Dérivées des fonctions de plusieurs variables (suite) 1 La différentielle d une fonction à valeurs réelles

Transcription

1 Dérivées des fonctions de plusieurs variables suite) 1 La différentielle d une fonction à valeurs réelles Cas des fonctions d une variable fx 0 + h) fx 0 ) i) f est dérivable en X 0 si lim existe h 0 h Sa valeur l est notée f X 0 ) fx 0 + h) fx 0 ) lh ii) On peut, de manière équivalente, écrire lim = 0 h 0 h On remarque que h Lh) = lh est une application linéaire de R dans R, que l on appelle différentielle de f en X 0 et que l on note dfx 0 ) iii) Si f est dérivable en X 0, alors pour h petit : fx 0 +h) est voisin" de fx 0 )+f X 0 )h Donc h fx 0 ) + f X 0 )h est une application affine qui "approche très bien " fx 0 + h) Définition 11 f est différentiable en x s il existe une application linéaire L : R n R telle que : fx + h) = fx) + Lh) + h ɛh), avec lim h 0 ɛh) = 0 L application L est la différentielle de f en x et se note dfx) ou f x) Cette définition signifie que l application affine fx)+dfx) h est tangente à l application h fx + h) en 0 Lorsque qu on remplace fx + h) par fx) + dfx) h et que h est petit, alors on fait une erreur négligeable par rapport à h Cela revient à dire lim h 0 fx + h) fx) Lh) h La différentielle, lorsqu elle existe, est unique Proposition 12 Si f est différentiable en x, alors ses dérivées partielles existent et on a : = 0 dfx) h = f x 1 x) h f x n x) h n = f h La matrice de l application linéaire dfx) dans la base canonique est le gradient fx) 1

2 Proposition 13 Si f est différentiable en x alors f est continue en x L existence des dérivées partielles de f n implique pas la différentiabilité Mais : Théorème 14 Si f admet des dérivées partielles et si elles sont continues alors f est différentiable On dit que f est de classe C 1 11 Règle de différentiation Proposition 15 Si f et g sont différentiables on a : i) df + g)x) = dfx) + dgx) ii) dλf)x) = λ dfx) iii) dfg)x) = fx) dgx) + gx) dfx) ) f gx) dfx) fx) dgx) iv) d x) = g g 2 x) 12 s Si f : U R où U est un ouvert de R n, alors : à condition que gx) 0) i) Si f est C 1 sur U alors f est différentiable sur U et les dérivées f x i existent sur U Les réciproques ne sont pas vraies!! ii) Si f est différentiable en x 0 U alors l application affine Ah) = fx 0 ) + dfx 0 ) h a pour graphe l espace tangent au graphe de f en x 0 13 Dérivées partielles successives Les dérivées partielles x 1,, x n ) sont des fonctions de x 1,, x n, et il arrive souvent qu elles sont eux-même dérivables Définition 16 On écrit, lorsqu elle existe, = ) et on dit qu il s agit j j d une dérivée partielle seconde de f Exemple f : R 2 R, x, y) x 3 y 4 Alors 2 f x, y) = y 12x2 y 3 = 2 f x, y) y 2

3 Théorème 17 Schwarz) Si les déirvées partielles, de a 1 a n ) alors : j j a) = existent et sont continues dans une boule autour 2 f j a) 2 La différentielle d une fonction à valeurs vectorielles Définition 21 F de R n dans R m est différentiable en x R n s il existe une application linéaire L de R n dans R m telle que : lim h 0 F x + h) F x) L h h = 0 L est la différentielle de F en x et se note : df x) Théorème 22 F est différentiable en x si et seulement si ses composants sont différentiables et on a : df x) h = f 1 x) h,, f m x) h) Définition 23 La matrice 1 1 n x) x) m x) m n x) est la matrice de df x) et est appelée matrice jacobienne de F en x et se note : JF )x) Théorème 24 Si F a des composantes de classe C 1 alors elles sont différentiables et F est également différentiable Exercice i) Trouver la matrice jacobienne de F en 1, 1) de : F x, y) = x 2 + y 2, e xy ) ii) Trouver la différentielle de F x, y, z) = x, y, z) iii) Trouver la différentielle de F r, θ) = r cos θ, r sin θ) 21 Propriétés de la différentielle Proposition 25 Si F de R n dans R m est linéaire, alors df x) = F Proposition 26 Si F est différentiable en x alors F est continue en x 3

4 22 Différentielles des fonctions composées Si F est une fonction de R n dans R m, si G est une fonction de R m dans R q, alors G F est une fonction de R n dans R q Théorème 27 Si F est différentiable en x, et si G est différentiable en F x), alors G F est différentiable en x et on a : Exercice Dériver G F lorsque F x, y) = x 2 + y 2, e xy ) Gu, v) = xy, sin x, x 2 y) dg F )x) = dgf x)) df x) 23 Sur la règle de dérivation en chaîne Le résultat théorique Soient f : R n R et g : R p R n deux fonctions différentiables Écrivons h = f g D après la règle de dérivation des fonctions composées nous avons comme pour les fonctions de R dans R) : h x) = f g) x) = f gx))g x) La fonction f g est une fonction de R p dans R Sa dérivée est donc un vecteur ligne à p colonnes, la transposée de son gradient : ) h x) = La fonction g est une fonction de R p dans R n Sa dérivée est la matrice n p composée des vecteurs transposés des gradients des coordonnées de g Si gx) = g 1 x), g 2 x),, g 2 x)) on devrait écrire ce vecteur en colonne si on voulait se conformer en toute rigueur aux choix du cours) la dérivée de g s écrit : g 1 g 1 g 1 g 2 g 2 g g x) = 2 Pour simplifier la présentation appelons g = g 1, g 2,, g n ) un point de R n C est un abus de notation, g ne désigne pas ici la fonction g mais un vecteur, un point dans R n La dérivée de f en un point g est donnée par la transposée de son gradient : f g) = g 1 g 2 4 )

5 L égalité matricielle h x) = f g) x) = f gx))g x) signifie donc : g 1 g 1 ) ) 1 g = 2 g 2 g 1 g 2 Autrement dit pour tout i = 1,, p on a = n k=1 g k g k Attention! Quand g k apparaît au dénominateur cela signifie seulement que l on prend la dérivée de f par rapport à sa kième variable Quand il apparaît au numérateur g k désigne la kième coordonnée de g : c est alors une fonction Un exemple Prenons f : R 3 R et g : R 2 R 3 deux fonctions différentiables définies par fx, y, z) = 2xy 3x + z), gx, y) = x + y 4, y 3x 2, 2x 2 3y) On demande de calculer les dérivées partielles de la fonction de deux variables h = f g Pour se ramener au théorème général et ne pas s embrouiller, il est préférable de changer les noms des variables dans l expression de f : fg 1, g 2, g 3 ) = 2g 1 g 2 3g 1 + g 3 ) La formule de dérivation en chaîne donne alors = + y 4 ) + y 3x 2 ) + 2x 2 3y), g 1 g 2 g 3 y = + y 4 ) + y 3x 2 ) + 2x 2 3y) g 1 y g 2 y g 3 y Pour, on obtient : = 2g 2 3)1 + 2g 1 6x) + 3)4x Exprimée en fonction de x et y cette dérivée s écrit : = 2y 6x2 3 12xx + y 4 ) 12x = 12xy 4 18x 2 + 2y 12x 3 Je vous laisse le calcul de la deuxième dérivée partielle de h en exercice On peut aussi écrire les choses sous la forme : = + y 4 ) + y 3x 2 ) + y z 2x 2 3y), mais c est un peu risqué Il ne faut surtout pas oublier de prendre les valeurs des dérivées partielles de f au point x + y 4, y 3x 2, 2x 2 3y) 5 g 1 g 2