z icoue) : = m z = m x m y = m z = (m x m y ) [ 1.811, ] Coclusio : 0 appartiet pas à I.C. 95%, l écart de observé est sigificatif (avec u risque d erreur de 5%). O peut doc coclure que m z = (m x m y ) 0 m x m y ; les deux méthodes de mesures sot différetes. Remarque importate : Si o fait l erreur de cosidérer ces deux échatillos de mesures comme des échatillos idépedats, o trouve u itervalle de cofiace de iveau 95% de (m x m y ) [ 9.7, 7.56]. Das ce cas, 0 I.C. 95% c est-à-dire que m x m y ; les deux méthodes de mesures sot idetiques. Rafik Abdesselam L3 : Aée Uiversitaire Septembre / 75

66 Rapport de variaces ( comparaiso de variaces ) La comparaiso de populatios ormales peut porter o seulemet sur leur valeur cetrale ( moyee ), mais égalemet sur leur dispersio. La caractéristique de dispersio la plus utilisée est la variace. Rappelos qu ue des coditios d applicatio de la loi de Studet das le cas de comparaiso de moyees est que les échatillos provieet de populatios ormales de variaces idetiques : σ 1 = σ. Cette hypothèse peut être maiteat vérifiée à l aide de l itervalle de cofiace du rapport des variaces : Test d égalité de variaces. O suppose que l o a prélevé deux échatillos idépedats de tailles 1 et de deux populatios ormales N(m 1 ; σ 1 ) et N(m ; σ ) de paramètres icous. Rafik Abdesselam L3 : Aée Uiversitaire Septembre / 75

67 Rapport de variaces ( comparaiso de variaces ) O sait déjà que : 1 (X i X 1 ) i=1 = ( σ 1 1) S 1 1 σ 1 (X i X ) i=1 σ = ( 1) S σ O peut alors motrer que la statistique de test : σ S σ 1 1 S χ ( 1 1) d.d.l. χ ( 1) d.d.l. F (1 1),( 1)d.d.l. O e déduit, au iveau (1 α), u itervalle de cofiace pour le rapport σ s : f σ 1 σ 1 s1 s f σ 1 s1 où, f 1 = f 1 α = P(F ( 1 1, 1) > f 1 ) = 1 α et f = f α = P(F ( 1 1, 1) > f ) = α sot les fractiles de la de Fisher-Sédécor à ( 1 1) et ( 1) degrés de liberté (cf. table). Rafik Abdesselam L3 : Aée Uiversitaire Septembre / 75

68 Exemple d applicatio 1 Repreos l exemple de la durée de vie moyee de types d ampoules électriques d usage courat (60 Watts, 10 Volts) fabriquées par deux etreprises cocurretielles, das le secteur de produits d éclairage. Les essais effectués das les mêmes coditios, sur u échatillo de 1 lampes proveat de chaque fabricat, doet les résultats suivats : La durée de vie d ue ampoule est supposée ormalemet distribuée. O e dispose d aucue iformatio sur les variaces des deux populatios. Fabricat 1 Fabricat Nombre d essais 1 1 Durée de vie moyee observée (h) Somme des Carrés des Ecarts Détermier u itervalle de cofiace de iveau 95% du rapport des variaces des populatios d ampoules de ces deux fabricats. Questio : Peut-o cosidérer l égalité des variaces σ = σ 1? Rafik Abdesselam L3 : Aée Uiversitaire Septembre / 75

69 Exemple 1 - Solutio Remarques : petits échatillos 1 = = = 1 idépedats. Statistique de test : σ S σ 1 1 S F (1 1=0; 1=0) d.d.l.. Les doées : iveau de cofiace : 1 α = 95% risque d erreur : α = 5%. f = f.5% =.464 et f 1 = f 97.5% = 1 f = = cf. Table de la loi de Fisher F (0;0). Estimatio des variaces : s1 = SCE 1 ( 1) = 400 = 10 et s 0 = SCE ( 1) = = 140. Itervalle de cofiace de iveau 95% de σ : = = f 1 s s 1 σ σ 1 σ σ 1 σ 1 s f = s =.875 [0.474,.875] Coclusio : 1 I.C. 95%, il y a pas de différece sigificative (avec u risque d erreur de 5%) etre les deux variaces. O peut doc les supposer égales : σ 1 σ. Rafik Abdesselam L3 : Aée Uiversitaire Septembre / 75