Résoudre des problèmes au CYCLES 2. Geneviève MARTIEL Espe Grenoble

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1 Résoudre des problèmes au CYCLES 2 Geneviève MARTIEL Espe Grenoble

2 Mots clé Démarche d enseignement - problème de référence - catégories de problèmes (typologie)- problème du jour- résolution recherche - obstacles aides- langage mathématiques procédures outils élève compétence du socle - évaluation

3 I. Différents problèmes additifs

4 Classer les problèmes du champ additif figurant sur la fiche 1. J ai 20 bonbons ; j en mange 2 et puis encore 3. Combien m en reste-t-il? 2. Corinne a 37 images dans une boîte. Elle en colle 12 sur son album. Combien y en a-t-il dans la boîte maintenant? 3. Marie a 39 ans ; elle a 23 ans de plus que son fils Thomas. Quel est l âge de Thomas? 4. Paul joue au jeu de l oie. Son pion est sur la case bleue. Il avance de 14 cases et arrive sur une case rouge marquée 37. Quel était le numéro de la case bleue? 5. Isidore joue aux cartes Pokemon. Lors de la première partie il en gagne 7. Lors de la deuxième partie, il en perd 12. Au total en a-t-il plus gagnés que perdus ou plus perdus que gagnés? Et combien? 6. La maîtresse a 42 cahiers dans l armoire. Le directeur lui apporte un carton de cahiers. La maîtresse a en maintenant, en tout, 67 cahiers. Combien le directeur a-t-il apporté de cahiers? 7. Dans une classe, il y a 28 enfants. Le maître a compté les garçons. Il y en a 12. Combien y a-t-il de filles dans la classe? 8. Marc a 38 billes. Pierre a 25 billes. Marc a plus de billes que Pierre. Combien en a-t-il de plus? 9. Voici une bande bleue et une bande rouge ; on sait que la bande rouge mesure 37cm et que la bande bleue mesure 13cm de moins. Combien mesure la bande bleue? 10. Au jeu de l'oie, Alice doit reculer de 7 cases. Elle tombe alors sur la case 16. Sur quelle case se trouvait-elle auparavant?

5 Classer les problèmes du champ additif figurant sur la fiche 11. Au jeu des sept familles, Noémie a gagné 25 cartes; Philippe en a 9 de moins qu'elle. Combien en a-t-il? 12. Un sous marin plonge en deux étapes dans l océan. A la première étape, il descend de 45m. et à la deuxième étape, il descend de 53m. De combien de mètres est-il descendu en tout? 13. Dans sa tirelire, Sophie possède 76 euros ; Hervé, lui, n'en a que 83.Combien d'argent Sophie a-t-elle de plus que lui? 14.Dans un pré se trouvent 54 vaches; 23 sont noires, et les autres sont blanches. Combien de vaches sont blanches? 15. Jean a joué deux parties de billes. A la première, il a gagné 16 billes. A la seconde partie, il en a gagné 9. Que s'est-il passé en tout? 16. Pour son anniversaire Magalie reçoit 50 de sa grand-mère et 30 de sa tante. Combien Magali a-t-elle reçu d argent au total? 17. Le compteur de la photocopieuse marque 132. La maîtresse tire 16 photocopies. Maintenant que marque le compteur? 18. Dans mon jardin, il y a 21 rosiers. 6 sont déjà fleuris. Combien de rosiers ne sont pas encore fleuris? 19. Il y avait 160 oiseaux dans l arbre. Il n en reste plus que 50. Combien d oiseaux se sont envolés? 20. Mon immeuble est haut de 17 étages. Celui où habite mon cousin a 3 étages de plus que le mien. Combien l immeuble de mon cousin a-t-il d étages? 21. Hakim joue trois fois de suite au jeu de l oie. La première fois, il avance de 6 cases, la deuxième fois de 3 cases et la troisième fois, il recule d une case. De combien de cases a-t-il avancé en tout?

6 La classification de Vergnaud Gérard Vergnaud : Les problèmes additifs et soustractifs appartiennent à la même famille, au même champ conceptuel Les problèmes qui requièrent une addition ne sont pas plus faciles que ceux qui requièrent une soustraction Exemple: Jean a donné 5 images à Paul, maintenant Jean a 3 images. Combien avait-il d images? Jean avait 8 images. Il en a donné 3 images Paul. Combien Jean a-t-il d images? Gérard Vergnaud a donc fait une autre classification des problèmes du champ additif.

7 LES PROBLÈMES ADDITIFS ET SOUSTRACTIFS PROBLEMES DE TRANSFORMATIONS 1. Transformation positive ; recherche de l Etat Final Léo avait 3 billes. Puis Juliette lui a donné 5 billes. Combien de billes a maintenant Léo?» + 2. Transformation négative ; recherche de l Etat Final «Léo avait 8 billes. Puis il a donné 5 billes à Juliette. Combien de billes a maintenant Léo?» -

8 LES PROBLÈMES ADDITIFS ET SOUSTRACTIFS PROBLEMES DE TRANSFORMATIONS 3. Transformation positive ; recherche de L ÉTAT INITIAL 4. Transformation négative; recherche de L ÉTAT INITIAL «Léo avait des billes. Puis Juliette lui a donné 5 billes. Maintenant Léo a 9 billes. Combien de billes avait Léo?» «Léo avait des billes. Puis il en a donné 5 à Juliette. Maintenant Léo a 3 billes. Combien avait il de billes?» + -

9 LES PROBLÈMES ADDITIFS ET SOUSTRACTIFS PROBLEMES DE TRANSFORMATIONS 5. Recherche de la transformation positive 6. Recherche de la transformation négative «Léo avait 3 billes. Puis Juliette lui a donné des billes. Léo a maintenant 9 billes. Combien de billes Juliette a t elle données à Léo?» «Léo avait 9 billes. Puis il a donné des billes à Juliette. Maintenant Léo a 4 billes. Combien de billes Léo a t il données à Juliette?» - +

10 LES PROBLÈMES ADDITIFS ET SOUSTRACTIFS PROBLEMES DE COMBINAISON 7. Recherche de la combinaison de deux états. 8. Recherche d un état connaissant un second état et la combinaison des deux états. «Léo a 3 billes. Juliette a 7 billes. Combien de billes ont Léo et Juliette ensemble?» «Léo et Juliette ont 17 billes ensemble. Juliette a 8 billes. Combien Léo a t il de billes?»

11 LES PROBLÈMES ADDITIFS ET SOUSTRACTIFS PROBLEMES DE COMPARAISON 9- Recherche de l état à comparer connaissant l état comparé et la comparaison positive Recherche de l état à comparer connaissant l état comparé et la comparaison négative. «Léo a 3 billes. Juliette a 5 billes de plus que lui. Combien de billes Juliette a t elle?» «Léo a 9 billes. Juliette a 5 billes de moins que lui. Combien de billes Juliette a t elle?»

12 LES PROBLÈMES ADDITIFS ET SOUSTRACTIFS PROBLEMES DE COMPARAISON 11- Recherche de l état comparé (comparaison positive) «Léo a 9 billes. Il en a 7 de plus que Juliette. Combien de billes Juliette a t elle?» 12- Recherche de l état comparé (comparaison négative) «Léo a 9 billes. Il en a 5 de moins que Juliette. Combien de billes Juliette a t elle?»

13 LES PROBLÈMES ADDITIFS ET SOUSTRACTIFS PROBLEMES DE COMPARAISON 13- Recherche de la comparaison positive connaissant les deux états. Recherche de la comparaison négative connaissance les deux états. «Léo a 3 billes. Juliette en a 9. Combien de billes Juliette a t elle de plus que Léo?» «Léo a 8 billes. Juliette en a 6. Combien de billes Juliette a t elle de moins que Léo?»

14 La classification de Vergnaud PROBLEMES DE COMPOSITION de TRANSFORMATIONS 13- Recherche de la composée de plusieurs transformations «Léo a gagné 18 billes, puis il en a perdu 5. En a-t-il plus ou moins qu au départ? Et combien?» Recherche d une des composantes «Léo a gagné 18 billes. Puis il en a perdu. Il a maintenant 2 billes de moins qu au départ. Combien a-t-il perdu de billes»

15 Et les problèmes que nous avons classés

16 LES PROBLÈMES ADDITIFS ET SOUSTRACTIFS PROBLEMES DE TRANSFORMATIONS 1. Transformation positive ; recherche de l Etat Final 2. Transformation négative ; recherche de l Etat Final 17. Le compteur de la photocopieuse marque 132. La maîtresse tire 16 photocopies. Maintenant que marque le compteur? 2. Corinne a 37 images dans une boîte. Elle en colle 12 sur son album. Combien y en a-t-il dans la boîte maintenant? + -

17 LES PROBLÈMES ADDITIFS ET SOUSTRACTIFS PROBLEMES DE TRANSFORMATIONS 3. Transformation positive ; recherche de L ÉTAT INITIAL 4. Transformation négative; recherche de L ÉTAT INITIAL 4. Paul joue au jeu de l oie. Son pion est sur la case bleue. Il avance de 14 cases et arrive sur une case rouge marquée 37. Quel était le numéro de la case bleue? 10. Au jeu de l'oie, Alice doit reculer de 7 cases. Elle tombe alors sur la case 16. Sur quelle case se trouvaitelle auparavant? + -

18 LES PROBLÈMES ADDITIFS ET SOUSTRACTIFS PROBLEMES DE TRANSFORMATIONS 5. Recherche de la transformation positive 6. Recherche de la transformation négative 6. La maîtresse a 42 cahiers dans l armoire. Le directeur lui apporte un carton de cahiers. La maîtresse a en maintenant, en tout, 67 cahiers. Combien le directeur a-t-il apporté de cahiers? 19. Il y avait 160 oiseaux dans l arbre. Il n en reste plus que 50. Combien d oiseaux se sont envolés? + -

19 LES PROBLÈMES ADDITIFS ET SOUSTRACTIFS PROBLEMES DE COMBINAISON 7. Recherche de la combinaison de deux états. 16. Pour son anniversaire Magalie reçoit 50 de sa grand-mère et 30 de sa tante. Combien Magalie a-t-elle reçu d argent au total? 8. Recherche d un état connaissant un second état et la combinaison des deux états. 7. Dans une classe, il y a 28 enfants. Le maître a compté les garçons. Il y en a 12. Combien y a-til de filles dans la classe? 14.Dans un pré se trouvent 54 vaches; 23 sont noires, et les autres sont blanches. Combien de vaches sont blanches? 18. Dans mon jardin, il y a 21 rosiers. 6 sont déjà fleuris. Combien de rosiers ne sont pas encore fleuris?

20 LES PROBLÈMES ADDITIFS ET SOUSTRACTIFS PROBLEMES DE COMPARAISON 9- Recherche de l état à comparer connaissant l état comparé et la comparaison positive. 20. Mon immeuble est haut de 17 étages. Celui où habite mon cousin a 3 étages de plus que le mien. Combien l immeuble de mon cousin a-t-il d étages? 10 - Recherche de l état à comparer connaissant l état comparé et la comparaison négative. 11. Au jeu des sept familles, Noémie a gagné 25 cartes; Philippe en a 9 de moins qu'elle. Combien en a-t-il? 9. Voici une bande bleue et une bande rouge ; on sait que la bande rouge mesure 37cm et que la bande bleue mesure 13cm de moins. Combien mesure la bande bleue?

21 LES PROBLÈMES ADDITIFS ET SOUSTRACTIFS PROBLEMES DE COMPARAISON 11- Recherche de l état comparé (comparaison positive) 3. Marie a 39 ans ; elle a 23 ans de plus que son fils Thomas. Quel est l âge de Thomas? 12- Recherche de l état comparé (comparaison négative)

22 LES PROBLÈMES ADDITIFS ET SOUSTRACTIFS PROBLEMES DE COMPARAISON 13- Recherche de la comparaison positive connaissant les deux états. Recherche de la comparaison négative connaissance les deux états. 8. Marc a 38 billes. Pierre a 25 billes. Marc a plus de billes que Pierre. Combien en a-t-il de plus? 13. Dans sa tirelire, Sophie possède 76 euros ; Hervé, lui, n'en a que 38.Combien d'argent Hervé a-t-il de moins que Sophie?

23 La classification de Vergnaud PROBLEMES DE COMPOSITION de TRANSFORMATIONS Recherche de la composée de plusieurs transformations 1. J ai 20 bonbons ; j en mange 2 et puis encore 3. Combien m en reste-t-il? 5. Isidore joue aux cartes Pokemon. Lors de la première partie il en gagne 7. Lors de la deuxième partie, il en perd 12. Au total en a-t-il plus gagnés que perdus ou plus perdus que gagnés? Et combien? 12. Un sous marin plonge en deux étapes dans l océan. A la première étape, il descend de 45m. et à la deuxième étape, il descend de 53m. De combien de mètres est-il descendu en tout? 15. Jean a joué deux parties de billes. A la première, il a gagné 16 billes. A la seconde partie, il en a gagné 9. Que s'est-il passé en tout? 21. Hakim joue trois fois de suite au jeu de l oie. La première fois, il avance de 6 cases, la deuxième fois de 3 cases et la troisième fois, il recule d une case. De combien de cases a-t-il avancé en tout?

24 2) Dans les manuels scolaires Du cycle 2

25 Rechercher dans les manuels Les problèmes additifs Quels types de problèmes par rapport à la classification de Vergnaud trouve-t-on - en CP? - en CE1? Le livre du maître parle -t-il de ces catégories? A quelle période du cycle ou des années les différents types sont-ils abordés?

26 Des exemples au cours préparatoire Les CP ne sont pas gênés par la lecture; Ces jeux servent de référence aux élèves; La boîte jaune permet de faire tous les problèmes de type «transformations»; Ces petits jeux sont l occasion de créer un répertoire additif qui sera affiché à mesure, puis classé suivant «tout ce qui fait»;

27 Une mise en œuvre proposée par «Le nombre au cycle 2»

28 Une mise en œuvre possible «Le nombre au cycle 2» donne un exemple de mise en œuvre pour: Recherche de l état initial à partir d une transformation positive. + Objectif: automatiser l utilisation de la soustraction pour la résolution d un problème relevant d une telle structure.

29 Une mise en œuvre possible Voici la situation: Les élèves disposent d enveloppes contenant un nombre de jetons inconnu d eux. Le maître leur fait ajouter des jetons. Les élèves comptent alors tous les jetons dans leur enveloppe. Ils doivent trouver le nombre initial de jetons dans leur enveloppe, sans contrainte de procédure, puis dans un second temps, en utilisant une écriture soustractive. Par la suite, il leur est demandé de vérifier avec le matériel.

30 Une mise en œuvre possible «Le nombre au cycle 2» Mise en œuvre proposée: 1) Comprendre la situation; 2) Dissocier la situation des autres déjà rencontrées; 3) Elaborer une première procédure; 4) Identifier cette nouvelle procédure et construire l association soustraction/nouvelle procédure de résolution; 5) Réinvestissement; - Le passage de la situation à l énoncé; - Automatiser l utilisation de la soustraction pour résoudre le problème; - Traiter le contexte ordinal 6) Evaluation.

31 Une mise en œuvre possible «Le nombre au cycle 2» 1) Comprendre la situation; - Donner des enveloppes avec les jetons. - Mimer l action - L élève ne peut bâtir une représentation qu à partir de manipulations - La représentation d un problème sous forme d énoncé est encore une phase ultérieure.

32 Une mise en œuvre possible «Le nombre au cycle 2» 2) Dissocier la situation des autres déjà rencontrées; - On suppose que des affiches récapitulant les autres situations ont été faites; - On va faire voir que cette situation ne correspond à aucune autre déjà rencontrée; - On va parler aux élèves de Problème avec une action, Quantité avant l action, Quantité après l action, - Puis regarder ce que l on cherche.

33 Une mise en œuvre possible «Le nombre au cycle 2» 3) Elaborer une première procédure; Les élèves élaborent des procédures personnelles: - dessin - Texte - calcul - Additions à trou L addition a trou permet de suivre la chronologie de l histoire. Elle est donc naturelle. Exemple? + 8 =12

34 Une mise en œuvre possible «Le nombre au cycle 2» 4) Identifier cette nouvelle procédure et construire l association soustraction/nouvelle procédure de résolution; - Affiche composée avec les élèves où figurent: Un schéma Un dessin Une opération à trou La soustraction Chaque affiche sera spécifique à la classe: elle fera référence aux procédures des élèves.

35 Une mise en œuvre possible «Le nombre au cycle 2» 5) Réinvestissement; - Le passage de la situation à l énoncé écrit; Un énoncé possible: Combien y avait-il de cubes dans la boîte? J ai des cubes dans une boîte. J en ajoute 35. Maintenant, j en ai 123.

36 Une mise en œuvre possible «Le nombre au cycle 2» 5) Réinvestissement; - Le passage de la situation à l énoncé écrit; Un énoncé possible: L énoncé est source de difficultés - La forme des phrases, l ordre des données - L ordre chronologique donne de meilleurs résultats - Par exemple: «J ai des cubes dans la boîte. J en ajoute 14. Maintenant, j en ai 26» est plus facile que: «J ajoute 14 cubes dans une boîte et maintenant j en ai 26» - La question posée en début de problème donne de meilleurs résultats.

37 Une mise en œuvre possible «Le nombre au cycle 2» 5) Réinvestissement; - Automatiser l utilisation de la soustraction pour résoudre le problème; Faire choisir la bonne affiche de référence est une bonne manière de guider les élèves; Puis faire élaborer une procédure de résolution; Faire créer des énoncés de ce même type de problème aux élèves leur permet de reconnaître la structure au-delà de l énoncé.

38 Une mise en œuvre possible «Le nombre au cycle 2» 5) Réinvestissement; - Traiter le contexte ordinal Il s agit de faire le lien entre le contexte cardinal et le contexte ordinal. Le problème est le suivant: Au jeu de l Oie.Je suis sur une case. Je fais «8». Je déplace alors mon pion et je me trouve sur la case 26. Sur quelle case avais je mon pion avant de jouer?

39 Une mise en œuvre possible «Le nombre au cycle 2» 6) Evaluation. Problème utilisé au milieu d autres problèmes relevant des catégories utilisées précédemment. La mariée a ajouté 24 fleurs à son bouquet. Le bouquet en compte maintenant 182. Combien y avait-il de fleurs avant? En cas de non-réussites, d autres critères d analyse: - l élève sait évoquer la situation concrète - L élève reconnaît une situation d action - L élève sait identifier l état final - L élève reconnaît que l on cherche l état initial - L élève utilise une addition à trou

40 Mise en œuvre possible: AFFICHE Confection d une affiche correspondant à chacun de ces problèmes Problème 1:Composer une affiche correspondant au problème : J ai des jetons dans l enveloppe. J ajoute 8 jetons dans l enveloppe. J en ai maintenant 32. Combien y avait-il de jetons dans l enveloppe? Problème 2: Dans un bouquet il y a 28 fleurs dont 13 roses et des tulipes. Combien y a-t-il de tulipes?

41 Quand et pour quel type de problèmes aller aussi loin?

42 Une progression tout au long de l école élémentaire

43 Les problèmes additif : En CP Beaucoup de petits problèmes très variés. Les enfants apprennent à réfléchir, dessiner la situation. Mais pas de classification des problèmes systématique. On insiste sur les cas Ne pas oublier le contexte ordinal (vers la fin de l année)

44 Progression CE1: Institutionnaliser Période 1: Période 2: Période 3: Contexte ordinal (piste) Périodes 4 et 5 : Avec transformations additives et soustractives Rester à la phase de «procédures personnelles pour les autres catégories

45 Progression CE2: Institutionnaliser en plus Période 1: Période 2: Période 3: Périodes 4 et 5 : Rester à la phase de «procédures personnelles pour les autres catégories

46 Progression CM: Institutionnaliser Tout est repris avec des nombres plus grands On ajoute

47 Que trouve-t-on dans les évaluations nationales CE1?

48 Dans les évaluations nationales 2009 Exercice 13 Pierre, Gisèle et Kevin veulent acheter des bandes dessinées qui coûtent 7 euros chacune. Voici le montant de leurs économies. Pierre a un billet de 5 euros, trois pièces de 1 euro et une pièce de 2 euros. Gisèle a un billet de 10 euros. -Kevin a un billet de 5 euros. En réunissant toutes leurs économies, ils achètent 3 bandes dessinées. Combien d argent reste-t-il?

49 Dans les évaluations nationales 2010 Exercice 4 Maman veut acheter des gâteaux. Elle a dans son porte-monnaie : un billet de 10 un billet de 5 deux pièces de 2 trois pièces de 1. Elle achète 3 gâteaux. Le prix de un gâteau est de 7. Combien d argent lui reste-t-il après avoir payé?

50 Dans les évaluations nationales 2010 Exercice 15 A. A la récréation, Dimitri joue aux billes. Au début de la partie, il possède 37 billes. A la fin, il a 72 billes. Combien a-t-il gagné de billes?

51 Dans les évaluations nationales 2011 Exercice 5 Julien veut acheter des livres. Il a dans son porte-monnaie : un billet de 10, un billet de 5, deux pièces de 2, trois pièces de 1. Il achète 3 livres. Le prix d un livre est de 7. Combien d argent lui reste-t-il après avoir payé?

52 Dans les évaluations nationales 2011 Exercice 18 A. Xavier a une collection d images d animaux et de fleurs. Au total, il en a 225. Le nombre d images d animaux est 112. Combien a-t-il d images de fleurs?

53 LES OBSTACLES LIÉS À LA RÉSOLUTION DE PROBLÈME 1. La lecture de l énoncé 2. Le vocabulaire mathématiques 3. La forme et la place de la question 4. Les données numériques 5. Les étapes du problème

54 RESSOURCES Le nombre au cycle 2 au_cycle_2_ pdf 8 séquences pour résoudre des problèmes poitiers.fr/ia16- pedagogie/img/pdf/resolution_probleme_cycleiii_decembre. pdf