Communication graphique
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- Arthur Perrot
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1 Plan u cours Partie II. La projection centrale 1. La projection centrale sur le plan 2. La perspective centrale sur le plan Vue en perspective e l'objet Source proche Rayons ivergents Partie III. Géométrie numérique 1. Les applications affines 2. Les cooronnées homogènes Bibliographie n
2 Justification e la perspective centrale rétine A B C A B C
3 Principe e la perspective centrale A Cercle e istance Point principal ou point perspectif Distance principale Centre e projection P Ap ec t i f p s r e p u o suel Rayon vi S
4 Disposition générale t1 La projection centrale est sensible à la isposition es 3 lieux géométriques qui la éfinissent : l oeil, l objet et le plan perspectif. t2 t3 S
5 L'œil et l'objet L'angle ouverture est inépenant e la position u plan perspectif '< l S l< l ' ' l' S'
6 L'œil et le plan perspectif a1 1 a0 0 a0 0 = ; = ; = a a a a0 0 a a1 1 S Théorème e Thalès simple changement échelle e l image
7 Le plan perspectif et l'objet a a tp tc b b m c L'effet 'éloignement n'est pas figuré par rapport à l'œil, mais par rapport au plan évanouissant (à une constante près, au plan perspectif) b = a m S
8 Projection centrale sur le plan Scène vue u haut (plan perspectif projetant) Objets, tous ientiques, mais à es istances ifférentes Plan perspectif Point e vue Images toutes ientiques, bien que les istances soient ifférentes La projection centrale sur le plan ne correspon pas à la vision humaine
9 Projection centrale sur la sphère Scène vue u haut (plan perspectif projetant) Objets, tous ientiques, mais à es istances ifférentes Images, toutes ifférentes, car les istances sont ifférentes Tableau sphérique Point e vue La projection centrale sur la sphère correspon à la vision humaine
10 Quelle projection centrale? La projection centrale sur le plan introuit es istorsions très fortes lorsque l angle ouverture est gran. En effet la taille e l image ne épen pas e la istance au point e vue mais e la istance au plan perspectif. Pour respecter cette règle essentielle: taille e l'image épenant e la istance au point e vue il faut effectuer la projection sur une sphère, comme ans le processus e vision naturelle chez l'homme
11 Quelle projection centrale? Pour e faibles angles 'ouverture, la projection centrale sur le plan reste une bonne approximation e la vision naturelle humaine Elle a l'avantage e mener naturellement à une représentation plane Contrairement à la projection centrale sur la sphère les images e roites sont es roites
12 Quelle projection centrale? Projection...sur le plan...sur un cylinre - éroulé Projection sur la sphère puis sur un plan
13 Quelle projection centrale? Une photographie correspon à une projection centrale sur le plan (exception notable : objectifs «fish-eye» )
14 Projection centrale L image une projection centrale sur le plan est entièrement éterminée par la position e l oeil S et la irection observation, qui est la normale au plan perspectif, notée n t S n
15 Représentation es entités e base Droites Plans Points
16 Représentation 'une roite La perspective, projection ou image e la roite a ans le tableau est éfinie par 2 points particuliers : Dp Fa S Le premier coïncie avec sa propre perspective; c'est la trace Ta Le secon est l'image 'un point à l'infini : Fa est le point e fuite e la roite a P Bp B a C D Ta Cp Dp SFa est appelé rayon e fuite
17 Représentation e la roite par l image un point particulier : Ta...et sa irection : Fa Fa S P C est l'image 'un point à l infini le long e a a Ta
18 Représentation e la roite Point e fuite : irection Trace : position Cercle e istance Tb Fc Fa P Fb Tc Lieu es points e fuite es roites inclinées à plus e 45 Ta Mc le point M sur la roite c
19 Angle entre une roite et le plan perspectif Fa S Sr P a Ta
20 Angle entre une roite et le plan perspectif à partir e la éfinition intrinsèque e la roite Fa est l image u Rabattement u rayon e fuite e a rayon e fuite e a Sr Fa s P Ta Point principal tan = s
21 Représentation u plan Lieu es points e fuite e toutes les roites e f P t S Plan e fuite e Lieu es traces e toutes les roites e
22 Représentation u plan La ligne e fuite est toujours parallèle à la trace Plan perpeniculaire au tableau : Plan projetant : f P S f t f P t f t t
23 Représentation u plan f P S Trace : position Ligne e fuite : irection Deux plans parallèles ont la même ligne e fuite t
24 Représentation u plan
25 Point e vue Influence e la position u point e vue par rapport à celle e l objet Ligne e fuite e tous les plans horizontaux C'est la ligne 'horizon
26 Représentation u point La représentation u point est inirecte, elle est fixée par sa position sur une roite. F1 (S) P Ap Bp Cp M1 (A) (B) P T1 (C)
27 Relations entre entités Intersection e eux roites Définition u plan à partir e roites Intersection e eux plans Point e percée 'une roite ans un plan
28 Intersection e eux roites Droites sécantes en M Droites sécantes en un point u plan évanouissant Ta Fb M f Fa Ta t Tb Tb t Fa f Fb Définition 'un plan à partir e eux roites sécantes... Remarque 1 : es roites sécantes peuvent avoir es images parallèles
29 Plan éfini par eux roites parallèles Ta Fb M f Fa t Tb Ta f Fa=Fb=M t Tb Définition 'un plan à partir e eux roites sécantes...à l'infini! Remarque 2 : es roites parallèles ont nécessairement es images sécantes!
30 Plan éfini par eux roites Fc F f Fa Fb c Tb t Ta Tc
31 Intersection e plans Plans quelconques Trace et pt. e fuite e la roite = intersection es traces et ligne e fuite es plans fa Fi Utilisation 'un plan auxiliaire pour éterminer un point e l'image e la roite. L'orientation e l'image est ientique a celle es traces es plans. L'intersection est parallèle au tableau. fb fa tb ta Plans aux traces et lignes e fuite toutes // ta tb fb Fa tg i Ti Fb fg Ta Tb
32 Intersection e plans Plans quelconques Trace et pt. e fuite e la roite = intersection es traces et ligne e fuite es plans fa Fi Utilisation 'un plan auxiliaire pour éterminer un point e l'image e la roite. L'orientation e l'image est ientique a celle es traces es plans. L'intersection est parallèle au tableau. fb fa tb ta Plans aux traces et lignes e fuite toutes // ta tb fb Fa tg i Ti Fb fg Ta Tb
33 Point e percée 'une roite ans un plan Comme avec Monge : utilisation 'un plan auxiliaire contenant la roite a. fa Fi ta fb Fa M Ti tb Ta
34 Problèmes 'orientation Rabattement 'un plan e fuite Rabattement 'une roite autour e son image Angles entre une roite ou un plan et le plan perspectif Droites et plans perpeniculaires
35 Rabattement 'un plan e fuite Plan e fuite e f l t
36 Rabattement 'un plan e fuite
37 Rabattement 'une roite autour e son image A (A) AR On rabat le plan contenant la roite et son rayon e fuite
38 Angle entre roite/plan et le plan perspectif tan = s tan = r
39 Angle entre eux roites Fa On rabat le plan contenant leurs rayons e fuite A Fb b P SR2 SR1
40 Angle entre eux roites Fa Paramètres e la projection connaissant l' angle entre eux roites A Fb Positionner SR2 tel que que l'angle FaSR2Fb a la bonne valeur b Déterminer SR1 : intersection u cercle e rayon ASR2 et e la perpeniculaire à AP passant par P. P SR2 SR1
41 Droites et plans perpeniculaires Plan e fuite e Rayon e fuite e a
42 Angle entre une roite et un plan Fa et f onnés. est le plan perspectif f Fa P
43 Angle entre une roite et un plan Fa et f onnés. est le plan perspectif Fn, point e fuite e la perpeniculaire à f Fa P SR1 Fn
44 Angle entre une roite et un plan Fa et f onnés. est le plan perspectif Fn, point e fuite e la perpeniculaire à f Fa SR2 Calcul e l angle entre n et a P SR1 Fn SR3
45 Angle entre une roite et un plan Angle entre le plan et Fa et f onnés. est le plan perspectif Fn, point e fuite e la perpeniculaire à f Fa SR2 Calcul e l angle entre n et a Angle entre le plan e fuite (n-a) et Angle entre la roite a et la normale u plan P SR1 Fn SR3
46 Calcul e istances Distance entre eux points Distance 'un point au plan perspectif Distance un point à un plan Distance un point à une roite Du point, tirer une perpeniculaire au plan, point e percée, Mener un plan perpeniculaire à la roite, Distance entre eux roites Voir chapitre e Monge et e la projection cotée
47 Distance entre eux points Points positionnés sur une même roite Fa P S Ap Bp Ta a A B
48 Distance entre eux points Points positionnés sur une même roite SR1 SR2 Rabattre le plan e la roite et e son rayon e fuite autour e son image Construire le rabattement e S Fa P S Ap Bp Ta a A B
49 Distance entre eux points Points positionnés sur une même roite Fa SR2 Rabattre le plan e la roite et e son rayon e fuite autour e son image Déterminer le rabattement e A et B P S Ap Bp Ta a A AR B BR
50 Distance entre eux points Points positionnés sur une même roite Fa Ta B SR1 BR A AR ar P SR2 Rabattre le plan e la roite et e son rayon e fuite autour e son image
51 Distance entre eux points Sur es roites ifférentes fab D'abor, éterminer les paramètres e la roite AB Droite parallèle à la roite a passant par B : c fb Plan formé par c et b fa trace e c P ta A a c b La trace tab est ans le prolongement es traces es roites c et a (même plan) B Le point e fuite f suit... AB tb tc tab
52 Distance entre eux points Sur es roites ifférentes fab AR Ensuite appliquer la méthoe précéente A P SR B BR tab
53 Distance 'un point au plan perspectif Calcul e B Fb S P Bp Tb b B B
54 Distance 'un point au plan perspectif Calcul e la normale au plan perspectif passant par B Utilisation es trace et ligne e fuite u plan contenant B et normal au plan perspectif (plan auxiliaire) Fb S P=Fn Bp Tn Tb b B
55 Distance 'un point au plan perspectif Rabattement e S Fb SR S P Bp Tn Tb b B
56 Distance 'un point au plan perspectif Rabattement e la normale et mesure e la istance B Fb SR S P b Bp T b BR B B
57 Distance 'un point au plan perspectif Fb B Tb P
58 Distance 'un point au plan perspectif Tn Détermination 'une normale au plan perspectif passant par B Fb B Tb P=Fn
59 Distance 'un point au plan perspectif Tn Rabattement e S Fb B SR Tb P=Fn
60 Distance 'un point au plan perspectif nr Tn Rabattement e la normale autour e son image B Fb B BR SR Tb P=Fn
61 Distance 'un point au plan perspectif nr B B R T N BT n BT b = = SRP BP BF b B BT b = BF b Tn B Fb B BR SR Tb P=Fn Le rapport e section e l'image 'un point sur l'image e la roite qui le porte est égal au rapport entre sa istance au tableau et la istance principale.
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