GEO-1532 Cartographie mathématique Chapitres 2 à 4

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1 Université de Montréal Département de géographie GEO-1532 Cartographie mathématique Chapitres 2 à 4 François Cavayas Professeur Hiver

2 La cartographie mathématique étudie les fondements mathématiques de la cartographie qui ont rapport aux projections de la surface de la Terre sur le plan de la carte. Elle se sert des résultats de la Géodésie (voir encadré ci-dessous) pour obtenir un système de référence permettant de localiser tout point sur la surface irrégulière et courbe de la Terre par une paire de coordonnées géographiques : la latitude et la longitude. Elle étudie donc les différentes projections cartographiques qui permettent de passer de ce système de référence à celui des coordonnées planes. La Terre n étant pas assimilable à un solide dont la surface est développable selon un plan (par ex. un cylindre ou un cône), la cartographie mathématique fournit les outils pour analyser et comprendre les déformations géométriques causées par les projections cartographiques. Cette compréhension est absolument nécessaire à tout projet de représentation cartographique de la réalité territoriale tel que nous le verrons plus loin dans nos notes. La géodésie est la discipline qui s occupe de la détermination, via l observation et la mesure, de la forme et des dimensions de la Terre (la figure de la Terre) ainsi que des systèmes de référence spatiale. Elle comprend notamment la modélisation géométrique de la Terre, l étude du champ de pesanteur proche de la surface terrestre ainsi que la mesure des variations temporelles de la «figure de la Terre». Notions examinées Forme et dimensions de la Terre - le géoïde - l ellipsoïde Le référence spatiale universelle : la latitude et la longitude Les datums horizontaux et les réseaux géodésiques Les datums verticaux et les réseaux de nivellement Les projections cartographiques Les projections cartographiques pour la cartographie à des petites échelles Les projections cartographiques pour la cartographie à des échelles moyennes et grandes (cartographie de référence) 2

3 2. La Terre et les systèmes de référence spatiale 2.1 Introduction La surface physique de la Terre est la limite entre les masses solides ou liquides et l'atmosphère (figure 2.1). Les fonds océaniques sont aussi à considérer car ils constituent la limite entre les masses terrestres solides et les masses liquides océaniques. Les océans présentent une surface relativement uniforme, mais la surface (ou topographie) de la croûte terrestre (et des fonds océaniques) montre des variations verticales importantes entre les montagnes et les vallées, ce qui rend impossible d approcher cette surface irrégulière par un modèle mathématique. La définition d une surface de référence où nous pouvons rapporter la position de tout point sur la surface terrestre et qui facilite les opérations de cartographie est donc nécessaire. En ce qui suit nous donnerons quelques détails de base sur les surfaces de référence utilisées par la géodésie ainsi que la façon de définir la position des lieux sur ces surfaces. Figure 2.1 : Surface physique de la Terre 3

4 2.2 Le géoïde et l ellipsoïde comme surfaces de référence La surface des océans (70% environ de la surface terrestre) offre la possibilité de définir une surface de référence car, à part d'être physiquement atteignable, nous pouvons considérer, moyennant quelques hypothèses, qu'elle fait partie d'une surface "horizontale" du champ de la pesanteur terrestre. Définissons brièvement ces termes. Chaque masse unitaire de la surface terrestre subit l'influence de deux forces: la force d'attraction (gravité) et la force centrifuge due à la rotation de la terre. La somme de ces deux forces s'appelle la pesanteur terrestre. Selon la position par rapport au centre de la masse terrestre, la pesanteur sera différente. Nous pouvons définir des surfaces continues ayant le même potentiel de pesanteur; nous les appelons surfaces équipotentielles du champ de pesanteur terrestre. En termes simples une surface équipotentielle est celle où l eau reste immobile. C'est pourquoi nous l'appelons une surface horizontale. La caractéristique marquante d'une telle surface est que la direction de la verticale à un point donné, matérialisée par la direction du fil à plomb, est perpendiculaire à la surface. Le niveau moyen de la mer (tenant compte des marrées et des courants) est une telle surface horizontale. En imaginant la surface moyenne de la mer se prolonger sous les continents nous obtenons une surface de référence complète pour l'ensemble de la Terre. Cette surface nous l'appelons le géoïde. Le géoïde est un modèle physique de la «figure de la Terre». Il est cette surface équipotentielle du champ de la pesanteur terrestre qui coïncide avec le niveau moyen des mers et qui se prolonge sous les continents. Comme toute surface équipotentielle, le géoïde possède la caractéristique marquante que la verticale à un lieu quelconque, matérialisée par la direction du fil à plomb, est perpendiculaire à cette surface. Cependant la distribution inégale des masses terrestres, la densité différente des matériaux qui composent la lithosphère et le manteau terrestres (figure 2.1) créent des anomalies locales de la surface du géoïde. Ces anomalies lui confèrent une grande complexité mathématique pour permettre de généraliser son usage en cartographie. C'est pourquoi nous cherchons une surface géométrique plus simple qui nous aide à opérer plus efficacement. Le solide qui approche le mieux le géoïde est une sphère légèrement aplatie aux pôles et renflée à l'équateur que l'on qualifie de sphéroïde oblat. Un tel solide peut être obtenu par la rotation d'une ellipse autour de son petit axe (figure 2.2). Nous parlons ainsi d'un ellipsoïde de révolution. Pour définir l'ellipsoïde nous donnons les dimensions du semi-axe majeur (a) et du semi-axe mineur (b) de l ellipse. En géodésie, par convention, l ellipsoïde terrestre est défini par le semi-axe majeur (a) et le coefficient d aplatissement (f) (figure 2.2). La dimension de l ellipsoïde est décrite par le rayon équatorial, le semi-axe majeur de l ellipse, tandis que la forme de l ellipsoïde, par l aplatissement. Ce dernier indique de combien l ellipsoïde diffère d une sphère parfaite de rayon égal au rayon équatorial. Grossièrement, le rayon équatorial de l ellipsoïde terrestre est de 6378 km tandis que son aplatissement est de 1/300 ce qui diffère peu d une sphère parfaite (aplatissement zéro). Cette différence devient importante lorsque nous voulons faire la cartographie à des échelles plus grandes que 1 : Par contre pour la cartographie à des petites échelles la différence entre ellipsoïde et sphère n est plus perceptible. La sphère comme modèle géométrique de la Terre sera introduite au chapitre 3 où il sera question des projections cartographiques. L ellipsoïde est un modèle géométrique de la «figure de la Terre». Un ellipsoïde terrestre peut être défini comme une approximation du géoïde à l échelle planétaire en choisissant des valeurs appropriées de son rayon polaire ainsi que de son aplatissement. 4

5 N b a a b a a = semi-grand axe b = semi-petit axe f = aplatissement = a b a (a) (b) Figure 2.2 : Définitions des paramètres de l ellipse (a) et ellipsoïde de référence créé par rotation de cette ellipse (b) La différence locale entre les deux surfaces de référence, géoïde et ellipsoïde, peut atteindre ±100 mètres, et en moyenne, elle est de l'ordre de ±30 mètres. Le signe positif indique un surplus de masse à un endroit précis (une «bosse» du géoïde) tandis que le signe négatif un déficit de masse (un «creux» du géoïde) (figure 2.3). Cet écart entre les deux surfaces est appelé l ondulation du géoïde. Ces ondulations du géoïde font que la normale au géoïde (verticale) et la normale à l ellipsoïde ne coïncident nécessairement pas. L angle entre ces deux directions est appelé la déviation de la verticale (figure 2.3). Comme nous le verrons plus loin, l ondulation du géoïde et la déviation de la verticale qui en découle sont des problèmes importants pour la géodésie lorsque vient le temps de matérialiser sur la surface des terres émergées un réseau des points géodésiques, l ossature d un système de référence spatiale. Nous verrons également que le géoïde constitue la référence pour la mesure des altitudes (ou des profondeurs) tandis que l ellipsoïde, la référence pour les mesures des coordonnées géographiques des lieux, la latitude et la longitude. L examen des systèmes des coordonnées se fera par la suite en distinguant le cas des terres émergées et celui des terres immergées, car ces systèmes dans la pratique ne sont pas tout à fait les mêmes. 5

6 Figure 2.3 : Différences entre les deux surfaces de référence utilisées en géodésie. 2.3 Le système de coordonnées : le cas des terres émergées Déjà au début de notre ère Ptolémée utilisait les termes latitude-longitude pour décrire l'emplacement d'un lieu dans le monde connu à cette époque. Latitudes et longitudes font partie du système de coordonnées défini sur la base de l ellipsoïde et sont appelées les coordonnées géographiques. La troisième coordonnée d un point quelconque est sa hauteur ellipsoïdale. Ces coordonnées sont définies dans la figure 2.4. la longitude (géodésique), λ: = angle dièdre entre deux plans méridiens dont l un est choisi comme origine, le plus souvent le méridien de Greenwich, les longitudes sont exprimées en degrés (minutes secondes) vers l ouest (négatives) ou vers l est (positives) et varient donc de 0 à 180 o. la latitude (géodésique) φ = angle que fait la normale à l ellipsoïde avec le plan équatorial contenant le grand axe de l ellipsoïde; les latitudes sont mesurées de l équateur vers le Pôle nord (positives) ou de l équateur vers le pôle sud (négatives) la hauteur ellipsoïdale h = la hauteur d un point suivant la normale à la surface de l ellipsoïde. La normale à l ellipsoïde ne passe pas nécessairement par le centre de la Terre. Figure 2.4 : Coordonnées ellipsoïdales d un point sur la surface de la Terre 6

7 Les points sur la surface de l ellipsoïde qui ont la même latitude (Nord ou Sud) se situent sur la circonférence d un cercle dont le plan est parallèle au plan équatorial, l équateur étant luimême un cercle de rayon (a). Tout point ayant la même longitude (Est ou Ouest) se trouve sur la circonférence d une demi ellipse, le méridien. Parallèles et méridiens se recoupent à angle droit et forment une grille orthogonale appelée, le graticule terrestre (Figure 2.5). Figure 2.5: Le graticule terrestre La latitude et la longitude sont les coordonnées d intérêt pour la cartographie. La hauteur ellipsoïdale n est qu une mesure nécessaire pour les opérations en géodésie. Ce qui nous intéresse en cartographie pour la représentation cartographique du relief topographique c est l altitude du terrain et non pas la hauteur ellipsoïdale. L altitude exprime la distance d un point, mesurée le long de la verticale, du géoïde. Les altitudes seules ont une signification physique importante pour l ensemble des domaines scientifiques où le relief topographique est un paramètre de base (ex. hydrologie, géomorphologie). En effet le mouvement de l eau se fait toujours d une haute altitude à une altitude plus basse. Par contre le paradoxe suivant peut être observé avec l eau s écoulant d une hauteur ellipsoïdale basse à une hauteur plus grande. Schématiquement, la situation se présente tel que montré par la figure 2.6. Un point quelconque sur la surface topographique est «projeté» sur la surface de l ellipsoïde selon la normale locale à cette surface et sa position définie selon sa latitude et sa longitude géodésiques (Figure 2.4). La distance le long de cette normale entre le point et l ellipsoïde est la hauteur ellipsoïdale (h). Le même point est «projeté» selon la verticale physique locale (direction indiquée par le fil à plomb) sur la surface du géoïde. La distance le long de cette verticale entre le géoïde et le point est appelée la hauteur orthométrique (H). Puisque le géoïde coïncide avec le niveau moyen des mers nous parlons aussi de l altitude 1 (orthométrique) du point. Nous pouvons exprimer avec une très bonne approximation la relation entre hauteur ellipsoïdale (h), hauteur orthométrique (H) et ondulation du géoïde (N) (figure 2.3) comme suit : h = H+N 1 Une altitude par définition est l élévation verticale d un point par rapport au niveau de la mer (Petit Robert, 1984). Une hauteur est la dimension dans le sens vertical, de la base au sommet. Une hauteur absolue peut être pris comme synonyme de l altitude (Petit Robert, 1984). Le terme élévation utilisé comme synonyme de hauteur est vieilli en français mais utilisé encore en anglais dans ce sens. 7

8 Verticale locale h Normale à l'ellipsoïde H N Surface Topographique Ellipsoïde Géoïde Figure 2.6 : Définition de la position d un point sur la surface topographique selon le géoïde et l ellipsoïde. Les difficultés de connaître à un point quelconque sur la surface topographique la localisation exacte des ces deux surfaces de référence ainsi que le manque des moyens de mesure directe fiables de sa position 2 individuelle dans un système de référence commun, ont été «contournées» en géodésie par l établissement de réseaux de points de contrôle géodésique (bornes, piliers, ) : un réseau planimétrique (ou réseau géodésique) et un réseau altimétrique (ou réseau de nivellement). Chaque type de réseau est en fait une hiérarchie de réseaux. À chaque niveau de l hiérarchie la position planimétrique ou altimétrique des points de contrôle est définie avec les techniques et l instrumentation assurant un niveau de précision uniforme. En haut de l hiérarchie nous retrouvons les points dont la position est définie selon la technique et l instrumentation assurant le plus haut niveau de précision (réseau du 1 er ordre). Un exemple d un tel réseau est montré à la figure 2.8. Partant de ces points, un réseau de précision inférieur d ordre 2 est par la suite établi, et ainsi de suite. Généralement au plus bas niveau de l hiérarchie nous retrouvons le réseau d ordre 4 qui couvre les milieux urbains. Tous ces réseaux d ordre inférieur permettent de densifier le réseau primaire et de rendre ainsi le contrôle géodésique partout accessible. En s appuyant sur ces réseaux de points, selon le milieu à cartographier et la précision requise, il est possible de définir la position de tout autre point dans le même système de référence que ce soit par des levés topométriques ou photogrammétriques. Pour définir la position absolue des points du réseau primaire planimétrique ou altimétrique il faut spécifier un datum horizontal ou vertical selon le cas. Un datum représente les conditions de base sur lesquelles repose le calcul des coordonnées géodésiques ou de l altitude. Pour le réseau géodésique, par exemple, la localisation de l origine du système de coordonnées, la taille et la forme de l ellipsoïde et sa relation avec le géoïde sont parmi les conditions de base. Pour le réseau altimétrique la matérialisation du niveau zéro pour la mesure des altitudes là où le géoïde peut être, approximativement, directement atteignable, les zones côtières marines, constitue la condition de base. Ces conditions de base seront examinées avec un peu plus de détail dans les paragraphes qui suivent Les datums horizontaux Avant l arrivée des satellites et d autres techniques de mesure à très longue portée, l établissement des réseaux géodésiques primaires était fondé sur des datums dits locaux. Les conditions de base étaient fixées de sorte que les mesures prises sur le terrain (angles, distances) puissent être réduites facilement sur la surface de l ellipsoïde et ainsi permettre 2 Jusqu à l arrivée du GPS 8

9 les calculs des coordonnées géographiques. Ceci en fait revenait à choisir un ellipsoïde dont les caractéristiques (semi grand axe et aplatissement) et la position réduisent la déviation de la verticale physique (autour de laquelle les mesures d angles se font) à travers des territoires relativement restreints. Souvent on partait d un point géodésique, dit point fondamental, où l on assumait que géoïde et ellipsoïde se touchaient et donc la déviation de la verticale était nulle. Pour une multitude de raisons plusieurs datums locaux coexistaient et continueront encore pour quelque temps à coexister à travers le monde. Les ellipsoïdes locaux utilisés ont donc des caractéristiques différentes et leur centre se trouve déplacé par rapport au centre des masses terrestres (inconnu à l époque) des quelques centaines de mètres. En Amérique du Nord, jusqu à tout récemment, le datum horizontal utilisé était officialisé en 1927, d où son sigle NAD27 (pour North American Datum de 1927). L ellipsoïde utilisé était celui de Clark (tableau 2.1). L avancement des connaissances sur le géoïde, la technologie d observation de la géodésie fondée de plus en plus massivement sur les satellites artificiels, la puissance des ordinateurs permettant d ajuster les coordonnées des réseaux géodésiques planétaires ont changé de fond à comble, la façon de faire. Des ellipsoïdes sont spécifiés avec leur centre très proche du centre des masses terrestres (ellipsoïdes géocentriques) dotés des caractéristiques physiques qui les font de vrais modèles du géoïde à l échelle planétaire. En Amérique du Nord, les coordonnées géographiques du réseau géodésique ont été calculées de nouveau en se servant d un tel ellipsoïde géocentrique, le GRS80 (Tableau 2.1). Le nouveau datum a été officialisé en 1983, d où son sigle NAD83 (pour North American Datum de 1983), rendant ainsi obsolète le NAD27. Un effort multinational de 10 ans a permis la mise en place de ce datum qui unifie les réseaux géodésiques du Canada, des USA, du Mexique, de l'amérique centrale, et des Caraïbes. La différence de localisation de l ellipsoïde de Clark et de l ellipsoïde GRS80 par rapport au centre des masses terrestres (figure 2.7) affecte les coordonnées géographiques assez pour causer des décalages des points de contrôle géodésique même de l'ordre de 150 m dans certains cas. Pour cette raison, comme nous le verrons dans le cas des cartes topographiques, nous devons s assurer dans quel datum on fait référence avant de commencer à les utiliser. Le NAD83 reflète l époque de transition entre le classique et le moderne. Les observations classiques, utilisant des angles et des distances pour déterminer, par trigonométrie, les coordonnées à la surface de la Terre, ont été contraintes, par une série d observations par satellite, au centre de l ellipsoïde GRS80. Depuis quelques années une nouvelle façon de faire a été introduite qui est en train de modifier radicalement l'estimation des coordonnées: le système de positionnement GPS (Global Positionning System). Cette méthode utilise les signaux émis par une constellation des satellites de l'armée américaine NAVSTAR qui orbitent à km au-dessus de la surface terrestre. Dépendant du type de récepteur des signaux satellites employé, du nombre des satellites "visibles" par le récepteur au moment de la prise de mesures, ainsi que de la technique employée (un ou deux récepteurs), des précisions de quelques mm des coordonnées horizontales d'un point peuvent être atteintes. Pour les calculs, l'armée américaine utilise l'ellipsoïde WRS84 (World Reference System) qui est similaire au GRS80 (tableau 2.1). L usage de plus en plus répandu du GPS a amené au réajustement du réseau planimétrique sans pour autant entraîné une modification du datum NAD83. Ainsi nous pouvons connaître les coordonnées des certains points géodésiques selon la version NAD83(1986) ou la version NAD83(SCRS98). Dans le premier cas 1986 indique l ajustement initial qui n incluait pas de mesures par GPS tandis que dans le deuxième cas SCRS98 indique que les coordonnées du point sont connues selon le réajustement de 1998 effectué sur la base des mesures GPS. Une illustration du réseau géodésique de très haute précision intégrant les mesures GPS au Québec est présentée à la figure

10 Actuellement des réseaux géodésiques planétaires existent dont les coordonnées sont connues avec une précision de quelques centimètres. Leurs coordonnées sont révisées périodiquement pour tenir compte des déplacements de la croûte terrestre avec le temps. Nous parlons du système le plus précis actuellement le International Terrestrial Reference Frame (ITRFyy, le yy indique l année de réalisation). Les coordonnées de quelques 300 points sont spécifiées à travers le monde dont certains au Canada (voir section 2.3.3). Datum, Système de référence North American Datum 1927 (NAD27) North American Datum 1983 (NAD83) Word Geodetic System 1984 (WGS84) Ellipsoïde Semi-axe majeur (Rayon équatorial) (m) Local Semi-axe mineur (Rayon polaire) (m) Aplatissement Clarke , ,8 1/294, Geodetic Reference System 1980 (GRS80) Géocentrique , ,3141 1/298, WGS , ,3142 1/298, Tableau 2.1 : Caractéristiques de quelques ellipsoïdes Figure 2.7 : Différence de position de l ellipsoïde de Clark et de l ellipsoïde géocentrique GRS80. 10

11 La position des points géodésiques (triangles rouges) est indiquée sur une image de fond, formée de l intégration d un MNA, qui illustre par couleurs le relief du Québec, et d une image du satellite RADARSAT-1 pour l accentuation du micro-relief. Réalisation de la Direction générale de l information géographique du ministère des Ressources naturelles du Québec. Figure 2.8 : Réseau géodésique de très haute précision (centimétrique) du Québec. (Gracieuseté du Ministère des Ressources, Québec) Les datums verticaux Le datum vertical est défini comme le niveau moyen de la mer. Ce niveau est estimé par des observations à l'aide des marégraphes à quelques stations côtières distribués en Amérique du Nord pendant une période de 19 ans environ. Partant d un repère proche de la station côtière un réseau de nivellement (précision de 1 er ordre) est établi vers l intérieur des Terres. Le plus souvent plusieurs stations marégraphiques sont utilisées disséminés à travers les zones côtières d un pays. Les observations sur l ensemble des points du réseau altimétrique sont traitées statistiquement (compensation) avec la contrainte qu à tous les points de départ le niveau moyen de l eau se trouve sur la même surface de zéro d altitude 3. Ce niveau zéro constitue un datum vertical. Puisque les surfaces équipotentielles du champ de la pesanteur terrestre ne sont pas parallèles, les hauteurs estimées par nivellement sur 3 Cette hypothèse ne se vérifie pas tout à fait : par exemple effets de la variation de la topographie du fond marin d une station marégraphique à l autre. 11

12 des longues distances ne sont pas des hauteurs orthométriques. Des corrections sont ainsi introduites tenant compte de l accélération de la pesanteur. Certaines corrections sont fondées sur des mesures gravimétriques lors du nivellement et d autres font appel à des modèles approximatifs du champ de la pesanteur terrestre. Le plus souvent un ellipsoïde géocentrique, comme le GRS80, est considéré comme un tel modèle. Les hauteurs sont appelées alors hauteurs orthométriques normales. Le datum en vigueur au Canada et au Québec, le Canadian Geodetic Vertical Datum, a été officialisé en 1928 (CGVD28). Les hauteurs sont des hauteurs orthométriques normales. Cinq stations marégraphiques, quatre aux côtes Est et deux aux côtes Ouest ont été utilisées. Un nouveau datum est en train de s implanter, déjà officialisé aux États Unis, le North American Vertical Datum de 1988 (NAVD88). Une seule station marégraphique est utilisée pour obtenir le niveau zéro du datum. Cette station se trouve proche de Rimouski (Pointe-au-Père). Des mesures gravimétriques sont introduites pour calculer des hauteurs orthométriques selon la correction proposée par Helmert (hauteurs orthométriques de Helmert). Il est à noter cependant que toutes ces hauteurs orthométriques présentent le même problème signalé précédemment : l eau coule d une hauteur orthométrique basse à une hauteur orthométrique plus grande. Cependant dans la pratique ce phénomène ne s observe que très rarement. L introduction du GPS avec la possibilité de connaître la hauteur ellipsoïdale offrirait une méthode d estimation des altitudes beaucoup moins coûteuse et plus pratique que le nivellement si nous étions en mesure de connaître l ondulation du géoïde tel que montré par à la section 2.3. Au Canada ceci est faisable car des modèles numériques gravimétriques du géoïde existent qui deviennent des plus en plus raffinés spatialement avec la densification des mesures gravimétriques et l intégration d autres mesures par satellite pour les zones côtières. Le service des levés géodésiques canadien offre actuellement la dernière version du modèle gravimétrique canadien du géoïde (CGC2000) avec un progiciel (GPS-H) qui convertit directement les hauteurs ellipsoïdales en hauteurs orthométriques compatibles avec le datum CGV28. Les hauteurs orthométriques sont déterminées à partir des mesures GPS avec une exactitude qui en deçà du décimètre Un exemple Pour conclure ce rappel sur les datums des terres émergées nous présentons un exemple instructif qui illustre bien l état actuel des choses et les capacités que nous offre la géodésie accompagnée par des observations GPS avec des systèmes de référence de plus en plus harmonisés. L exemple porte sur les résultats d une campagne de mesures du service géologique du Canada visant la définition de la hauteur du plus haut sommet canadien, le Mont Logan, en utilisant la technologie GPS, les réseaux géodésiques et altimétriques existants ainsi que des modèles du géoïde. Le tableau 2.2 présente les résultats de cette campagne de mesures. La première partie du tableau montre les coordonnées ellipsoïdales estimées de ce sommet en se basant sur les coordonnées des points géodésiques définies selon le datum NAD83 (CSRS98) et selon le système de référence ITFR97. Les coordonnées ellipsoïdales pour la même station sont inévitablement différentes. Cependant cette différence est en deçà du dixième de la seconde autant en latitude qu en longitude, ainsi que d une vingtaine de décimètres pour ce qui est de la hauteur ellipsoïdale. Cette hauteur est utilisée par la suite avec différents modèles du géoïde pour définir l altitude orthométrique du sommet selon la relation mentionné précédemment. Dans un premier temps les hauteurs orthométriques des points du réseau altimétrique présents dans cette région ont été introduites dans les calculs. Les deux datums verticaux CGV28 et NAVD88 ont été utilisés. Dans un deuxième temps seuls les modèles du géoïde ont été employés avec les observations GPS. Nous pouvons constater alors que même dans une région 12

13 complexe de très haute montagne nous atteignons des différences dans la hauteur du sommet qui sont en deçà d une dizaine de mètres toute méthode d estimation confondue. La hauteur du Mont Logan, Territoire du Yukon Pour la commémoration du 150ième anniversaire de la Commission géologique du Canada, une expédition a été organisée en 1992 afin de mesurer la hauteur du plus haut sommet canadien, le Mont Logan, en utilisant la technologie GPS. La hauteur orthométrique (H) est déterminée par la hauteur ellipsoïdale (h), mesurée par GPS, et l'ondulation du géoïde (N), obtenue à partir d'un modèle gravimétrique. Le lien aux réseaux verticaux (CGD28 et NAVD88) est assuré par l'occupation de 26 repères altimétriques de premier ordre. 1. Les coordonnées géodésiques du Mont Logan Station Système de Référence Latitude (DMS) Longitude (DMS) Hauteur Ellipsoïdale (m) Écart-type de H (m) NAD83(SCRS98) N , W , ,3718 0, ITRF97 N , W , ,5920 0, La hauteur du Mont Logan au-dessus du niveau moyen des mers (NMM) Datum vertical Modèle du Note géoïde CGVD28 NAVD88 GSD91 GSD95 OSU91A GSD91 GSD ,4 ± 3 mètres ( ± 41 cm) 5956,7 ± 3 mètres ( ± 7 cm ) 5960,4 ± 3 mètres (± 62 cm) 5961,2 ± 3 mètres (± 41 cm) 5958,5 ± 3 mètres (± 6 cm) 3. La hauteur du Mont Logan au-dessus du géoïde Modèle du géoïde GSD95 CGG ,4 ± 3 mètres 5955,2 ± 3 mètres L'écart-type entre parenthèses est calculé à partir des différences (h - H - N) aux 26 repères altimétriques de premier ordre et ne représente pas la précision de la hauteur du Mont Logan. La précision de la hauteur du Mt Logan est estimée à ± 3 mètres. Tableau 2.2: Estimation de la hauteur du Mont Logan (Source: Véronneau, 1992). 2.4 Le système de coordonnées : le cas des terres immergées Pour la position horizontale sur la surface des océans ou sur les fonds océaniques le même système de référence que pour les terres émergées est utilisé. Le niveau zéro pour la mesure de la profondeur et la hauteur de certains éléments émergés n est cependant pas le même que celui utilisé pour les terres émergées. Ici, le niveau zéro est habituellement fixé par le niveau de la Basse mer inférieure, grande marée. D autres niveaux zéro peuvent cependant être utilisés selon les conditions du milieu étudié (figure 2.9). Concernant les eaux continentales, d autres datums sont définis. Au Canada et aux Etats- Unis un tel datum est le International Great Lakes Datum (IGLD) employé pour spécifier les hauteurs autour des rives du Saint-Laurent et des Grands lacs. Le datum vertical est le même que dans le NAVD88 mais les hauteurs sont des hauteurs dites dynamiques. 13

14 Datum vertical pour les terres émergées (approx. NME) Étendue des grandes marées Étendue des marées moyennes Zéro des sondes Zéro des cartes Sigles (pour les définitions voir SHCan 98) PMSGM = Pleine mer supérieure, grande marée PMSMM = Pleine mer supérieure, marée moyenne NME = Niveau moyen de l eau BMIMM = Basse mer inférieure, marée moyenne BMIGM = Basse mer inférieure, grande marée Figure 2.9 : Différents datums tidaux en comparaison au datum utilisé pour les terres émergées (niveau moyen de la mer) 14

15 QUESTIONS ET EXERCICES Datums géodésiques et coordonnées géographiques 1. Géodésie et cartographie mathématique sont des termes synonymes (vrai ou faux) 2. Qu est-ce qu un datum géodésique? o Le point d intersection du méridien de Greenwich et de l équateur o Les coordonnées géographiques qui définissent la position d'un point où la déviation de la verticale est supposée nulle. o La série de paramètres qui définissent la forme et les dimensions de la terre, l origine du système de référence spatiale ainsi que le réseau des points géodésiques 3. Lequel (s) des datums est géocentrique? o NAD 1927 o NAD 1983 o Un tel datum n existe pas o Aucune de ces réponses 4. Lequel(s) des ellipsoïdes suivants approche le plus le géoïde à une échelle planétaire? o Clark 1886 o GRS80 o WGS 84 o Aucune des ces réponses 5. La Terre n'est pas une sphère parfaite mais elle est plutôt un sphéroïde. Nous pouvons approcher sa forme par celle d'un ellipsoïde de révolution avec un aplatissement, f, d'environ 1/300. L'ellipsoïde utilisé pour la cartographie en Amérique du Nord est le GRS80 avec un rayon équatorial, a = 6378,14km et un rayon polaire b = 6356,75km. A. Calculer en millimètres les longueurs du méridien de référence et de l'équateur à l'échelle 1: en supposant que la Terre est une sphère (voir annexe) avec un rayon égal au rayon moyen de courbure de la terre soit d'environ 6371km (91 mm, 182 mm) B. Faites de même en supposant que la forme de la terre est donnée par l'ellipsoïde GRS80. Dans ce cas l'équateur demeure la circonférence d'un cercle, mais les méridiens sont des demi ellipses. Le calcul d'un arc d'ellipse n'est pas aussi facile que celui d'un arc de cercle (courbure variable vs courbure constante). Pour l'arc du méridien sur l'ellipsoïde terrestre nous pouvons utiliser la formule approximative suivante: 2 M = a* (1- e )* M 0* π avec e 2 = (a 2 -b 2 )/ a 2 = 1/150 et M 0 = 1 + ¾ *e 2 C. Est-ce que les différences entre les longueurs calculées avec une sphère (1) et avec un ellipsoïde (2) sont perceptibles en supposant une résolution graphique de 0,25 mm. D. Quelqu'un nous demande de préparer une carte murale pour le département avec cette projection. La surface disponible pour le dessin est de 1m de hauteur et de 2m de largeur et la résolution graphique est de 0,25mm. Est-ce que les différences sont perceptibles à cette échelle? 6. Quelles sont les coordonnées géographiques des points A, B, C, D indiqués ci-dessous A B Méridien primaire E C Équateur D 15

16 3. La cartographie à des petites échelles Pour la confection des planisphères ou mappemondes (cartes de l'ensemble de la surface terrestre), des cartes des continents ou des surfaces étendues que l'on trouve habituellement dans les atlas géographiques, la Terre est assimilée à une sphère. Son rayon est fixé à 6371 km ce qui représente le rayon d une sphère d une masse équivalente à celle de la Terre. Le modèle sphérique est tout à fait adéquat pour la cartographie à ces échelles (voir «Questions et problèmes» chapitre 2, no. 5). Dans ce chapitre nous allons utiliser la sphère pour introduire les projections cartographiques. L annexe à la fin de ce chapitre présente un rappel des notions mathématiques introduites ici. 3.1 Les projections cartographiques : définitions Nous appelons projection cartographique toute représentation d une partie ou de l ensemble de la Terre sur le plan de la carte. Cette représentation doit permettre le transfert de chaque point de la surface terrestre sur le plan de la carte d'une façon biunivoque. En d'autres termes, chaque point localisé par ses coordonnées géographiques (φ,λ) doit avoir une et seulement une image sur le plan de la carte; cette image étant définie par la paire des coordonnées planes (x,y) (figure 3.1). Également chaque point (x,y) doit avoir son prototype unique sur la surface de la terre qui est définie par la paire de coordonnées (φ,λ). Toute projection cartographique conserve cette relation prototype-image et image-prototype partout à travers la carte sauf dans les bordures. En effet sur certaines projections les pôles (points) sont représentés par des lignes et pour l ensemble de projections soit un méridien soit un parallèle est représenté à deux positions différentes. À l exception donc des bordures nous pouvons décrire mathématiquement une projection et son inverse par les relations suivantes: x = f (φ,λ) y = g (φ,λ) φ = f -1 (x,y).. λ = g -1 (x,y) où f et g sont des fonctions permettant de faire le passage des coordonnées géographiques aux coordonnées planes et f -1 et g -1 sont les fonctions de la transformation inverse. 16

17 Figure 3.1: Principe d'une projection cartographique Nous pouvons concevoir les projections cartographiques comme une opération à deux étapes (figure 3.2). La première étape est la réduction de la sphère terrestre à une taille appropriée pour la cartographie. La deuxième étape est l'application d'une projection. Avant de passer à la description des projections cartographiques quelques explications sont de mise concernant les figures 3.1 et 3.2. Figure 3.2: Les étapes de projection cartographique 17

18 3.1.1 Notions préliminaires Quelques définitions utiles concernant la sphère Le graticule terrestre définie sur la sphère est similaire à celui défini précédemment avec l ellipsoïde. La seule différence est que les méridiens ne sont pas des demi ellipses mais des demi cercles et la normale à la sphère passe toujours par son centre. Nous aurons donc les définitions suivantes comparativement à l ellipsoïde : - La ligne des pôles est cette ligne imaginaire qui relie les deux pôles géographiques de la Terre (Nord et Sud). Contrairement à l ellipsoïde, cette ligne représente le diamètre de la sphère et elle est donc égale en longueur du diamètre équatorial. - Le plan perpendiculaire à la ligne des pôles qui contient le centre de la sphère est appelé le plan équatorial et il sépare la terre en deux hémisphères: l'hémisphère Nord et l'hémisphère Sud. La circonférence d'un cercle imaginaire formé par l'intersection du plan équatorial avec la surface de la sphère est l'équateur. Dans le cas de l ellipsoïde l équateur est également un cercle. - Tout autre plan qui contient le centre de la terre forme un cercle imaginaire qui est appelé grand cercle. Comme le plan équatorial, tout plan de grand cercle sépare la terre en deux hémisphères (figure 3.3). Sur l ellipsoïde tout plan qui contient le centre de la terre (à l exception de l équateur) forme une ellipse. - Les plans qui contiennent la ligne des pôles sont appelés les plans méridionaux. Chaque moitié de la circonférence du grand cercle formé par un plan méridional, d'un pôle à l'autre, est appelée méridien. Ainsi sur la sphère, la longueur d'un méridien est la moitié de la longueur de l'équateur. Tel que mentionné, un méridien sur l ellipsoïde est une demi ellipse. - Nous pouvons également définir des cercles imaginaires en employant un plan quelconque qui ne passe pas par le centre de la terre (figure 3.3). Nous parlons alors des petits cercles. Les circonférences des petits cercles formés à l'aide des plans parallèles au plan équatorial de la terre sont les parallèles. Sur l ellipsoïde tout plan qui ne contient pas le centre de la terre définit des ellipses à l exception des parallèles qui sont des cercles. - Les parallèles et les méridiens forment le graticule terrestre défini sur la sphère (figure 3.4a). - Comme dans le cas de l ellipsoïde, la latitude d'un lieu, symbolisée par la lettre grecque φ (phi), est un angle qui nous indique à quel parallèle se situe ce lieu. Contrairement à l ellipsoïde, la latitude est toujours mesurée à partir du centre de la Terre (Figure 3.4b vs Figure 2.3). Cet angle correspond à l'arc du méridien qui passe par ce lieu, compris entre l'équateur et le lieu considéré. L'équateur est pris comme la référence. Ainsi φ peut varier entre 0 0 (latitude de l'équateur) et 90 0 (latitude des pôles). Les latitudes Sud sont considérées négatives. Nous pouvons utiliser aussi les lettres N et S pour indiquer l'hémisphère, nord ou sud, de l'emplacement en question (p.ex. latitudes: ou 30 0 N; ou 25 0 S). - La longitude d'un emplacement quelconque, symbolisée par la lettre grecque λ (lambda), est définie de la même manière que dans le cas de l ellipsoïde. C est un angle qui nous indique à quel méridien se situe cet emplacement (figure 3.4b). Puisque dans le cas des méridiens il n'y en a pas un qui a une propriété aussi caractéristique que l'équateur, nous utilisons aujourd'hui, par convention, comme méridien de référence celui qui passe par l'observatoire de Greenwich en Angleterre. Ainsi la longitude est l'angle qui est formé par le plan du méridien de Greenwich et le plan du méridien qui passe par l'emplacement en question. Les longitudes Ouest sont considérées négatives tandis que les longitudes Est sont considérées positives. Ainsi la longitude varie de 0 0 à pour les emplacements à l'ouest du méridien de référence et de 0 0 à pour ceux à l'est de ce méridien. Nous 18

19 utilisons aussi les lettres E et W pour indiquer de quel côté du méridien on se place, est ou ouest. Figure 3.3: Résultats de l intersection d une sphère par un plan : grands cercles et petits cercles (a) (b) Figure 3.4: (a) Le graticule terrestre ; (b) Coordonnées géographiques définies sur la sphère (latitude, longitude; pour les coordonnées géographiques définies sur l'ellipsoïde voir figure 2.3) 19

20 Certaines relations entre l'équateur et les parallèles sur la sphère qui vont nous servir plus loin sont expliquées à la figure 3.5. Pour définir l'arc d'un cercle quelconque (petit ou grand) nous utilisons la relation suivante: Arc d'un cercle = angle (radians) * rayon du cercle. (Voir annexe pour la définition des mesures angulaires) A R R r φ 90 0 χ B R O Relations parallèles - équateur φ= latitude χ= co-latitude 1) rayons: r < R Triangle rectangle OAB r = R sin χ= R sin (90 -φ) = R cos φ 2) Circonférences équateur: 2 π R parallèle : 2 π r = 2 π R cos ϕ donc, longueur d'un parallèle plus petite que celle de l'équateur d'un facteur cos ϕ π = 3,1415 Figure 3.5: Quelques relations utiles pour l étude des projections cartographiques 20

21 Échelle nominale et facteur échelle L'échelle est le rapport entre la longueur d'une ligne mesurée sur une carte et sa longueur mesurée sur la surface de la sphère. Nous parlons alors d'une échelle linéaire. Nous pouvons également définir une échelle surfacique en comparant la superficie d'un objet sur la carte à celle du même objet sur la surface de la sphère. L'échelle nominale (ou principale ou de référence) exprime le facteur de réduction des longueurs lors de la première étape, tel qu illustré à la figure 3.2. L'échelle nominale peut être exprimée par le rapport entre le rayon de la Terre et le rayon de la Terre réduite. Un exemple: une échelle nominale de 1 : signifie que le rayon de la sphère réduite est de de fois plus petit que celui de la Terre. Donc le rayon de la sphère réduite est : m / ou 0,32 m ou 32 cm. Le choix d'une échelle nominale se fait en fonction de l étendue du territoire à représenter sur la carte ainsi que de la surface disponible pour le dessin de la carte finale. Un exemple: nous voulons représenter l'ensemble de la Terre sur une carte à une échelle nominale de 1 : La projection cartographique employée permet de représenter l'équateur par une droite de dimension égale à celle de l'équateur sur la sphère réduite et les méridiens comme des droites perpendiculaires à la droite représentant l'équateur et dont la longueur est la même que sur la surface de la sphère réduite. Quelle sera la taille de la carte? Solution: à l'échelle nominale demandée le rayon de la sphère réduite (R') et de 32 cm (exemple précédent). On connaît également que la longueur de l'équateur de la sphère réduite est de 2πR'. Ainsi la surface de dessin doit avoir une largeur de: 2π *32 cm = 201 cm ou 2 m environ! Puisqu un méridien est la moitié de la circonférence d'un grand cercle et donc la moitié de la longueur de l'équateur, la hauteur de la carte doit être de 1 m environ. Comme nous le verrons un peu plus loin, toute projection cartographique provoque des déformations qui se manifestent par une variation de l'échelle nominale à travers le plan de la carte. Pour quantifier ces déformations nous employons un rapport entre l'échelle sur le plan de la carte à un endroit quelconque et dans une direction donnée et l'échelle nominale. Ce rapport est appelé le facteur échelle (FE). Un FE égal à 1 signifie l'absence de déformation des longueurs sur la carte à cet endroit précis et suivant cette direction précise. Si par contre le FE est inférieur à 1 ou supérieur à 1 nous pouvons comprendre que la projection cartographique a déformé les longueurs. Dans le cas d'un FE inférieur à 1, il y a eu rétrécissement, et dans le cas d'un FE supérieur à 1, il y a eu étirement des longueurs. La (les) direction(s) où le FE demeure égal à 1, est (sont) appelée(s) direction(s) de distorsion zéro. Pour les projections à petite échelle où les variations du FE sont importantes à travers la carte, nous indiquons l'échelle nominale, dans la marge de la carte ou dans la légende, en spécifiant l'endroit où cette échelle est maintenue, par exemple: Échelle nominale 1 : à l'équateur. Nous définissons également un FE pour les superficies. Nous parlons alors d'un FE surfacique. Ainsi un FE surfacique égal à 1 signifie que la projection cartographique préserve les superficies même si les longueurs à l'endroit examiné peuvent être déformées. De la même manière que pour le FE linéaire, un FE surfacique inférieur à 1 signifie le rétrécissement des superficies, tandis qu'un FE surfacique supérieur à 1 signifie leur exagération. 21

22 Les systèmes de coordonnées planes Deux systèmes de coordonnées sont utilisés pour définir la localisation d'un point sur le plan de la carte: les coordonnées cartésiennes et les coordonnées polaires (figure 3.6). coordonnées polaires coordonnées cartésiennes Figure 3.6: Systèmes de coordonnées planes Les coordonnées cartésiennes, symbolisées par la paire (x,y), expriment la position d'un point à l'aide de deux distances par rapport à un point d'origine et suivant deux axes perpendiculaires. En cartographie les axes des x, ou abscisse et des y, ou ordonnée (figure 3.6), sont souvent orientés dans les directions respectivement ouest-est et sud-nord. Les valeurs des x et des y peuvent être positives ou négatives. La distance entre deux points A (x A,y A ) et B(x B,y B ) est donnée par la relation bien connue: D = (x A - x B ) Les coordonnées polaires, représentées souvent par les lettres grecques rhô (ρ) et thêta (θ), expriment la position d'un point par une distance ρ de l'origine, selon une direction formant un angle θ avec un axe de référence arbitrairement choisi. Les angles thêta sont mesurés dans le sens antihoraire. En cartographie, ces coordonnées sont employées lorsque nous voulons décrire mathématiquement des projections où les parallèles sont représentés par des cercles concentriques (p.ex. projections azimutales, voir plus loin). Comme nous pouvons le constater par la figure 3.6, si les deux systèmes ont la même origine et l'axe des x coïncide avec l'axe de référence pour les coordonnées polaires, il est facile de passer d'un système de coordonnées à l'autre car: 2 + (y A - y B ) 2 ρ p 2 = x p 2 + y p 2 et θ p = tan -1 (y p /x p ) 22

23 3.2 Un aperçu des projections Il existe actuellement quelques 400 projections différentes 4. Ce grand nombre peut s'expliquer par le fait qu'aucune projection cartographique ne préserve toutes les propriétés géométriques telles que définies sur la surface courbe de la sphère (distances, directions, formes d'objets, aires). La sphère n'est pas une surface développable selon un plan, ce qui cause nécessairement des déformations lors d'une projection cartographique. Certains parmi les inventeurs des ces différentes projections ont proposé des solutions en privilégiant la préservation d une propriété en particulier au détriment des autres. D autres ont mis l accent sur la réduction des déformations dans leur ensemble. Il est impossible, cependant, de trouver un critère unique pour séparer les projections en catégories ce qui faciliterait de beaucoup leur étude. Nous les aborderons selon : a) la technique employée et la forme du graticule (méridiens et parallèles) de la carte résultante et b) la propriété de la sphère préservée après projection Les techniques de projection La figure 3.7 illustre les trois techniques de projection dans le cas de la représentation de l ensemble de la Terre : projections continues, projections interrompues et projections polyédriques. Certains détails sur ces techniques sont présentés par la suite Projection continue Projection interrompue Projection polyédrique Figure 3.7 : Différentes techniques de projection Les projections continues Les projections continues peuvent être distinguées en : - projections géométriques - projections géométriques analytiques ou analytiques Les projections géométriques Une projection peut être construite d'une façon géométrique (sens strict du terme projection). Dans ce cas nous pouvons la figurer comme une opération à deux étapes (figure 3.8). La sphère n étant pas une surface développable selon un plan, dans un premier temps elle est projetée sur une telle surface développable (cylindre, cône) laquelle est par la suite développée selon un plan. Bien sûr une projection peut se faire directement sur le plan de la carte. Deux types de projections géométriques existent: la projection centrale et la projection parallèle, tel qu'illustré à la figure 3.9, dans le cas d une projection directe sur le plan de la carte ou sur un cylindre. 4 Voir, entre autres, Paul B. Anderson «A Gallery of Map Projections» URL : ; dernière visite décembre

24 Figure 3.8 : Étapes d'une projection cartographique dans le sens strict du terme projection Projection centrale Projection parallèle Figure 3.9 : Types de projection dans le sens stricte géométrique du terme projection. Selon la surface développable utilisée nous définissons ainsi trois types de projection : - planes (ou azimutales ou zénithales) - cylindriques - coniques. Il est à noter que les projections géométriques coniques sont rares. La forme du graticule terrestre et les longueurs de méridien et des parallèles varient selon : a) le type de la surface développable; b) le type de projection; c) l aspect de la surface développable ainsi que d) les zones de contact entre la surface développable et la sphère. Le tableau

25 définit les divers aspects d une projection ainsi que les zones de contact. Les illustrations incluses dans ce tableau montrent les formes du graticule projeté sur le plan de la carte. La différence entre une projection tangente et une autre sécante, tout autre paramètre maintenu constant, se manifeste sur les longueurs des parallèles et/ou des méridiens (figure 3.10) ainsi que sur les variations du facteur échelle à travers le plan de la carte comme nous le verrons plus loin. Surface développable Aspect Normal : le plan est perpendiculaire à l'axe de la terre Zone de contact Type de projection - pôle (Nord ou Sud) Tangente - parallèle quelconque Sécante Illustration (cas tangent) Plan Transversal : le plan est parallèle à l'axe de la terre - un point à l équateur Tangente - petit cercle quelconque Sécante Cylindre Cône Oblique : le plan forme un angle quelconque avec l'axe de rotation de la terre Normal : son axe de symétrie coïncide avec l'axe de rotation de la terre Transversal : son axe de symétrie est perpendiculaire à l'axe de rotation de la terre Oblique : son axe de symétrie forme un angle quelconque avec l'axe de rotation de la terre Normal : son axe de symétrie coïncide avec l'axe de rotation de la terre Transversal : son axe de symétrie est perpendiculaire à l'axe de rotation de la terre - un point quelconque Tangente - petit cercle quelconque Sécante - équateur Tangente - deux parallèles symétriquement disposé par rapport à l.quateur Sécante - un grand cercle contenant un méridien quelconque et son antiméridien Tangente - deux petits cercles quelconques symétriquement disposés par rapport à un plan méridien de centrage de la projection Sécante - un petit cercle quelconque Tangente - deux petits cercles quelconques symétriquement disposés par rapport à un plan perpendiculaire perpendiculaire à l axe du cylindre et contenant le centre de la sphère Sécante - un parallèle quelconque Tangente - deux parallèles quelconques Sécante - un grand cercle contenant un méridien quelconque et son antiméridien Tangente - deux petits cercles quelconques Sécante Oblique : son axe de symétrie forme un angle quelconque avec l'axe de rotation de la terre - un petit cercle quelconque Tangente - deux petits cercles quelconques Sécante Tableau 3.1 : Les différents types des projections géométriques et la forme du graticule résultante 25