FONCTIONS DE DEUX VARIABLES

Transcription

1 FONCTIONS DE DEUX VARIABLES Dans tout ce chapitre, A désigne une partie de R 2, c'est à dire un plan privé d'un point, un demi-plan, un disque, un rectangle, une ellipse... 1 Généralités R 2 peut être considéré comme espace vectoriel (ensemble de vecteurs). Il peut aussi être considéré comme espace ane (ensemble de points). 1.1 Vocabulaire de topologie dans R 2 R 2 est muni de la distance canonique q dénie par : pour tout point A(x A, y A ) et B(x B, y B ), d(a; B) = k(x A, y A ) (x B, y B )k = (x A x B ) 2 + (y A y B ) 2. Dénition 1. Ouvert de R 2 On dit que A est un ouvert de R 2 si et seulement si tout point de A est le centre d'un disque ouvert lui même inclus dans A c'est à dire que. 8M 0 (x 0, y 0 ) 2 A, 9r > 0, d(m, M 0 ) < r M 2 A Dénition 2. Fermé de R 2 On dit que A est un fermé de R 2 si et seulement si le complémentaire de A dans R 2 est un ouvert. Dénition 3. Compact de R 2 On dit que A est un compact de R 2 si et seulement si c'est un fermé borné. Dénition 4. Frontière de A La frontière de A est l'ensemble des points M 0 tels que tout disque ouvert centré en M 0 contient au moins un point appartenant à A et au moins un point n'appartenant pas à A. Exemples 1 JA

2 Exemple 1. Dessiner les ensembles suivants : A = {(x, y) 2 R 2 / x + y < 1} et B = {(x, y) 2 R 2 / max( x, y ) 6 1}. Ces ensembles sont ils ouverts, fermés ou ni l'un ni l'autre? 1.2 Fonctions à deux variables On note F(A, R), l'ensemble des fonctions de A dans R. On dénit alors une fonction de deux variables par la relation suivante : f : A R (x, y) 7 z = f(x, y) La représentation graphique d'une fonction de deux variables est une surface dans R 3. La somme et le produit par un scalaire sont dénies de manière habituelle. Ainsi, F(A, R) est un R espace vectoriel. Dénition 5. Fonction partielle de R 2 Soit f : A R. Soit M 0 (x 0, y 0 ) 2 A. On appelle fonctions partielles associées à f en M 0 les fonctions de R dans R dénie par : f y0 : x 7 f(x, y 0 ) f x0 : y 7 f(x 0, y) (2 y) cos(xy) Exemple 2. Soit f(x, y) = 1 + x 2. Déterminer les fonctions partielles de f au point (0; 1). 2 JA

3 2 Limites, continuité 2.1 Dénitions et propriétés Dénition 6. : Soit f dénie sur un partie U de R 2, à valeurs dans R, et M 0 un point de R 2. On dit que lim f(m) = l si : M M 0 8ε > 0, 9α > 0/8M 2 U, d(m 0, M) 6 α f(m) l 6 ε Cela signie : pour toute distance non nulle ε (aussi petite soit-elle), il existe toujours un disque ouvert centré en M 0 et de rayon α, telle que pour tout point M appartenant au disque et au domaine de dénition, l'écart entre f(m) et l est plus petite que ε. De même on dit que et on dit que lim f(m) = + si et seulement si : M M 0 8A 2 R, 9α > 0/8M 2 U, d(m 0, M) 6 α f(m) > A lim f(m) = si et seulement si : M M 0 8B 2 R, 9α > 0/8M 2 U, d(m 0, M) 6 α f(m) 6 B x 2 + y 2. Exemple 3. Déterminer lim M O f(m) avec f(m) = f(x, y) = sin Tous les théorèmes vus sur les fonctions d'une variable sont transposables aux fonctions de deux variables. En particulier le théorème des Gendarmes qui dit ici : Théorème 1. Soit f : A R et g : A R telles que pour tout (x, y) pris au voisinage de (x 0, y 0 ), f(x, y) 6 g(x, y) alors : Si lim (x,y) (x 0,y 0 ) g(x, y) = 0 alors lim (x,y) (x 0,y 0 ) Dénition 7. On dit que f est continue en (x 0, y 0 ) si et seulement si : f(x, y) = 0 lim M M 0 f(m) = f(m 0 ). 2.2 Calcul pratique d'une limite Soit M 0 un point appartenant à la frontière du domaine de dénition et n'appartenant pas au domaine de dénition La fonction admet une limite en M 0 Lorsque le calcul d'une limite n'est pas évident, on utilise très souvent des majorations. Exemple 4. Soit f la fonction dénie par f(x; y) = 1. Montrer que xy (x2 + y 2 ). 2. En déduire que f(x, y) 6 y Puis la limite de f en (0, 0). xy2 x 2 + y 2. 3 JA

4 2.2.2 La fonction n'admet pas de limite en M 0 Proposition 2 (Règle des chemins). Soit u et v deux fonctions continues telles que lim u(x) = y 0 et lim v(y) = x 0. Si f admet x x0 y y0 une limite l en (x 0, y 0 ) alors on a lim f(x, u(x)) = l et lim f(v(y), y) = l x x0 y y0 Remarque 1. Attention, la réciproque de cette proposition est fausse : si f admet des limites égales sur un ou plusieurs chemins, cela ne signie pas que f admet une limite. Par contraposée, Proposition 3. Si les limites sur deux chemins diérents ne sont pas égales alors on en déduit que f n'a pas de limite en (x 0, y 0 ). On utilisera souvent cette propriété pour montrer que f n'admet pas de limite. Exemple 5. Montrer que la fonction f dénie par : f(x, y) = (0, 0). xy x 2 n'admet pas de limite en + y2 3 Calcul diérentiel 3.1 Dérivées partielles Soit U un ouvert de R 2 et f une fonction de U dans R. On dit que f admet des dérivées partielles en M 0 (x 0, y 0 ) si lim et lim sont nies. f(x 0 + t, y 0 ) f(x 0, y 0 ) f(x 0, y 0 + t) f(x 0, y 0 ) t 0 t t 0 t On note alors : x (x f(x 0 + t, y 0 ) f(x 0, y 0 ) 0, y 0 ) = lim t 0 t y (x f(x 0, y 0 + t) f(x 0, y 0 ) 0, y 0 ) = lim t 0 t On observe ainsi, que les dérivées partielles ont pour valeurs les dérivées des applications partielles f x0 et f y0. Exemple 6. Calculer les dérivées partielles de f(x, y) = x 2 y 8 + e x. 4 JA

5 3.2 Fonctions de classe C 1 Soit f une fonction de U dans R admettant en tout point de U des dérivées partielles. On dit que f est de classe C 1 sur U si et seulement si les dérivées partielles de f sont continues sur U. On note C 1 (U) l'ensemble des fonctions de classe C 1 sur U. C'est un sous espace vectoriel de F(U, R). 3.3 Diérentielle Dénition 8. Fonction diérentiable S'il existe deux réels m et p, ainsi qu'un disque D centré en (x 0, y 0 ) tels que pour tout (h, k) 2 D : f(x 0 + h, y 0 + k) = f(x 0, y 0 ) + mh + pk+ k (h, k) k ϕ(x 0 + h, y 0 + k) avec lim ϕ(x 0 + h, y 0 + k) = 0 (h,k) (0,0) alors on dit que la fonction f est diérentiable en (x 0, y 0 ). On a alors : m = x (x 0, y 0 ) et p = y (x 0, y 0 ) Remarque 2. Si f admet des dérivées partielles en (x 0, y 0 ), alors f n'est pas forcément diérentiable en (x 0, y 0 ). Exemple 7. Soit f la fonction dénie par f(x, y) = xy2 x 2 si (x, y) 6= (0, 0) et f(0, 0) = 0. + y2 1. Montrer que f admet deux dérivées partielles en (0, 0), et calculer ses dérivées partielles. 2. Si f était diérentiable en 0, déterminer la fonction ϕ. 3. Calculer ϕ(x, x) pour x > Conclure Proposition 4. Si f est de classe C 1, alors f est diérentiable. Remarque 3. Cela implique donc que la fonction de l'exemple précédent n'est pas de classe C 1. Dénition 9. Application diérentielle Soit f une application diérentiable en (x 0, y 0 ). L'application df(m 0 ) : (h, k) 7 h x (M 0) + k y (M 0) est une forme linéaire sur R 2 c'est à dire une application linéaire de R 2 dans R. On l'appelle diérentielle de f en M 0. 5 JA

6 3.4 Des maths... à la physique Des maths... Pour simplier l'écriture, on note df(m 0 ) = df. On a donc df(h, k) = x h + y k On appelle dx et dy les applications diérentielles respectivement des fonctions (h, k) 7 h et (h, k) 7 k. On montre facilement que l'on a alors dx(h, k) = h et dy(h, k) = k. On peut donc écrire : df(h, k) = dx(h, k) + dy(h, k), x y soit df = x... à la physique dx + dy avec dx et dy des applications. y On vient de voir, avec la dénition de la diérentielle, que df(h, k) dx(h, k)+ dy(h, k) x y pour (h, k) proche de (0, 0), et d'autre part, il est d'usage de noter en physique, une petite variation de x par dx. Donc, en confondant la fonction dx avec son image dx(h, k), on obtient l'interprétation physique de la diérentielle : df(h, k) = dx + dy C'est une approximation à l'ordre 1 de la variation de f pour x y d'innitésimales variations de x et y. Exemple 8. Soit S = xy la surface d'un rectangle de dimensions x et y. A l'aide d'un raisonnement physique, déterminer une petite variation de la surface. A.N. : x = 10, y = 2, dx = 0, 1 et dy = 0, Développements limités à l'ordre 1 Dénition 10. Le DL 1 (M 0 ) de f est donné par la formule : f(x 0 + h, y 0 + k) = f(x 0, y 0 ) + h x (x 0, y 0 ) + k y (x 0, y 0 ) + o(k h, kk) Exemple 9. Déterminer le DL 1 ((π, 1)) de f(x, y) = x 3 + y 3 cos x. 3.6 Plan tangent à une surface Par analogie avec l'équation d'une tangente pour les fonctions de R dans R, on dénit de même le plan tangent en un point (x 0, y 0, f(x 0, y 0 ) à la surface d'équation f(x, y) = z par l'équation : z = f(x 0, y 0 ) + (x x 0 ) x (x 0, y 0 ) + (y y 0 ) y (x 0, y 0 ) 6 JA

7 3.7 Gradient Dénition 11. Soit f de classe C 1 sur U. En tout point M 0, il existe un unique vecteur appelé! gradient de f en M 0 noté grad f(m 0 ) dont les coordonnées dans la base canonique de R 2 sont : x (M 0), y (M 0). Exemple 10. Déterminer le gradient de f(x, y) = x 2 + 3xy 3.8 Dérivées partielles d'une composée Dénition 12.. On appelle matrice jacobienne d'une fonction f de R 2 dans R en M 0 (x 0, y 0 ) la matrice : J(f)(M 0 ) = x (x 0, y 0 ) y (x 0, y 0 ) On appelle matrice jacobienne d'une fonction ϕ de R 2 dans R 2 en M 0 (x 0, y 0 ) la matrice : J(ϕ)(M 0 ) = où (ϕ 1, ϕ 2 ) sont les deux composantes de ϕ. 0 B@ ϕ 1 x (x 0, y 0 ) ϕ 2 x (x 0, y 0 )! ϕ 1 y (x 0, y 0 ) ϕ 2 y (x 0, y 0 ) Ainsi, soit f de U dans R de classe C 1 sur U et ϕ de V R 2 dans U, de classe C 1 sur V. Alors g = f ϕ est de classe C 1 sur V et pour tout M 2 V on a : 1 CA où J(φ)(M) = et J(f)(ϕ(M))) = donc : 0 B@ J(g)(M) = J(f ϕ)(m) = J(f)(ϕ(M))J(ϕ)(M) φ 1 x (x, y) φ 1 (x, y) y φ 2 x (x, y) φ 2 (x, y) y x (φ 1(x, y), φ 2 (x, y)) x (φ 1(x, y), φ 2 (x, y)) 1 CA y (φ 1(x, y), φ 2 (x, y)) J(g)(M) = J(f)(ϕ(M))J(ϕ)(M) = y (φ 1(x, y), φ 2 (x, y)) ce que l'on traduit par abus de notation par :! 0 B@! φ 1 x (x, y) φ 1 (x, y) y φ 2 x (x, y) φ 2 (x, y) y 1 CA g x = φ 1 x x + φ 2 y x g y = φ 1 x y + φ 2 y y 7 JA

8 Les jacobiens servent très souvent dans les formules de changement de variables. Comme ci dessous, on l'on passe des coordonnées cartésiennes aux coordonnées polaires. Exemple 11. Soit f : U R et ϕ : (r, θ) 7 (r cos θ, r sin θ). Posons g = f ϕ ; g associe f(m) aux coordonnées polaires (r, θ) de M. Il vient alors : g r = cos θ + x y sin θ g θ = ( r sin θ) + (r cos θ) x y Dénition 13. On appelle Jacobien de ϕ le déterminant de la matrice jacobienne J(ϕ)(M). Si le Jacobien de ϕ est non nul, cela exprime que les deux vecteurs colonnes composants la matrice jacobienne sont libres. Exemple 12. Le jacobien de ϕ : (r, θ) 7 (r cos θ, r sin θ) est cos θ sin θ det J(φ)(M) = = r. Donc si r 6= 0, cela signie que l'on peut exprimer r sin θ r cos θ x et g g en fonction de et car alors le système précédent est un système de Cramer. On y r θ trouve : x = g r cos θ 1 g r θ sin θ y = g r sin θ + 1 g r θ cos θ ce qui nous permet d'obtenir l'expression du gradient de f en coordonnées polaires : grad f = g r e r + 1 g t θ e θ 4 Dérivées partielles d'ordre 2 Soit f une fonction de classe C 1 sur un ouvert U de R 2. Si les fonctions dérivées partielles premières et x y sont de classe C1 sur U, on dit que f est de classe C 2 sur U. On note 2 f x 2, 2 f y 2, 2 f x y et 2 f les dérivées partielles secondes de f. y x Théorème 5 (de Schwarz). Si f est de classe C 2 sur U alors on a : 5 Extrema 2 f x y = 2 f y x Dénition 14. ˆ On dit que f admet en a un minimum local ou relatif sur R 2 signie que f(x) > f(a) pour tout x au voisinage de a. 8 JA

9 ˆ ˆ ˆ On dit que f admet en a un minimum global ou absolu sur R 2 signie que f(x) > f(a) pour tout x de R p. On dit que f admet en a un maximum local ou relatif sur R p signie que f(x) 6 f(a) pour tout x au voisinage de a. On dit que f admet en a un maximum global ou absolu sur R p signie que f(x) > f(a) pour tout x de R 2. Dénition 15. Soit f une fonction de classe C 1 sur un ouvert U de R 2. On dit que M 2 U est un point critique de f lorsque df(m) = 0. Exemple 13. Déterminer les points critiques de la fonction f(x, y) = x 2 4xy + y 3 + 4y. Proposition 6. Si f admet un extremum relatif en a alors a est un point critique de f. Remarque 4. La réciproque est fausse : il y a des points critiques qui ne sont pas des extrema relatifs. Théorème 7. Soit f une fonction de classe C 1 sur un ouvert U de R 2. M(a, b) est un point critique de f si (a, b) = 0 et (a, b) = 0 ou si (a, b) ou (a, b) n'existe pas. x y x y Notation de Monge : on note r = 2 f x 2, s = 2 f x y, t = 2 f y 2. Soit M(a, b) un point critique de f une fonction de classe C 1 sur un ouvert U de R 2 tel que l'on ait en M(a, b) s 2 rt 6= 0 alors : si s 2 rt < 0 et r > 0, f admet un minimum local en (a, b, f(a, b)). si s 2 rt < 0 et r < 0, f admet un maximum local en (a, b, f(a, b)). si s 2 rt > 0 et r 6= 0, f admet un point selle en (a, b, f(a, b)). 9 JA

10 Remarque 5. Dans le cas où s 2 rt = 0 ou dans le cas où r = 0 ou encore dans le cas de la non existence de (a, b) ou de (a, b), le test précédent est donc impuissant pour répondre. x y La seule chose à faire est alors d'examiner le comportement de f au voisinage de (a, b) au moyen de sa dénition ou de son graphique. Exemple 14. Déterminer la nature des points critiques de la fonction f(x, y) = x 2 4xy+y 3 +4y. 6 Multiplicateurs de Lagrange Dans la plupart des problèmes, les variables de la fonction dont nous avons à chercher les extrema, sont soumises à des contraintes. Par exemple, soit f(x, y) = T la température en un point P(x, y) d'une ne plaque de métal. Étant donnée une courbe C d'équation g(x, y) = 0, on peut se poser la question des points les plus chauds ou les plus froids sur cette courbe qui appartient aussi à la plaque. Cela revient à chercher les extrema de f(x, y) sous la contrainte g(x, y) = 0. De même, on peut imaginer une montagne à gravir, le long d'un chemin ne passant pas forcément par son sommet, et on cherche le point le plus haut qu'on atteindra sur ce chemin. Comme sur le dessin ci-dessous. 10 JA

11 Théorème 8 (de Lagrange). Les points en lesquels une fonction f de classe C 1 sur un ouvert U de R 2 admet une valeur extrême sous la contrainte g(x, y) = 0 gurent parmi les points (x, y) déterminés par les deux premières coordonnées des solutions (x, y, λ) du système suivant : (x, y) = λ g(x, y) x x (x, y) = λ g(x, y) y y g(x, y) = 0 Le nombre λ est appelé multiplicateur de Lagrange. Une autre façon de traduire ce système est de chercher les solutions vériant grad f(x, y) = λg(x, y) sous la contrainte g(x, y) = 0. Exemple 15. On considère la fonction f(x, y) = xy. Déterminer les maxima de f appartenant à l'ellipse d'équation : 4x 2 + y 2 = JA

12 7 Exercices Exercice 1. Chacune des fonctions suivantes est-elle prolongeable par continuité en (0,0)? 1. f(x, y) = 1 cos(xy) y 2 2. f(x, y) = x2 + y 2 x 3. f(x, y) = x2 y x 2 + y 2 4. f(x, y) = x2 + y 2 x + y 5. f(x, y) = xy x 3 + 3y 2 6. f(x, y) = (x + y 2 ) sin! 1 xy Exercice 2. Soit f la fonction dénie par f(x, y) = x 2 y qx 4 + y Soit D une droite quelconque passant par l'origine. Montrer que la restriction de f à D est continue en (0,0). 2. Peut-on en déduire que f est continue en (0,0)? L'est-elle néanmoins? Exercice 3. Soit f la fonction dénie par : f(x, y) = x2 y 2 1. Étudier la continuité de f sur R 2. x 2 si (x, y) 6= (0, 0) et f(0, 0) = 0. + y2 2. Calculer les dérivées partielles de f 0 x et f 0 y de f. Quelles sont les valeurs de f 0 x(0, 0) et f 0 y(0, 0)? 3. f est-elle de classe C 1 sur R 2? Exercice 4. Chercher une fonction f de classe C 1 sur R 2 telle que (x, y) = x + y. On appelle x ce genre d'équations, une équation aux dérivées partielles. Exercice 5. Soit P le paraboloïde d'équation z = x 2 + y 2. Déterminer l'équation de son plan tangent au point M(1, 1, 2). 12 JA

13 Exercice 6. Déterminer les points de l'hyperboloïde à deux nappes x 2 2y 2 4z 2 = 16 en lesquelles le plan tangent est parallèle au plan d'équation 4x 2y + 4z = 5. Exercice 7. Calculer les dérivées partielles des fonctions suivantes : 1. f(x, y) = 2x 4 y 3 xy 2 + 3y g(x, y) = x 3 y h(x, y) = xe y + y sin x s t + v 4. i(t, v) = ln t v Exercice 8. La loi des gaz parfaits peut prendre la forme PV = nrt où n est le nombre de molécules de gaz, V le volume, T la température, P la pression et R une constante. Montrer que : V T P T P V = 1 Exercice 9. Calculer les diérentielles des fonctions suivantes : 1. f(x, y) = x 2 e xy + 1 y 2 2. f(x, y) = ln x 2 + y 2 + x Arctan y 3. f(x, y) = xy x + y Exercice 10. Calculer à l'aide de la diérentielle une approximation de la variation de f consécutive à la variation indiquée des variables x et y : f(x, y) = x 2 3x 3 y 2 + 4x 2y pour (x, y) variant de ( 2, 3) à ( 2, 02, 3, 01). Exercice 11. On dit qu'une forme linéaire ω est une diérentielle exacte s'il existe une fonction f telle que ω = df. Les formes suivantes sont-elles des diérentielles exactes? 1. ω = xdx + ydy q x 2 + y 2 13 JA

14 2. ω = 3x 2 y 2y 2 dx + x 3 4xy dy 3. ω = x + 2y (x + y) 2 dx + 1 (x + y) 2 dy Exercice 12. calculer le gradient de chaque fonction suivante en P : q 1. f(x, y) = x 2 + y 2 ; P( 4, 3) 2. g(x, y) = x ln(x y); P(5, 4) 3. h(x, y) = xy 2 e x ; P(2, 1) Exercice 13. Le potentiel électrique V en (x, y) est donné par V = x 2 + 4y Calculer la vitesse de variation de V en P(2, 1) dans la direction de P vers l'origine. 2. Déterminer la direction autour de P qui donne lieu à la plus grande vitesse de variation de V. 3. Quelle est alors cette vitesse? Exercice 14. Utiliser la règle de dérivation des fonctions composées pour calculer dz pour : z = x 3 y 3 ; x = 1 t + 1, y = t t + 1 Exercice 15. Calculer les dérivées partielles de h(x, y) = f(2xy, x). Exercice 16. Résoudre l'équation aux dérivées partielles x x + y y = x2 + y 2 en passant aux coordonnées polaires. Exercice 17. on dit qu'une fonction f est harmonique si 2 f x + 2 f = 0 2 sur tout son domaine y2 de dénition. Montrer que les fonctions suivantes sont harmoniques : q 1. f(x, y) = ln x 2 + y 2 2. g(x, y) = Arc tan y x 3. h(x, y) = e x cos y + e y cos x Exercice 18. On dit que la fonction v satisfait l'équation des ondes si : 2 v t = 2 v 2 a2 x 2 Montrer que v(t, x) = (sin akt)(sin kx) satisfait l'équation des ondes. Exercice 19. Les ingénieurs chargés de la construction des autoroutes se préoccupent de la pénétration du froid dans le sol et utilisent pour calculer la température T à l'heure t et à la profondeur x (en m) la formule : T = T 0 e λx sin (ωt λx) où T0, ω, λ sont des constantes. La période de sin(ωt λx) est 24 heures. 14 JA

15 1. Calculer et interpréter T t et T x. 2. Montrer que T satisfait l'équation de la chaleur à une dimension T t = T k 2 x 2 une constante réelle. où k est Exercice 20. Déterminer les points critiques et leur nature des fonctions suivantes : 1. f(x, y) = x 3 + 3xy y 3 2. g(x, y) = e x sin y 3. h(x, y) = x x + y 4. i(x, y) = x 2 + 3y 2 e (x2 +y 2 ) Exercice 21. Une ne plaque de métal de forme carrée est placée dans un plan de coordonnées de sorte que ses sommets occupent les points (0,0),(1,0),(1,1) et (0,1). Les 4 bords sont enfoncés dans de la glace à 0 C. La température initiale T en P(x, y) est donnée par : T = 20 sin(πx) sin(πy) 1. Déterminer le point en lequel la température initiale est la plus élevée. 2. On peut montrer que la fonction U(x, y, t) qui renseigne la température en P(x, y) à l'instant t satisfait l'équation de la chaleur à deux dimensions à savoir :! U t k 2 U x + 2 U = 0 2 y 2 où k est une constante qui dépend de la conductivité thermique et de la chaleur spécique de la plaque. Montrer que U(x, y, t) = 20e 2kπ2t sin(πx) sin(πy) satisfait cette équation de la chaleur. 3. Que devient la température de la plaque après une très grande longueur de temps? Exercice Partager 1000 en trois nombres dont le produit est maximum. 2. Montrer que le parallélépipède fermé de volume xé et de surface minimum est un cube. Exercice 23. Les services postaux réglementent le volume des paquets de forme rectangulaire qu'ils acceptent d'acheminer. Si la somme de la longueur et du périmètre de la section perpendiculaire à cette longueur ne peut dépasser 3 m, quelles sont les dimensions du paquet de plus gros volume que l'on puisse expédier? Exercice 24. On considère la fonctionf(x, y) = y 2 4xy + 4x 2. Déterminer les extrema de f sous la contrainte g(x, y) = x 2 + y 2 = 1 15 JA

16 Exercice 25. Une ne plaque de métal de forme carrée est placée dans un plan de coordonnées de sorte que ses sommets occupent les points (0,0),(1,0),(1,1) et (0,1). Les 4 bords sont enfoncés dans de la glace à 0 C. La température initiale T en P(x, y) est donnée par : T = 20 sin(πx) sin(πy). Déterminer le point en lequel la température initiale est la plus élevée le long des bords de la plaque. Exemple 16. Montrer que f(x, y) = x4 y 4 x 12 n'est pas continue en (0,0). + y6 16 JA