BREVET BLANC 2 CORRECTION. Partie numérique. Ces deux nombres ne sont pas premiers entre eux car ils sont multiples de deux (0,5 pt)

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1 BREVET BLANC 2 CORRECTION Partie numérique Exercice 1 (3 points) : Soit la fraction F = Sans effectuer de calcul justifier que ces les nombres du numérateur et du dénominateur ne sont pas premiers entre eux Ces deux nombres ne sont pas premiers entre eux car ils sont multiples de deux (0,5 pt) 2. Calculer le PGCD de ces deux nombres en précisant la méthode utilisée. Utilisons l'algorithme d'euclide pour déterminer le PGCD de ces deux nombres a b q r Aisni PGCD ( 2040;1848) = 24 (1,5 pts) 3. Donner alors F sous forme de fraction irréductible en expliquant la démarche de simplification. F = = = 77 85

2 Exercice 2 (3 points) : Sur le manège «Caroussel», il y a quatre chevaux, deux ânes, un coq, deux lions et une vache. Sur chaque animal, il y a une place. Valérie s assoit au hasard sur un animal du manège. 1. Quelle est la probabilité qu elle monte sur un cheval? Exprimer le résultat sous forme d une fraction irréductible. Il y a sur le manège 10 places et 4 chevaux Ainsi la probabilité qu'elle monte sur un cheval est soit 5 2. On considère les évènements suivants : A : «elle monte sur un âne» C : «elle monte sur un coq» L : «elle monte sur un lion» a. Définir par une phrase l évènement «non L» puis calculer sa probabilité «non L» est la probabilité que Valérie ne monte pas sur un lion (0,5 pt) étant donné qu'il y a 2 lions la probabilité qu'elle ne monte pas sur un lion est : P (non L)= 8 10 = 4 5 (0,5 pt) b. Quelle est la probabilité de l évènement : «Valérie monte sur un âne ou un coq» P(âne ou coq)=p (âne)+ P(coq) car les évènements sont incompatibles P(âne oucoq)= = 3 10 la probabilité que Valérie monte sur un âne ou un coq est 3 10 Exercice 3 (6 points) : On a représenté ci-dessous les courbes C f, C g et C h des trois fonctions f, g et h L une de ces fonctions est affine, l autre est linéaire et la troisième est la fonction : x x ² 2 1. Laquelle de ces représentations est celle d une fonction linéaire? Justifier. La fonction g une fonction linéaire car sa représentation graphique est une droite qui passe par l'origine du repère 2. Laquelle des deux autres représentations est celle d une fonction affine? Justifier. La fonction h est une fonction affine car sa représentation graphique est une droite qui ne passe pas par l'origine du repère 3. Donner, par lecture graphique, les coordonnées des deux points d intersection des courbes C f et C g les coordonnées des points d'intersection des courbes C f et C g sont (-2;2) et (1;-1)

3 4. a) Lire l image de 2 par la fonction f l'image de 2 par la fonction f est 2 (0,5 pt) b) vérifier le résultat par le calcul. f (2)=2 2 2=4 2=2 (0,5 pt) 5. Déterminer l expression de la fonction linéaire puis de la fonction affine. g (x)= x h( x)=3 x+3 6. Donner les antécédents de 2 par la fonction f. les antécédents de 2 par la fonction f sont -2 et 2

4 Partie géométrique Exercice 1 : (3 points) Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Aucune justification n est demandée. Pour chacune des questions 3 réponses sont proposées, une seule réponse est exacte. Le barème est le suivant : 0,5 point pour une bonne réponse. Vous répondrez sur cette feuille que vous détacherez et joindrez à votre copie. Questions Réponse A Réponse B Réponse C Réponses 1)Si tan x=54, alors l arrondi de x au degré prés est égal à : ) La valeur de l angle a est égale : ) 4) AB = 3 cm AE = 5 cm BC = 4 cm DE = 7 cm AB = 3 m BC = 5 m AC = 40 dm Les droites (BC) et (DE) sont parallèles Le triangle ABC est rectangle en A Les droites (BC) et (DE) ne sont pas parallèles Le triangle ABC n est pas rectangle On ne peut pas répondre On ne peut pas répondre Les droites (BC) et (DE) ne sont pas parallèles Le triangle ABC est rectangle en A 5) IJK est un triangle rectangle en I tel que IK = 2,7 cm et KJ = 4,5 cm. Quel est la longueur du côté [IJ]? 6) On rappelle la formule du volume d une boule de rayon r : V = 4 3 π r3 Le volume exact en cm 3 d une balle de tennis de 3,3 cm de rayon est : 12,96 cm 1,8 cm 3,6 cm 47,916 π π 3,6 cm 47,916 π

5 Exercice 2 : (5 points) La figure représente une pyramide SABCD, de base le rectangle ABCD, dont l arête [SD] est perpendiculaire à la face ABCD. On donne : AB = 72 mm, BC = 30 mm et DS = 125 mm. Cette figure n est pas en vraie grandeur et elle n est pas à refaire sur la copie. 1. Calculer le volume de la pyramide SABCD, en mm 3. V SABCD = A ABCD SD 3 V SABCD = = le volume de la pyramide SABCD est mm 3 2. On coupe cette pyramide par un plan parallèle à la face ABCD, passant par le point H situé sur le segment [SD] à 50 mm de S. a. On donne SF = 70 mm, calculer la longueur SB. Les droites (HF) et (DB) sont parallèles (car les plans ABCD et EFGH sont parallèles), les droites (SD) et (SB) sont sécantes en S, les points S,H,D et S,F, B sont alignés dans cet ordre, on peut donc appliquer le théorème de Thalès : SH SD = SF SB = 70 SB SB= = SB mesure 175 mm (1,5 pts) b. Soit EFGH la section obtenue. Quelle est la nature de EFGH? La section d'un solide par un plan parallèle à la base est une figure de même forme c'est à dire un rectangle (0,5 pt) c. La pyramide SEFGH est une réduction de la pyramide SABCD. Calculer le coefficient de réduction sous la forme d une fraction irréductible.

6 Coefficient de réduction : SH SD = = 2 5 d. En déduire le volume de la pyramide SEFGH en mm 3. On a alors : V SEFGH =90000 ( 2 5 ) 3 =90000 ( )=5760 le volume de la pyramide SEFGH est 5760 mm 3 Exercice 3 : (4 points) Les trois résultats demandés seront donnés sous la forme a + b 2, où a et b sont deux nombres réels à déterminer. Soit un carré ABCD de côté c inscrit dans un cercle (C ) de centre O. Sachant que c = 1 + 2, calculer la valeur exacte 1. du périmètre du carré ABCD ; P ABCD =4AB=4(1+ 2)=4+4 2 le périmètre du carré est égal à de l aire du carré ABCD ; A ABCD =AB 2 =(1+ 2) 2 = =3+2 2 l'aire du carré est égal à 3. du rayon du cercle (C ) (1,5 pts) le rayon du cercle est égal à la moitié de la diagonale du carré le triangle ABC est rectangle en B on peut donc appliquer le théorème de Pythagore : AC 2 =AB 2 +BC 2 AC 2 =(1+ 2) 2 +(1+ 2) 2 AC 2 =2(1+ 2) 2 AC= 2(1+ 2) 2 AC = 2 (1+ 2) AC = 2+2 ainsi le rayon du cercle est égal à : 2+2 = (1,5 pts)

7 Problème Une station de ski propose les 3 tarifs suivants pour la saison : Tarif A : chaque journée de ski coûte 20. Tarif B : en adhérant au club des sports dont la cotisation annuelle s élève à 60, on bénéficie d une réduction de 30% sur le prix de chaque journée à 20. Tarif C : le forfait saison donnant un accès illimité est à 340 1) Mike est adhérent au club des sports. Sachant qu il a déjà payé sa cotisation annuelle, expliquez pourquoi il devra payer 14 par journée de ski. Étant donné qu'il a payé une cotisation annuelle Mike a droit à une remise de 30% sur le prix de la journée de ski =6 20 6=14 Mike doit donc payer 14 2) Recopiez et complétez le tableau ci-dessous en expliquant vos calculs. Nombre de jours de ski en Coût avec le tarif A (en ) Coût avec le tarif B (en ) (2 pts) 3) On appelle x le nombre de journées de ski effectuées durant la saison. On définit : f la fonction qui à x associe le coût de la saison pour un utilisateur ayant choisi le tarif A. g la fonction qui à x associe le coût de la saison pour un utilisateur ayant choisi le tarif B. h la fonction qui à x associe le coût de la saison pour un utilisateur ayant choisi le tarif C. Donnez les expressions algébriques f(x), g(x) et h(x) en fonction de x. f (x)=20 x g (x)=14 x+60 h(x)=340 (1,5 pts) 4) Sachant que Mike, adhérent au club, a dépensé au total 242, combien de jours a-t-il skié? Pour répondre à cette question on doit résoudre l'équation :

8 14 x+60= x= x=182 x= x=13 Mike a skié 13 jours pour 242 en étant abonné au club (1,5 pts) 5) Représentez graphiquement sur l annexe les fonctions suivantes dans un repère : x 20x x 60+14x x 340 (1,5 pts) 6) Dans cette question, on répondra en utilisant les représentations graphiques de la question précédente. (Faites apparaître les traits de construction nécessaires à votre lecture graphique). a) Léa doit venir skier douze journées pendant la saison. Quel est pour elle le tarif le plus intéressant? Quel est le prix correspondant? On s'aperçoit que le tarif le plus intéressant si Léa doit skier 12 journées est le tarif B et le prix est environ 230 (0,5 pt) b) En étudiant les tarifs, Sophie constate que, pour son séjour, les tarifs A et B sont égaux. Combien de journées de ski prévoit-elle de faire? Quel est le prix correspondant? Les tarifs A et B sont égaux pour 10 journées de ski et le prix correspondant est de 200 (0,5 pt) c) Dorothée a acheté un forfait saison et ne veut pas regretter d avoir choisi le tarif C.

9 Quel est le nombre minimum de journées de ski qu elle doit prévoir pour que son forfait saison soit rentabilisé? Pour que son forfait soit rentabilisé il faut qu'elle ait skié au moins 20 journées (0,5 pt) Résultat a : d) Retrouvez par le calcul les résultats a), b) et c) de la question précédente. f (12)=12 20=240 g (12)= =168+60=228 h(12)=340 le tarif le plus intéressant pour 12 journées de ski est le tarif B avec 228 résultat b : f ( x)=g ( x) 20 x=14 x x 14 x=60 6 x=60 x= 60 6 x=10 les tarifs A et B sont donc égaux pour 10 journées de ski et le montant sera de 200 résultat c : pour cette question on doit résoudre l'équation suivante : 14 x+60= x= x=280 x= x=20 Pour que son forfait soit rentabilisé il faut donc qu'elle ait skier au moins 20 journées