Bézout, n et e sont premiers entre eux. III)3)b) n = 369, e = 58, f = 70.

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1 Version 1.0 Avertissement. Ce qui suit est une tentative de correction (partielle) de la deuxième épreuve du CAPES de mathématiques J'ai rédigé ce document parce que cela m'amusait de le faire. Des erreurs plus ou moins graves doivent très probablement y gurer aussi, hélas. Désolé de la présentation qui laisse à désirer, je le sais bien, mais je ne suis pas un expert de LA T EX et mon objectif ici ne vise pas à faire un document irréprochable sur la forme. Merci de ne pas utiliser ce chier à des ns commerciales. Il a été produit pour le site 4 avril 2015 FdP I)1) Soit d un entier relatif non nul. Si divise a et b alors il existe a, b deux entiers relatifs tels que : a = da et b = db Donc on a : 1 = au + bv = da u + db v = d(a u + b v) Ainsi d divise 1 ce qui signie que d = 1 ou d = 1 D'où a et b sont premiers entre eux. I)2)a) a 2 + b 2 est un entier naturel non nul et il appartient à E (u = a et v = b) donc E N est non vide. On sait qu'une partie non vide de N a un plus petit élément unique au sens de la relation d'ordre. Donc n 0 existe. Pourquoi a 2 + b 2 est-il non nul? a 2 + b 2 = 0 est équivalent à b 2 = a 2 or a est non nul donc a 2 < 0 ce qui entraîne que b 2 est un nombre strictement négatif ce qui est absurde. I)2)b) On a n 0 > 0 entier, il existe q entier relatif et r entier naturel uniques tels que : a = n 0 q + r avec 0 r < n 0 On a donc : r = a n 0 q or n 0 appartient à E donc il existe u, v entiers relatifs tels que n 0 = ua + vb et ainsi : r = a (ua + vb)q = (1 qu)a vqb donc, par dénition de E, r appartient à E et c'est un entier naturel. Supposons que r est non nul. On a donc r appartient à E N et on sait que r < n 0. Or n 0 est le plus petit élément de E N, donc on en déduit que n 0 n'est 1

2 pas le plus petit élément de E N ce qui est absurde. Donc l'assertion supposée est fausse et ainsi r = 0 ce qui implique que n 0 divise a. Un raisonnement analogue permet de montrer que n 0 divise b. I)2)c) Dans les deux questions précédentes on a montré qu'il existait n 0 entier naturel et u, v entiers relatifs tels que au + bv = n 0 et que n 0 divisait a et b. Or a et b sont premiers entre eux donc n 0 = 1 et on a ainsi au + bv = 1 I)3) On a démontré le théorème suivant (dit de Bézout) : Soient a, b deux nombres relatifs non nuls. a) a et b sont premiers entre eux. b) Il existe u, v deux nombres relatifs tels que ua + vb = 1. a) et b) sont équivalents. II) a et b sont premiers entre eux donc, d'après le théorème précédent, il existe u, v deux entiers relatifs tels que : ua + vb = 1 ainsi c(ua + vb) = c, c'est à dire que acu + bcv = c (1) or a divise bc donc il existe d entier relatif tel que : bc = da et on remplace le nombre bc par da dans (1). Il vient acu + dav = c, c'est à dire que : a(cu + av) = c ce qui veut bien dire que a divise c. III)1)a) G a pour rang 6, le reste de 58 6 par 369 est 348 A a pour rang 0, le reste de 58 0 par 369 est 0 U a pour rang 20, le reste de par 369 est 53 S a pour rang 19, le reste de par 369 est 306 Donc le chirement de GAUSS est 348; 0; 53; 306; 306. III)1)b) 1) Dans votre feuille de calcul, écrire le nombre 0 dans la case située dans la colonne A et sur la ligne 1(case A1) Avec la souris seulement, faire apparaître tous les nombres de 1 à 25 à la suite du nombre 0 déjà écrit dans la première case de cette colonne. 2) sachant que la fonction CHAR() renvoie les lettres de A à Z lorsque son argument parcourt les nombres entiers de 65 à 90, écrire une formule dans la case B1 qui permet de faire apparaître, à l'aide de la souris seulement, les lettres de A à Z dans la colonne B. 3) Sachant que la fonction MOD(a; b) donne le reste dans la division euclidienne de l'entier naturel a par l'entier naturel b non nul, écrire une formule dans la case C1 qui permet de faire apparaître, à l'aide de la souris seulement, le reste du nombre dans une case de la colonne B mutiplié par 59 dans la division par 369 dans la case correspondante de la colonne C. 2

3 L'algorithme de chirement consiste à remplacer toutes les lettres d'un texte à chirer, tout écrit en lettres majuscules, sans ponctuation, sans espace et sans accent, par leur valeur correspondante dans la colonne C. Par exemple, la lettre C située dans la case B6 est codée par le nombre ) Chirer le mot CODE. 5) Pour pouvoir déchirer un message que doit-on vérier dans la colonne C? 6) Expliquer comment procéder pour déchirer le message 290; 232; 248; 327; 0; 364 et décoder le. III)2)a) On sait que n et e sont premiers entre eux et n 26 donc e est non nul et on peut appliquer le théorème de Bézout : Il existe u, v deux entiers relatifs tels que un + ve = 1 Ainsi 1 ve = un ce qui signie que ve 1 mod n. Donc on peut prendre pour f le reste, qui est un entier naturel, dans la division euclidienne de v par n (n 26). III)2)b) Remarquons que deux quelconques des entiers de l'ensemble [[0, 25]] ne sont pas dans la même classe d'équivalence modulo n. En eet, soient b > a deux éléments de cet ensemble on a 0 < b a 25 < n donc b a n'est pas divisible par n. Par ailleurs, on a y ex mod n donc fy fex mod n or fe 1 mod n donc x fy mod n, donc pour obtenir x qui est un entier de l'ensemble [[0, 25]] on calcule le reste dans la division euclidienne de fy par n. Nous sommes sûr que ce reste est bien la valeur initiale de x puisqu'on sait, grâce à la remarque ci-dessus, qu'il n'y a pas d'autre entier naturel de l'ensemble [[0, 25]] qui soit congru à ce reste. III)3)a) On a : n = ef 1 (cm + a)(dm + b) 1 = ( M )( M ) c(ab 1) + a d(ab 1) + b 1 n = ab 1 n = cd(ab 1)2 + bc(ab 1) + ad(ab 1) + ab 1 ab 1 n est un entier relatif. Or a, b, c, d sont supérieurs ou égaux à 3 donc : n = cd(ab 1) + bc + ad = 91 Donc n est bien un entier naturel supérieur ou égal à 26. Puisque n = ef 1 alors fe Mn = 1 et donc d'après le théorème de M Bézout, n et e sont premiers entre eux. III)3)b) n = 369, e = 58, f = 70. 3

4 III)3)c) Le reste dans la division euclidienne de par 369 est 5 qui est le rang de la lettre F. Le reste dans la division euclidienne de par 369 est 4 qui est le rang de la lettre E. Le reste dans la division euclidienne de par 369 est 17 qui est le rang de la lettre R. Le reste dans la division euclidienne de par 369 est 12 qui est le rang de la lettre M. Le reste dans la division euclidienne de 70 0 par 369 est 10 qui est le rang de la lettre A. Le reste dans la division euclidienne de par 369 est 19 qui est le rang de la lettre T. Le mot cherché est donc FERMAT. III)4)a) Remarquons que puisque r N+1 = 0, r 0 = n, n étant un entier naturel non nul, et que la suite nie (r k ) k [[0,N+1]] est strictement décroissante on a pour k [[0, N]], r k est un entier naturel non nul. Pour k [[1, N]] on a r k 1 et r k sont non nuls et PGCD(r k, r k+1 ) = PGCD(r k 1, r k ). En eet, soit k [[1, N]]. On a r k 1 = r k q k + r k+1 si d divise r k et r k+1 alors il existe α et β tels que r k = dα et r k+1 = dβ. Donc r k 1 = r k q k + r k+1 = d(αq k + β) donc d divise aussi r k 1. Ainsi l'ensemble des diviseurs communs à r k et à r k+1 est inclus dans celui des diviseurs communs à r k 1 et à r k. D'autre part, on a r k+1 = r k 1 r k q k Un raisonnement analogue à celui fait précédemment permet de montrer que lensemble des diviseurs communs à r k 1 et à r k est inclus dans celui des diviseurs communs à r k et à r k+1. Donc ces deux ensembles sont égaux et en particulier : PGCD(r k, r k+1 ) = PGCD(r k 1, r k ). Puisque r N+1 = 0 et r N est non nul alors PGCD(r N, r N+1 ) = r N. On a aussi r 0 = n, r 1 = e or nous avons vu que pour tout k [[1, N]], PGCD(r k, r k+1 ) = PGCD(r k 1, r k ). En outre, n et e sont premiers entre eux. Donc nous avons la succession nie d'égalités : 1 = PGCD(n, e) = PGCD(r 0, r 1 ) = PGCD(r 1, r 2 ) =... = PGCD(r N, r N+1 ) = r N. Ainsi r N = 1 III)4)b) Soient les suites nies (u k ) k [[0,N]] et (v k ) k [[0,N]] dénies par u 0 = v 1 = 1, u 1 = v 0 = 0 et pour k [[2, N]] on a u k+1 = u k 1 q k u k, v k+1 = v k 1 q k v k. 4

5 Vérions que ces deux suites conviennent : Soit k un entier de k [[0, N]]. Soit (P k ) la propriété : Pour tout l dans [[0, k]] on a nu l + ev l = r l nu 0 + ev 0 = n 1 + e 0 = n = r 0 donc (P 0 ) est vraie nu 1 + ev 1 = n 0 + e 1 = e = r 1 donc (P 1 ) est vraie Supposons que pour k [[0, N 1]] on a (P k ) est vraie. Montrons que (P k+1 ) est vraie. On sait que pour tout l [[1, N]] on a r l+1 = r l 1 r k q l donc pour tout l [[1, k]] on a r l+1 = nu l 1 + ev l 1 q k (nu l + ev l ) = n(u l 1 q k u l ) + e(v l 1 q l v l ) = nu l+1 + ev l+1 Donc (P k+1 ) est vraie. III)4)c) D'après la question précédente et sachant que r N = 1 on a 1 = nu N + ev N C'est à dire 1 ev N = nu N donc ev N 1 mod n. On peut prendre comme clef de déchirement le reste dans la division euclidienne de v N par n. III)4)d) On a saisi la formule C2-$B3*C3 III)4)e) On a déjà vu que mod 369 Ce qui signie que 369 divise On peut donc prendre v = 70 et u = = Ainsi, une clef de déchirement correspondant au couple de codage (369, 58) est 70. Ou bien, on complète le tableau fourni dans l'énoncé. r q u v Et on lit les valeurs de u et v qui sont situées sur la ligne où r = 1. On obtient u = 11 et v = 70. On peut donc prendre comme clef de déchirement le nombre 70 (qui est bien un entier naturel). III)4)f) Nous savons que le couple ( 11, 70) vérie l'équation 369u + 58v = 1 (3) On a donc 369(u + 11) + 58(v 70) = 0 qui est équivalent à : 369(u + 11) = 58(70 v) (4) donc 58 divise 369(u + 11) or 58 et 369 sont premiers entre eux ainsi, d'après le théorème de Gauss, 58 divise u

6 Il existe donc k entier relatif tel que u + 11 = 58k. On remplace u + 11 par 58k dans (4), il vient : 369k = 70 v Ainsi : u = 58k 11 v = 369k (58k 11) + 58( 369k + 70) = 369 ( 11) = 1 Donc les couples solutions de (3) sont les (58k 11, 369k + 70) avec k entier relatif. Puisque 58 v 1 mod 369, les clefs de déchirement sont tous les entiers relatifs v > k + 70 > 0 est équivalent à k < 70 or k est un entier donc les clefs de 369 déchirement sont tous les entiers k avec k entier relatif strictement négatif ou nul. 6

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