Choix de portefeuille

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1 Introducton Cho de porteeulle Lcence 3ème nnée MIA Année 8-9 Comment gérer un ptrmone? Fut-l plcer son éprgne en ctons, oblgtons, sur un CODVI?... Cho de porteeulle montre comment un ndvdu dot llouer s rchesse entre dérents cts. concepts : rentblté et rsque Il n este ps de strtéges d nvestssement unque Intérêts dérents selon les ndvdus Horzons d nvestssement dérents Atttudes dns le rsque dérentes selon les ndvdus Pln 1. Dverscton du porteeulle. Cho smple de porteeulle 3. Le MDAF Un porteeulle = combnson d cts 1ère étpe : consttuer un porteeulle optml d cts rsqués ème étpe : combner ce porteeulle vec un ct sns rsque 1. Dverscton du porteeulle Rentblté et rsque d un ct Un ct ournt un lu monétre ou un lu de servces à son détenteur (mson, compte éprgne, ctons, ) Act nncer = ttre représenté pr son tu de rentblté. tu de rentblté = rpport entre nvestssement ntl et gns rélsés crctérstques : horzon : clcul sur 1 ou pluseurs pérodes temps contnu ou dscret Le concept de rentblté des ccepttons dérentes selon les nvestssements Pr eemple, l rentblté d une cton dépend du dvdende et de l plus-vlue. Pour toute dte t : r = Cours nl cours ntl Cours ntl Unvers certn : Cho smple + Dvdende versé Cours ntl emple : cts certns vec rendements dérents cho de l ct dont le rendement est le plus élevé! 1

2 Unvers rsqué : Investssement en vleurs moblères = scrce d'un vntge mmédt ou une bsence de consommton mmédte en échnge d'vntges uturs. Il s gt d un échnge d'un vntge certn mmédt contre un vntge utur et rsqué. Rsque d un ct nncer = ncerttude qunt à l vleur de cet ct à une dte uture. L object de l nvestsseur est de rélser une certne rentblté. Ms, l rentblté rélsée (e post) est plus ou mons dérente de celle espérée (e nte). Tu de rentblté ttendu : Les cours (vleurs des cts) sont déns comme des vrbles létores dont on connît l dstrbuton de probblté. emple : Cours ntl, P = 1 Étt de l nture Cours prévu en n de pérode, P Rentblté ttendue -, -,1,1,,3 Probblté,5,1,,5,3,1 (r) =,5 (-,) +,1 (-,1) +,. +,5.,1 +,3., +,1.,3 =,95 = 9,5% Rentblté, r, est une v..r. tu de rentblté ttendu = (r) (r) dcle à évluer sur pluseurs pérodes! Quelles des probbltés d occurrence ecter u dérents tu possbles? méthodes : Méthode 1 : Inducton sttstque (sondges, enquêtes, pnel) pour obtenr des normtons sur les ntcptons des opérteurs. Méthode : On consdère que l dstrbuton de probblté reste stble dns le temps. Générlement, on suppose que l lo est une lo Normle. Mesure du rsque d un ct nncer? L vrnce d une perspectve létore mesure l dsperson des observtons de l perspectve létore pr rpport à s vleur moyenne L vrnce est l mesure du rsque l plus connue et utlsée L vrnce est un bon ndcteur de l présence du rsque s une comprson est te entre une stuton sns rsque et une stuton rsquée. L vrnce peut être une bonne mesure du rsque pour une lo normle. 1.. Rentblté et rsque d un porteeulle Deu produts nncers, X et Y, dont les crctérstques sont prtement connues : n générl, l'ncluson de pluseurs ttres dns un porteeulle rédut le rsque de celuc pr rpport u rsques ndvduels qu le composent. On prle de dverscton du rsque. Rentblté (v..r.) spérnce de rentblté crt-type Covrnce Produt X Produt Y R R y (R ) (R y ) y y Le ttre X présente un rendement ttendu plus mportnt que celle du ttre Y Quelle combnson de ces deu cts? Ms un rsque plus grnd

3 Sot α, l prt de l rchesse nveste dns l ct rsqué X et (1 α) celle nveste dns l ct rsqué, Y. Cho de α. L rentblté du porteeulle est : R P = α R X + (1 α) R Y L rentblté moyenne du porteeulle : R P = α R X + (1 α) R Y R P = R Y + α (R X R Y ) L vrnce du porteeulle est : VrR P = Vr[α R X + (1 α) R Y ] = α VrR X + (1 α) VrR Y + α(1 α)cov(r X, R Y ) = α X + (1 α) Y + α(1 α) XY n utlsnt le coecent de corrélton : XY ρ XY = On obtent : R = α X + (1 α) Y + α(1 α) ρ XY X Y ou X Y Pluseurs cs : Cs 1 : Corrélton prte postve des rendements des ttres, ρ XY = 1 R = [α X + (1 α) Y ] L dverscton est nutle Cs : Corrélton prte négtve des rendements des ttres, ρ XY = -1 R = [α X - (1 α) Y ] On peut totlement élmner le rsque. Cs 3 : Corrélton nulle des rendements des ttres, ρ XY = R = α X + (1 α) Y L dverscton peut vor un eet post. emple : α =,5 ; X = Y =,5 R =,1768 Cs 4 : Corrélton postve comprse entre et 1 R = [α X - (1 α) Y ] L dverscton peut vor un eet post emple : ρ XY =,6 ; α =,5 ; X = Y =,5 R =,4.. Cho smples de porteeulle.1. Le modèle Rchesse ntle, w Un ct sns rsque : rentblté prtement connue,. Un ct rsqué : rentblté ncertne (représentée pr une vrble létore), r, ms dstrbuton de probblté, F(r), donnée. : montnt de l rchesse nveste dns l ct rsqué. m : montnt de l rchesse nveste dns l ct certn. L rchesse nle est : w = m (1+ ) + (1 + r) Contrnte : w = + m w = w (1+ ) + (r - ) L ndvdu peut décder d nnuler le rsque en chosssnt =. On peut jouter les contrntes : et m. 3

4 .. Crtère d espérnce mthémtque m ( w ) = w ( 1+ ) + ( r ) m w ( ) ( 1+ ) + ( r ) 3 cs : () r > * tend vers l nn! () r < * tend vers mons l nn! () r = * peut prendre n mporte quelle vleur!.3. Crtère d espérnce - vrnce mv C1O : CO : V ( w ) = ( w ) k vr( w ) ( w ) = w ( + ) + ( r ) k vr r 1 ( r ) k vr r = k vr r < * = r k vr r ugmente vec l écrt des rendements moyens dmnue vec le rsque dmnue vec l verson pour le rsque.4. Crtère d espérnce d utlté C1O : CO : m V ( w ) = U ( w ) V ( w ) = U w ( 1+ ) + ( r ) [( r ) U' ( w )] = ( r ) U'' ( w ) < [ ] [ ] [( r ) U' ( w )] = du d = > U Sgne de *? [( r ) U' ( w ( 1+ ) + ( r ) )] > = [ ( r ) U' ( w ( 1+ ) )] > [ r ] > r > *> * du d = < * U Sgne de *? [( r ) U' ( w ( 1+ ) + ( r ) )] < = [ ( r ) U' ( w ( 1+ ) )] < [ r ] < r < *< [ ( r ) U' ( w )] = [ ru' ( w )] [ U' ( )] = w ( U' ( w ),r ) = [ ru' ( w )] r [ U' ( w )] cov ( U' ( w ),r ) + r [ U' ( w )] = [ U' ( w )] cov Cm ou coût d opportunté de l cquston d une unté supplémentre de = r + cov ( U' ( w ),r ) [ ( w )] U' Rendement moyen d une unté supplément re de Bénéce mrgnl > : Coût psychologque lé u supplément de rsque sute à un ccrossement de 4

5 .5. Sttque comprtve dns le modèle U b étnt un prmètre (b =w,, ). On cherche le sgne de d/db. On prt de l condton du premer ordre : * [( r ) U' ( w )] = H (,b) Dérentelle totle de H : (,b) d + db dh * = b = utour de * d = b d db sgn = sgn db b < sgn.5.1. Modcton de l rchesse d = sgn dw w Sgne de d/dw? (,w ) = [ ( r ) U' ( w ( 1+ ) + ( r ) )] vec : H * = w ( 1+ ) [ ( r ) U'' ( )] w Le sgne de cette epresson dépend des hypothèses tes sur les mesures du rsque. U' ' On pose ( ) ( w ) h w = > U' ( w ) sgn { [ ( r ) U' ( w ) h( w )]}? A 3 cs : Averson bsolue pour le rsque constnte, h(w) = h A = h [( r ) U' ( )] w = w = Averson bsolue pour le rsque décrossnte + A = r h w U' w dr + r h w U' w < > hu > < > w r ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dr Averson bsolue pour le rsque crossnte + A = ( r ) h( w ) U' ( w ) dr + ( r ) h( w ) U' ( w ) dr hu < < > > r < w Proposton : sute à une ugmentton de l rchesse ntle, Le montnt nvest en ct rsqué ugmente s le coecent d verson bsolue pour le rsque est décrossnt, Le montnt nvest en ct rsqué dmnue s le coecent d verson bsolue pour le rsque est crossnt, Le montnt nvest en ct rsqué ne se mode ps s le coecent d verson bsolue pour le rsque est constnt. Études emprques : le montnt nvest en ct rsqué ugmente vec l rchesse..5.. Modcton du tu d ntérêt certn d sgn = sgn d Sgne de d/d? (,) = [ ( r ) U' ( w ( 1+ ) + ( r ) )] vec : H * = [ U' ( w ) + ( r ) ( w ) U'' ( )] w Le sgne de cette epresson dépend des hypothèses tes sur les mesures du rsque. 1 [ U' ( w ) + ( r ) ( w ) U'' ( w )] = [ U' ( w )] + ( r ) U'' m U' ( w ) ( w ) On ntrodut le coecent d verson reltve pour le rsque 5

6 Proposton : sute à une ugmentton du rendement de l ct certn, Le montnt nvest en ct rsqué dmnue s le coecent d verson reltve pour le rsque est néreur à 1, Le montnt nvest en ct rsqué ugmente s le coecent d verson reltve pour le rsque est supéreur à 1, Le montnt nvest en ct rsqué reste dentque s le coecent d verson reltve pour le rsque est égl à Modcton du rsque Une çon d étuder l modcton de rendement de l ct rsqué est d étuder une modcton de l oncton de dstrbuton. Il est nécessre de comprer dérentes dstrbutons en terme de nveu de rsque. eets : et substtuton : le rendement de l ct certn ugmente m ugmente et rchesse : le rendement de l ct certn ugmente rchesse plus grnde ugmente l verson pour le rsque ne sut ps à eplquer le comportement de l gent. 3. Le MDAF Modèle d évluton des cts nncers (MDAF) ou Cptl Asset Prcng Model (CAPM) Shrpe (1964) et Lntner (1965). Le MDAF se propose de détermner les pr des vleurs moblères qu permettent à l'ore et à l demnde pour chcun des ttres de s'équlbrer dégger l'équlbre générl du mrché. Hypothèses : les rentbltés des produts nncers suvent une lo normle ( crtère espérncevrnce correct) ; le mrché est composé d'nvestsseurs mmsteurs d'u ; les nvestsseurs ont de l verson pour le rsque ; l este un nstrument nncer sns rsque, de rentblté R et ce tu est le même pour l'emprunt et le prêt ; les coûts de trnsctons et mpôts sont néglgebles. tpe 1 : tblr les porteeulles composés d un ct sns rsque et d un ct rsqué tpe : tblr les porteeulles possbles d cts rsqués tpe 3 : Combner les deu étpes précédentes tpe 4 : Détermner le porteeulle optmle 3.1. L drote de rentblté-rsque Hypothèses : Un ct sns rsque : tu de rentblté prtement connu, R. Un ct rsqué : tu de rentblté ncertn (représenté pr une vrble létore), R, ms dstrbuton de probblté donnée. R < R Crtère espérnce-vrnce 6

7 Sot α, l prt de l rchesse nveste dns l ct rsqué et (1 α) celle nveste dns l ct sns rsque. L rentblté du porteeulle est : R = α R + (1 α) R n élmnnt α, on : R ( R) = R + ( R ) R Drote rsque - rentblté L rentblté moyenne du porteeulle est : R = R + α (R R ) R L écrt-type du porteeulle est : R = α + (1 α). = α vec, l écrt-type de l ct rsqué L ct rsqué est lu-même un porteeulle d cts rsqués! 3.. L rontère ecente vec deu cts rsqués Hypothèses : Crtère espérnce-vrnce Deu cts rsqués : Quel est le porteeulle optml d cts rsqués? Rentblté (vrble létore) spérnce de rentblté crt-type Produt X R (R ) Produt Y R y (R y ) y Covrnce y Sot α, l prt de l rchesse nveste dns l ct X et (1 α) celle nveste dns l ct Y. L rentblté du porteeulle est : R = α R X + (1 α) R Y L rentblté moyenne du porteeulle est : R = R Y + α (R X R Y ) L écrt-type du porteeulle est : = α ² X + (1 α)² Y + α(1 α) ρ X Y A prtr de ces reltons, on peut trcer l courbe décrvnt l'espérnce de rentblté du porteeulle en oncton de l vrnce : R P B A C C procure l rentblté l plus élevée et le rsque le plus élevé. A procure l rentblté l plus ble. P 7

8 A prtr de ces reltons, on peut trcer l courbe décrvnt l'espérnce de rentblté du porteeulle en oncton de l vrnce : 3.3. L rontère ecente vec n cts rsqués Crtère espérnce-vrnce R P C Sot α, l prt de l rchesse nveste dns l ct rsqué X. L rentblté du porteeulle est : B A Frontère ecente R P = Σ α R L rentblté moyenne du porteeulle : R P = Σ α R L écrt-type u crré du porteeulle : P = Σ α ² + Σ Σ j α α j j P R P R P R P P P 3.4. L équton du MDAF Porteeulle M Résultt 1 : les ndvdus ont tous le même porteeulle d cts rsqués = porteeulle de mrché Résultt : les ndvdus combnent ce porteeulle optml vec l ct sns rsque dns des proportons qu vrent selon leurs préérences Résultt 3 : le MDAF étblt l relton entre le rsque encouru et l rentblté du porteeulle (équton du MDAF) R P R M P P 8

9 Résultt 1 : les ndvdus ont tous le porteeulle de mrché Quelle est l composton du porteeulle M? Théorème de séprton (Tobn) : l décson de composton d'un porteeulle d'cts rsqués optmum est ndépendnte de l'llocton chose entre l'ct sns rsque et le porteeulle rsqué. Cho de l'nvestsseur est ndépendnt du cho de composton du porteeulle rsqué et ne chost que l réprtton entre ce porteeulle et l'ct sns rsque. Cho de l composton de M ne dépend ps des préérences des nvestsseurs Donc, le porteeulle M ser composé de l'ensemble des vleurs moblères du mrché : c'est le porteeulle de mrché. L composton du porteeulle de mrché relète les ores de ttres évluées à leur vleur mrché Dns le porteeulle de mrché, l proporton nveste dns le ttre = rpport entre l vleur du ttre et l vleur totle des ttres du porteeulle Résultt : les ndvdus combnent le porteeulle de mrché vec l ct sns rsque dns des proportons qu vrent selon leurs préérences Résultt 3 : relton entre rsque et rentblté R P M Pour un porteeulle de rentblté R : R Agent 1 Agent ( R) = R + ( R ) M M R P Équton du MDAF On montre que pour une cton ou un porteeulle : [ m R ] [ R R ] m ( R ) = R + ( R ) ( R ) R = β ( ) vec m, l covrnce entre l ct et le porteeulle de mrché. m m Les luctutons des cours des vleurs moblères sont dues à l'nluence du mrché en générl et à des cuses spécques à chcun des ttres : vec β R m = m = α + β R + ε t mt t Équton du MDAF : R R = β (R M R ) Le rsque d un ttre est mesuré pr son «bêt». β ndque l relton entre luctutons du ttre et celles du mrché = coecent de voltlté Tout ttre rpporte le tu sns rsque plus une prme de rsque 9

10 L prme de rsque est oncton de l prme de mrché et du bêt du ttre : β > 1 : ttre mple les luctutons du mrché ttre oens. < β < 1 : ttre tténue les luctutons du mrché ttre déens β proche de 1 : reproducton des luctutons du mrché ttre neutre Décomposton du rsque : m = β + Rsque systémtque ε Rsque spécque Pertnence des hypothèses du MDAF: Rendements ne suvent ps toujours une lo normle Certns gents possèdent plus d normton que d utres Les mrchés nncers ne sont ps prtement concurrentels stence de coûts de trnscton Autres crtques du MDAF : Il est dcle de détermner le «vr» porteeulle de mrché qu dot prendre en compte : Actons, Oblgtons, Immobler, Cptl humn, Il peut ester pluseurs bêts pour un ttre Cours de chque ttre est nluencé pr un nombre lmté de cteurs communs à l'ensemble des ttres et pr un cteur spécque à ce ttre et totlement ndépendnt de tous les utres cteurs Théore de l'apt (Arbtrge Prcng Theory) : Ross (1976) 1