EXERCICES SUR LES EXPONENTIELLES

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1 EXERCICES SUR LES EXPONENTIELLES EXERCICE 1 : Domaine de définition Déterminer le domaine de définition des fonctions eponentielles suivantes : a) f() = e - b) f() = e - c) f() = e (1/) c) f() = ep( 1 1 ) d) f() = ep( e ) e) f() = e 1 EXERCICE : Calcul de limites Calculer les limites suivantes a) Lim ep( +1) b) Lim ep ( ) 1 c) Lim (e e + 1 ) d) Lim (e e - ) + - e) Lim e 1 e f) Lim e 1 0 g) Lim (e -1) Ln 0 + EXERCICE 3 : Calcul de dérivées Calculer les dérivées des fonctions suivantes a) f() = e ( 3) b) ep( 1 ) c) f() = e 1 d) ep( - 1/) 1 e) f() = ep(e ) e) ep( Ln )

2 EXERCICE 4 : Calcul de primitives et d intégrales Calculer les primitives des fonctions suivantes a) f() = ep( ) b) f() = 1 ep( 1 ) c) f() = e 4 1 e d) f() = e e EXERCICE 5 : Intégration par parties En utilisant la méthode d intégration par parties, calculer les primitives des fonctions suivantes : a) f() = e b) f() = e Ln c) f() = ep( ) d) f() = ( +1) ep(+1) EXERCICE 6 : Equations, inéquations et systèmes d équations eponentielles Résoudre les équations et inéquation suivantes : a) ep() ep(+) = ep( + ) b) ep(-) ep(-) = ep( -5) c) ep( +3-4) ep(1-) > ep( -) d) e + e - = 0 e) 3 e - 4 e f) e + > g) e 1 e 1 3 e e e h) Soit P() = 3 + Déterminer a, b,c tel que P() s écrive P() = (+)(a + b +c) Résoudre P() 0 En déduire les solutions de l inéquation (e ) 3 (e ) e + 0

3 i) Résoudre l inéquation bicarrée 4 + > 0 et en déduire les solutions de l inéquation eponentielle e 4 + e > 0 j) Résoudre les systèmes suivants : y 1 e e y 3 3 e 0 y e e y e Ln Ln3 Ln4 Lny 0 e e y EXERCICE 7 : Etude de fonctions eponentielles Etudier les fonctions suivantes : a) f() = e -1 b) f() = e c) f() = e 1 EXERCICE 8 : Problèmes d) f() = ep( 1 1 ) Problème 1 : Soit f la fonction définie sur R par f() = e ( e ) On appelle (C ) la courbe représentative de f dans un repère orthonormé d unité 4 cm. a) Etudier les variations de f b) Etudier les comportements asymptotiques de (C ) c) Montrer que la courbe (C ) admet un point d infleion dont on donnera les coordonnées d) Calculer l ordonnée y A du point A d abscisse A = - Ln e) Calculer f(-ln) et donner l équation de la tangente (T) à la courbe (C ) au point A f) Construire (C ) et (T). g) Donner les primitives de f sur R h) Calculer,en cm, l aire de la portion de plan limitée par la courbe (C ), l ae des abscisses et les droites d équation =0 et =-Ln i) Résoudre algébriquement l équation d inconnue :

4 e - e 3 = 0 j) Utiliser la courbe (C ) pour étudier, suivant les valeurs du paramètre réel m, l eistence, le nombre et le signe des solutions de l équation : e - e m = 0 Problème : 1) Etudier les variations de la fonction g() = e -1 et en déduire le signe de g() ) On considère la fonction f() = (+) ( 1 + e - ) On note (C ) la courbe représentative de f dans un repère orthonormé d unité 1 cm. a) Montrer que pour tout réel, la dérivée de f s écrit f () = g() e - b) Etudier les variations de f() c) Montrer que la courbe ( C ) admet un point d infleion dont on déterminera le coordonnées. d) Montrer que la droite (D) d équation y = + est asymptote à la courbe au voisinage de + e) Etudier le comportement asymptotique de (C ) au voisinage de - f) Etudier la position de la courbe ( C) par rapport à la droite (D) g) Tracer (C ) et les asymptotes 3) On donne la fonction F() = (a +b+c) e - a) Déterminer les constantes a, b et c telles que F() soit une primitive de ( +) e -. b) Déduire une primitive de f() c) Calculer en cm l aire de la portion de plan limitée par la courbe (C ), la droite (D), l ae des abscisses et les droites d équation =0 et =1. Problème 3 : On considère la fonction f définie sur R par f() = 1 e On note (C ) la courbe représentative de f dans un repère orthonormé d unité 1 cm et (D) la droite d équation y=1. a) Montrer que [ f() 1] garde un signe constant pour tout réel. Que peut-on déduire quant à la position de (C ) et (D )? b) Etudier les variations de f

5 Problème 4 : c) La courbe ( C) admet-elle des points d infleion? Si oui calculer leurs abscisses. d) Montrer que f() = 0 admet une solution et une seule dans l intervalle ]0, 1[ e) Tracer la courbe (C ) f) Déterminer les nombres a, b et c tels que G() = (a +b+c) e soit une primitive de g() = e f) Calculer, en cm, l aire du domaine limité par la courbe (C ), l ae des abscisses, les droites d équation =-1 et =0. On considère la fonction f définie sur R par f() = - e 1 e 1 On note (C) la courbe représentative de f dans un repère orthonormé d unité 1 cm. e a) Vérifier que pour tout réel : f() = -1 + e = +1-1 e 1 b) Etudier les limites e f en et + c) Montrer que les droites (D1) et (D) d équations respectives y = +1 et y=-1 sont asymptotes à la courbe (C ). d) Préciser la position de (C ) par rapport à ces asymptotes. e) Montrer que f est impaire f) Etudier les variations de f sur ]0, +[ g) Tracer la courbe (C ), la tangente à (C ) au point d abscisse 0, les droites (D1) et (D) h) Montrer que l équation f()=1 admet une solution et une seule 0 et donner un encadrement de 0 au diième. Problème 5 : L objet de ce problème est d étudier, sur l intervalle [0, +[, la fonction f définie par : f() = e 1 e On note ( C) la courbe représentative de f dans un repère orthonormé d unité 5 cm. PARTIE A A1 ) On considère sur l intervalle [0, +[, la fonction g définie par g() = e - 1

6 1) Etudier les variations de g() sur [0, +[ ) En déduire le signe de g() sur [0, +[ A) Soit h la fonction définie sur [0, +[, par h() = ( ) e - 1 3) Etudier la fonction h et dresser son tableau de variation 4) Montrer que l équation h() = 0 admet une solution et une seule et que l on a > 1. 5) Vérifier la double inégalité 1.84 < < ) Préciser suivant les valeurs de 0, le signe de h(). PARTIE B 7) Justifier que f() est définie en tout point de l intervalle [0, +[ 8) Montrer que pour tout 0, on peut écrire f() = 1 e 1 e et en déduire Lim f() et donner son interprétation géométrique. + 9) Montrer que la dérivée de f s écrit h( ) f () = ( e ) 10) Compléter les variations de f et dresser son tableau de variation. On 11) vérifiera en utilisant h( ) = 0 que e = 1 / ( - ) et que f ( ) = 1 / ( - 1) Montrer que, pour tout 0 f() = ( 1 )g( ) e En déduire la position de la courbe (C ) par rapport à la droite d équation y =. 1) Préciser l équation de la tangente à ( C ) au point d abscisse ) Tracer la courbe ( C)

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