DÉRIVÉE. I Nombre dérivé - Tangente. Définition. Exemple 1. Remarque

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1 DÉRIVÉE I Nombre dérivé - Tangente Eemple Considérons la fonction carré f() = 2, et effectuons avec une calculatrice un zoom de sa représentation graphique au voisinage de son point 0 d'abscisse 0 = 2 (et d'ordonnée y 0 = 4). On peut constater, si le grossissement est assez fort, que la courbe semble être rectiligne. (Ce résultat sera d'ailleurs vrai en n'importe quel point) Si on considère un point sur la courbe, proche du point 0, l'abscisse de peut s'écrire sous la forme 2 + h (avec h "petit") et l'ordonnée du point est alors (2 + h) 2 y - y Le coefficient de la droite ( 0 ) est : 0 = f() - f( 0 ) = (2 + h) h - 2 = h2 + 4h = h + 4 h On peut remarquer que lorsque h tend vers 0, ce coefficient directeur tend vers 4. Si on superpose sur le graphique la droite passant par 0 et de coefficient directeur 4, c'est-à-dire la droite d'équation y = 4-4, on peut constater qu'elle est, au voisinage du point 0, quasiment confondue avec la courbe. En un point 0 d'abscisse 0 quelconque, on obtiendrait un résultat similaire. En effet pour un point proche de 0, notons = 0 + h l'abscisse de. Le coefficient de la droite ( 0 ) est alors : y - y 0 = f() - f( 0 ) = ( 0 + h)2-2 0 = 2 0 h + h2 = h - 0 h 0 + h On peut remarquer que lorsque h tend vers 0, ce coefficient directeur tend vers 2 0. La courbe sera quasiment confondue avec la droite passant par 0 et de coefficient directeur 2 0. Dans le cas général de la représentation graphique d'une fonction f, le coefficient directeur de la droite ( 0 ) sera f() - f( 0 ) ou encore f( 0 + h) - f( 0 ). - 0 h 0 Définition Soit f une fonction définie sur un intervalle I, soit 0 un point de I. Si lim f( 0 + h) - f( 0 ) eiste et appartient à IR, on dit que la fonction f est dérivable en h 0 h 0. lim f( 0 + h) - f( 0 ) c'est-à-dire lim f() - f( 0 ) sera noté f'( h 0 h 0-0 ) et appelé nombre dérivé de f en 0. 0 La courbe représentative de f a pour tangente en 0 ( 0 ; f( 0 )) la droite T de coefficient directeur f'( 0 ). T a pour équation y = f'( 0 ) ( - 0 ) + f ( 0 ). TS Dérivée page / 7

2 Cas particulier Si f'( 0 ) = 0, T est parallèle à l'ae des abscisses (horizontale). Si f est dérivable en 0, on peut écrire f( 0 + h) = f( 0 ) + f'( 0 ) h + h ε(h) ε étant une fonction de limite 0 en 0. On dit que f( 0 ) + f'( 0 ) h est une approimation affine de f( 0 + h). (On peut même démontrer que c'est la "meilleure" approimation affine de f( 0 + h) ) Propriété (voir démonstration 0) Une fonction dérivable en 0 est continue en 0. (La réciproque est fausse) Eercice 0 Soit f définie sur [0 ; + [ par f() =. Étudier, en utilisant la définition, la dérivabilité de f en 0 = 3, puis en 0 ]0 ; + [. Que peut-on dire de la dérivabilité de f en 0? Si une fonction f est continue en 0 et si lim f( 0 + h) - f( 0 ) = + ou -, h 0 h alors f n'est pas dérivable en 0. La courbe a au point d'abscisse 0 une tangente parallèle à l'ae des ordonnées (tangente verticale). Cette tangente a pour équation = 0. 0 Eercice 02 On considère la fonction f définie sur IR par f() =. On rappelle que si ³ 0, on a f() = et si < 0 f() = - Soit 0 IR. Étudier la dérivabilité de f en 0. (On pourra envisager plusieurs cas) f( Si 0 + h) - f( 0 ) a une limite finie à droite (ou à gauche) h quand h tend vers 0, alors on dit que f est dérivable à droite (ou à gauche) en 0, et cette limite est le nombre dérivé à droite (ou à gauche) de f en 0. La courbe aura alors une demi-tangente à droite (ou à gauche) en 0 et cette demi-tangente aura pour coefficient directeur lim f( 0 + h) - f( 0 ). h Lorsqu'une courbe présente une demi-tangente à droite et une demi-tangente à gauche en 0 et que ces deu demi-tangentes n'ont pas le même coefficient directeur, on dit que la courbe présente un point anguleu en 0. 0 Point anguleu Eercice 03 On considère la fonction définie sur IR par f() = 2 -. Tracer sa représentation graphique en utilisant une calculatrice. Vérifier en utilisant les fonctions de zoom, que cette courbe présente deu points anguleu. Justifier. TS Dérivée page 2 / 7

3 II Fonction dérivée - Opérations Définition Si une fonction f est dérivable en tout point 0 d'un intervalle I, on dit que f est dérivable sur I. L'application qui à tout de I associe le nombre dérivé de f au point est appelée fonction dérivée de f. La fonction dérivée de f est notée f'. Eemple 2 Considérons la fonction f (racine carrée), définie sur [0; + [ par f() =. (Voir Eercice ) f est dérivable sur ]0; + [. Pour tout 0 ]0; + [, le nombre dérivé de f en 0 est f'( 0 ) =. 2 0 La fonction dérivée de la fonction racine carrée est donc la fonction f' définie sur ]0 ; + [ par f'() = Si la fonction f' est elle-même dérivable sur I, la dérivée de f' sera notée f" ou f (2), on l'appelle dérivée seconde de f. On peut ainsi, par itérations, définir si elle eiste la dérivée d'ordre n de f que l'on notera f (n). Si f est dérivable en, on peut écrire f( + h) = f() + f'() h + h ε(h) avec lim ε(h) = 0. h 0 c'est-à-dire f( + h) - f() = f'() h + h ε(h) En prenant pour h un petit accroissement de, noté, et en notant y l'accroissement de f correspondant, on peut écrire y = f'() + ε( ). On a donc y f'() On utilisera alors parfois la notation différentielle : dy = f'() d ou encore f'() = dy d. Eercice 04 On considère les fonctions f, g, h définies sur IR par : f() = k, k IR g() = c() = 2 En utilisant la définition, démontrer que ces fonctions sont dérivables sur IR et donner pour chacune d'elles sa fonction dérivée. Propriétés (rappels) Soient u et v deu fonctions dérivables sur un intervalle I. u + v est dérivable sur I et on a (u + v)' = u' + v' u v est dérivable sur I et on a (u v)' = u'v + u v' si u ne s'annule pas sur I, alors est dérivable sur I et u u si v ne s'annule pas sur I, alors u v est dérivable sur I et u v ' = - u ' u 2 ' = u'v - u v' v 2 2 Cas particulier Si k IR, la dérivée de ku est ku' et la dérivée de u k est u' k. Eercice 05 Soit n un entier naturel. On considère la fonction n (On conviendra que la fonction 0 est la fonction constante ) Démontrer par récurrence que pour tout n ³, n est dérivable sur IR et ( n )' = n n-. Démontrer que, pour tout n ³, -n est dérivable sur ]0; + [ et sur ]- ; 0[ et ( -n )' = -n -n-. TS Dérivée page 3 / 7

4 Dérivées des fonctions usuelles On donne ci-dessous les dérivées de fonctions rencontrées couramment. Fonction Dérivée Intervalle f() = k f'() = 0 IR f() = f'() = IR f() = a + b f'() = a IR f() = 2 f'() = 2 IR f() = 3 f'() = 3 2 IR f() = f'() = - 2 ]- ; 0[ ou ]0 ; + [ f() = f'() = 2 f() = n n ZZ n 0 f'() = n n- ]0 ; + [ IR si n > 0 ]- ; 0[ ou ]0 ; + [ si n < 0 f() = sin f'() = cos IR f() = cos f'() = - sin IR Eercice 06 Calculer, en précisant l'intervalle considéré, les dérivées des fonctions suivantes. f() = g() = h() = p() = q() = 3 r() = Eercice 07 Calculer, en précisant l'intervalle considéré, les dérivées des fonctions suivantes. f() = sin g() = 6 h() = p() = ( - 3) + 2 q() = r() = + Eercice 08 Calculer, en précisant l'intervalle considéré, les dérivées des fonctions suivantes. f() = sin g() = ( 3 + 3) h() = 2 + cos cos 2 + sin Eercice 09 Soit f définie par f() = La courbe représentative de f a-t-elle des tangentes parallèles à la droite d'équation y = - +? Si oui en quels points? Eercice 0 En utilisant la définition du nombre dérivé, déterminer lim lim sin π 2 lim cos - π 2 TS Dérivée page 4 / 7

5 III Application au variations d'une fonction Théorème (rappel) Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Si f' est nulle sur I, alors f est constante sur I. Si f' est positive ou nulle sur I, alors f est croissante sur I. Si f' est strictement positive sur I, alors f est strictement croissante sur I. Si f' est négative ou nulle sur I, alors f est décroissante sur I. Si f' est strictement négative sur I, alors f est strictement décroissante sur I. Propriété (voir démonstration 02) Si f est une fonction strictement croissante sur ]a ; b[ et si f est continue en a et en b, alors f est strictement croissante sur [a ; b]. On peut utiliser une propriété similaire pour un intervalle ]a ; + [ ou ]- ; a[ en supposant f continue en a. On peut utiliser des propriétés similaires pour une fonction strictement décroissante. Eemple 3 Considérons la fonction f() =, définie sur [0; + [. On peut justifier en utilisant la propriété ci-dessus que f est strictement croissante sur [0; + [. (résultat connu, déjà démontré en utilisant la définition d'une fonction strictement croissante) On sait que f est dérivable sur ]0; + [ et que f'() = donc f'() > 0 pour tout ]0; + [ 2 On peut en déduire que f est strictement croissante sur ]0; + [. De plus, on sait que f est continue sur [0; + [ et en particulier en 0. On en déduit que f est strictement croissante sur [0; + [. Eercice On considère la fonction f définie sur ]0 ; 2[ par f() = ) Donner les limites de f au bornes de son intervalle de définition. 2 ) Justifier que f est dérivable sur ]0 ; 2[ et calculer sa dérivée f'. 3 ) Étudier le signe de f' et donner le tableau de variations de f. Eercice 2 f est définie sur IR par f() = ) Donner le tableau de variations de f. 2 ) Représenter graphiquement f. 3 ) Quel est le nombre de solutions de l'équation f() = 0. Donner une valeur approchée de chacune des solutions. Eercice 3 f est la fonction définie sur [0; + [ par f() = Donner le tableau de variations de f. Tracer la courbe représentative de f, on étudiera en particulier la tangente à la courbe en son point d'abscisse 0. TS Dérivée page 5 / 7

6 IV Dérivée d'une fonction composée Eemple 4 Considérons la fonction u définie sur IR par u() = 2 + et la fonction f définie sur IR par f() = 2 + La fonction f est la composée de la fonction racine carrée que l'on notera r et de la fonction u. f() - f( Soit 0 IR. Étudions la dérivabilité de f en 0 et pour cela calculons 0 ) - 0 f() - f( 0 ) - 0 = = lim + 0 = ( ) 0 = + ( ) - 0 (- 0 ) ( ) (- = 0 )( + 0 ) = (- 0 ) ( ) (- 0 ) ( ) et Donc lim f() - f( 0 ) = 0-0 lim = = La fonction f est donc dérivable en tout point 0 de IR, le nombre dérivé en 0 étant f'( 0 ) = f est donc dérivable sur IR et f'() = On peut remarquer que f correspond à la racine carrée de u et que la fonction racine carrée a pour dérivée en u le nombre. En utilisant les approimations on peut alors noter que y u 2 u 2 u ais la fonction u ayant pour dérivée en le nombre u'() = 2, on peut aussi écrire u 2 On obtient alors y u 2 2 donc y 2 u 2 u En utilisant la notation différentielle, on peut écrire dy = r'(u) du et du = u'() d On obtient alors dy = r'(u) u'() d c'est-à-dire dy = 2 d = 2 d donc dy 2 u d = 2 + On retrouve ainsi le résultat démontré précédemment. Propriété (admise) Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, si v est une fonction dérivable sur un intervalle J, et si pour tout I u() J, alors v o u est dérivable sur I et on a ( v o u )' = u ' (v ' o u) La propriété peut être démontrée, le principe de la démonstration reposant sur la traduction en termes d'approimation affine de la dérivabilité d'une fonction : f( 0 + h) = f( 0 ) + f'( 0 ) h + h ε(h) En combinant les approimations de v et de u qui sont des fonctions dérivables, on obtient une approimation de v o u. Eercice 4 Calculer les dérivées de : f() = sin( 2 + ) g() = cos h() = TS Dérivée page 6 / 7

7 Propriétés (voir démonstration 03) Soient a et b deu réels, f une fonction dérivable sur un intervalle J et soit I un intervalle tel que pour tout de I a + b J. La fonction g définie par g() = f(a + b) est dérivable sur I et g'() = a f'(a + b). Si u est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I alors : u est une fonction dérivable sur I et on a ( u ) ' = u '. 2 u Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I alors : pour tout n IN * u n est une fonction dérivable sur I et on a (u n ) ' = n u' u n-. (si de plus u ne s'annule pas, le résultat ci-dessus peut être appliqué avec n entier relatif) Eercice 5 Pour chacune des fonctions ci-dessous on considère un intervalle I sur lequel la fonction est dérivable. Calculer alors la dérivée. r() = 2 + s() = p() = ( ) 8 q() = cos( ) Eercice 6 Étudier la dérivabilité en 0 des fonctions r, s et t : r() = 2 + s() = t() = Eercice 7 Partie A Soit f la fonction numérique de la variable réelle définie sur [0 ; [ par f() = 3 -. ) Dresser le tableau des variations de f. 2 ) Soit Γ la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère orthonormal (O; i, j ). Déterminer une équation de la tangente T à la courbe Γ au point d'abscisse 2. Tracer la courbe Γ et la droite T. 3 ) Sur le même grahique, tracer la courbe Γ 2 image de Γ par la réfleion d'ae O. 4 ) Soit Γ = Γ Γ 2. ontrer que Γ a pour équation cartésienne 3 + ( - )y 2 = 0 Γ est appelée cissoïde de Dioclès. Partie B I est le point de coordonnées ( ; 0) dans le repère (O; i, j ). C est le cercle de diamètre [OI] et est la tangente à C au point I. Soit D la droite passant par O et de coefficient directeur t, t IR. ) Déterminer les coordonnées de, point d'inter section de C et de D, distinct de O. Déterminer les coordonnées de N, point d'intersection de et de D. 2 ) Déterminer les coordonnées du point ' tel que O' = N. ontrer que ' est un point de Γ. TS Dérivée page 7 / 7

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