Sommaire. Qu est-ce qu un vecteur du plan? Somme de vecteurs Vecteur nul - Opposé d un vecteur Produit d un vecteur par un nombre réel

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1 Sommaire 1 Vecteurs Qu est-ce qu un vecteur du plan? Somme de vecteurs Vecteur nul - Opposé d un vecteur Produit d un vecteur par un nombre réel 2 Vecteurs colinéaires Définition Conséquences 3 Base du plan vectoriel 4 Vecteurs et repères du plan Repère Colinéarité et conséquences Équations de droites et colinéarité Repère orthonormal isabelle pilard () Vecteurs février / 62

2 Sommaire 1 Vecteurs Qu est-ce qu un vecteur du plan? Somme de vecteurs Vecteur nul - Opposé d un vecteur Produit d un vecteur par un nombre réel 2 Vecteurs colinéaires Définition Conséquences 3 Base du plan vectoriel 4 Vecteurs et repères du plan Repère Colinéarité et conséquences Équations de droites et colinéarité Repère orthonormal isabelle pilard () Vecteurs février / 62

3 Qu est-ce qu un vecteur du plan? Nous ne pouvons pas, à notre niveau, donner une définition rigoureuse d un vecteur du plan. Disons que concrètement, un vecteur est un ensemble de segments orientés ayant la même direction, le même sens et la même longueur : isabelle pilard () Vecteurs février / 62

4 F E D C B A isabelle pilard () Vecteurs février / 62

5 A retenir Le segment orienté de A vers B est un représentant d un vecteur. Ce Vecteur est défini par une direction : celle de la droite (AB) ; un sens : celui de A vers B ; une norme : qui est égale à la longueur AB. Ce vecteur est noté AB Un vecteur peut être représenté par une infinité de segments orientés et donc noté de différentes façons. Sur le schéma précédent, on a AB = CD = EF isabelle pilard () Vecteurs février / 62

6 attention! il ne faut pas confondre sens et direction : par exemple HI et AB ont la même direction (car les droites (AB) et (IH) sont parallèles) mais n ont pas le même sens. A B H I isabelle pilard () Vecteurs février / 62

7 À retenir Les vecteurs AB, CD et EF sont les représentants d un même vecteur car ils ont même sens, même direction et même norme : on peut donc désigner ce vecteur par un nom unique, par exemple d. La norme du vecteur AB est égale à la longueur AB. Pour désigner la norme de d = AB, on utilise la notation d. On a d = AB = CD = EF isabelle pilard () Vecteurs février / 62

8 Remarque AB = CD si et seulement si ABDC est un parallélogramme u D C A u B Remarque AB = CD si et seulement si AC = BD isabelle pilard () Vecteurs février / 62

9 Sommaire 1 Vecteurs Qu est-ce qu un vecteur du plan? Somme de vecteurs Vecteur nul - Opposé d un vecteur Produit d un vecteur par un nombre réel 2 Vecteurs colinéaires Définition Conséquences 3 Base du plan vectoriel 4 Vecteurs et repères du plan Repère Colinéarité et conséquences Équations de droites et colinéarité Repère orthonormal isabelle pilard () Vecteurs février / 62

10 Somme de vecteurs je me déplace de A vers B puis de B vers C ; globalement, je suis parti de A et je suis arrivé en C A u B v u + v C isabelle pilard () Vecteurs février / 62

11 C est en fait la Relation de CHASLES Definition Pour tous points du plan, A, B et C AB + BC = AC isabelle pilard () Vecteurs février / 62

12 C est en fait la Relation de CHASLES Definition Pour tous points du plan, A, B et C AB + BC = AC Mais qu en est-il de cette somme lorsqu on considère deux vecteurs quelconques u et v? isabelle pilard () Vecteurs février / 62

13 Il suffit de prendre des représentants de u et v bien choisis : u v A u B v u + v C isabelle pilard () Vecteurs février / 62

14 somme de vecteurs On peut aussi penser à la règle du parallélogramme. E C u + v u v B A isabelle pilard () Vecteurs février / 62

15 Sommaire 1 Vecteurs Qu est-ce qu un vecteur du plan? Somme de vecteurs Vecteur nul - Opposé d un vecteur Produit d un vecteur par un nombre réel 2 Vecteurs colinéaires Définition Conséquences 3 Base du plan vectoriel 4 Vecteurs et repères du plan Repère Colinéarité et conséquences Équations de droites et colinéarité Repère orthonormal isabelle pilard () Vecteurs février / 62

16 Vecteur nul - Opposé d un vecteur Je pars de A, je vais en B et je retourne en A ; d après la relation de CHASLES : AB + BA = AA Que peut-on dire de ce vecteur AA? Quelle est sa norme? Quelle est sa direction? Quel est son sens? isabelle pilard () Vecteurs février / 62

17 On appelle ce vecteur de norme nulle le vecteur nul et on le note 0. Si on considère un vecteur u, on peut toujours trouver un vecteur de même direction, de même norme et de sens opposé : quand on l ajoute à u, on obtient le vecteur nul. Autrement dit, pour tout vecteur u, il existe un vecteur v tel que u + v = 0 isabelle pilard () Vecteurs février / 62

18 On l appelle le vecteur opposé de u et on le note u B A u N M u isabelle pilard () Vecteurs février / 62

19 Sommaire 1 Vecteurs Qu est-ce qu un vecteur du plan? Somme de vecteurs Vecteur nul - Opposé d un vecteur Produit d un vecteur par un nombre réel 2 Vecteurs colinéaires Définition Conséquences 3 Base du plan vectoriel 4 Vecteurs et repères du plan Repère Colinéarité et conséquences Équations de droites et colinéarité Repère orthonormal isabelle pilard () Vecteurs février / 62

20 produit d un vecteur par un nombre réel Soit u un vecteur non nul et k un nombre réel non nul. Alors on note k. u le vecteur ayant la même direction que u ; ayant le même sens que u si k > 0, le sens contraire sinon ; ayant pour norme k u si k > 0 et k u sinon. isabelle pilard () Vecteurs février / 62

21 2 u 3 u u 4 u 3 2 u 3 u isabelle pilard () Vecteurs février / 62

22 Sommaire 1 Vecteurs Qu est-ce qu un vecteur du plan? Somme de vecteurs Vecteur nul - Opposé d un vecteur Produit d un vecteur par un nombre réel 2 Vecteurs colinéaires Définition Conséquences 3 Base du plan vectoriel 4 Vecteurs et repères du plan Repère Colinéarité et conséquences Équations de droites et colinéarité Repère orthonormal isabelle pilard () Vecteurs février / 62

23 définition de vecteurs colinéaires A retenir pour k 0, u et k u ont la même direction. Réciproquement, si deux vecteurs non nuls u et v ont la même direction, alors il existe un réel k tel que v = k u. isabelle pilard () Vecteurs février / 62

24 définition de vecteurs colinéaires A retenir pour k 0, u et k u ont la même direction. Réciproquement, si deux vecteurs non nuls u et v ont la même direction, alors il existe un réel k tel que v = k u. Si deux vecteurs non nuls u et v ont la même direction et le même sens, alors le vecteur v u u a le même sens que v (car... a la même direction que v (car... a la même norme que v (car... par conséquent v = v u u isabelle pilard () Vecteurs février / 62

25 Definition On dit que deux vecteurs sont colinéaires si, et seulement si, ils ont la même direction. Le vecteur 0 est, par convention, colinéaire à tout vecteur. théorème Deux vecteurs non nuls u et v sont colinéaires si, et seulement si, il existe un réel k tel que v = k u isabelle pilard () Vecteurs février / 62

26 Sommaire 1 Vecteurs Qu est-ce qu un vecteur du plan? Somme de vecteurs Vecteur nul - Opposé d un vecteur Produit d un vecteur par un nombre réel 2 Vecteurs colinéaires Définition Conséquences 3 Base du plan vectoriel 4 Vecteurs et repères du plan Repère Colinéarité et conséquences Équations de droites et colinéarité Repère orthonormal isabelle pilard () Vecteurs février / 62

27 A retenir Montrer que deux vecteurs sont colinéaires sert à prouver que deux droites sont parallèles ou que trois points sont alignés. Deux vecteurs AB et CD sont colinéaires si et seulement si, les droites (AB) et (CD) sont parallèles. Deux vecteurs AB et AC sont colinéaires si et seulement si, les droites (AB) et (AC) sont parallèles. Or, a. Et donc Deux vecteurs AB et AC sont colinéaires si et seulement si, les points A, B et C sont alignés a. D après un des axiomes d Euclide qui est la base de la géométrie euclidienne : par deux points distincts du plan il passe une droite et une seule isabelle pilard () Vecteurs février / 62

28 attention! Vous ferez bien attention à parler de vecteurs colinéaires, les mots vecteurs et parallèles ne peuvent pas être associés! Deux droites peuvent être parallèles si elles ont tous leurs points ou aucun point en commun. On ne peut pas dire la même chose des vecteurs car les vecteurs...n ont pas de points! Un vecteur n est pas un ensemble de points comme les droites. isabelle pilard () Vecteurs février / 62

29 Qu est ce que le plan vectoriel? Disons que c est l ensemble des vecteurs du plan. Dans le plan, on peut repérer les points lorsque le plan est muni d un repère. Dans le plan vectoriel, on repère les vecteurs lorsque le plan est muni d une base. Definition Deux vecteurs forment une base du plan vectoriel si, et seulement si, ils NE sont PAS colinéaires. isabelle pilard () Vecteurs février / 62

30 Et on admettra le résultat primordial suivant : théorème Soit i et j deux vecteurs NON colinéaires : ils forment une base du plan vectoriel. Alors on peut exprimer n importe quel vecteur u sous la forme u = x i + y j avec x et y des réels. Les nombres x et y sont appelés les COORDONNÉES de u dans la BASE ( i, j) isabelle pilard () Vecteurs février / 62

31 Exemple : j i u D après la construction les coordonnés de u dans la base ( i; j ) sont (5; 2, 5) isabelle pilard () Vecteurs février / 62

32 Sommaire 1 Vecteurs Qu est-ce qu un vecteur du plan? Somme de vecteurs Vecteur nul - Opposé d un vecteur Produit d un vecteur par un nombre réel 2 Vecteurs colinéaires Définition Conséquences 3 Base du plan vectoriel 4 Vecteurs et repères du plan Repère Colinéarité et conséquences Équations de droites et colinéarité Repère orthonormal isabelle pilard () Vecteurs février / 62

33 Nous retiendrons qu il sera utile d exprimer chaque vecteur d un problème donné en fonction de deux vecteurs de base intelligemment choisis... Definition Soit u et v deux vecteurs NON colinéaires : ils forment une base du plan vectoriel. On peut exprimer n importe quel vecteur w sous la forme w = x u + y v avec x et y des réels. On dit que l on a écrit le vecteur w comme combinaison linéaire des vecteurs u et v. isabelle pilard () Vecteurs février / 62

34 Maintenant, pour repérer un point, on choisira une origine fixe et deux vecteurs de base. Au collège, on définit un repère à l aide de trois points non alignés Au lycée, on définit un repère à l aide d un point et d une base j O i isabelle pilard () Vecteurs février / 62

35 coordonnées d un point dans un repère Théorème Dire que le point M a pour coordonnées (x,y) dans le repère (O; i; j) signifie que OM = x i + y j On appelle x l abscisse de M et y son ordonnée isabelle pilard () Vecteurs février / 62

36 Coordonnées du vecteur AB Dans le plan muni d un repère (O, i, j), on donne deux points A et B de coordonnées respectives (x A,y A ) et (x B,y B ). A a pour coordonnées (x A,y A ), donc par définition OA = x A i + ya j De même, on obtient pour B OB = x B i + yb j isabelle pilard () Vecteurs février / 62

37 D après la relation de Chasles, AB = AO + OB = OB OA ; on en déduit : à retenir Le vecteur AB a pour coordonnées (x B x A ; y B y A ) isabelle pilard () Vecteurs février / 62

38 Combinaison linéaire de vecteurs Dans un repère (O, i, j), nous connaissons deux vecteurs et leurs coordonnées : exemple u ( ) 2 3 Quelles sont les coordonnées de 2 u w? w ( ) 9 4 isabelle pilard () Vecteurs février / 62

39 Combinaison linéaire de vecteurs Dans un repère (O, i, j), nous connaissons deux vecteurs et leurs coordonnées : exemple u ( ) 2 3 Quelles sont les coordonnées de 2 u w? u = 2 i + 3 j, donc 2 u = 4 i + 6 j w = 9 i + 4 j, donc w = 9 i 4 j w ( ) 9 4 isabelle pilard () Vecteurs février / 62

40 Combinaison linéaire de vecteurs Dans un repère (O, i, j), nous connaissons deux vecteurs et leurs coordonnées : exemple u ( ) 2 3 Quelles sont les coordonnées de 2 u w? u = 2 i + 3 j, donc 2 u = 4 i + 6 j w = 9 i + 4 j, donc w = 9 i 4 j Finalement 2 u w = 4 i + 6 j 9 i 4 j = 5 i + 2 j w ( ) 9 4 isabelle pilard () Vecteurs février / 62

41 Combinaison linéaire de vecteurs Dans un repère (O, i, j), nous connaissons deux vecteurs et leurs coordonnées : exemple u ( ) 2 3 Quelles sont les coordonnées de 2 u w? u = 2 i + 3 j, donc 2 u = 4 i + 6 j w = 9 i + 4 j, donc w = 9 i 4 j Finalement 2 u w = 4 i + 6 j 9 i 4 j = 5 i + 2 j On observe donc que, sur cet exemple, w ( ) 9 4 x 2 u w = 2x u x w y 2 u w = 2y u y w isabelle pilard () Vecteurs février / 62

42 Il reste à prouver que cela reste vrai pour n importe quel combinaison de vecteurs. isabelle pilard () Vecteurs février / 62

43 Il reste à prouver que cela reste vrai pour n importe quel combinaison de vecteurs. u ( x u y u ) w ( x w y w ) isabelle pilard () Vecteurs février / 62

44 Il reste à prouver que cela reste vrai pour n importe quel combinaison de vecteurs. u ( x u y u ) w ( x w y w ) Quelles sont les coordonnées du vecteur a u + b w, avec a et b des nombres réels fixés. isabelle pilard () Vecteurs février / 62

45 Il reste à prouver que cela reste vrai pour n importe quel combinaison de vecteurs. u ( x u y u ) w ( x w y w ) Quelles sont les coordonnées du vecteur a u + b w, avec a et b des nombres réels fixés. a u + b w = a ( x u i + y u j ) + b ( x w i + y w j ) isabelle pilard () Vecteurs février / 62

46 Il reste à prouver que cela reste vrai pour n importe quel combinaison de vecteurs. u ( x u y u ) w ( x w y w ) Quelles sont les coordonnées du vecteur a u + b w, avec a et b des nombres réels fixés. a u + b w = a ( x u i + y u j ) + b ( x w i + y w j ) = ax u i + ay u j + bx w i + by w j isabelle pilard () Vecteurs février / 62

47 Il reste à prouver que cela reste vrai pour n importe quel combinaison de vecteurs. u ( x u y u ) w ( x w y w ) Quelles sont les coordonnées du vecteur a u + b w, avec a et b des nombres réels fixés. a u + b w = a ( x u i + y u j ) + b ( x w i + y w j ) = ax u i + ay u j + bx w i + by w j = (ax u + bx w ) i +(ay u + by w ) j isabelle pilard () Vecteurs février / 62

48 théorème Le vecteur a u + b w a pour coordonnées (ax u + bx w,ay u + by w ) isabelle pilard () Vecteurs février / 62

49 Coordonnées du milieu d un segment Soit I le milieu d un segment [A ; B]. Supposons que nous connaissions les coordonnées de A et B. Comment en déduire les coordonnées de I? isabelle pilard () Vecteurs février / 62

50 Coordonnées du milieu d un segment Soit I le milieu d un segment [A ; B]. Supposons que nous connaissions les coordonnées de A et B. Comment en déduire les coordonnées de I? Qui dit coordonnées de I dans (O, i, j) dit coordonnées de OI dans la base ( i, j). isabelle pilard () Vecteurs février / 62

51 Coordonnées du milieu d un segment Soit I le milieu d un segment [A ; B]. Supposons que nous connaissions les coordonnées de A et B. Comment en déduire les coordonnées de I? Qui dit coordonnées de I dans (O, i, j) dit coordonnées de OI dans la base ( i, j). Il faudrait donc essayer de relier OI avec OA et OB... isabelle pilard () Vecteurs février / 62

52 Coordonnées du milieu d un segment Soit I le milieu d un segment [A ; B]. Supposons que nous connaissions les coordonnées de A et B. Comment en déduire les coordonnées de I? Qui dit coordonnées de I dans (O, i, j) dit coordonnées de OI dans la base ( i, j). Il faudrait donc essayer de relier OI avec OA et OB... Que connaissez-vous comme relation vectorielle entre I, A et B? isabelle pilard () Vecteurs février / 62

53 Par exemple AI = IB isabelle pilard () Vecteurs février / 62

54 Par exemple AI = IB Il nous manque O... Pensez à la relation de CHASLES... isabelle pilard () Vecteurs février / 62

55 Par exemple AI = IB Il nous manque O... Pensez à la relation de CHASLES... AO + OI = IO + OB isabelle pilard () Vecteurs février / 62

56 Par exemple AI = IB Il nous manque O... Pensez à la relation de CHASLES... AO + OI = IO + OB OI IO = AO + OB isabelle pilard () Vecteurs février / 62

57 Par exemple AI = IB Il nous manque O... Pensez à la relation de CHASLES... AO + OI = IO + OB OI IO = AO + OB OI + OI = OA + OB isabelle pilard () Vecteurs février / 62

58 Par exemple AI = IB Il nous manque O... Pensez à la relation de CHASLES... AO + OI = IO + OB OI IO = AO + OB OI + OI = OA + OB 2 OI = OA + OB isabelle pilard () Vecteurs février / 62

59 théorème Le milieu I de [A B] est caractérisé par chacune des relations vectorielles IA + IB = 1 1 O AI = AB BI = BA 2 2 OI = 1 ( OA ) + OB 2 ( xa + x B a pour coordonnées, y A + y ) B 2 2 isabelle pilard () Vecteurs février / 62

60 Coordonnées du centre de gravité d un triangle Soit ABC un triangle. On note A le milieu de [BC], B le milieu de [AC] et C le milieu de [AB]. Comme vous le savez, le centre de gravité G du triangle ABC est l intersection des médianes. ( On se place dans le repère A, AB, ) AC. isabelle pilard () Vecteurs février / 62

61 Coordonnées du centre de gravité d un triangle Soit ABC un triangle. On note A le milieu de [BC], B le milieu de [AC] et C le milieu de [AB]. Comme vous le savez, le centre de gravité G du triangle ABC est l intersection des médianes. ( On se place dans le repère A, AB, ) AC. Quelles sont les coordonnées de A, B, C, A, B et C? Déterminez des équations des droites (AA ) et (BB ). Déduisez-en les coordonnées de G. Calculez les coordonnées de AA et AG puis retrouvez une propriété vue en 3 ème. Déterminez les coordonnées du vecteur GA + GB + GC. isabelle pilard () Vecteurs février / 62

62 théorème Le centre de gravité G du triangle ABC est caractérisé par chacune des relations vectorielles AG = 1 AA GA + GB + GC = 0 3 MG = 1 ( ) MA + MB + MC où M est un point quelconque du plan. 3 ( xa + x B + x C a pour coordonnées, y A + y B + y ) C dans un repère 3 3 (O ; i, j ) du plan A est le milieu du segment [BC] isabelle pilard () Vecteurs février / 62

63 Sommaire 1 Vecteurs Qu est-ce qu un vecteur du plan? Somme de vecteurs Vecteur nul - Opposé d un vecteur Produit d un vecteur par un nombre réel 2 Vecteurs colinéaires Définition Conséquences 3 Base du plan vectoriel 4 Vecteurs et repères du plan Repère Colinéarité et conséquences Équations de droites et colinéarité Repère orthonormal isabelle pilard () Vecteurs février / 62

64 Rappelez-vous : ( ) ( x si deux vecteurs u et x ) u y y sont colinéaires et si u 0, alors il existe un réel k tel que... u = k u isabelle pilard () Vecteurs février / 62

65 Rappelez-vous : ( ) ( x si deux vecteurs u et x ) u y y sont colinéaires et si u 0, alors il existe un réel k tel que on a alors x = kx et y = ky... u = k u isabelle pilard () Vecteurs février / 62

66 Rappelez-vous : ( ) ( x si deux vecteurs u et x ) u y y sont colinéaires et si u 0, alors il existe un réel k tel que on a alors x = kx et y = ky Que pensez-vous alors de x y y x?... u = k u isabelle pilard () Vecteurs février / 62

67 théorème : critère de colinéarité ( ) ( x u et x ) u y y sont colinéaires si, et seulement si, xy x y = 0 Le nombre xy x y est appelé déterminant des vecteurs u et v notation : x x y y = xy x y. On peut écrire que u ( ) ( x et x ) u y y sont colinéaires si, et seulement si, x x y y = 0 isabelle pilard () Vecteurs février / 62

68 exercice : Est ce que 3 points sont alignés? Est-ce que les points A(2 ; 3), B(5 ; 7) et C( 6 ; 8) sont alignés? isabelle pilard () Vecteurs février / 62

69 exercice : Est ce que 3 points sont alignés? Est-ce que les points A(2 ; 3), B(5 ; 7) et C( 6 ; 8) sont alignés? Regardez AB et AC... isabelle pilard () Vecteurs février / 62

70 exercice : Est-ce que des droites sont parallèles? On donne A( 4 ; 1), B(4 ; 5), C(3 ; 2) et D(7 ; 1). Est-ce que les droites (AB) et (CD) sont parallèles? isabelle pilard () Vecteurs février / 62

71 Sommaire 1 Vecteurs Qu est-ce qu un vecteur du plan? Somme de vecteurs Vecteur nul - Opposé d un vecteur Produit d un vecteur par un nombre réel 2 Vecteurs colinéaires Définition Conséquences 3 Base du plan vectoriel 4 Vecteurs et repères du plan Repère Colinéarité et conséquences Équations de droites et colinéarité Repère orthonormal isabelle pilard () Vecteurs février / 62

72 équation de la droite (AB) Considérons deux points fixés A et B. Comment traduire vectoriellement qu un point M appartient à la droite (AB)? isabelle pilard () Vecteurs février / 62

73 équation de la droite (AB) Considérons deux points fixés A et B. Comment traduire vectoriellement qu un point M appartient à la droite (AB)? Que pensez-vous des vecteurs AM et AB? isabelle pilard () Vecteurs février / 62

74 équation de la droite (AB) Considérons deux points fixés A et B. Comment traduire vectoriellement qu un point M appartient à la droite (AB)? Que pensez-vous des vecteurs AM et AB? Ils sont colinéaires! Comment en déduire une équation de (AB), c est à dire une relation entre les ordonnées et les abscisses des points de (AB)? isabelle pilard () Vecteurs février / 62

75 équation de la droite (AB) Considérons deux points fixés A et B. Comment traduire vectoriellement qu un point M appartient à la droite (AB)? Que pensez-vous des vecteurs AM et AB? Ils sont colinéaires! Comment en déduire une équation de (AB), c est à dire une relation entre les ordonnées et les abscisses des points de (AB)? Exemple. isabelle pilard () Vecteurs février / 62

76 équation de la droite (AB) Prenons A(2 ; 3) et B( 1 ; 5). Un point M(x ; y) appartient à (AB) si, et seulement si,... isabelle pilard () Vecteurs février / 62

77 équation de la droite (AB) Prenons A(2 ; 3) et B( 1 ; 5). Un point M(x ; y) appartient à (AB) si, et seulement ( ) si,... x 2 AM et ( ) 3 AB sont colinéaires, c est à dire... y 3 2 isabelle pilard () Vecteurs février / 62

78 équation de la droite (AB) Prenons A(2 ; 3) et B( 1 ; 5). Un point M(x ; y) appartient à (AB) si, et seulement ( ) si,... x 2 AM et ( ) 3 AB sont colinéaires, c est à dire... si, et seulement si, y 3 2 2(x 2) ( 3)(y 3) = 0 isabelle pilard () Vecteurs février / 62

79 équation de la droite (AB) Prenons A(2 ; 3) et B( 1 ; 5). Un point M(x ; y) appartient à (AB) si, et seulement ( ) si,... x 2 AM et ( ) 3 AB sont colinéaires, c est à dire... si, et seulement si, y 3 2 2(x 2) ( 3)(y 3) = 0 ce qui donne, après calculs 2x + 3y 13 = 0. Un petit remaniement nous permet de retrouver l équation réduite... isabelle pilard () Vecteurs février / 62

80 équation de la droite (AB) Prenons A(2 ; 3) et B( 1 ; 5). Un point M(x ; y) appartient à (AB) si, et seulement ( ) si,... x 2 AM et ( ) 3 AB sont colinéaires, c est à dire... si, et seulement si, y 3 2 2(x 2) ( 3)(y 3) = 0 ce qui donne, après calculs 2x + 3y 13 = 0. Un petit remaniement nous permet de retrouver l équation réduite... y = 2 3 x isabelle pilard () Vecteurs février / 62

81 Vecteur directeur Le vecteur AB a pour direction celle de la droite (AB) : on dit que c est un vecteur directeur de la droite(ab). isabelle pilard () Vecteurs février / 62

82 Vecteur directeur Le vecteur AB a pour direction celle de la droite (AB) : on dit que c est un vecteur directeur de la droite(ab). Il existe un lien entre vecteur directeur et coefficient directeur... (lorsque le coefficient directeur existe). Lequel? isabelle pilard () Vecteurs février / 62

83 Détermination d une équation de droite Prenons A(x A ; y A ) et B(x B ; y B ). Un point M(x ; y) appartient à (AB) si, et seulement si,... isabelle pilard () Vecteurs février / 62

84 Détermination d une équation de droite Prenons A(x A ; y A ) et B(x B ; y B ). Un point M(x ; y) appartient à (AB) si, et seulement ( ) si,... x xa AM et ( ) xb x A AB sont colinéaires, c est à dire... y y A y B y A isabelle pilard () Vecteurs février / 62

85 Détermination d une équation de droite Prenons A(x A ; y A ) et B(x B ; y B ). Un point M(x ; y) appartient à (AB) si, et seulement ( ) si,... x xa AM et ( ) xb x A AB sont colinéaires, c est à dire... y y A y B y A... si, et seulement si, (y B y A )(x x A ) (x B x A )(y y A ) = 0 isabelle pilard () Vecteurs février / 62

86 Le plan est muni d un repère (O, i, j). à retenir : Une droite du plan a une équation du type ax +by +c = 0 où (a ; b) (0 ; 0) Le vecteur de coordonnées ( b ; a) est un vecteur directeur de la droite. Si b 0, alors la droite n est pas parallèle à l axe des ( ordonnées (axede repère (O; j)) et alors... le vecteur de coordonnées 1 ; a ) est un autre b vecteur directeur de la droite et la droite admet pour coefficient directeur m = a b La droite du plan passant par le point A(x A ; y A ) et de coefficient directeur m a pour équation réduite y = m(x x A ) + y A La droite du plan passant par le point A(x A ; y A ) et parallèle à l axe des ordonnées a pour équation réduite x = x A isabelle pilard () Vecteurs février / 62

87 Sommaire 1 Vecteurs Qu est-ce qu un vecteur du plan? Somme de vecteurs Vecteur nul - Opposé d un vecteur Produit d un vecteur par un nombre réel 2 Vecteurs colinéaires Définition Conséquences 3 Base du plan vectoriel 4 Vecteurs et repères du plan Repère Colinéarité et conséquences Équations de droites et colinéarité Repère orthonormal isabelle pilard () Vecteurs février / 62

88 Definition Un repère (O, i, j) est dit orthogonal lorsque les droites (O, i) et (O, j) sont perpendiculaires. isabelle pilard () Vecteurs février / 62

89 Definition Un repère (O, i, j) est dit orthogonal lorsque les droites (O, i) et (O, j) sont perpendiculaires. Un repère (O, i, j) est dit orthonormal lorsqu il est orthogonal et que les vecteurs i et j sont tous deux de norme 1. isabelle pilard () Vecteurs février / 62

90 Distance dans un Repère Orthonormé Observez cette figure B (y B y A ) j A (x B x A ) i isabelle pilard () Vecteurs février / 62

91 Distance dans un Repère Orthonormé Observez cette figure B (y B y A ) j A (x B x A ) i Pouvez-vous calculer la distance AB en fonction des coordonnées de A et de B? isabelle pilard () Vecteurs février / 62

92 Distance dans un Repère Orthonormé Effectuez la démonstration et précisez pourquoi ce calcul n est valable que dans un Repère Orthonormé isabelle pilard () Vecteurs février / 62

93 exercice : Montrer qu un quadrilatère est un rectangle Dans un repère orthonormé (O, i, j), on considère les quatre points A( 1 ; 3) B(3 ; 5) C(2 ; 3) D( 2 ; 5) Quelle est la nature du quadrilatère ABCD? isabelle pilard () Vecteurs février / 62

94 Équation de cercle Le plan est muni d un repère orthonormé (O, i, j). Les points A( 3 ; 4), B(1,8 ; 4,7) et C(1,4 ; 4,8) sont-ils sur le cercle C de centre O et de rayon 5? À quelle condition sur x et y un point M(x ; y) est-il sur C? isabelle pilard () Vecteurs février / 62

95 Équation de cercle Le plan est muni d un repère orthonormé (O, i, j). On considère les points A(x A ; y A ) et B(x B ; y B ) Calculer la distance AB et les coordonnées du milieu I de [AB] À quelle condition sur x et y, un point M(x ; y) est-il sur le cercle C de centre I et de rayon AB 2? Montrer que cette condition peut s écrire sous la forme (x x A )(x x B ) +(y y A )(y y B ) = 0 isabelle pilard () Vecteurs février / 62

96 Équation de cercle Le plan est muni d un repère orthonormé (O, i, j). à retenir : équations de cercle Un cercle a une équation du type (x a) 2 +(y b) 2 = R 2 où (a ; b) sont les coordonnées du centre du cercle et où R est le rayon du cercle. Le cercle de diamètre [AB] a pour équation (x x A )(x x B )+(y y A )(y y B ) = 0 isabelle pilard () Vecteurs février / 62

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