UNIVERSITÉ DE CERGY. U.F.R. Économie & Gestion. LICENCE d ÉCONOMIE et GESTION. Première année - Semestre 2 MATHÉMATIQUES

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1 Année UNIVERSITÉ DE CERGY U.F.R. Économie & Gestion LICENCE d ÉCONOMIE et GESTION Première année - Semestre MATHÉMATIQUES MATH10 : Fonctions de plusieurs variables Enseignant responsable : C. Andrianasitera Enseignant : J. Stéphan 1

2 Chapitre 1 Courbes et surfaces Avertissement : Ces notes de cours doivent être considérées comme un support pour votre travail personnel : elles ne remplacent pas les explications et démonstrations données en cours ou TD et n ont aucun caractère d exhaustivité. 1.1 Introduction Les fonctions utilisées dans les modèles économiques sont, très souvent, des fonctions de plusieurs variables : par exemple on peut considérer une fonction de production f dépendant de deux «facteurs de production» le capital (noté K) et le travail (noté L) : cette fonction associe à tout couple (K, L) de réels positifs (en économie... en mathématiques on ne fera pas de distinction!) la quantité produite q. On a alors : f : R + R + R (K, L) f(k, L) = q Exemples 1 Les fonctions linéaires du type : f(k, L) = αk + βl (où α et β sont deux réels positifs). Les fonctions de Cobb-Douglas du type : f(k, L) = c.k α L β (où c, α et β sont des réels positifs). 1. Coordonnées Dans cette section, le plan P est noté R et l espace E est noté R 3 : ils sont munis des repères cartésiens (O; i, j) et (O; i, j, k) respectivement.

3 1.3. VECTEURS 3 On rappelle que tout point M du plan (respectivement de l espace) est repéré par un unique couple (x; y) de R (respectivement un unique triplet (x; y; z) de R 3 ) appelé coordonnées de M dans le repère donné. x est l abscisse, y est l ordonnée (et z est la cote) de M. Exemple Figure 1.1 Point de coordonnées (; 3; 5) 1.3 Vecteurs Définitions Dans R, un vecteur u est la donnée d un ( couple ) (a; b) de réels appelés composantes (ou coordonnées) de u. On notera u = (avec le signe «=» : on identifie a b un vecteur à ses coordonnées) pour signifier que u = a i + b j. a Dans R 3, un vecteur v sera donné par ses trois composantes v = b. c On rappelle qu il existe un unique point M du plan (resp. de l espace) tel que OM = u : si M(α; β), (resp. M(α; β; γ)) est un point de R (resp. R 3 ), le vecteur

4 4 CHAPITRE 1. COURBES ET SURFACES ( ) α OM = (resp. α OM = β. β γ Soient A(x A ; y A ; z A ) et B(x B ; y B ; z B ) deux points de R 3. Le vecteur composantes x B x A y B y A z B z A : AB a pour en effet, AB = AO + OB = OA+ OB = (xa. i+y A. j +z A. k)+x B. i+y B. j + z B. k = (x B x A ) i + (y B y A ) j + (z B z A ) k Propriétés Les énoncés qui suivent sont identiques dans R ou R 3 : ils seront donnés et démontrés dans R : au lecteur de faire la démarche dans R 3. Proposition 1. Egalité de deux vecteurs : Deux vecteurs u = x. i + y. j et v = x. i + y. j sont égaux si et seulement si x = x et y = y. ( ) ( ) x x Définition 1. Soient u = et v = deux vecteurs du plan : y y ( ) x + x a) Somme de deux vecteurs : u + v a pour composantes. y + y b) ( Produit ) d un vecteur par un réel : Si k est un réel : k. u a pour composantes kx. ky Géométriquement, la somme de deux vecteurs AB et CD = BE est obtenue avec la relation de Chasles, et faire la somme de AB et AC est obtenue avec la règle du parallélogramme.

5 1.3. VECTEURS 5 Figure 1. Somme de deux vecteurs Proposition. Soit I(x I ; y I ) le milieu du segment [AB] où A(x A ; y A ) et B(x B ; y B ) : alors x I = x A + x B et y I = y A + y B Norme d un vecteur - distance Dans ce paragraphe le repère considéré sera orthonormé Définition. Soit u = à a + b + c a b c : la norme de u est le réel positif noté u égal Proposition 3. Si A(x A ; y A ; z A ) et B(x B ; y B ; z B ), alors AB = d(a, B) = AB = (x B x A ) + (y B y A ) + (z B z A ) Exemple 3 Calculer la distance AB où A( 1; 4; ) et B(0; ; 3).

6 6 CHAPITRE 1. COURBES ET SURFACES Propriété 1. Pour tous points A, B et C de R 3 (ou R ) i. d(a, B) = d(b, A) ii. d(a, B) = 0 A = B iii. d(a, C) d(a, B) + d(b, C) (Inégalité triangulaire) Colinéarité Définition 3. Soient u et v deux vecteurs. u et v sont dits colinéaires si et seulement si : Ou bien l un des deux est nul. Ou bien, si les deux vecteurs sont non nuls, il existe un réel k non nul tel que u = k v. Proposition 4. Deux vecteurs u = x y z si et seulement s il existe un réel k tel que x = k.x y = k.y z = k.z 0 et v = x y z sont colinéaires ( ) ( ) Définition 4. Soit x u = et x v =, on appelle déterminant de u et v y y x x le réel noté y y = x.y x.y Proposition ( ) 5. Cet ( énoncé ) est uniquement valable dans R : x u = et x v = sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est y y nul. Exemples 4 1. Déterminer x R de telle sorte que u = soient colinéaires.. Définir l ensemble des vecteurs colinéaires à u = 1 3 ( ) ( ) et x v = 1.

7 1.4. COURBES PLANES Orthogonalité Définition 5. Soient u = x y z et v = x y z deux vecteurs. le produit scalaire de u et v, noté u. v ou < u, v >, est le réel x.x + y.y + z.z Remarque : Si u = Exemple 5 Pour u x y z, u = x + y + z = u. u 1 0 et v 3 5, u. v =? Théorème 1. Deux vecteurs u et v sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul. Admis - IL faut pour faire la démonstration connaître l expression du produit scalaire en fonction de l angle des vecteurs u et V v Remarque : En particulier le vecteur nul est orthogonal ( à) tous les ( vecteurs. ) a b Exemple 6 Pour tous réels a et b, les vecteurs u = et v = sont orthogonaux : on retrouvera cet exemple lorsqu on étudiera les équations de b a droites. 1.4 Courbes planes Dans ce paragraphe le plan est muni d un repère orthonormé Définition 6. On appelle courbe plane l ensemble des points M(x, y) de R dont les coordonnées sont reliées par une relation de la forme F (x, y) = 0. L égalité F (x, y) = 0 est appelée équation cartésienne de la courbe. Exemple 7 On vérifie qu une droite est une courbe plane car les coordonnées des points M(x, y) d une droite vérifient une équation cartésienne du type ax+by+c = 0, ainsi F (x, y) = ax+by +c. Par exemple la droite d équation réduite y = 3 x 5 a pour équation cartésienne x 3y 15 = 0.

8 8 CHAPITRE 1. COURBES ET SURFACES Droites dans le plan ( ) α Définition 7. Soient A(x A ; y A ) un point du plan et u = un vecteur non nul β La droite D passant par A et de vecteur directeur u (notée D(A, u) ) est l ensemble des points M du plan tels que u et AM soient colinéaires. D(A, u) = { M R / t R ; AM = t u } Remarque : Cette définition ( ) permet de donner une représentation paramétrique de D(A; u) : si u =, on a l équivalence : α β M(x; y) D t R ; { x xa = t.α AM = t u t R ; y y A = t.β on obtient le système suivant : { x = xa + t.α y = y A + t.β t R c est la représentation (ou système d équations) paramétrique(s) de D(A; u). Exemples 8 1. Donner une représentation ( paramétrique ) de la droite D passant 3 par A( ; 5) et de vecteur directeur u =. 1. Donner une représentation paramétrique de la droite (AB) où A(1; ) et B( ; 3). ( ) α Définition 8. Si u = 0 est un vecteur directeur de D, alors le vecteur β ( ) β n = est orthogonal à u : on dit que n est un vecteur normal à D. On α peut alors définir D comme l ensemble { M R / AM. n = 0 } Définition 9. Représentation (ou équation) cartésienne d une droite : M(x; y) D x x AM et u sont colinéaires A α = 0 y y A β β(x x A ) α(y y A ) = 0 βx αy βx A + αy A = 0

9 1.4. COURBES PLANES 9 ou bien : M(x; y) D AM. n = 0 β(x x A ) + α(y y A ) = 0, soit βx + αy + βx A αy A = 0 : on retrouve l équation cartésienne de D. À retenir : Toute ( ) droite D possède des équations cartésiennes du type ax + by + a c = 0 où n = est un vecteur normal à D. b Exemples 9 1. Déterminer une équation cartésienne ( ) de la droite D passant par 4 A( ; 3) et dont un vecteur directeur est u =. 1. Déterminer une équation cartésienne de la droite (AB) où A(1; ) et B( ; 3). Définition 10. Toute droite du plan non parallèle à l axe des ordonnées possède une équation réduite (ou équation cartésienne normalisée) du type y = mx+p : elle peut s obtenir à partir de toute équation cartésienne ax + by + c = 0 en isolant y (b 0 car D (Oy)). On obtient alors m = a b et p = c b. Propriété. Soient D et D deux droites d équations réduites respectives y = mx + p et y = m x + p. 1. D et D sont parallèles si et seulement si m = m.. D et D sont perpendiculaires si et seulement si m.m = 1. Théorème. Toute droite D d équation cartésienne ax + by + c = 0 partage le plan en trois sous-ensembles disjoints deux à deux : D = { M(x; y) R /ax + by + c = 0 } + = { M(x; y) R /ax + by + c > 0 } = { M(x; y) R /ax + by + c < 0 } Exemple 10 Déterminer le sous-ensemble du plan défini par : x 0 y 0 3x + 4y 1 < 0

10 10 CHAPITRE 1. COURBES ET SURFACES 1.4. Les coniques LES CONIQUES Définition 11. Géométriquement une conique se définit comme une courbe obtenue par l intersection d un plan et d un cône de révolution (à deux nappes) : il y a trois sortes de coniques : Qu est-ce 1) L ellipse qu une : leconique plan est? incliné, mais il ne coupe qu une seule des nappes du cône. Une conique est une courbe plane que l on peut tracer sur un cône de révolution à deux nappes. Suivant la position qu il occupe par rapport à un cône, un plan qui coupe ce dernier déterminera une intersection qui sera : ) La parabole un : cercle le plan : le plan est est parallèle perpendiculaire à une à l axe génératrice ; du cône. 3) L hyperbole une : ellipse le plan : le est plan est incliné ou sur l axe, parallèle mais il àne l axe coupe et qu une coupe seule les des deux nappes. ; une hyperbole : le plan est incliné ou parallèle à l axe et coupe les deux nappes ; une parabole : le plan est parallèle à un plan tangent au cône. Figure 1.3 Les coniques (source : http :// Les définitions précédentes sont les définitions «historiques» des coniques. Le Cercle Elles avaient été données par les géomètres grecs. Il existe cependant d autres définitions, plus aisées à utiliser dans certains problèmes de mathématiques. Définition 1. Le cercle C de centre Ω(x Ω, y Ω ) et de rayon R > 0 est l ensemble des points du plan M(x, y) tels que ΩM = R. C = {M Remarque R /ΩM = R} Si le plan contient l axe et coupe les deux nappes selon une génératrice, l intersection sera un couple de droites. Si le plan coupe Proposition 6. Le cercle de centre les deux Ω(x nappes Ω, y Ω à ) leur etpoint de rayon commun, R l intersection > 0 a unesera équation ce point. cartésienne du type : Ces deux cas limites font encore partie des coniques. (x x Ω ) + (y y Ω ) = R 1

11 1.4. COURBES PLANES 11 Exemples 11 1 Déterminer une équation cartésienne du cercle de centre Ω( ; 3) et de rayon 4. Montrer que l équation F (x, y) = x + x + y 3y 3 = 0 est l équation d un cercle dont on précisera centre et rayon. 3 Même question avec l équation suivante : F (x, y) = x + y + x y 1 = 0 Remarque : pour qu une telle équation soit l équation cartésienne d un cercle, les coefficients devant x et y doivent être égaux. La Parabole Définition 13. Soient a, b et c trois réels, et a non nul. Une parabole d axe (de symétrie) vertical a une équation cartésienne du type ax + bx + c + y = 0 Une parabole d axe (de symétrie) horizontal a une équation cartésienne du type ay + by + c + x = 0 Soit F (x, y) = y 6y + 8 x = 0. Définir les éléments caractéris- Exemple 1 tiques de P F. Figure 1.4 Parabole d équation y 6y + 8 x = 0

12 1 CHAPITRE 1. COURBES ET SURFACES L ellipse Définition 14. Soient Ω(x Ω, y Ω ) un point du plan et α et β deux réels strictement positifs. Une ellipse de centre Ω et de coefficients α et β dont les axes de symétries sont parallèles aux axes du repère est une courbe d équation cartésienne du type : (x x Ω ) + (y y Ω) = 1 α β Remarque : Si α = β on obtient le cercle de centre Ω et de rayon α. Exemples Déterminer l équation cartésienne de cette ellipse : Figure 1.5 Ellipse d équation (x 4) (y ) 5 = 1. Montrer que l équation suivante définit une ellipse : 9x + 16y 54x + 3y 47 = 0 3. Montrer que l équation suivante définit une ellipse : x + 3y + x y 5 = 0

13 1.4. COURBES PLANES 13 L hyperbole Définition 15. Soient Ω(x Ω, y Ω ) un point du plan et α et β deux réels non nuls. On x appelle hyperbole de centre Ω et d asymptotes (D 1 ) : α + y ( β xω α + y ) Ω = β x 0 et (D ) : α y ( β xω α y ) Ω = 0 β la courbe d équation cartésienne : (x x Ω ) α (y y Ω) β = 1(ou 1) Remarques : Pour de telles hyperboles : 1. Les deux asymptotes passent par Ω.. Les deux asymptotes sont symétriques par rapport aux droites d équations x = x Ω et y = y Ω. Ce qui permet de déduire que l hyperbole possède les droites d équations x = x Ω et y = y Ω pour axes de symétrie. 3. Sur la figure ci-dessous on a représenté deux hyperboles : pour celle de gauche H 1, le membre de droite de son équation cartésienne est égal à +1, pour celle de droite H, le membre de droite est égal 1 Figure 1.6 Deux cas selon la valeur du membre de droite

14 14 CHAPITRE 1. COURBES ET SURFACES Exemples Déterminer l équation de l hyperbole Γ suivante : Figure 1.7 Hyperbole d équation (x + ) 100 (y 4) 5 = 1. Montrer que l équation suivante définit une hyperbole : 4x 9y + 40x + 54y 17 = 0 3. Montrer que l équation suivante définit une hyperbole : x 3y + x y 5 = 0 Cas particulier : Une hyperbole équilatère est une hyperbole dont les asymptotes sont perpendiculaires : cela signifie que α = ±β.

15 1.4. COURBES PLANES 15 Exemple 15 Figure 1.8 Hyperbole d équation (x 3)(y + ) = 4 Remarque : une telle équation ne peut pas se mettre sous la forme cartésienne donnée en définition, sauf à faire un changement de repère Intersection de deux courbes planes Définition 16. Soient C 1 et C deux courbes planes d équations respectives F 1 (x, y) = 0 et F (x, y) = 0. Les points d intersection de C 1 et C sont les points M(x, y) du plan dont les coordonnées vérifient simultanément F 1 (x, y) = 0 et F (x, y) = 0

16 16 CHAPITRE 1. COURBES ET SURFACES Exemple 16 Déterminer les points d intersection du cercle C de centre Ω(1; ) et de rayon 3 et de l hyperbole d équation (x 1) y = Courbes planes et fonctions implicites Étant donnée une courbe plane définie par son équation F (x, y) = 0, il est parfois utile de savoir si elle est la courbe représentative d une fonction, par exemple : x y = f(x) ou y x = g(y) Définition 17. On dit que la relation F (x, y) = 0 définit implicitement y en fonction de x (ou bien définit une fonction implicite y(x) ) si et seulement si en résolvant cette équation en la variable y, on obtient une unique solution y(x) au plus. De la même manière cette relation définit une fonction implicite x(y) si et seulement si en résolvant en x cette équation on obtient une unique solution x(y) au plus. Exemple 17 Soit F (x, y) = x y = 0 Montrer que l on peut définir la fonction implicite y(x) mais pas x(y)

17 1.5. SURFACES DANS L ESPACE Surfaces dans l espace Dans cette section, l espace R 3 est muni d un repère orthonormé (O; i, j, k) Plans de l espace Définition 18. Soient A(x A ; y A ; z A ) un point de l espace et n = a b c un vecteur non nul. Le plan P passant par A et de vecteur normal n est l ensemble des points M de l espace tels que AM et n soient orthogonaux. P = { M R 3 / AM n = 0 } Figure 1.9 Vecteur normal à un plan Proposition 7. Avec le notation ci-dessus, le plan P a une équation cartésienne du type : ax + by + cz + d = 0 où d est obtenu en précisant que A est un point de P. Exemple 18 Déterminer une équation cartésienne du plan P passant par A(1; ; 3) et de vecteur normal n = (3; ; 1) Cas particuliers : Les plans parallèles aux plans de base ont pour équations x = k (plans parallèles au plan (yoz)), y = k (plans parallèles au plan (xoz) et z = k (plans parallèles au plan (x0y), plans horizontaux).

18 18 CHAPITRE 1. COURBES ET SURFACES Propriété Un vecteur non nul est normal à P si et seulement s il est orthogonal à tous les vecteurs de P.. Un vecteur non nul est normal à à P si et seulement s il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de P. 3. Deux plans sont parallèles si et seulement s ils ont des vecteurs normaux colinéaires. 4. Deux plans sont perpendiculaires (le long d une droite) si et seulement s ils ont des vecteurs normaux orthogonaux. Exemple 19 On considère les quatre plans suivants : P 1 : x 3y + 4z + 1 = 0 P : 6x + 9y 1z + 7 = 0 P 3 : x + 3 y z m = 0 P 4 : x + y + z = 0 Déterminer les plans parallèles et les plans orthogonaux. Est-ce que cela dépend de la valeur de m? 1.5. Surfaces Définition 19. On appelle surface d équation F (x, y, z) = 0 l ensemble des points M(x, y, z) de l espace dont les coordonnées sont liées par une relation du type F (x, y, z) = 0. Cette équation est dite équation cartésienne de la surface. Exemple 0 Tout plan de R 3 est une surface de l espace. (Considérer une équation cartésienne du plan). Quelques surfaces usuelles Paraboloïde de révolution de sommet 0 Définition 0. Une surface de révolution est la surface balayée par la rotation d une courbe plane, appelée méridienne autour d un axe : les cas les plus simples sont obtenus par rotation d une courbe plane autour de l axe (Oz), par exemple les cylindres (rotation d une droite parallèle à (Oz)), les cônes (rotation d une droite sécante à (0z) en 0..) les tores (rotation d un cercle) etc...

19 1.5. SURFACES DANS L ESPACE Z Y X Figure 1.10 Paraboloïde de révolution z = x + y Z X Y Figure 1.11 Demi-Cône de révolution z = x + y

20 0 CHAPITRE 1. COURBES ET SURFACES Cône de Cobb-Douglas de sommet 0 et d équation z = xy Z Y X - 10 Figure 1.1 Cône de Cobb-Douglas d équation z = x.y Sphère de centre A(x A ; y A ; z A ) et de rayon R La sphère S de centre A(x A ; y A ; z A ) et de rayon R est l ensemble des points M(x; y; z) de R 3 tels que AM = R S (A, R) = { M R 3 / AM = R } Une équation cartésienne est obtenue en utilisant l expression de la distance AM. M(x; y; z) S AM = R AM = R (x x A ) + (y y A ) + (z z A ) = R (on parle d équation canonique de S). Exemple 1 Déterminer le centre et le rayon de la sphère d équation : x + y + z + 4x y + 6z 11 4 = 0 Remarque : On peut également définir la sphère de diamètre [AB] comme l ensemble des points M de l espace tels que AM. BM = 0

21 1.5. SURFACES DANS L ESPACE Courbes dans l espace En général, l intersection de deux surfaces est une courbe de l espace. Si S 1 et S sont deux surfaces d équations respectives F 1 (x, y, z) = 0 et F (x, y, z) = 0 la courbe obtenue par intersection de S 1 et S admet pour représentation cartésienne { F1 (x, y, z, ) = 0 F (x, y, z, ) = 0 Exemple Étudiez la courbe C intersection du cône de révolution : C : z = x + y et du plan parallèle à (xoy) (plan horizontal d équation cartésienne z = k) { x + y z { = 0 x C a pour équation : z = k + y = k z = k C est donc le cercle de centre Ω(0, 0, k) et de rayon k inclus dans le plan d équation z = k. Figure 1.13 Intersection du cône d équation z = x + y et du plan d équation z = 3

22 CHAPITRE 1. COURBES ET SURFACES Droites dans l espace : Définition 1. Une droite dans l espace est l intersection de deux plans non parallèles. On appelle représentation cartésienne (ou système d équations cartésiennes) d une droite dans l espace tout système de deux équations cartésiennes des deux plans définissant cette droite avec u = a b c et u = { ax + by + cz + d = 0 a x + b y + c z + d = 0 a b c non colinéaires Définition. Une droite dans l espace peut également être définie par un point α A(x A ; y A ; z A ) et un vecteur directeur u = β non nul. La droite D(A, u) est γ alors l ensemble des points M de R 3 tels que AM et u soient colinéaires. M(x; y; z; ) D (A, u) t R ; x = x A +α.t AM = t. u t R ; y = y A +β.t z = z A +γ.t Ce système s appelle la représentation paramétrique de la droite D(A, u) Exemples 3 1 Déterminer une représentation paramétrique de la droite D intersection des plans : P 1 : x 3y + 4z + 1 = 0 et P : x + 3y 8z + 7 = 0 Déterminer une représentation paramétrique puis une représentationcartésienne de la droite D passant par A(1; 1; 1) et de vecteur directeur u = Démontrer que les droites D et D définies par les représentations paramétriques : x = 5 + 3t x = 11 + t y = + t, t R y = 10 t, t R z = 1 4t z = 4 + t sont sécantes.