Exercices supplémentaires Géométrie plane

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1 Exercices supplémentaires Géométrie plane Partie A : Coordonnées de vecteurs, colinéarité Exercice 1 Dans un repère, on considère 6; 1, ; 1, 15; 4 et ; 2. 1) Les points, et sont-ils alignés? Justifier. 2) Les points, et sont-ils alignés? Justifier. Exercice 2 On considère 7; 6, ;, 8; 1 et 4; 5. 1) Les droites et sont-elles parallèles? Justifier. 2) On considère ; 5. Déterminer pour que et soient parallèles. Exercice est un rectangle. est le symétrique de par rapport à. est le symétrique de par rapport à. est défini par. 1) Dans le repère ; ;, donner les coordonnées de,, et sans justifications. 2) Calculer les coordonnées de, et. ) Les points, et sont-ils alignés? Justifier la réponse. Exercice 4 On considère un triangle. est le symétrique de par rapport à. Les points et sont définis par et 2. 1) Dans le repère ; ;, calculer les coordonnées de, et. 2) Démontrer que les points, et sont alignés. Exercice 5 Dans un repère, on considère 2;, ; 1 et 4; 4. 1) Calculer les coordonnées de tel que. 2) Calculer les coordonnées de tel que ) Calculer les coordonnées de tel que. 4) Démontrer que ; et sont alignés. Exercice 6 Dans un repère orthonormé, on considère 2; 2, ; 6 et 10;. 1) Déterminer les coordonnées de tel que soit un parallélogramme. 2) Calculer, et. Que peut-on en déduire pour le triangle? ) Calculer les coordonnées du milieu de. 4) Calculer les coordonnées de tel que. 5) Démontrer que est le milieu de. 6) Calculer les coordonnées de défini par ) Démontrer que, et sont alignés. Exercice 7 On considère un triangle et les points, et définis par ; et. 1) Exprimer et en fonction de et. 2) Démontrer que, et sont alignés. Exercice 8 On considère un triangle et les points, et définis par ; et. On va démontrer de deux manières que, et sont alignés.

2 1) Dans le repère ; ; a. Déterminer les coordonnées de, et. b. Démontrer que ces trois points sont alignés. 2) A l aide des vecteurs a. Décomposer et avec les vecteurs et. b. Démontrer que, et sont alignés. Exercice 9 On considère le triangle et les points, et tels que ; et 2. On va démontrer de trois manières différentes que, et sont alignés. 1) Dans le repère ; ; a. Déterminer les coordonnées de, et. b. Démontrer que ces points sont alignés. 2) Avec les vecteurs a. Décomposer et à l aide des vecteurs et. b. Démontrer que, et sont alignés. ) Géométriquement a. On construit la parallèle à passant par. Elle coupe en un point. Démontrer que est le milieu de. b. En déduire que est le milieu de. c. Démontrer que est parallèle à et conclure. Partie B : Equation de droites, vecteur directeur Exercice 1 1) Tracer la droite passant par 1; 2 et de vecteur directeur 1. 2) 5; 4 appartient-il à? Justifier. Exercice 2 On considère la droite d équation. Déterminer un vecteur directeur de à coordonnées entières. Exercice On considère une droite de vecteur directeur 5. Déterminer son coefficient directeur. 2 Exercice 4 Dans chacun des cas suivants, déterminer une équation de la droite passant par et de vecteur directeur. 1) ; 2 et 2 1 2) 2; 2 et 0 ) 0; 4 et 28 5 Exercice 5 Dans chaque cas, déterminer une équation cartésienne de la droite passant par et parallèle à. 1) 2; et ) 0; et 4 5 0

3 Exercice 6 1) Dans un repère, placer les points 2; 4, 2; 2, 5; 0 et tel que 2. 2) Quelle est la nature du quadrilatère? Justifier. ) Déterminer les coordonnées de. 4) On considère la droite d équation Vérifier que et appartiennent à. 5) Déterminer une équation cartésienne de. 6) Démontrer que et sont sécantes et déterminer les coordonnées de leur point d intersection. 7) Calculer les coordonnées de milieu de et de milieu de. 8) Démontrer que, et sont alignés. Exercice 7 On considère quatre droites : ; : ; : ; : ) Parmi ces droites, lesquelles sont parallèles? 2) Les droites et sont-elles confondues? Même question pour et. Exercice 8 On considère un réel et la droite d équation 0. Dans chaque cas, peut-on déterminer pour que la condition soit vérifiée? Si oui, le déterminer. 1) est un vecteur directeur de. 2 2) 2; appartient à. ) est parallèle à la droite d équation 0. 4) est parallèle à l axe des abscisses. 5) est parallèle à l axe des ordonnées. 6) passe par l origine du repère. 7) passe par le point 0; 1 Exercice 9 est un parallélogramme. Le point est à l intérieur de ce parallélogramme. Les parallèles à et passant par coupent les côtés en,, et tels que,, et. On note ; les coordonnées de dans le repère ; ;. 1) Donner les coordonnées de,, et en fonction de et. 2) Déterminer une condition sur et pour que et soient parallèles. ) Quel est l ensemble des points tels que et soient parallèles? Exercice 10 On considère un nombre réel et on note la droite d équation ) Tracer,, et. 2) Montrer que toutes les droites passent par un même point dont on précisera les coordonnées. ) Existe-t-il des droites passant par 1; 4? Si oui, lesquelles? 4) Existe-t-il des droites de vecteur directeur 2? Si oui, lesquelles? 1

4 Correction exercices supplémentaires Géométrie plane Partie A : Coordonnées de vecteurs, colinéarité Exercice 1 1) 9 et 21 or donc les vecteur et ne sont pas colinéaires et les 2 5 points, et ne sont pas alignés. 2) 9 et 2 sont alignés. or donc les vecteurs et sont colinéaires et les points, et Exercice 2 1) : 7 10 et Vérifions s il y a colinéarité : Les vecteurs et ne sont pas colinéaires donc et ne sont pas parallèles. 2) 8 4 et sont colinéaires donc On doit choisir pour que et soient parallèles. Exercice 1) 0; 0, 1; 0, 1; 1 et 0; 1. 2) est le symétrique de par rapport à donc est le milieu de et donc 1; 1 est le symétrique de par rapport à donc est le milieu de et donc 0; donc 0 ; 0 ) et Vérifions s il y a colinéarité : donc et sont colinéaires et, et sont alignés. Exercice 4 1) 0; 0, 1; 0 et 0; 1. est le symétrique de par rapport à donc est le milieu de et : et donc 1; donc 0; donc ; et 0 0 2) Vérifions s il y a colinéarité : 1 0 Donc et sont colinéaires et, et sont alignés. Exercice 5

5 1) donc 11; 2) donc 0 ; 0 ) donc ; 11 4) 0 et Vérifions s il y a colinéarité : Donc les vecteurs et 0 0 sont colinéaires et les points, et sont alignés. Exercice 6 1) est un parallélogramme donc 15;5 2) On remarque que donc est isocèle en. De plus, 178 et donc d après la réciproque du théorème de Pythagore, est rectangle en. Finalement est rectangle isocèle en. ) et donc ; 4) donc ; 2 5) 2 2 et donc et est bien le milieu de 6) donc ; 7) 15 5 et 15 5 Vérifions s il y a colinéarité : Donc et sont colinéaires et, et sont alignés. 0

6 Exercice 7 1) et ) On a donc et sont colinéaires et les points, et sont alignés. Exercice 8 1) a. 0; ; ;0 Pour les coordonnées de : donc ; 2) b. et soit Vérifions s il y a colinéarité : 0 donc et sont colinéaires et, et sont alignés. a Exercice 9 1) b. On observe que donc et sont colinéaires et, et sont alignés. a. 0; ; ; donc 1;2 b. et 1 Vérifions s il y a colinéarité : 1 0 Donc et sont colinéaires et, et sont alignés. 2) a b. On remarque que donc et sont colinéaires et, et sont alignés. ) a. Dans le triangle, la droite passe par le milieu de et est parallèle à donc elle coupe le troisième côté en son milieu d après le théorème des milieux. Or cette intersection est en. Donc est le milieu de. b. Nous savons que et donc et alors. On a donc bien que est le milieu de. c. Dans le triangle, passe par le milieu de et donc elle est parallèle au troisième côté d après le théorème des milieux.

7 Finalement, est parallèle à par construction et à donc et sont parallèles également et comme elles ont un point commun, on a démontré que, et sont alignés. Partie B : Equation de droites, vecteur directeur Exercice 1 A u 2 1) La droite passe par 1; 2 et tel que et alors a pour coordonnées 4; 4 2) et ne sont clairement pas colinéaires car leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles donc n appartient pas à Exercice 2 0; et 1; appartiennent à donc 1 est un vecteur -4 B directeur de. Ses coordonnées ne sont pas entières. Par contre, qui a pour coordonnées a des 2 coordonnées entières et dirige également. Exercice On considère un point ; de la droite. Alors 5; 2 appartient également à la droite. Le coefficient directeur de la droite est alors ou encore Exercice 4 1) La droite de vecteur directeur admet pour équation cartésienne : 0. Dans notre cas, nous avons donc 2 0 comme équation cartésienne. De plus, la droite passe par donc ses coordonnées vérifient l équation et on obtient : 4 0 ou encore 1. Une équation de la droite est alors ) On considère ; un point de. Alors 2 0 et sont colinéaires et leurs coordonnées sont 2 proportionnelles. On a donc ou encore 2 Remarque : la droite est parallèle à l axe des ordonnées. ) On considère un point ; appartenant à. Alors 4 et 28 sont colinéaires et donc ce qui donne ou encore en simplifiant par 7 : Exercice 5 1) Deux droites parallèles ont le même coefficient directeur et donc admettent les mêmes vecteurs directeurs. Une équation de la droite parallèle à est donc 2 0. Or cette droite passe par donc ses coordonnées vérifient l équation et 4 0 ou encore 7. Une équation de la droite cherchée est ) Une équation de la droite cherchée est 4 0. A l aide des coordonnées de, on obtient : 12 0 ou encore 12. Donc on obtient : Exercice 6 1) Voir ci-dessous 2) 2 donc a ses côtés et parallèles et donc est un trapèze.

8 ) donc ;4 4) Pour : donc Pour : donc 5) est un vecteur directeur de donc une équation 4 cartésienne de est 40. Comme cette droite passe par, nous avons 4240 ou encore 20. Une équation de est alors ) Intersection de et : Donc et sont bien sécantes en un point de coordonnées 1;8 7) Coordonnées de : 0; 0 et donc C -5-4 A y K 2 1 L De la même manière, on a 1;2 8) 1 et 2 On a clairement 2 donc et sont colinéaires et les points, et 5 10 sont alignés. E B 2 D Exercice 7 1) 9 6 dirige ; 6 4 dirige ; 1 5 dirige et dirige. Nous avons clairement avec 2 et 2 donc et sont colinéaires et et sont parallèles. Par contre et ne sont pas colinéaires donc n est pas parallèles à et. Pour, étudions la colinéarité de et Donc et sont colinéaires et est alors parallèle à et. 2) ;0 Vérifions si appartient également à : donc donc et sont strictement parallèles et pas confondues. Vérifions ensuite si appartient à : donc appartient bien à. Nous avons donc que et sont confondues. Exercice 8 1) Un vecteur directeur de est 1. dirige et colinéaires 20 2 dirige si et seulement si a pour valeur. 2) 20

9 ) est parallèle à la droite d équation 0 qui admet 1 comme vecteur directeur. Donc une équation de est 0. En divisant par (pour obtenir un coefficient 1 devant ), on a 0. Par identification avec l équation de donnée dans l énoncé, on a et 9. 4) est parallèle à l axe des abscisses si et seulement si elle admet une équation réduite de la forme. Ceci n est pas possible car l équation cartésienne de contient des. 5) est parallèle à l axe des ordonnées si et seulement si elle admet une équation réduite de la forme. Ceci n est possible que si 0 6) 0; 0 0 Cette dernière égalité est fausse donc ne peut jamais passer par l origine du repère. 7) 0; 1 0 Exercice 9 1) 0; ; 1 1; et ; 0 2) et parallèles 1 et 1 colinéaires ) et sont parallèles si et seulement si 1, autrement dit si et seulement si les coordonnées de vérifient l équation 1. Or cette équation est celle de la droite. Finalement et sont parallèles si et seulement si. Exercice 10 1) : 210 ou encore (en noir) : 410 ou encore 41 (en rouge) 6210 ou encore (en bleu) :10 ou encore 1 (en rose) 2) Graphiquement, les quatre droites tracées passent par ;1. Vérifions si c est le cas pour toute valeur de : Donc, pour tout, passe par ;1 ) 1; appartient à si et seulement si. 4) Une équation cartésienne de est Un vecteur directeur de est donc 22. dirige et colinéaires Donc, pour, dirige. A

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