I Les lentilles minces Définition...3. f ' et distance focale objet OF f...3

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1 Les lentilles minces I Les lentilles minces Définition...3 Distance focale image OF' f ' et distance focale objet OF f Lentilles minces convergentes et divergentes Définition et signe de la vergence Les conditions de Gauss Stigmatisme approché des lentilles minces Aplanétisme...4 II Quelques points et quelques rayons particuliers Centre optique, foyer objet et foyer image...5 Foyers objets secondaires et foyers images secondaires Tracé d un rayon émergent...6 III Relations de conjugaison Les formules du grandissement transversal...6 Relation de conjugaison avec origine au centre optique O (formule de Descartes) Relation de conjugaison avec origine aux foyers (formule de Newton) Le grossissement G...7 IV L œil et l oculaire L œil...8 La loupe (ou l oculaire d un dispositif optique)...9 V Association de lentilles minces La méthode générale Cas particulier des lentilles minces accolées VI Exercices VII ANNEXE : comment modifier la profondeur de champ d un appareil photo? La profondeur de champ Obturateur et durée d exposition Diaphragme et nombre d ouverture Nombre d ouverture et profondeur de champ Focale et champ de vision / 17

2 Introduction historique Les premières traces d'utilisation d'une lentille proviennent de la Grèce antique. Aristophane y fait notamment référence dans sa pièce Les Nuées écrite en 43 av. J.-C. en évoquant un verre à feu (une lentille convexe utilisée pour produire du feu en focalisant les rayons solaires). Les écrits de Pline l'ancien (3-79) montrent également qu'un tel dispositif était connu dans l'empire romain. Ils mentionnent ce qui peut être interprété comme la première utilisation d'une lentille pour corriger la vue en décrivant l'utilisation que fait Nero d'une émeraude de forme convexe lors des spectacles de gladiateurs (probablement pour corriger une myopie). Sénèque le Jeune (3 av. J.-C. - 65) décrit l'effet grossissant d'un globe en verre rempli d'eau. Le mathématicien arabe Alhazen ( ), a écrit le premier traité d'optique qui décrit comment le cristallin forme une image sur la rétine. Les lentilles n'ont cependant pas été utilisées par le grand public avant la généralisation des lunettes de vue, probablement inventées en Italie dans les années 180. Léonard de Vinci, en 1508, fut le premier à avoir eu l'idée des lentilles de contact mais celles-ci ne seront mises au point qu'en 1887 par l'ophtalmologiste allemand Adolph Eugene Fick. Galilée est l un des principaux fondateurs de notre astronomie moderne. C'est lui qui le premier, bien avant Albert Einstein, a énoncé les principes de base de la Relativité. Il est également le père de l'observation astronomique, pour avoir inventé la lunette astronomique, véritable révolution dans notre perception du ciel et notre vision du monde : Il découvre les taches solaires, les phases de Vénus, le relief de la lune, les satellites de Jupiter, les anneaux de Saturne... Il est également un grand théoricien et fervent défenseur de la théorie héliocentrique, qu'il devra malheureusement abjurer à l'occasion de sa condamnation par le tribunal inquisiteur, au nom de la Sainte Église Catholique. Faute d argent et afin de mener à bien ses propres expériences, Galilée entreprend la construction d une lunette en mai Fabricant lui-même ses lentilles, il arrive à un grossissement de l image de six fois sans aucune déformation. Puis une deuxième lentille grossissant neuf fois. Fort de cette réussite, il soumet son invention en août de la même année aux sénateurs de la république de Venise qui, totalement séduits, y voient déjà une utilité militaire Galilée n'est pas à proprement parler le premier inventeur de la lunette au sens optique du terme, car les verres correcteurs de la vue existaient depuis déjà longtemps, et les propriétés optiques des lentilles (comme la réfraction de la lumière) étaient déjà l'objet d'études parmi les scientifiques (Kepler rédige l'ouvrage Ad Vittelionem paralipomena en 1604). Il en reste que c'est toutefois Galilée qui le premier construit son tube et lui donne une utilité purement scientifique et dédiée à l'observation du ciel. Toutefois c'est avec Christian Huygens et surtout Isaac Newton que l'optique connaît des développements théoriques importants : Newton à l'aide de prismes et de lentilles montre que la lumière blanche peut être décomposée en plusieurs lumières de différentes couleurs, mais même recomposée (cercle chromatique de Newton). Il produit la première théorie solide de la couleur et met également en évidence les phénomènes d'interférence (anneaux de Newton). Ses travaux le conduisent à supposer une nature corpusculaire à la lumière. Vers la même époque, Huygens développe les idées de Descartes et postule au contraire la nature ondulatoire du phénomène initiant ainsi l'optique ondulatoire. Frise chronologique : / 17

3 I Les lentilles minces 1 Définition Distance focale image OF' f ' et distance focale objet OF f On peut vérifier expérimentalement (et on peut démontrer) que, pour une lentille mince : - l image d un objet réel ponctuel situé à l infini sur l axe optique ( OA ) est située en un point F de l axe optique appelé point focal image ; OF ' est appelée distance focale image et est notée f ' OF'. Le plan perpendiculaire à l axe contenant F est appelé plan focal image. - l objet dont le conjugué est un point réel situé à l infini sur l axe optique ( OA ' ) est situé en un point F de l axe optique appelé point focal objet ;OF = f est appelée distance focale objet et OF OF'. Le plan perpendiculaire à l axe contenant F est appelé plan focal objet. 3 Lentilles minces convergentes et divergentes.1 Cas où f est positif : lentilles Exemples : x. Cas où f est négatif : lentilles Exemples : x 3 / 17

4 4 Définition et signe de la vergence 5 Les conditions de Gauss 6 Stigmatisme approché des lentilles minces 7 Aplanétisme 4 / 17

5 II Quelques points et quelques rayons particuliers 1 Centre optique, foyer objet et foyer image Foyers objets secondaires et foyers images secondaires Définitions : Un foyer image secondaire est un point du Un foyer objet secondaire est un point du Propriétés : Tous les rayons émergents issus de rayons incidents parallèles entre eux. Tous les rayons émergents issus de rayons incidents passant par un foyer objet secondaire (par retour inverse de la lumière). Justification : A F = A B 5 / 17

6 3 Tracé d un rayon émergent Tracer le rayon émergent en utilisant la deuxième propriété F Tracer le rayon émergent III Relations de conjugaison Les schémas de ce paragraphe seront réalisés dans le cas de lentilles convergentes mais les relations démontrées resteront valables pour les lentilles divergentes. 1 Les formules du grandissement transversal Le grandissement transversal γ = 6 / 17

7 Relation de conjugaison avec origine au centre optique O (formule de Descartes) 3 Relation de conjugaison avec origine aux foyers (formule de Newton) Remarque : Dans le programme officiel, il est écrit que vous n êtes pas censés connaitre par cœur les relations de conjugaison mais que vous devez savoir les redémontrer et surtout choisir la plus adaptée. 4 Le grossissement G Par définition le grossissement G = G = 7 / 17

8 Remarque : Dans le cas du microscope, l angle α sous lequel est vu l objet à l œil nu est celui mesuré lorsque l objet est à la distance δ 15 cm de l œil (voir la définition du punctum proximum dans le paragraphe suivant). IV L œil et l oculaire 1 L œil - L œil normal ou emmétrope voit au repos, sans accommodation (muscles du cristallin non contractés), les objets placés très loin (à l infini). Dans ce cas le point focal image F crist du cristallin est situé sur la rétine. Pour observer des objets à des distances différentes, il est nécessaire que le cristallin réduise sa distance focale (en contractant des muscles autour du cristallin) ; on dit que l œil accommode. En accommodant au maximum, l œil normal arrive à observer des objets situés à quelques centimètres. On appelle punctum proximum, le point le plus proche observable par un œil : δ 15 cm. Remarque : l angle de résolution limite pour un œil normal est 3 x 10-4 rad (voir TP). Représenter l image A B de AB à travers le système lentille + cristallin - Dans le cas ci-dessus l image de l objet AB à travers le système lentille + cristallin se forme sur la rétine : l image est donc nette. L œil a accommodé pour voir net un objet à distance finie. - La myopie est une anomalie de l'œil dans laquelle l'image d'un objet éloigné se forme en avant de la rétine. Le cristallin possède une distance focale plus petite que celle qui le sépare de la rétine. L œil myope est trop La myopie est corrigée par une lentille... 8 / 17

9 - L'hypermétropie est une anomalie de l'œil dans laquelle l'image d'un objet éloigné se forme en arrière de la rétine. Le cristallin possède une distance focale plus grande que celle qui le sépare de la rétine. L'œil hypermétrope n'est pas assez La loupe (ou l oculaire d un dispositif optique) Lorsqu on utilise une loupe, on place l objet dans le plan... de la lentille de manière à ce que son image A B se forme à l infini. A B étant situé à l infini, l œil n a pas besoin d accommoder et ne fatigue donc pas. L objet est désormais vu sous l angle, il a été grossi. Remarque : en pratique on place l œil au voisinage du foyer image de la loupe pour être pour qu un maximum de lumière issue de l objet et passée à travers la loupe, arrive dans l œil. Remarque : l oculaire d un appareil photo, d une lunette astronomique ou d un microscope joue le rôle de loupe : il forme une image à l infini afin que l œil emmétrope ne fatigue pas. 9 / 17

10 V Association de lentilles minces 1 La méthode générale Soient L 1 et L deux lentilles de distances focales f 1 et f, de centres optiques O 1 et O. Soient AB l objet, A B 1 1 l image intermédiaire et A ' B ' l image définitive de AB à travers l association des deux lentilles. B A O 1 O 1 cm 1 cm L 1 L Méthode générale : - O 1 A étant la position de l objet AB par rapport à L 1. Il faut commencer par déterminer la position O1A de A B, image de AB à travers la lentille L On détermine ensuite O A, position de A B par rapport à L car A B 1 1 joue le rôle d objet (réel ou virtuel) pour L : O A = On en déduit ensuite la position O A ' de A ' B', image de A B à travers L 1 1. Le grandissement transversal de l association des deux lentilles : Voir exercice (corrigé). Cas particulier des lentilles minces accolées Justification : 10 / 17

11 VI Exercices 1 Exercice d application 1 : image d un objet à travers une lentille convergente Soit une lentille de distance focale f = + 8,0 cm et un objet AB (schéma à compléter à l échelle ½ ). 1- Déterminer par calcul la position de l image A B sachant que OA = 1,0 cm - Déterminer par calcul A ' B' sachant que AB =,0 cm. 1 cm O 1 cm Exercice d application : image d un objet à travers deux lentilles convergentes Soient L 1 et L deux lentilles de distances focales f 1 = + 10,0 cm et f = + 30,0 cm. Ces lentilles sont éloignées d une distance O 1O = + 40,0 cm. Soit AB un objet situé à la position OA 1 = 15,0 cm et tel que AB = 5,0 cm. 1- Déterminer par calcul la position de l image à travers l association des deux lentilles. - Déterminer par calcul le grandissement de l association des deux lentilles. 3 Mesure d une distance focale par la méthode de Bessel (voir TP 1 d optique) L objet AB et l écran E sont fixes et distants de D. Entre l objet et l écran on déplace une lentille L 1 de distance focale f 1 afin d obtenir sur E une image nette A B. 1- On pose O A. Monter que si D > D min, valeur minimale que l on exprimera en fonction de f 1, p 1 alors il existe deux positions p 1 et p ( p1 p ) de L 1 pour lesquelles on obtient une image nette sur l écran. Donner les expressions de p 1 et p en fonction de D et f 1. Noter qu à l inverse, si D < D min, on ne peut pas obtenir d image. - Si d représente la distance entre les positions de la lentille L 1 lorsque D > D min, déterminer la distance focale f 1 en fonction de D et d. 3- Expérimentalement on mesure d = 34,1 cm pour D = 60,0 cm. En déduire la distance focale f / 17

12 4 La lunette afocale 1- Cas de deux lentilles convergentes La lunette astronomique est un instrument d optique destiné à observer les astres ou les objets éloignés. Une lunette astronomique est constituée d un objectif (lentille convergente L 1 de grande distance focale f 1 ) et d un oculaire (lentille convergente L de courte distance focale f ). On étudiera dan cet exercice la lunette afocale dans laquelle le foyer image de l objectif F 1 coïncide avec le foyer objet de l oculaire F Représenter sur un schéma, une lunette astronomique afocale modélisée par lentilles convergentes coaxiales de distance focale f 1 = 50,0 cm pour l objectif et f = 5,0 cm pour l oculaire. Soit un faisceau incident parallèle, incliné d un angle α non nul par rapport à l axe optique ; tracer le faisceau émergent de la lunette. Échelle 1/10 horizontalement et 1/1 verticalement. 1.. Démontrer que le grossissement de la lunette est égal au rapport de la focale de l objectif et de la focale de l oculaire. Justifier alors le choix des valeurs des focales des deux lentilles. - La lunette de Galilée Une lunette de Galilée est constituée d'une première lentille mince convergente (L 1 ) de distance focale f 1 = 0,30 m (objectif) et d'une seconde lentille mince divergente (L ) de distance focale f = - 0,1 m (oculaire)..1. On souhaite observer un objet très éloigné, sans effort d accommodation de l œil. Comment doit-on disposer les deux lentilles?.. Soit un faisceau incident parallèle, incliné d un angle α non nul par rapport à l axe optique ; tracer le faisceau émergent de la lunette. Quel est l intérêt de la lunette de Galilée par rapport à la précédente? 5 Téléobjectif d appareil photo Afin de raccourcir les téléobjectifs, en particulier les plus puissants, on peut réaliser un montage en associant deux lentilles distantes d une distance e : une lentille convergente L 1 de centre O 1 et de focale f 1 et une lentille divergente L de centre O et de focale f. On prendra pour les applications numériques : f 1 = 50 mm, f = -5 mm et e = O 1 O = 31 mm. 1- On note F l image par le téléobjectif d un point à l infini sur l axe optique. Déterminer littéralement O F en fonction de f 1, f et e. - Déterminer l expression de h, hauteur de l image (sur le capteur CCD) de la tour Eiffel (culminant à une hauteur h = 34 m du sol et située à une distance d =,0 km du photographe d >> f 1 ). 6 Le microscope Un microscope se compose de deux lentilles convergentes : l'objectif L 1 de distance focale image f 1 =5mm et l'oculaire L de distance focale f =5 mm (cf figure ci-dessous qui n'est pas à l'échelle). Ces deux lentilles sont maintenues à une distance fixe l'une de l'autre FF 1 =. Lors du réglage du microscope pour effectuer la mise au point sur un objet, on déplace, à l'aide d'une vis micrométrique, l'ensemble des deux lentilles en maintenant constant. L'observateur place son œil au niveau de F. L'étude sera menée dans le cadre de l'approximation de Gauss. 1 / 17

13 1. Si l'on note A 1 l'image de A 1 par la lentille L 1, la formule de Newton s'écrit : A) F A F A f C) F A F A f B) F1 A1 F1 A1 f1 D) F 1 A 1 F 1 A 1 O 1 A 1 O 1 A 1. Sachant qu'un point objet A 1 placé à 0,10 mm en avant de F 1 est vu net par l'observateur lorsqu'il n'accommode pas, déterminer = 0 B) = 16 mm C) = 6,0 cm D) = 5 cm 3. Lorsqu'il accommode au maximum, l'observateur, sans microscope, voit net les objets placés à d = 0 cm en avant de son œil (ce point est le punctum proximum). Déterminer, lors de l'accommodation maximale, la position du point objet A vu net par l'observateur à travers le microscope. A) f1 d FA 1 d f B) FA 1 + d D) C) f1 FA 1 d f f FA 1 d f1 4. Exprimer le grandissement transversal γ t pour la lentille L 1 d'un objet placé perpendiculairement à l'axe optique au point A 1 : FA 1 1 FA A) t = 1 1 f B) t = C) t = 1 FA 1 1 D) t = FA f FA FA On place un objet de taille y perpendiculairement à l'axe optique au point A 1. Quel est l'angle α 1 sous lequel l'observateur voit cet objet à la sortie du microscope? y f A) 1 = B) 1 = 1 A 1 O 1 f C) 1 = yf1 D) 1 = AO f f1 f A F Sous angle α verrait-il cet objet sans microscope s'il le plaçait à la distance d = 0 cm en avant de son œil? A) = y d B) = y f 1 C) = y D) = y d / 17

14 VII ANNEXE : comment modifier la profondeur de champ d un appareil photo? 1 La profondeur de champ En optique et notamment en photographie, pour un réglage et une utilisation donnés d'un appareil photo, la profondeur de champ correspond à la zone de l'espace dans laquelle doit se trouver le sujet à photographier pour que l'on puisse en obtenir une image que l'œil (ou un autre système optique) acceptera comme nette. Estimer la profondeur de champ sur la première image ci-dessous : P f < Estimer très approximativement la profondeur de champ sur la deuxième image sachant que la boule photographiée est la Géode de la Cité des Sciences à Paris (diamètre égal à environ 40 m) : P f > L'étendue de la profondeur de champ dépend de nombreux paramètres qui interviennent au moment de la prise de vue (notamment la distance de mise au point, de l'ouverture du diaphragme ). Obturateur et durée d exposition Suivant le lieu ou le moment de la journée, l'intensité lumineuse n'est jamais identique. Or l appareil, quel qu'il soit, doit recevoir exactement la même quantité de lumière (de photons) sur le capteur (ou la pellicule) pour que la photo soit correctement exposée. C'est le rôle du diaphragme et de l'obturateur d'obtenir sur le négatif / capteur toujours la même quantité de lumière. L obturateur est un système mécanique conçu comme un rideau qui s ouvre et se referme pour arrêter la lumière, selon une vitesse donnée. Cette vitesse est nommée vitesse d obturation. Plus elle est grande et plus la durée d exposition, à laquelle le capteur est exposé à la lumière, est courte. Le choix des vitesses varie généralement de 30 s à 1/8000 s. Échelonnement «standard» des durées d exposition t e : s 15s 8s 4s s 1s s s s s s s s s s Durée multipliée par entre chaque valeur de l échelle proposée. L incidence de la vitesse d obturation a un effet très important sur la façon dont le mouvement va apparaître sur vos photos. une vitesse rapide fige le mouvement une vitesse lente enregistre le mouvement sous la forme de lignes et de contours flous. Sur la photo ci-contre, comment faudrait-il modifier la durée d exposition t e (ou la vitesse d obturation 1/t e ) pour obtenir une image nette? Justifier. 14 / 17

15 3 Diaphragme et nombre d ouverture N Le diaphragme est un assemblage de lamelles mobiles en nombre variable, suivant la taille de l'objectif et de sa qualité, disposé entre les groupes de lentilles avant et arrière. Un mécanisme fait tourner les lamelles. Il s interpose donc sur le trajet lumineux dans l objectif. Il conditionne la quantité de lumière transmise. En photographie, le diaphragme est caractérisé par une valeur, appelée nombre d'ouverture, noté N et égal au rapport entre la distance focale de l objectif et le diamètre de sa pupille d'entrée : N = f '/D L échelle standard des nombres d ouverture est : 1 ; 1,4 ; ;,8 ; 4 ; 5,6 ; 8 ; 11 ; 16 ; ; 3... A f fixé, lorsqu on passe du cas N = 1 au cas N = 1,4, cela signifie que le diamètre est divisé par donc que l aire du diaphragme est divisée par : le capteur reçoit donc fois moins de lumière. Et il en est de même lorsqu on passe de chaque valeur de N à la suivante puisque la progression du nombre d ouverture N est géométrique de raison. Questions : - Expliquer la phrase «C'est le rôle du diaphragme et de l'obturateur d'obtenir sur le capteur (ou sur le négatif) toujours la même quantité de lumière». - Si le couple de valeurs (durée d exposition t e = 1/15 s ; N = 8) donne le bon éclairement (la bonne intensité lumineuse) pour une pellicule donnée, proposer deux autres couples de valeurs qui donneraient le même éclairement. - Que peut-on dire du rapport t e /N dans ces 3 cas? A quelle grandeur ce rapport est-il proportionnel? 15 / 17

16 4 Nombre d ouverture et profondeur de champ En toute logique, lorsque l on photographie dans un lieu sombre, il conviendrait d ouvrir au maximum pour laisser passer le plus de lumière possible. Et à l'inverse en lumière vive de fermer d avantage pour réduire l apport lumineux et éviter de surexposer sa photo. Cette logique serait tout à fait applicable si le diaphragme n avait pas une autre fonction importante : celle du contrôle de la profondeur de champ. Réglage du diaphragme 1/ Profondeur de champ : 30 cm Réglage du nombre d ouverture à N = Réglage du diaphragme 1/16 Profondeur de champ :,50 m Quel réglage a été modifié entre ces deux photos? Comment a été modifiée la profondeur de champ? 16 / 17

17 Le capteur CCD de l appareil photo est constitué de pixels (carrés, pour simplifier) de coté a = 0,0 mm. On souhaite que la taille de l image d un objet ponctuel A reste inférieure à la taille d un pixel. La mise au point est faite à l infini. On met en évidence sur la construction géométrique ci-dessous, la distance minimale L 0 appelée hyperfocale, qui sépare A de la lentille pour que l image soit nette sur la pellicule placée dans le plan focal image de la lentille. On démontre que L 0 = capteur Df ' f '. a an A D F A F a N L 0 M Sur le schéma ci-dessus, l image de A sur le capteur est-elle ponctuelle?... A quelle condition est-elle vue nette? L image serait-elle nette si l objet A était à l infini?.. Expliquer en quoi l expression de L 0 est cohérente avec l influence de N sur la profondeur de champ. 5 Focale et champ de vision Vous pouvez remarquer sur le schéma ci-dessus que, plus la distance focale est élevée, plus le champ de vision (angle dans lequel doit se situer un objet à l infini pour apparaître sur la photo) sera restreint et plus l objet sera grossi. Expliquer les tracés des rayons sur les schémas ci-dessous. Objets à l infini Associer les valeurs (18mm ; 35mm et 55 mm) des focales aux trois images ci-dessous. Justifier. 17 / 17