Fonctions à deux variables

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1 Fonctions à deux variables Exercice 1 On note l'ouvert de défini par 1 3, 3 0,1 et l'application définie sur par :,, ² ² Montrer que est strictement négative sur., 1 1 Pour,, 1 0. Pour 01, 1 0. Comme et sont positifs, on a Et donc 1 1 0, 0 b) Montrer (en rédigeant soigneusement) que admet un unique extremum sur et que celui-ci est un minimum dont on donnera la valeur. En déduire que, pour tout élément (, : 5, 0 64 La fonction est de classe sur comme fonction polynôme à deux variables., 1, On résout le système : 1 0 avec 1 0 3, et 0,1 3 La deuxième équation donne 1 0 Or 0, donc donc sur bien Et car le seul point critique est le point de coordonnées 5 8, 1.

2 Examinons si ce point est un extremum local.,,, 1 d'après le théorème de Schwarz, donc 5 8, 1 5 8, 1 0 donc 5 8, le point critique est un extremum local. d autre part 0 c est donc un minimum. donc en tenant compte de la première question,, 5 8, 1, 0 Or 5 8, ,, 5, 0 64 Exercice Le but de l'exercice est l'étude des extremums de la fonction :, ² ² a. Établir que l'équation, d'inconnue, admet une solution et une seule. On considère la fonction définie sur par 1 0 La fonction est donc strictement décroissante sur. lim lim 1 Or d après les théorèmes de croissance comparée lim 0 lim 1 lim également lim lim

3 La fonction est continue et strictement décroissante sur : elle réalise une bijection de sur. Or 0, donc l équation 0 a une unique solution dans. Et donc l équation a une unique solution dans. b. Montrer qu'il existe, unique tel que :, 0 0 et établir que, 0 donc,, 4, 0 0, La deuxième égalité implique que donc La première équation admet une unique solution dans d après la question précédente. Connaissant la valeur solution de cette équation, on en déduit. Il existe donc un unique point critique. c. Montrer que admet un extremum en ₀, ₀. Est-ce un minimum ou un maximum? La fonction étant de classe sur comme somme de produits de fonctions de classe, on peut appliquer le théorème de Schwarz.,,,, 4 donc le point critique est un extremum local. De plus on a 0, il s agit donc d un minimum.

4 Exercice 3 L application : est définie par :,,, 1. Montrer que est de classe C² sur. La fonction est de classe sur comme somme de rapports de fonctions de classe sur, les dénominateurs ne s annulant pas sur.. Calculer les dérivées partielles d'ordre 1 de en tout point, de., 1 1, 1 3. Montrer qu'il existe un couple unique, de en lequel les deux dérivées partielles d'ordre 1 de s'annulent, et calculer ce couple. On doit résoudre le système La première équation conduit évidemment à 1. En remplaçant par 1 dans la seconde, on obtient : Soit Ou encore Ce qui donne Comme 0, on a donc On en déduit que sur Le point (1,1) est le seul point critique Est-ce que admet un extremum?

5 d après le théorème de Schwarz, ,, donc pour le point critique 1 0 On en déduit que 0 le point critique n est pas un extremum : c est un point selle. Exercice 4 On considère la fonction f de classe C sur ]0, 1[ ]0, 1[ définie par :, 0, 1 0, 1,, Calculer, pour tout, 0, 1 0, 1,, et,., 1 1 1, Montrer qu il existe un unique point de ]0, 1[ ]0, 1[ en lequel est susceptible de posséder un extremum local et déterminer. On doit résoudre sur ]0, 1[ ]0, 1[ le système : Ce système est équivalent au système : 1 1 Sur ]0, 1[ ]0, 1[, ce système équivalent à : 1 1 Car 1 0,1 0, 0. Ce système est équivalent à La première équation donne

6 La deuxième donne donc Soit Le seul point critique est donc , Montrer que admet en un minimum local. La fonction étant de classe, on peut appliquer le théorème de Schwarz., 1 Pour le point critique, on trouve,,, Le point critique est donc un extremum local. Comme 0, c est un minimum local Exercice 5 On note : l application définie, pour tout, par :, 1 6 a) Montrer que (4,) et (,3) sont des points critiques de. L application est de classe sur comme produit de fonctions de classe sur., 7, 8 1 On en déduit que 4, ,

7 le point 4, est un point critique. De même, , le point,3 est un point critique. b) Est-ce que présente un extremum local au point (4,)? Pour les deux questions, on calcule les dérivées d ordre en appliquant le théorème de Schwarz. On a :, 4,, 9, donc pour le point 4,: Le point 4, n est pas un extremum local, c est un point selle. c) Est-ce que F présente un extremum local au point (,3)? Pour le point (,3), on a : 1 On en tire le point (,3) est un extremum local. Comme 0, c est un minimum local. Exercice 6 On note, 1 et on considère l'application : 1. a. Montrer que est strictement croissante sur I. :, 1 4 ² 1 ln 4 La fonction est dérivable sur comme somme de fonctions dérivables sur Le dénominateur est positif sur. Déterminons le signe de 4 1. Δ Le trinôme 4 1 a donc deux racines :

8 ou Il faut maintenant placer ces deux racines par rapport aux bornes de. donc car 1 puisque Or le trinôme 4 1 a le signe de à l extérieur des racines. Il est donc négatif dans l intervalle, et donc négatif également sur. On en déduit que, 0. La fonction est donc strictement croissante sur. b. Montrer : donc ln 1 ln ln ln ln Or 8 et la fonction ln est croissante donc ln8 ln 0 aussi ln8 ln 16 donc bien c. En déduire :,. La fonction étant strictement croissante sur, on a : d après la question précédente, 1 1, 1 1,. On considère la suite réelle définie par 1 et, pour tout,.

9 a. Calculer b. Montrer :,. 0, montrons que si, alors. Si, d après la question précédente,, donc. Il y a hérédité et donc, c. Montrer que la suite est décroissante. La fonction est strictement croissante, donc la suite est strictement monotone., donc la suite est strictement décroissante. d. Montrer que la suite converge et que sa limite est le réel α. La suite est décroissante et minorée par 1/ : elle est donc convergente. Sa limite est un réel α solution de l équation, c est-à-dire de l équation ln 0 3. On considère l'application : :,,, ln a. Montrer que est de classe C¹ sur et calculer les dérivées partielles premières de en tout point, de. La fonction est de classe sur comme somme de produits de fonctions de classe sur.,, ln b. Montrer que admet un point critique et un seul que l'on exprimera à l'aide du nombre réel α. On doit chercher les solutions du système La première égalité permet d écrire : 0 ln 0 En remplaçant dans la seconde on trouve : ln 0 Ce qui donne par une nouvelle substitution dans la deuxième égalité :

10 ln 0 Equation dont nous avons vu que α est la solution. donc Et donc ln ln Le seul point critique est donc, ln. c. Est-ce que F admet un extremum local? La fonction est de classe sur comme somme de produits de fonctions de classe sur. On peut donc appliquer le théorème de Schwarz., Pour et ln, on a :,, 1, ln Le point critique n est pas un extremum local, c est un point selle. Exercice 7 1. On considère la fonction définie pour tout élément de par g ln 1 a. Etudier les variations de et donner les limies de g en 0+ et en +. La fonction est dérivable sur comme somme de fonctions définies et dérivables sur. 1 0 La fonction est donc strictement croissante sur. lim lim ln lim lim ln b. En déduire qu'il existe un unique réel α, élément de 0, tel que 0. La fonction est continue et strictement croissante sur. Elle réalise une bijection de sur. 0, donc l équation 0 a une solution et une seule notée α dans.

11 lim 1 ln La fonction change de signe sur l intervalle 0,1/. d après le théorème des valeurs intermédiaires, on a : 0 1. On considère la fonction de deux variables réelles définie par:,,, ln a. Déterminer le seul point critique de, c'est à dire le seul couple de en lequel est susceptible de présenter un extremum. La fonction est de classe sur comme produit et somme de fonctions de clase sur., ln 1, Pour trouver les points critiques, il faut résoudre le système ln Comme 0, la deuxième équation implique donc 0. En remplaçant dans la première, on trouve : ln 1 0 Ce qui implique Le seul point critique est donc, 0 b. Vérifier que présente un minimum relatif en ce point. La fonction étant de classe, on peut appliquer le théorème de Schwarz. Pour le point critique cela donne :, 1,,, 1 0 donc 1 0 le point critique est un extremum local. Comme 0, c est un minimum. c. Montrer que 1 Or on sait que, 0 ln 0

12 ln 1 0 ln