Les axiomes des espaces anes découlent directement des axiomes des espaces

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1 . Géométrie affine.2. Sous espaces anes, intersection et parallélisme Exercice. (Exemples de sous espaces anes) () Montrer qu'un espace vectoriel (E, +,.) dénit un espace ane (E, E, +) canoniquement associé à E. Les axiomes des espaces anes découlent directement des axiomes des espaces vectoriels. (2) On note R 4 [X] l'espace vectoriel des polynômes de degré inférieur à 4. Montrer que E = {P R 4 [X] P (2) = 4} est un sous espace ane de l'espace ane canonique associé à R 4 [X]. Quelle est sa dimension? On considère la forme linéaire δ 2 évaluation en 2. Le polynôme constant 4 appartient à E et l'on a la décomposition E = 4 + ker δ 2 = 4 + {P R 4 [X] P (2) = } Le noyau ker δ 2 est un sous espace vectoriel de R 4 [X]. Cette décomposition montre que E est un sous espace ane de l'espace ane canonique associé à R 4 [X] de dimension 3. (3) Soit K un corps et n un entier. On considère A une matrice à m lignes et n colonnes à coecients dans K et un vecteur B de K m. On considère la partie de K n dénie par S = {X K n AX = B} Dans quel cas S est il vide? dans le cas contraire montrer que S est un sous espace ane de l'espace ane canonique associé à K n. Quelle est sa direction et sa dimension? Si le vecteur B n'appartient pas à l'image de A, l'ensemble S est vide. Supposons donc B dans l'image de A. Soit X une solution. On vérie que S = X + ker A ce qui montre que S est un sous espace ane de (K n, K n, +) dirigé par ker A de dimension n ranga. (4) Soit a et b deux réels. Montrer que l'ensemble des suites S = {(u n ) R N n N, u n+ = au n + b} est un sous espace ane de l'espace des suites. Préciser sa dimension. Si a = alors les suites considérées sont arithmétiques ainsi S = {(u n ) R N n N, u n = u + nb} = {n nb} + R Ceci montre que S est un espace ane de dimension.

2 2 Si a, on cherche une solution particulière par exemple la suite constante (α n = b a ) appartient S. Soit (u n ) une suite de S, considérons la diérence (v n = u n b a ). C'est une suite géométrique de raison a en particulier (v n = v a n ). On déduit de cela S = (α n = b a ) n N + R(a n ) n N, S est donc un espace ane de dimension si a et de dimension si a =. (5) Soit (X, E, +) un espace ane. Déterminer le sous espace ane de X engendré par une famille non vide (A i ) i I de X. Soit i I. Le sous espace ane A i + Vect( A i A i, i I) contient tous les points A i, il contient donc par dénition l'espace engendré par la famille (A i ) i I noté < (A i ) i I >. Néanmoins, la direction de < (A i ) i I >, contient nécessairement les vecteurs A i A i d'où l'égalité. Exercice 2 (Intersection). Soit (X, E, +) un espace ane. () Soit Y et Z deux sous espaces anes. Soit A Y et B Z. Montrer l'équivalence entre (a) Y Z (b) AB EY + E Z (2) En dimension 3 et pour deux droites non parallèles D = A+K u et D 2 = B +K v montrer que D D 2 ( AB, u, v) est liée. (3) Soit Y et Z deux sous espaces anes tels que E Y et E Z soient deux sous espaces supplémentaires de E. En ce cas Y Z est un point. Supposons que l'intersection Y Z soit non vide. Considérons un point M Y Z. Les points A et M appartiennent à Y donc le vecteur AM appartient à E Y, de même les points B et M appartiennent à Z donc le vecteur MB appartient à E Z. Par la relation de Chasles AB = AM + MB EY + E Z. Réciproquement supposons que le vecteur AB appartiennent à EY + E Z. Par conséquent il s'écrit sous la forme AB = u + v Comme Y et Z sont deux espaces anes, notons N le point de Y déni par A + u et M le point de Z déni par B v. Montrons que M = N. Nous avons u = AN et v = MB ainsi que AB = AN + MB or par la relation de Chasles AB = AN + NM + MB, donc NM = donc les points N et M sont égaux donc l'intersection de Y et Z est non vide. En dimension 3 et pour deux droites non parallèles D = A + K u et D 2 = B + K v on en déduit que D D 2 AB Vect( u, v) ( AB, u, v) est liée.

3 3 Considérons deux points A et B de Y et Z, les espaces E Y et E Z sont deux sous espaces supplémentaires de E donc le vecteur AB appartient à EY + E Z donc par la première question l'intersection est non vide. Si A et B sont deux points d'intersection alors AB appartient à l'intersection EY E Z qui est nulle car les espaces sont en somme directe. Les ensembles Y et Z s'intersectent en un unique point. Exercice 3 (Dimension). Soit (X, E, +) un espace ane de dimension nie. Soit Y et Z deux sous espaces anes. Montrer que () Si Y Z alors (2) Si Y Z = alors dim < Y Z >= dim Y + dim Z dim(y Z). dim < Y Z >= dim Y + dim Z dim( E Y E Z ) + où < Y Z > est l'ensemble des points de l'espace ane engendré par Y et Z. Par dénition la dimension dim < Y Z > est la dimension de la direction de < Y Z >. Nous devons donc l'identier. Si l'intersection est non vide, alors considérons un point M de l'intersection Y Z. On a donc Y = M + E Y et Z = M + E Z. Montrons que < Y Z >= M + E Y + E Z. On procède par double inclusion : tout d'abord nous avons Y M + E Y + E Z et Z M + E Y + E Z, donc Y Z M + E Y + E Z, donc par dénition, < Y Z > M + E Y + E Z. Réciproquement, si on note E <Y Z> la direction de < Y Z >, alors < Y Z >= M + E <Y Z>. Or Y = M + E Y M + E <Y Z> donc E Y E <Y Z> et de même E Z E <Y Z>, ce qui entraîne E Y + E Z E <Y Z>. La formule suit de la formule analogue en algèbre linéaire. Supponsons l'intersection vide. Considérons A Y, B Z et montrons que la direction de < Y Z > est < Y Z > = E Y + E Z K AB. Si c'est le cas alors la formule suit. Remarquons que E Y < Y Z >, EZ < Y Z > et K AB < Y Z > donc E Y + E Z K AB < Y Z >. Réciproquement A + E Y + E Z + K AB est un sous espace ane de X, qui contient Y et Z donc qui contient par dénition le sous espace ane engendré < Y Z >. Ceci fournit donc l'égalité < Y Z > = E Y + E Z + K AB. Il reste à montrer que la somme est directe. Si le vecteur AB appartient à EY + E Z alors AB = u + v

4 4 avec u E Y ce qui donne et v E Z. Par conséquent on a A + ( u + v) = A + AB = B A + u = B v or A + u appartient à Y, B v appartient à Z et Y Z =, contradiction. Exercice 4. Prouver les assertions suivantes : Par tout point d'un plan ane, il passe une et une seule droite parallèle à une droite donnée. Deux droites parallèles à une même troisième sont parallèles entre elles. Deux droites parallèles d'un plan ane ne se coupent pas ou sont confondues. Deux droites disjointes d'un plan ane sont parallèles. Dans un espace ane de dimension 3, deux plans anes non parallèles sont concourants. Soit P un plan ane, soit A un point et D une droite de P. La droite A + D passe par A et est parallèle à D. Si D est une autre droite convenable, alors la direction de D est celle de D de plus passant par A on a D = A + D, d'où l'unicité. Si deux droites sont parallèles à une même troisième, ces deux droites ont la même direction, elles sont donc parallèles. Considérons deux droites distinctes D et D 2 dans un plan ane. Si ces droites ne sont pas parallèles alors D et D 2 sont deux droites vectorielles distinctes, elles engendrent donc la direction du plan ane et par l'exercice précédent, ces droites sont donc concourantes. Même raisonnement. Exercice 5. On se place dans R 3. Donner une condition nécessaire et susante sur (a, b) R 2 pour que { { x = 2z + x = bz 3 D : y = az 2, et D : y = 4z + soient deux droites parallèles. On écrit D = 2 + R 2 a et D = ( 3 ) + R b 4 Pour que D et D soient parallèles il faut et il sut que ces deux droites aient même direction, ce qui équivaut à a = 4 et b = 2. Exercice 6. On se place dans R 3. Donner une condition nécessaire et susante sur a R pour que les droites { { x = az x = z 2 D : y = 2z + 3, et D : y = 3z

5 5 soient coplanaires. On écrit D = 3 + R a 2 et D = 2 + R 3 Ces droites ne sont pas parallèles car leur direction ne sont pas égales (les vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires). Par la formule de la dimension, elles sont donc coplanaires si et seulement si leur intersection est non vide et par l'exercice précédent elles sont concourantes si et seulement si en notant A = 3 D, B = 2 D, det( AB, D, D ) = det a = 3 + 4a =, soit a = 3/4. Exercice 7 (Parallélisme). Considérons un espace ane de dimension 3. () Soit D et D deux droites parallèles, P un plan contenant D et P un plan contenant D. On suppose P et P non parallèles. Montrer que l'intersection P P et D sont parallèles. (2) Soit P et P deux plans parallèles et Q un plan non parallèle à P. Montrer que P Q et P Q sont parallèles. (3) Soit P, Q, R trois plans deux à deux non parallèles. Montrer que leur intersection deux à deux sont trois droites concourantes ou parallèles. (4) Soient P et P deux plans non parallèles d'intersection = P P. Soient D et D 2 deux droites concourantes et non confondues. On note A et A 2 (respectivement A et A 2 ) les points d'intersection respectifs de D, D 2 avec P (respectivement P ). Montrer que les droites (A A 2 ) et (A A 2 ) sont parallèles ou se coupent en un point de. Par l'exercice 4, les deux plans anes se coupent en une droite de direction P P. Les droites parallèles D et D sont contenues dans P et P leur direction commune est donc contenue dans les directions de P et P. Par conséquent par égalité de dimension on a P P = D. On en déduit donc que l'intersection P P est parallèle à D et D. Notons tout d'abord que les plans n'étant pas parallèles (dans un espace de dimension 3), P Q et P Q sont non vides et leur direction sont égales (inclusion et égalité de dimension) P Q = P Q car P et P sont parallèles. Supposons que les droites P Q et P R sont concourantes alors P Q R est non vide. Donc les droites P Q, P R et Q R sont concourantes.

6 6 Supposons que les droites P Q et P R sont parallèles, alors P Q = P R = Vect( u). Par conséquent u P Q R et donc Q R = Vect( u) par inclusion est égalité de dimension. Ceci montre que les trois droites sont parallèles. On considère le plan P engendré par les droites concourantes et non confondues D et D 2. L'intersection P P est donc la droite (A A 2 ). L'intersection P P est la droite (A A 2 ). On prouve le point 4, en appliquant la question précédente à ces trois plans. Exercice 8. Dans un espace ane X de dimension 3, on considère un plan ane P, un point O n'appartenant pas à P, deux droites distinctes D et D de P. Considérons Q =< O, D > et Q =< O, D > et = Q Q. () Donner les dimensions de Q, Q et. (2) Montrer que est faiblement parallèle à P si et seulement si les droites D et D sont parallèles. Par la formule de la dimension les espaces Q et Q sont tous les deux de dimension 2 (le point O n'appartenant à aucune des deux droites). L'intersection de Q avec P est la droite D, l'intersection de Q avec P est la droite D. Si les droites D et D sont égales alors ces plans sont confondus ( est alors de dimension 2), sinon ils sont distincts et leur intersection est une droite, espace ane de dimension. Si les droites D et D sont parallèles alors la direction de l'intersection Q Q contient D et par égalité de dimension cette intersection est dirigée par D ce qui montre que est faiblement parallèle à P. Si les deux droites D et D ne sont pas parallèles, elles sont donc concourantes (exercices précédents) en un points Ω. La droite d'intersection est donc la droite OΩ, elle intersecte P en Ω, elle peut être faiblement parallèle à P sinon elle serait incluse dans P ce qui n'est pas le cas car elle passe par O non contenu dans P.