1 ère S Exercices sur les dérivées des fonctions de référence

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1 ère S Eercces sur les dérvées des onctons de réérence ans chaque cas, donner la dérvée de la oncton. n se contentera d écrre '.... ) est la oncton déne sur par 0. ) est la oncton déne sur par 6.. ) est la oncton déne sur * par n consdère la oncton déne par d un repère orthonormé,,. ) onner la oncton dérvée de. et l on note sa courbe représentatve dans le plan mun ) étermner l équaton rédute de la tangente à au pont d abscsse. n rédgera ans : «L équaton rédute de la tangente à au pont s écrt y =». ) racer et sur un graphque (unté graphque : cm ou un «gros» carreau). Pour le tracé de, on pourra utlser le pont et le coecent drecteur (l équaton rédute n est pas orcément utle pour tracer une tangente). n consdère la oncton déne par d un repère orthonormé,,. ) onner la oncton dérvée de. et l on note sa courbe représentatve dans le plan mun ) étermner l équaton rédute de la tangente à au pont d abscsse. ) racer et sur un graphque (unté graphque : cm). n consdère la oncton déne par,,. d un repère orthonormé ) onner la oncton dérvée de. et l on note sa courbe représentatve dans le plan mun ) étermner l équaton rédute de la tangente à au pont d abscsse. ) racer et sur un graphque (unté graphque : cm ou un «gros» carreau). 5 n consdère la oncton déne par d un repère orthonormé,,. ) onner la oncton dérvée de. et l on note sa courbe représentatve dans le plan mun ) étermner en quels ponts la courbe admet une tangente de coecent drecteur Mse en garde : l équaton rédute de la tangente ne sert à ren pour ce type d eercce. n rédgera ans la concluson : «La courbe admet une tangente de coecent drecteur. au ponts ( ; ) et B(. ;..)». 6 n consdère la oncton : et l on note sa courbe représentatve dans le plan mun d un repère orthonormé,,. ) onner la oncton dérvée de. ) onner l équaton rédute de la tangente à au pont d abscsse. ) a) évelopper et rédure l epresson d. b) Étuder la poston de par rapport à (are un tableau). ) racer la courbe (unté : cm ou un «gros» carreau) et la tangente pus marquer le pont B où recoupe. 7 n consdère la oncton : et l on note sa courbe représentatve dans le plan mun d un repère orthonormé,,. racer la courbe (unté : cm ou «gros» carreau). n pourra utlser avec prot un logcel de géométre dynamque tel que Geogebra. À l ade du graphque, conecturer s l este des tangentes à passant par le pont ; et leur nombre. ) émontrer que l équaton rédute de la tangente à en un pont M d abscsse a (a ) s écrt y a a. ) étermner pour quelles valeurs de a la tangente passe par le pont. n rédgera ans : «s et seulement s. s et seulement s.» (Il s agt d une chaîne d équvalences). ) Écrre les équatons rédutes des tangentes qu passent par.

2 orrgé * ' utre açon : Pour tous les eercces, l est demandé de respecter vrament la rédacton et de l apprendre. n peut écrre donnée dans le cours). et applquer la ormule p p ' p valable pour p (qu n est d alleurs pas alculs de dérvées Réponses : ) ' 0 ; ) ' 6 5. ; ) ' Vocabulare : ans chaque cas, on dt que l on a «dérvé» la oncton. Soluton détallée : n applque drectement les ormules du cours (on ne repasse pas par la dénton ) : 0 étant une oncton constante, sa dérvée est la oncton constante nulle. lm h 0 a h a h ) n notera que l on parle ndéremment de «oncton dérvée» ou de «dérvée» tout court. Pour tous les eercces qu suvent, l est demandé de respecter l unté graphque ndquée dans l énoncé. ' 0 ) : 6 n utlse la ormule qu donne la dérvée des onctons du type n n ' n Ic, n 6. ' 6 ) : 5 n où n est un enter naturel. : ( est la oncton «carré») : courbe représentatve de dans le plan mun d un repère orthonormé ) onnons la dérvée de. n sat d après le cours que,, ' (dérvée donnée dans le cours). ) étermnons l équaton rédute de la tangente au pont d abscsse. n utlse la ormule qu donne la dérvée des onctons du type n n ' Ic, n. n n où n est un enter naturel. n applque la ormule du cours en stuaton (pas de ormule du type y ' a a a où on n a pas précsé ce qu est a). a pour équaton y '. ' (on utlse la oncton dérvée calculée dans le ))

3 a donc pour équaton y sot y. L équaton rédute de s écrt : y. Graphque : ) racé de et de La courbe (représentaton graphque de la oncton «carré») est une parabole de sommet. n la trace rapdement en plaçant quelques ponts (les ponts d abscsses,, 0,, au mnmum) et en les relant «à la man» le plus harmoneusement possble) Pour le tracé de la tangente, l y a deu méthodes : ère méthode : après l équaton rédute de trouvée précédemment, on peut dre que a pour ordonnée à l orgne. omme passe par le pont, on obtent le tracé de très aclement. e méthode : n sat que passe par et a pour coecent drecteur. ette méthode est melleure que la précédente. Pour tracer une tangente, on n a beson que du coecent drecteur (on n a pas beson de l équaton rédute). racé d une tangente à l ade de la calculatrce : Modèle I : n commence par tracer la oncton sur l écran de la calculatrce. nde prgm (dessn) 5 :angent (tangente) entrer n attend évdemment un tracé précs de la tangente. L énoncé pourrat par eemple dre : «racer avec précson la tangente.» abscsse du pont en lequel on désre tracer la tangente coupe au pont ( ; ). : ( est la oncton «nverse») La tangente passe par le pont («pont de contact» ou «pont de tangence»). n obtent un deuème pont grâce au coecent drecteur. * : courbe représentatve de dans le plan mun d un repère orthonormé,, ) érvée de * ' ) Équaton rédute de la tangente à au pont d abscsse a pour équaton y ' '.

4 a donc pour équaton y L équaton rédute de s écrt : y. ) racé de et de sot a donc pour équaton y L équaton rédute de s écrt donc y. y. Graphque : n peut auss donner l équaton rédute de sous la orme ) racé de et de y n peut prendre un deuème pont à coordonnées entères pour tracer la tangente (par eemple le pont B ; ). Graphque : n constate graphquement que la tangente est «entre» les deu branches de l hyperbole, ce que l on peut d alleurs démontrer par le calcul. : ( est la oncton «racne carrée») : courbe représentatve de dans le plan mun d un repère orthonormé ) onnons la dérvée de.,, * ' vec la calculatrce I 8 Plus, on obtent : y 0, , ) étermnons l équaton rédute de la tangente à au pont d abscsse a pour équaton y ' omplément : Étudons par le calcul la poston de par rapport à. ' n étude le sgne de la dérence.

5 [0 ; + [ [0 ; + [ ( ) 0 n en dédut que [0 ; + [ sot [0 ; + [ 0 n en dédut que la courbe est en dessous de sur [0 ; + [. e résultat est ben conorme au graphque. 5 : ( est la oncton «nverse») La oncton est dérvable sur * donc la courbe admet une tangente de coecent drecteur (a) en tout pont d abscsse a (a * ). n cherche a * tel que ' a (). () est successvement équvalente à : a a a ou a oncluson : La courbe admet une tangente de coecent drecteur au ponts d abscsses respectves et. admet une tangente de coecent drecteur au ponts ; et B ; (on calcule leur ordonnée grâce à l epresson de la oncton). * : courbe représentatve de dans le plan mun d un repère orthonormé ) onnons la oncton dérvée de. La oncton est dérvable sur *. * ',, utre rédacton : En verson plus courte, on pourra dre : «n résout l équaton '.» ) étermnons en quels ponts la courbe admet une tangente de coecent drecteur. B n peut essayer de trouver appromatvement les ponts de la courbe en lesquels la tangente a pour coecent drecteur. n peut avor une dée avec la règle au début de l eercce. Le but de l eercce est de détermner les ponts par le calcul. n peut donner les équatons rédutes des deu tangentes :

6 la tangente au pont a pour équaton rédute y ; la tangente au pont B a pour équaton rédute y. n remarquera que les ponts et B sont symétrques par rapport à. 6 : ( est la oncton «cube») : courbe représentatve de dans le plan mun d un repère orthonormé ) alculons la dérvée de. La oncton est dérvable sur. ',, ) étermnons l équaton rédute de la tangente à au pont d abscsse. a pour équaton y ' '. Une équaton de s écrt donc y sot y. L équaton rédute de la tangente à au pont d abscsse s écrt : y. b) Étudons la poston de par rapport à. n orme «l équaton de la courbe équaton de la tangente» (c est-à-dre que l on consdère la dérence entre l epresson de la oncton et l équaton de la tangente). n va écrre l epresson mathématque qu correspond à cette dérence. h. n pose après le a), h d donc h. n peut donc étuder le sgne de h() suvant les valeurs de à l ade d un tableau de sgnes. + Sgne de Sgne de Sgne de Postons relatves de et : d n emploe le vocabulare usuel, proche du langage courant, avec les mots «au-dessus», «au-dessous». est strctement au-dessus de sur les ntervalles ] ; [ et ] ; + [ * ; est strctement au-dessous de sur l ntervalle ] ; [ ; et sont sécantes au ponts d abscsses et. * n peut auss dre : «est strctement au-dessus de sur ] ; [ ] ; + [». Sur la calculatrce I 8-Plus y, 00000, La phrase «est strctement au-dessus de sur les ntervalles ] ; [ et ] ; + [» peut être remplacée par «est strctement au-dessus de sur ] ; [ ] ; + [». Le «et» peut être remplacé par un sgne «unon». ) a) éveloppons l epresson d d.

7 n peut présenter toute l étude dans un tableau selon le modèle c-dessous. ) racé + Sgne de Sgne de Sgne de Poston de par rapport à d est strct. au-dessous est strct. au-dessus de est strct. de au-dessus de et sont et sont sécantes*** au sécantes au pont d abscsse pont d abscsse * * n peut auss dre que et sont tangentes au pont d abscsse. ** n peut dre que deu courbes sont sécantes ou que deu courbes se coupent. *** n peut auss que recoupe au pont d abscsse. B 8 Il est possble d eectuer la représentaton graphque dans un repère qu n est pas orthonormé mas seulement orthogonal. y B

8 n retrouve ben graphquement le résultat que l on avat obtenu algébrquement dans la queston précédente. 7 : Vocabulare : ( est la oncton «carré») n dt que «recoupe» en. : courbe représentatve de dans un repère orthonormé ;,, n observe sur le graphque que le pont n est pas stué sur la courbe. Le pont est etéreur à. après le graphque, l semble qu l y at deu tangentes à passant par le pont (on peut les tracer appromatvement ; on est dans une démarche epérmentale). ) émontrons que l équaton rédute de la tangente à en un pont M d abscsse a (a ) s écrt y a a. La oncton est dérvable sur et '. L équaton rédute de la tangente à en un pont M d abscsse a a s écrt y ' a a a sot y a a a sot y a a. ec est l équaton rédute générale des la tangente à au pont d abscsse a. ) étermnons pour quelles valeurs de a la tangente passe par le pont. n va tradure que. s et seulement s y a a s et seulement s a a s et seulement s a a s et seulement s a a 0 s et seulement s a (racne évdente) ou a (obtenue par produt) n peut avor une dée avec la règle au début de l eercce. Le but de l eercce est de détermner les ponts par le calcul. Rappel : Le produt des racnes d une équaton du second degré de la orme 0 ( 0) est égal à. oncluson : Il este deu tangentes à passant par. Les ponts de contact ont pour abscsses respectves et. n peut à présent tracer précsément les deu tangentes en plaçant les ponts d abscsses et. Le tracé des tangentes passant par peut alors se are de manère eacte sur le graphque : - on commence par placer les ponts U et V de d abscsses respectves et ; - on ont U et V au pont. Les drotes (U) et (V) sont les tangentes à passant par. U et V s appellent les ponts de contact ou de tangence.

9 ) Écrvons les équatons rédutes des tangentes qu passent par. Les tangentes à qu passent par ont pour équatons rédutes y (tangente au pont d abscsse ) et y (tangente au pont d abscsse ). n peut marquer les ponts de contact U et V des deu tangentes avec la courbe. U a pour abscsse et V a pour abscsse. Blan de cet eercce : ommentares ans les eercces et, les epressons «dérvée de la oncton» ou «oncton dérvée» sont synonymes. lasscaton des eercces par savor-are Il aut savor reare cet eercce dans une verson sèche où seule serat posée la queston : «étermner les tangentes à passant par le pont ;.» Voc le plan des prncpales étapes de résoluton : dérvée de équaton générale d une tangente traducton de l appartenance de U V Retenr la rédacton pour l équaton d une tangente : a pour équaton y ' sot y ou encore y =.. n applque le «prncpe de séparaton des calculs» c est-à-dre que l on calcule à part et ' manère à ne pas avor une quantté énorme de calculs dans l équaton. de. n applque la ormule en stuaton (pas de ormule générale déconnectée du contete, avec des notatons qu n ont pas été précsées).. ttenton au artcles. n peut dre que l on a obtenu une équaton de la tangente ou que l on a obtenu l équaton rédute de la tangente.. eu erreurs de présentaton Ne pas écrre les calculs en lgnes : y = ( ) + = + =. u encore en colonne y = ( ) + = + = En eet, dans une équaton de drote, la lettre y ne désgne pas une quantté. 5. ttenton, on ne dt pas que l on calcule une équaton de drote. n dt que l on détermne une équaton de drote. 6. n évte d écrre :... y dans une rédacton. n réserve ce type de notaton au graphques ou au hypothèses.