VECTEURS ET SCALAIRES

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1 Vecteus et scalaes VECTEURS ET SCLIRES Le peme cous «nalse vectoelle» a été publé pa Wlson et Gbbs, en 90. Ce cous eposat su les tavau de Hamlton, Cauch, Gassman et Mawell. Dès los, les équatons qu décvent de nombeu phénomènes phsques, s écvent sous une fome amassée. L électomagnétsme en est un bel eemple d applcaton pésenté au chapte 6. VECTEUR. C est une gandeu possédant à la fos un module, une decton et un sens. Un vecteu se epésente pa une flèche défnssant module decton et sens. Le pont O est l ogne, le pont P est l etémté. Selon les ouvages, un vecteu OP est epésenté sot pa, sot pa, son module est epésenté pa. ou P O SCLIRE. C est une gandeu sans decton, notée avec les caactèes habtuels de l algèbe. LGERE VECTORIELLE. Les opéatons d addton, de soustacton etc s étendent à l algèbe des vecteus. Quelques défntons fondamentales :

2 Vecteus et scalaes Deu vecteus et sont égau s ls ont même module, même decton, même sens. Un vecteu de sens opposé a celu de mas aant même module et même decton se note - La somme des vecteus et est un vecteu C obtenu en effectuant la constucton c-conte. 4 La dfféence des vecteus et est le vecteu C qu, aouté à donne le vecteu C 5 Le podut d un vecteu pa un scalae m est un vecteu m de module m multplé pa. PROPRIETES DE L LGERE VECTORIELLE. L addton est : Commutatve : ssocatve : (C(C La multplcaton est : Commutatve : mm ssocatve : m(nmn Dstbutvté : (mnmn VECTEUR UNITIRE. Un vecteu untae est un vecteu de module. S est un vecteu de module # 0, alos le appot / est un vecteu untae de même decton et de même sens que. Un vecteu peut donc ête epésenté pa un vecteu untae a dgé selon et multplé pa le module de. a VECTEURS UNITIRES ORTHOGONUX,, k. Ce sont les vecteus untaes dgés selon les aes,, postfs qu sont les aes d un sstème de coodonnées en dmensons. Ces tos vecteus untaes sont espectvement appelé :,, k.

3 Vecteus et scalaes SYSTEME DIRECT. Dans un epèe othogonal dect, le fat d effectue une otaton vssant de l ae O ves l ae O, fat avance dans le sens postf su l ae des. C COMPOSNTES D UN VECTEUR. Tout vecteu se décompose selon composantes comme ndqué su la fgue c-conte. Les vecteus,, k sont les vecteus composantes dans les dectons,,. La somme (ou ésultante des tos composantes est le vecteu k Son module ésulte du théoème de Pthagoe : En généal, le vecteu de poston d un pont M stué au coodonnées,,, est : k De module : COSINUS DIRECTEURS Les angles α β γ que fat le vecteu avec les dectons postves des aes de codonnées sont tels que : cos α cos β cos γ cos α cos β cos γ

4 Vecteus et scalaes 4 DISTNCE ENTRE DEUX POINTS P et Q de coodonnées connues. Sot P(,, et Q(,, les coodonnées des ponts P et Q. Vecteu poston de P : k Vecteu poston de Q : k PQ PQ ( k - ( k PQ k ( ( ( Le module de PQ est : PQ ( ( ( C est la dstance ente les ponts P et Q

5 Vecteus et scalaes PRODUIT SCLIRE, PRODUIT VECTORIEL. PRODUIT SCLIRE. Le podut scalae de deu vecteus et, noté. est le podut :.. cos α. θ La Poecton de su,.cos θ, est égale à.b où b est un vecteu untae dgé selon (vo eecce cosθ b Popétés du podut scalae Commutatvté du podut scalae Dstbutvté...(C..C m (. (m..(m. (.m S k, et k, los :... S. 0, et s et sont des vecteus non nuls, alos les deu vecteus sont pependculaes.. k.k..k k. 0 5

6 Vecteus et scalaes PRODUIT VECTORIEL. Le podut vectoel de deu vecteus et noté est le podut :. sn α u u est un vecteu untae donnant le sens et la decton du vecteu C Popétés du podut vectoel. Non commutatvté - Dstbutvté (C C m( (m (m. ( m k k 0 k, k, k k VECTEURS RECIPROQUES. Les vecteus a, b, c et a, b, c sont dts écpoques s : a.a b.b c.c a.b a.c b.a b.c c.a c.b 0 Cet ensemble de vecteus est écpoque s et seulement s : Où : a. b c 0 b c a' a. b c c a b' a. b c a b c' a. b c CHMP SCLIRE S à tout pont (,, d une égon de l espace coespond un scalae Φ(,,, Φ s appelle une foncton scalae. Eemple : La tempéatue T(,,, t à un nstant pécs, en tout pont de la tee, défnt un champ scalae. CHMP VECTORIEL S à tout pont (,, d une égon de l espace coespond un vecteu E(,,, E s appelle une foncton vectoelle.. Eemple : Le champ électque E T(,,,t à un nstant pécs, en tout pont de la tee, défnt un champ vectoel. Un champ ndépendant du temps est dt champ statonnae. 6

7 Vecteus et scalaes EXERCICES / Pou quelles valeus de a les deu vecteus : a-k et aa-4k sont-ls pependculaes? Soluton. Les deu vecteus et sont pependculaes s le podut scalae. 0. ( a k (a a 4k a a 4 D où les deu valeus de a qu satsfont à la condton demandée : a a / Etant donnés les vecteus : -k, -4-k, - k Touve le module de la somme des tos vecteus. R R 4 Soluton k / Touve un vecteu untae paallèle à la ésultante R des vecteus : 4-5k, k Soluton. Le vecteu untae // de R est donné pa : u R R R 6 k 6 k u R 7 u est oenté selon R, on véfe que son module vaut 7

8 Vecteus et scalaes Calcule de 4/ Sot les deu vecteus : -k, calcule et èe méthode k k 4 ème méthode 0 ( k ( 4 k ( 4 k - ( 4 k k 5/ Un pods P de 75 klogammes est suspendu au mleu d une code comme le monte le schéma c conte. Quelle est la tenson eecée su chaque bn de la code? Pa constucton : FF75kg P Pa calcul : F cos α / F 0 F 75kg 8

9 Vecteus et scalaes 6/ Touve l angle fomé pa les deu vecteus : -k, 6-k. Véfe que la poecton othogonale de su condut à cosθ.b. b étant le vecteu untae de. θ cosθ.b Soluton k et 7 6 k Pou calcul l angle θ, l faut utlse les deu popétés : / / cosθ cosθ 4 θ c cos 4 80 cosθ est la poecton othogonale de su 4 4 cos θ 7 Le vecteu untae selon est 6 b k Le podut b Donc : cos k 7 θ b ( k 4 7 9