I. Fonction de référence

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "I. Fonction de référence"

Transcription

1 I. Fonction de référence Fonction x x 2 x x 3 x x x x Nom Domaine de définition x 3 2,5 2,5 0,5 0 0,5,5 2 2,5 3 Tableau de valeurs x² x 3 x /x Graphes Extremum Eléments de symétrie de la courbe Fonctions et dérivées Page L option

2 II. Exercices sur les fonctions Exercice n Un maître nageur dispose d un cordon flottant de 360 m de longueur pour délimiter un rectangle de baignade surveillée. On note x et y les dimensions en mètres de ce rectangle et S(x) son aire en m².. a. Calculer cette aire pour x égal à 25 puis pour x égal 42. b. De façon générale, exprimer y puis S(x) en fonction de x. 2. Le but de cette question est de déterminer quelle valeur donner à x pour que l aire de baignade soit maximale. a. A quel intervalle I appartient le nombre x? b. Première méthode : Utilisation de la calculatrice En utilisant le tableur de la calculatrice, compléter le tableau suivant : x S(x) x S(x) Qu observe-t-on? A l aide de ce tableau et du graphe de la fonction, conjecturer la valeur de x pour laquelle l aire est maximale. c. Seconde méthode : Par le calcul Démontrer que : S(x) = 2 P(x) où P(x) est un polynôme du second degré à déterminer. Démontrer que P(x) peut s écrire sous la forme a(x b)² où a et b sont à déterminer. Quel est le signe de S(x) 6 200? En déduire que S(x) et que l égalité n est possible que pour une valeur de x. Exercice n 2 On introduit poissons dans un lac artificiel. On estime que la population de poissons varie en fonction du temps et que t années après la mise à l eau, le nombre de poissons en milliers d unités est donné par la formule : P(t) = t + 0,05t. Calculer le nombre de poissons au bout d un an, de quatre ans, de huit ans. 2. En combien d années la population aura-t-elle quadruplé? aura-t-elle été multipliée par 6? 3. a. Compléter le tableau suivant ( arrondir à l unité ) : t P(t) b. A l aide de la calculatrice conjecturer la valeur de m, plus petit nombre que P(t) ne dépassera jamais. c. Confirmer cette conjecture en étudiant le signe de P(t) m. Fonctions et dérivées Page 2 L option

3 Exercice n 3 [AB] est un segment de 0 centimètres de longueur. M est un point de [AB] distinct de A et B. AMP et BMQ sont des triangles rectangles isocèles en P et Q. On cherche à déterminer la position du point M pour que la distance PQ soit minimale. On pose : AM = x ( on a donc 0 < x < 0 ). a. Exprimer PM² puis MQ² en fonction de x. b. En déduire que PQ² = x² 0x c. Exprimer PQ en fonction de x. 2. Représenter graphiquement la fonction f définie sur ] 0 ; 0 [ par : f(x) = x 2 0x En déduire la position du point M rendant la distance PQ minimale. 3. On cherche à déterminer la position de M pour que PQ = 6. a. Déterminer graphiquement la ( les? ) valeur(s) de x correspondante(s). b. Résoudre ce problème par le calcul. Exercice n 4 On dispose d'une feuille cartonnée de dimensions avec laquelle on veut fabriquer une boîte sans couvercle. Pour cela, on découpe à chaque coin de la feuille un carré de côté x. On obtient le patron de la boîte. On se propose d étudier son volume suivant les valeurs de x.. Préciser dans quel intervalle I peut varier x pour que la boîte soit réalisable. 2. Exprimer en fonction de x les 3 dimensions de la boîte. 3. En déduire, en fonction de x, le volume en cm 3 de la boîte. On le notera V(x). 4. Compléter le tableau de valeurs suivant : x V(x) 5. Construire dans un repère orthogonal la représentation graphique de V(x) en fonction de x. On placera l origine en bas et à gauche de la feuille et on prendra pour unités : - cm sur l axe des abscisses pour représenter une valeur de x de cm - cm sur l axe des ordonnées pour représenter un volume de 00 cm En utilisant le graphique et la calculatrice, répondre aux deux questions suivantes : a. Y a-t-il une valeur de x pour laquelle le volume est maximal? Si oui, quelle est cette valeur? Quelles sont alors les dimensions et le volume de la boîte? b. Indiquer pour quelles valeurs de x on obtient une boîte dont le volume est supérieur à litre. Fonctions et dérivées Page 3 L option

4 Exercice n 5 On considère un triangle ABC isocèle et rectangle en A tel que AB = 5 cm. Soit F le milieu de [AC] et M un point libre sur [AB]. Soit (d) la perpendiculaire à (AB) issue de M, elle coupe (BC) en E. On s intéresse à la fonction f qui à x = MB associe l aire y du polygone EFAM.. Montrer que le polygone EFAM est un trapèze. 2. Calculer EM en fonction de x. En déduire que f(x) = 2 x + 5 (5 x), où f(x) est l aire du trapèze EFAM Quel est le domaine de définition de la fonction f? 4. Créer un tableau de valeurs de la fonction f. 5. On se propose de trouver la valeur (ou les valeurs ) x pour laquelle (ou lesquelles) l aire est maximale. Montrer que f(x) = x 5 2 et en déduire que la fonction f admet un maximum pour x = On admet que le tableau des variations de f est : x f (x) Compléter ce tableau. Exercice n 6 Dans un parterre rectangulaire ABCD, un jardinier doit semer du gazon sur un quadrilatère MNPQ de telle sorte que M soit sur [AB], N sur [BC], P sur [CD] et Q sur [AD] avec de plus AM = BN = CP = DQ = x. [AB] mesure 8 m et [AD] 4 m.. Faire une figure. 2. A quel ensemble I peuvent appartenir les nombres x? 3. Exprimer l aire A(x) du quadrilatère MNPQ en fonction de x. 4. Vérifier que cette aire peut s écrire sous la forme : A(x) = 2 (x 3)² Faire l étude du sens de variation de A sur l ensemble I, dresser son tableau de variation, puis construire la courbe représentant la fonction A dans un repère bien choisi. 6. Le jardinier, voulant faire des économies, voudrait que la surface à semer ait la plus petite aire possible. Déduire du travail précédent une solution au problème du jardinier et déterminer dans ce cas l aire de la surface qu il doit semer. 7. Le jardinier aurait-il pu semer une surface d aire 22 m²? Quelle serait alors la position de M sur [AB]? Même question pour une aire A(x) qui, en m², vérifie 6 A(x) 22. Fonctions et dérivées Page 4 L option

5 III. A la découverte de la dérivée Le plan est muni d un repère orthonormé (O, i, j ) Rappel : soit A et B deux points de coordonnées (x a ; y a ) et (x b ; y b ). Le coefficient directeur de la droite (AB) est donné par a = y b y a x b x a (on l appelle aussi Taux d accroissement). Exercice n 7. Tracer une droite D passant par A ( ; 2) et de coefficient directeur Tracer une droite D 2 passant par B (4 ; ) et de coefficient directeur Donnez le coefficient directeur et l équation réduite de la droite (AB). Exercice n 8 On considère la fonction f définie sur IR par f(x) = x². Tracer soigneusement C f dans un repère (unité 2cm). Soit x 0 un nombre réel. On note d x0 la limite en 0 (lorsqu elle existe) du quotient f(x 0 + h) f(x 0 ) h. On prend x 0 = 0. Calculer d 0 et tracer sur le graphique la droite passant par A(0 ; f(0)) et de coefficient directeur d On prend x 0 =. Calculer d et tracer sur le graphique la droite passant par B( ; f()) et de coefficient directeur d. 3. On prend x 0 = 2. Calculer d 2 et tracer sur le graphique la droite passant par C( 2 ; f( 2)) et de coefficient directeur d Que pensez-vous de la position relative de chacune des droites par rapport à C f? Définition : soit f une fonction définie sur une intervalle I, soit a un réel de I. On dit que f est dérivable en a si et seulement si la limite quand h tend vers 0 du quotient f(x 0+ h) f(x 0 ) existe. h f(x Si f est dérivable en a, on note f (a) = lim 0 + h) f(x 0 ) h 0 h Vocabulaire : le rapport f(x 0 + h) f(x 0 ) h s'appelle Taux de variation de f entre a et a + h (ou Taux d accroissement). Exercice n 9 On considère à présent la fonction définie sur IR par f(x) = x 3 Rappel : (a + b) 3 = a 3 + 3a²b + 3ab² + b 3. Placer dans un repère (unité : 0,5 cm) les points d abscisses 0 et. Montrer que f est dérivable en 0 et en. Tracer ses tangentes en ces points. 2. f est-elle dérivable en tout point? Calculer f (x 0 ) où x 0 est un réel quelconque. 3. Reprendre la question pour les abscisses 2 ; et Tracer C f dans le repère à l aide des éléments déjà tracés. Exercice n 0 Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer l ensemble de dérivation de f et calculer sa dérivée.. f(x) = k 4. f(x) = ax + b 2. f(x) = x 5. f(x) = x² 3. f(x) = 2x + 6. f(x) = x Fonctions et dérivées Page 5 L option

6 IV. Dérivation a. Fonction dérivée Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On dit que f est dérivable sur I si pour tout x I, le nombre dérivée f (x) existe. La fonction définie sur I par x f (x) est appelée fonction dérivée de f. Exemple : Soit f définie sur IR par f (x) = x 2. On a démontré que pour tout nombre réel x 0, le nombre dérivé de f en x 0 existe et f (x 0 ) = 2x 0. La fonction dérivée de f est donc la fonction f définie sur IR par f (x) = 2x. Graphiquement, la dérivée en un point x 0 (nombre dérivé en x 0 ) correspond à la pente de la tangente en x 0. Exercice n Déterminer les équations des droites tracées dans le repère ci-dessous : d d6 d2 d3 O d5 d4 Exercice n 2 Le graphe ci-dessous donne la courbe représentant une fonction f et trois de ses tangentes. Déterminer graphiquement f ( ) ; f (0) et f (2). Fonctions et dérivées Page 6 L option

7 b. Formules de dérivation Dérivées des fonctions usuelles. Nous avons déterminé dans les exercices les nombres dérivés de certaines des fonctions suivantes : fonction f dérivée f intervalle de dérivation f (x) = k, k IR f (x) = 0 f (x) = x f (x) = f (x) = x 2 f (x) = 2x f (x) = x 3 f (x) = 3x 2 f (x) = x f (x) = 2 x f (x) = x f (x) = x 2 I = IR I = ] 0 ; + [ I = ] ; 0 [ ou I = ] 0 ; + [ Dérivée d une somme et d un produit par une constante Théorème : Soit u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I et k un nombre réel. * La fonction u + v est dérivable sur I et sa fonction dérivée est la somme des fonctions dérivées : ( u + v ) = u + v * La fonction ku est dérivable sur I et sa fonction dérivée est le produit de k par la dérivée de u : ( ku ) = ku Exemples : Soit f la fonction définie sur ] 0 ; + [ par f (x) = x 2 + x. La fonction u : x x² est dérivable sur ] 0 ; + [ et u (x) = 2x. La fonction v : x x est dérivable sur ] 0 ; + [ et v (x) = 2 x. Ainsi, f est dérivable sur ] 0 ; + [ et f (x) = 2x + 2 x. La fonction dérivée de la fonction définie sur IR par f (x) = 3x 3 5x est f (x) = 3 3x 2 5 = 9x 2 5. Exercice n 3. a. Tracer le graphe de la fonction f définie par f(x) = 2 x 2 sur [ 2 ; 2 ]. b. Déterminer son nombre dérivé en ; ; 5 et 0. c. Tracer les tangentes à la courbe en ces points. d. Déterminer les équation de ces tangentes en 0 et. 2. a. Tracer le graphe de la fonction f définie par f(x) = x + x sur [ 0,25 ; 5 ]. b. Déterminer son nombre dérivé en ; et 4. 2 c. Tracer les tangentes à la courbe en ces points. d. déterminer les équation de ces tangentes en et a. Tracer le graphe de la fonction f définie par f(x) = (x 3) 2 sur IR. b. Déterminer son nombre dérivé en ; 3 ; 5 et 0. c. Tracer les tangentes à la courbe en ces points. Fonctions et dérivées Page 7 L option

8 Exercice n 4 La représentation graphique P d une fonction polynôme f du second degré est donnée ci-dessous ainsi que sa tangente T au point A de coordonnées (0 ; 3). y B A o x. Déterminer graphiquement le coefficient directeur de T et en déduire l équation de T. Que vaut le nombre dérivé de f en 0, c est-à-dire f (0)? 2. On pose f(x) = ax 2 + bx + c. Déterminer la fonction dérivée f de f. 3. Calculer a, b et c sachant que la courbe P passe par A(0 ; 3), B( ;4) et qu elle admet la droite T comme tangente en A. Dérivée d un produit, d un inverse, d un quotient. Théorème : Soient u et v deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle I tel que v(x) 0 sur I. * La fonction uv est dérivable sur I et (uv) = u v + uv * La fonction v est dérivable sur I et v = v * La fonction u v est dérivable sur I et u u v uv = v v 2 v 2 Exemples : Soit f la fonction définie sur ] 0 ; + [ par f (x) = ( x 2 + ) x. La fonction u : x x 2 + est dérivable sur ] 0 ; + [ et u (x) = 2x. La fonction v : x x est dérivable sur ] 0 ; + [ et v (x) = 2 x. La fonction f est le produit de deux fonctions dérivables sur ] 0 ; + [ donc f est dérivable sur ] 0 ; + [ et f = u v + uv donc : f (x) = 2x x + ( x 2 + ) 2 x = 5x2 + 2 x. Soit f définie sur ] 2 ; + [ par f (x) = x 2. La dérivée de f est f (x) = (x 2) 2. Soit f la fonction définie sur ] 0 ; + [ par f (x) = 2x + x 2 +. La fonction u : x 2x + est dérivable sur ] 0 ; + [ et u (x) = 2. La fonction v : x x 2 + est dérivable sur ] 0 ; + [ et v (x) = 2x. u v uv La fonction f est le quotient de deux fonctions dérivables sur ] 0 ; + [ donc f est dérivable sur ] 0 ; + [ et f = v 2 x2 + (2x + )2x f (x) = 2( ) ( ) x = 2x 2 2x + 2 ( x 2 + ) 2 Fonctions et dérivées Page 8 L option

9 Dérivée de x x n où n est un entier relatif. Théorème : Soit n un nombre réel. La fonction f définie sur un intervalle I par f (x) = x n est dérivable sur I et (x n ) = nx n Exemples : Soit f la fonction définie sur IR par f (x) = x 5. Cette fonction est dérivable sur IR et f (x) = 5x 4 Soit la fonction f définie sur ] ; 0 [ par f (x) = x 3, f peut s écrire f(x) = x 3 d où : f (x) = 3x 4. Exercice n 5 Pour chacune des fonctions suivantes, préciser l ensemble de définition, l ensemble de dérivabilité et calculer la dérivée.. f(x) = 2x + 2. g(t) = 3t 2 + 2t 3. h(x) = x 4. f(x) = x 5. g (t) = 4t 2 + 2t h(x) = x x 7. f(x) = 4 x2 3x h(t) = (t 2)² 9. f(x) = 3x 7 0. h(x) = 3x + 4. h(t) = 2t t 2. f(x) = 2x + 3 Exercice n 6. Soit f la fonction définie sur IR par f (x) = 7 (x3 + 4). Calculer f (x) de deux manières différentes. 3x Soit f la fonction définie sur ] ; + [ par f (x) = x +. 7 Montrer que l on a pour tout x de ] ; + [ : f (x) = 3 +, puis calculer f (x) de deux manières. x + 3. Soit f la fonction définie sur ] ; + [ par f (x) = 4x 7 x 2. Montrer que l on a pour tout x de ] ; + [ : f (x) = 4 +. Puis calculer f (x) de deux manières. x 2 c. Sens de variation, extremum et dérivée Exercice n 7 Soit f la fonction polynôme définie par : f(x) = x 3 3x +. Faire afficher la courbe de f sur l écran de la calculatrice. Par lecture graphique, dresser le tableau de variation de la fonction f. 2. a. Calculer f (x). b. Compléter le tableau suivant : x ,5 0 0, f (x) Quel lien peut-on conjecturer entre le signe de f et le sens de variation de f. c. Écrire f (x) comme produit de trois facteurs et en déduire le signe de f (x). (On pourra utiliser un tableau de signes ) La conjecture faite à la question précédente est-elle confirmée? Fonctions et dérivées Page 9 L option

10 Signe de f et sens de variation de f. On considère une fonction f définie sur un intervalle I et dérivable sur cet intervalle. Intuitivement, quel lien peut-on faire entre le sens de variation de f et le signe de f dans chacun des trois cas suivants? y = f (x) y = f (x) y = f (x) j 0 i j 0 i j 0 i f est constante sur I. En tout point de C f, la tangente est horizontale : pour tout x I, f (x) = 0. f est croissante sur I. En tout point de C f, le coefficient directeur de la tangente est positif : pour tout x I, f (x) 0. f est décroissante sur I. En tout point de C f, le coefficient directeur de la tangente est négatif : pour tout x I, f (x) 0. Théorème : Soit une fonction f définie sur un intervalle I et dérivable sur cet intervalle. * Si f est nulle sur I, alors f est constante sur I. * Si f est positive sur I, alors f est croissante sur I. * Si f est négative sur I, alors f est décroissante sur I. Exercice n 8 Soit f la fonction définie sur ] 3 ; + [ par f(x) = 4x + x 3. Déterminer la fonction dérivée de f sur ] 3 ; + [. 2. En déduire le sens de variation de la fonction f sur ] 3 ; + [. Dérivée et extremum local. Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Si f admet en a un maximum local ou un minimum local, alors f (a) = 0. Exemple : La fonction ci-dessous admet en a un maximum local mais ce n est pas un maximum absolu car il existe x tel que f(x) > f(a). y = f (x) f (a) a j 0 i Attention : La réciproque de ce résultat est FAUSSE. En effet, considérons la fonction g définie sur IR par g(x) = x 3. g est dérivable sur IR et g (x) = 3x 2. On a g (0) = 0 mais la fonction g n admet évidemment pas d extremum local en 0!!! Fonctions et dérivées Page 0 L option

11 V. Exercices Exercice n 9 S(x) = 2x x sur l intervalle I = [ 0 ; 80 ].. Calculer S (x) puis étudier le signe de S sur I. 2. Dresser le tableau de variation de S sur I. 3. En déduire la valeur de x pour laquelle S atteint son maximum. Donner ce maximum. Exercice n 20 On considère la fonction f définie sur [ ; 3 ] par f(x) = x 2 2x Calculer la fonction dérivée de f et dresser le tableau de variation de f sur [ ; 3 ]. 2. Compléter le tableau suivant x 0,5 0 0,5,5 2 2,5 3 f(x) Tracer la représentation graphique C de f. 3. Pour tout réel a comparer f( + a) et f( a). Que peut-on en déduire? Exercice n 2 Soit f la fonction définie sur par : f(x) = x 3 6x 2 + 9x.. Calculer f (x). 2. a. Démontrer que f (x) peut s écrire sous la forme 3(x a)(x b) où a et b sont des nombres à déterminer. b. En déduire le signe de f sur. c. Comment peut-on contrôler graphiquement les résultats de la question précédente à la calculatrice? 3. a. Dresser le tableau de variation de f sur. b. Contrôler graphiquement les résultats de la question précédente à la calculatrice. 4. a. On note C f la courbe représentant f dans un repère. On note T 0 ; T ; T 3 et T 4 les tangentes à C f aux points d abscisses respectives 0 ; ; 3 et 4. Déterminer des équations de ces droites. b. Faire tracer T 0 ; T ; T 3 et T 4 et C f sur l écran de la calculatrice. Exercice n 22 Partie A : Soit f la fonction définie sur par f(x) = x 2 2x 5.. Calculer la dérivé de f et en déduire le tableau de variation de f. 2. Résoudre l équation f(x) = 0 à l aide de la calculatrice. 3. A l aide du graphe, justifier que l ensemble des solutions de l inéquation f(x) 0 est S = ] ; 3 ] [ 5 ;+ [. Partie B : Soit g la fonction définie sur par g(x) = 30 x3 0 x2 3 2 x.. Montrer que pour tout x de, on a : g (x) = 0 f(x). 2. En déduire le signe de g (x) suivant les valeurs de x puis le tableau de variation de g. 3. A l aide de la calculatrice, donner à 0 près les solutions approchées de l équation g(x) = 0. Fonctions et dérivées Page L option

12 Exercice n 23 Soit f la fonction définie sur ] ; + [ par f(x) = 2x 3 x. Montrer que l on a pour tout x de ] ; + [ : f(x) = 2 x 2. Calculer f (x). En déduire le sens de variation de f sur ] ; + [ et dresser le tableau de variation. 3. Compléter le tableau suivant puis tracer la représentation graphique C de f. x,25,5 2 2,5 3 3, f(x) 4. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe C au point A d abscisse 2 et la tracer. Exercice n 24 2x² + 5x On considère la fonction f définie sur ] ; [ ] ; + [ par : f (x) = x + c. Trouver les réels a, b et c tels que : f (x) = ax + b + x Calculer alors la dérivée f de f, étudier son signe et dresser son tableau de variation. Exercice n 25 x² + 6x + 5 On considère la fonction f définie sur ] ; 3 [ ] 3 ; + [ par : f (x) = x 3 c. Trouver les réels a, b et c tels que : f (x) = ax + b + x 3 2. Calculer alors la dérivée f de f, étudier son signe et dresser son tableau de variation. 3. Après avoir déterminé le nombre dérivé de la fonction f en 0 et en 2, tracer les tangentes à la courbe en ces points (on ne demande pas de déterminer leur équation), puis tracer la courbe représentative de f. 4. Tracer la droite d équation ax + b. Que remarque-t-on? On dit que cette droite est une asymptote oblique à la courbe. Exercice n 26. Trouver les nombres a et b tels que pour tout x de ] ; [ ] ; + [ on ait : 2x + 5 x + = a + b 2. Considérons f la fonction définie sur ] ; [ ] ; + [ par f (x) = 2 + Fonctions et dérivées Page 2 L option 3 x + a. Etudier les variations de f (dérivée, étude signe de la dérivée et tableau de variation). b. Dans un repère orthonormal, en prenant le carreau pour unité, construire la courbe représentative C f de la fonction f. 3. a. Recopier et compléter le tableau suivant (arrondir les résultats au dix millième) : x f(x) b. Lorsque x est de plus en plus grand, vers quelle valeur l semble se rapprocher f (x)? On note alors lim x + x + f (x) = 2. c. De même, en faisant tendre x vers des valeurs de plus en plus petites ( 0 ; 00 ; 000 ; etc ), quelle est alors la valeur de lim x f (x)? 4. Tracer la droite D d équation y = 2. Que remarque-t-on? On dit que cette droite est une asymptote horizontale à C f en + et en. 5. Placer le point I ( ; 2) sur le graphique. a. Que semble représenter le point I pour la courbe C f? b. Tracer la droite D perpendiculaire à la droite D passant par I. Que remarque-t-on? On dit que cette droite est une asymptote verticale à C f en.

NOM : DERIVATION 1ère S

NOM : DERIVATION 1ère S Exercice Dériver les fonctions suivantes : f(x) = x g(x) = 3x x 3 + 5x h(x) = ( x ) x k(x) = x + 5 x + D. LE FUR /?? Exercice Dériver les fonctions suivantes : f(x) = x 3x + g(x) = (x + 3)(3x 7) h(x) =

Plus en détail

( ) Exercice 1. Exercice 5

( ) Exercice 1. Exercice 5 Exercice 1 1. Effectuer : A 11 5 4 B F + 5 4 6 7 C G 7 1 + 7 Exercice 5 1 5 5 5 5 D 1 6 1+ 6 E 1 H 18 0. Compléter alors le tableau suivant en utilisant le symbole ou. A B C D E F G H IN On donne Ax x

Plus en détail

4 e série Exercices sur les études de fonctions

4 e série Exercices sur les études de fonctions e série Eercices sur les études de fonctions Pour les courbes, on vérifiera sur calculatrice graphique On rappelle également que les tableau de variations (tableau récapitulatifs) doivent comporter les

Plus en détail

Fonction exponentielle : Exercices Corrigés en vidéo avec le cours sur jaicompris.com. e x. e x + 1

Fonction exponentielle : Exercices Corrigés en vidéo avec le cours sur jaicompris.com. e x. e x + 1 Fonction exponentielle : Exercices Corrigés en vidéo avec le cours sur jaicompris.com Calculer avec la fonction exponentielle Simplifier les expressions suivantes où x est un réel quelconque : a) e1+x

Plus en détail

NOM : SECOND DEGRE 1ère S

NOM : SECOND DEGRE 1ère S Exercice 1 Dans un triangle ABC rectangle en A, on place les points D et E respectivement sur [AC] et [AB] tels que AD = BE = x. Déterminer x pour que l aire du triangle ADE soit égale à la moitié de celle

Plus en détail

1. Généralités sur les fonctions et fonctions polynômes

1. Généralités sur les fonctions et fonctions polynômes Comment faire pour Généralités sur les fonctions et fonctions polnômes86 Repérage 88 Dérivation90 Comportements asmptotiques et étude de fonctions9 5 Calcul vectoriel et barcentre 96 6 Produit scalaire

Plus en détail

FONCTIONS NUMÉRIQUES : DÉRIVATION

FONCTIONS NUMÉRIQUES : DÉRIVATION FONCTIONS NUMÉRIQUES : DÉRIVATION Ph DEPRESLE 30 septembre 05 Table des matières Dérivée en un point Continuité et dérivabilité 3 Fonction dérivée 4 Sens de variation d une fonction dérivable 3 5 Dérivées

Plus en détail

Fonction exponentielle TD Année

Fonction exponentielle TD Année Fonction exponentielle TD Année 009-010 Exercice 1 Sans l aide de la calculatrice, simplifier les nombres suivants : 1. ln(e 5 ) 3. ln( 5. eln+ln3. e ln7 4. e ln4 1 ) e 3 Exercice En utilisant notamment

Plus en détail

Exercices de Mathématiques 1 ère S

Exercices de Mathématiques 1 ère S Exercices de Mathématiques 1 ère S Pour préparer la rentrée en TS Fonctions, équations et inéquations Exercice 1 1. Pour quelle(s) valeur(s ) de m, l'équation x² - (m+1) x +4 = 0 a-t-elle une seule solution

Plus en détail

Chapitre 5 Dérivée. Table des matières. Chapitre 5 Dérivée TABLE DES MATIÈRES page -1

Chapitre 5 Dérivée. Table des matières. Chapitre 5 Dérivée TABLE DES MATIÈRES page -1 Chapitre Dérivée TABLE DES MATIÈRES page - Chapitre Dérivée Table des matières I Exercices I-................................................ I-................................................ I-................................................

Plus en détail

Dérivation Continuité

Dérivation Continuité Dérivation Continuité Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 2009/2010 Table des matières 1 Nombre dérivé Fonction dérivé 2 1.1 Nombre dérivé.......................................... 2 1.2 Fonction dérivée.........................................

Plus en détail

4. Etablir le tableau de variations et le tableau de signes du sinus sur l intervalle ;

4. Etablir le tableau de variations et le tableau de signes du sinus sur l intervalle ; Vdouine Terminale S Chapitre Fonctions, limites, continuité, dérivabilité La fonction cosinus Tracer la courbe représentative du cosinus Etablir le tableau de variations et le tableau de signes du cosinus

Plus en détail

Sujets de bac : Exponentielle

Sujets de bac : Exponentielle Sujets de bac : Exponentielle Sujet : Polynésie septembre 2002 On considère la fonction définie sur par ) Etudier la parité de. 2) Montrer que pour tout,. 3) Déterminer les ites de en et en. Donner l interprétation

Plus en détail

1.2 Plan d étude et exemples types.

1.2 Plan d étude et exemples types. Université de Rennes Licence Biologie Mathématiques Année 2008-2009.2 Plan d étude et exemples types..2. But Le but de ce chapitre est d étudier les fonctions comme celles données dans les exemples précédents.

Plus en détail

Si f est décroissante sur un intervalle, alors f (x 0 ) <0 sur cet intervalle. ) = 0 et f change de signe en x 0

Si f est décroissante sur un intervalle, alors f (x 0 ) <0 sur cet intervalle. ) = 0 et f change de signe en x 0 Théorème : Soit f une fonction définie sur un intervalle de IR, C la courbe représentative de f et x un élément de I. Si f est croissante sur un intervalle, alors f (x )> sur cet intervalle. Si f est décroissante

Plus en détail

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL OBLIGATOIRE. Semaine du 4 mars 2013 MATHÉMATIQUES. Série S. Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL OBLIGATOIRE. Semaine du 4 mars 2013 MATHÉMATIQUES. Série S. Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 BACCALAURÉAT GÉNÉRAL Semaine du 4 mars 2013 MATHÉMATIQUES Série S Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 Ce sujet comporte 6 pages (y compris celle-ci) numérotées de 1 à 6 OBLIGATOIRE L emploi des

Plus en détail

DÉRIVÉE. I Nombre dérivé - Tangente. Définition. Exemple 1. Remarque

DÉRIVÉE. I Nombre dérivé - Tangente. Définition. Exemple 1. Remarque DÉRIVÉE I Nombre dérivé - Tangente Eemple Considérons la fonction carré f() = 2, et effectuons avec une calculatrice un zoom de sa représentation graphique au voisinage de son point 0 d'abscisse 0 = 2

Plus en détail

Dérivation. I. Nombre dérivé d une fonction en un point

Dérivation. I. Nombre dérivé d une fonction en un point I. Nombre dérivé d une fonction en un point Dérivation Dans tout ce paragrape, on considère une fonction f définie sur un intervalle I et a un nombre réel de cet intervalle. ) Définition Le nombre dérivée

Plus en détail

EXERCICES VARIATIONS DE FONCTION

EXERCICES VARIATIONS DE FONCTION EXERCICES VARIATIONS DE FONCTION I ) Racine carré Exercice 1 : On a représenté graphiquement dans un repère les fonctions f, g, h et k définies par : f (x)= x+ 2 g (x)= 2 x h(x)= x 2 k(x)= x 2 + 1 Associer

Plus en détail

APPLICATIONS DE LA DERIVATION

APPLICATIONS DE LA DERIVATION APPLICATIONS DE LA DERIVATION 1 I. Sens de variation d une fonction ; extréma : 1) Cas d une fonction constante : On a vu que si f est une fonction constante définie sur un intervalle I de IR alors f (x)

Plus en détail

LOGARITHME. Ph DEPRESLE. 29 juin Fonction logarithme népérien Définition Conséquences Propriétés algébriques 3

LOGARITHME. Ph DEPRESLE. 29 juin Fonction logarithme népérien Définition Conséquences Propriétés algébriques 3 LOGARITHME Ph DEPRESLE 9 juin 5 Table des matières Fonction logarithme népérien. Définition............................................... Conséquences............................................ 3 Propriétés

Plus en détail

EXERCICES SUR LES SUITES

EXERCICES SUR LES SUITES EXERCICES SUR LES SUITES EXERCICE 1 u est une suite définie sur IN par u 7 = 6 et u 10 = 162 Déterminer sa raison, son premier terme u 0, ainsi que la somme S = u 10 + u 11 + + u 25 : 1) dans le cas où

Plus en détail

PROGRAMME DE REVISION CLASSE DE SECONDE 1 er TRIMESTRE

PROGRAMME DE REVISION CLASSE DE SECONDE 1 er TRIMESTRE PROGRAMME DE REVISION CLASSE DE SECONDE 1 er TRIMESTRE 1 ORDRE ET INTERVALLES Exercice 1 Compléter le tableau suivant : Intervalle Inégalité Représentation graphique Lecture de l intervalle Borné ou non

Plus en détail

I Exercices I I I I I I I I I I I I I

I Exercices I I I I I I I I I I I I I Chapitre 5 Dérivée TABLE DES MATIÈRES page - Chapitre 5 Dérivée Table des matières I Exercices I-................................................ I-................................................ I-................................................

Plus en détail

EXERCICES SUR LES FONCTIONS DÉRIVÉES. h(x) = k(x) = x + 5. k(x) = ( 2x

EXERCICES SUR LES FONCTIONS DÉRIVÉES. h(x) = k(x) = x + 5. k(x) = ( 2x EXERCICES SUR LES FONCTIONS DÉRIVÉES Eercice 1 Dériver les fonctions définies ci-dessous : ƒ() = g() = 3 4 3 + 5 4 h() = k() = 1 1 + 5 + 1 Eercice Dériver les fonctions définies ci-dessous : ƒ() = 4 3

Plus en détail

EXERCICES CONTINUITÉ

EXERCICES CONTINUITÉ EXERCICES CONTINUITÉ On sait déjà calculer l aire de polygone, mais qu en est-il de figure dont les côtés ne sont pas des segments? Exercice 1. On cherche l aire A de la figure délimitée, sur l intervalle

Plus en détail

Chapitre 3 Dérivée I EXERCICES page I-2 3 Dans chaque repère ci-dessous, tracer la droite qui passe par le point de coefficient directeur m. Les unité

Chapitre 3 Dérivée I EXERCICES page I-2 3 Dans chaque repère ci-dessous, tracer la droite qui passe par le point de coefficient directeur m. Les unité Chapitre 3 Dérivée I EXERCICES page I-1 I Exercices Comment déterminer le coefficient directeur d une droite ()? Exemple : (2, ; 2) ; (4 ; 3) (l unité du repère est un carreau) Graphiquement : on compte

Plus en détail

Exercices et Annales Maths Terminale S

Exercices et Annales Maths Terminale S Stages intensifs Exercices et Annales Maths Terminale S www.groupe-reussite.fr contact@groupe-reussite.fr 1 Chapitre 1 Fonction exponentielle, logarithme népérien et logarithme décimal 1.1 Exercices préliminaires

Plus en détail

Fonctions de référence

Fonctions de référence Fonctions de référence 1. Rappel sens de variation d'une fonction Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R f est croissante sur I si pour tout nombre a et b de I tels que a < b alors f(a)

Plus en détail

Mathématiques Positionnements niveau Lycée

Mathématiques Positionnements niveau Lycée Mathématiques Positionnements niveau Lycée NOM : Prénom : Matériel nécessaire : feuille quadrillée, règle et calculatrice scientifique. L'usage de la calculatrice est autorisé pour tout le positionnement

Plus en détail

La fonction carrée et la fonction inverse

La fonction carrée et la fonction inverse 5 février 205 La fonction carrée et la fonction inverse Fonction carrée EXERCICE f est la fonction carrée. Calculer les images par f des nombres suivants : a) 4 b) 00 c) 0 d) 3 4 e) 0, EXERCICE 2 f est

Plus en détail

1 Équations du second degré.

1 Équations du second degré. 1 Équations du second degré. Signe du trinôme ÉQUATINS ; INÉQUATINS DU PREMIER DEGRÉ b L'équation ax b = 0, a \ {0}, b a pour solution x. a Le signe de ax b, a \ {0}, b est donné dans le tableau suivant

Plus en détail

BAC TECHNOLOGIQUE SCIENCES ET TECHNOLOGIES INDUSTRIELLES - GÉNIE

BAC TECHNOLOGIQUE SCIENCES ET TECHNOLOGIES INDUSTRIELLES - GÉNIE 1 sur 8 http://www.ilemaths.net/maths_t-sujet-bac-05-sti-electro-optique-co... BAC TECHNOLOGIQUE 2005 - SCIENCES ET TECHNOLOGIES INDUSTRIELLES - GÉNIE ÉLECTRONIQUE - GÉNIE ÉLECTROTECHNIQUE - GÉNIE OPTIQUE

Plus en détail

Session avril 2015 BACCALAUREAT BLANC. Série : S. Épreuve : Mathématiques ( candidats n ayant pas suivi l enseignement de spécialité )

Session avril 2015 BACCALAUREAT BLANC. Série : S. Épreuve : Mathématiques ( candidats n ayant pas suivi l enseignement de spécialité ) BACCALAUREAT BLANC Session avril 2015 Série : S Épreuve : Mathématiques ( candidats n ayant pas suivi l enseignement de spécialité ) Durée de l'épreuve : 4 heures coefficient : 7 MATERIEL AUTORISE OU NON

Plus en détail

Sujets de bac : Intégration

Sujets de bac : Intégration Sujets de bac : Intégration Sujet n 1 : Liban juin 2006 Partie A : étude d une fonction Soit la fonction définie sur l intervalle 0; par ln 1 Sa courbe représentative dans un repère orthogonal ; ; est

Plus en détail

Exercice 1. Probabilités

Exercice 1. Probabilités TS Eléments de correction de l évaluation n 1 du Mercredi 4 Novembre 015 Calculatrice autorisée - Aucun document n'est autorisé. Vous apporterez un grand soin à la présentation et à la rédaction de votre

Plus en détail

Première STMG. Dérivation. sguhel

Première STMG. Dérivation. sguhel Première STMG Dérivation sguhel ... 0 Chapitre 7 : Dérivation... 2 1 Introduction... 2 1.1 Equation de droite, coefficient directeur... 2 1.2 Vers la notion de tangente... 3 1.3 Approche du nombre dérivé

Plus en détail

FONCTIONS. représente une fonction. ne représente pas une fonction

FONCTIONS. représente une fonction. ne représente pas une fonction FONCTIONS Activité de recherche : Stratégie d entreprise Une entreprise fabrique des ballons de rugby. Sa production quotidienne peut varier de à 000 ballons. Le coût total, en centaines d euros, pour

Plus en détail

La fonction exponentielle

La fonction exponentielle Exercices 16 octobre 014 La fonction exponentielle Opération sur la fonction exponentielle Exercice 1 Simplifier les écritures suivantes : a) (e x ) 3 e x b) ex 1 e x+ e) e 3x f) ex e y (e x ) e x e x

Plus en détail

Chapitre 5. Généralités sur les fonctions numériques. 5.1 Généralités

Chapitre 5. Généralités sur les fonctions numériques. 5.1 Généralités Chapitre 5 Généralités sur les fonctions numériques 5.1 Généralités Définition 5.1 Une fonction numérique permet d associer à chaque nombre x d un ensemble D un autre nombre que l on note f(x). On note

Plus en détail

Correction DC1. Exercice 1: (5 points) 1. Conservation du volume total d eau du circuit : Pour tout entier naturel n,

Correction DC1. Exercice 1: (5 points) 1. Conservation du volume total d eau du circuit : Pour tout entier naturel n, Correction DC1 Exercice 1: (5 points) 1. Conservation du volume total d eau du circuit : 00. Pour tout entier naturel n, 10 100 15 100 90 100 15 100 00 3 4 330 3 4 330 3. L algorithme ci-dessous permet

Plus en détail

Exercices sur la fonction exponentielle

Exercices sur la fonction exponentielle Exercices sur la fonction exponentielle Exercice : Simplifier les écritures suivantes : A = (e x ) e x ; B = (ex + e x ) (e x e x ) ; C = e x Exercice : Résoudre les équations et inéquations suivantes.

Plus en détail

Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier soigneusement la réponse. Les questions sont indépendantes entre elles.

Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier soigneusement la réponse. Les questions sont indépendantes entre elles. TS - Maths - D.S.5 Samedi 17 janvier 015-4h Spécialités : SVT - Physique Exercice 1 (5 points) Pour les candidats n ayant pas suivi l enseignement de spécialité Pour chaque proposition, indiquer si elle

Plus en détail

Sujets de bac : Ln. Partie C Dans le plan rapporté à un repère orthonormé ; ;, on note : Γ la courbe représentative de la fonction ;

Sujets de bac : Ln. Partie C Dans le plan rapporté à un repère orthonormé ; ;, on note : Γ la courbe représentative de la fonction ; Sujets de bac : Ln Sujet n 1 : extrait de Liban juin 2004 Partie A Soit la fonction définie sur 0; par 2 ln. 1) Etudier les variations de sur 0; et préciser ses ites en 0 et en. a. Montrer que l équation

Plus en détail

Seconde 3 DS4 fonctions de référence Sujet

Seconde 3 DS4 fonctions de référence Sujet Seconde 3 DS4 fonctions de référence Sujet 1 29-21 Exercice 1 : fonction carré (3 points) On considère trois carrés de côtés respectifs x ; 2x et 3x. 1) Pour chacun d un, exprimer en fonction de x, le

Plus en détail

a) ln(x + 1) ln(2 x) = 0 b) ln(x + 1) ln(2 x) 0 c) ln x + ln(3x + 2) > 0

a) ln(x + 1) ln(2 x) = 0 b) ln(x + 1) ln(2 x) 0 c) ln x + ln(3x + 2) > 0 Savoir calculer avec des logarithmes Simplifier les expressions suivantes : Fonction logarithme : Exercices Corrigés en vidéo avec le cours sur jaicompris.com a) ln 6 ln 2 b) ln e 2 c) ln 1 e x d) e ln

Plus en détail

calcul intégral Table des matières 1 intégrale d une fonction activité à retenir exercices évaluations...

calcul intégral Table des matières 1 intégrale d une fonction activité à retenir exercices évaluations... calcul intégral Table des matières intégrale d une fonction. activité.................................................... à retenir.................................................. 7. eercices...................................................

Plus en détail

j a sa courbe y= f (a) (x a)+ f(a) f définie sur... f(x) f (x) f dérivable sur... Ê x n nx n 1 Ê pour n entier n 2 1 x 2 n x n+1 Ê pour n entier n 1

j a sa courbe y= f (a) (x a)+ f(a) f définie sur... f(x) f (x) f dérivable sur... Ê x n nx n 1 Ê pour n entier n 2 1 x 2 n x n+1 Ê pour n entier n 1 Lcée JNSON DE SILLY 5 septembre 06 DÉRIVTION, ÉTUDE DE FONCTIONS T le STID I TNGENTE À UNE COURBE Soit f une fonction définie sur un intervalle I, dérivable en a où a est un réel de I, et C f sa courbe

Plus en détail

Equations, inéquations et fonctions affines

Equations, inéquations et fonctions affines Equations, inéquations et fonctions affines A) Fonctions affines 1 Définition d une fonction affine Définition : f est une fonction affine, si et seulement si, il existe deux réels a et b tels que : pour

Plus en détail

Exercice 3 (pour tous)

Exercice 3 (pour tous) le vendredi février (ÉPREUVES GROUPÉES HEURES) Exercice ( pour tous ) / points La production d une entreprise pour l année est de pièces Chaque année sa production augmente de % Quelle est la production

Plus en détail

Tangente à une courbe. Dérivées. Etude du sens de variation d une fonction

Tangente à une courbe. Dérivées. Etude du sens de variation d une fonction Tangente à une courbe. Dérivées. Etude du sens de variation d une fonction On dit qu une fonction est dérivable sur un intervalle I si elle est définie sur I et admet en chaque point de I un nombre dérivé.

Plus en détail

DÉRIVÉES FONCTIONS CONVEXES

DÉRIVÉES FONCTIONS CONVEXES DÉRIVÉES FONCTIONS CONVEXES I Dérivées - Rappels Définition ( voir animation ) Soit f une fonction définie sur un intervalle I, soit a I et soit h non nul tel que a + h I. On appelle tau d'accroissement

Plus en détail

Exemple : déterminer la dérivée f de la fonction f définie sur [1 ; + [ par : f(x) = 5x 2.

Exemple : déterminer la dérivée f de la fonction f définie sur [1 ; + [ par : f(x) = 5x 2. Chapitre III : Dérivées de fonctions composées et primitives I. Dérivées de fonctions composées a) Formule Propriété : g est une fonction dérivable sur un intervalle J. u est une fonction dérivable sur

Plus en détail

DÉRIVÉES. lorsque h devient très proche de zéro?

DÉRIVÉES. lorsque h devient très proche de zéro? DÉRIVÉES I Nombre dérivé - Tangente Eercice 0 (voir réponses et correction) Un mobile M se déplace sur un ae gradué. On suppose que sa position sur cet ae à l'instant t ( t ³ 0) est donnée par son abscisse

Plus en détail

Pour le paiement de la garderie dans une école, on propose deux formules :

Pour le paiement de la garderie dans une école, on propose deux formules : PROBLEME N 1 Pour le paiement de la garderie dans une école, on propose deux formules : Formule A : on paie 40 pour devenir adhérent pour l année scolaire puis on paye 10 par mois de garderie. Formule

Plus en détail

LES FONCTIONS. Une fonction est une application qui pour tout «x» appartenant à I associe un unique «y» appartenant à J tel que f(x)=y.

LES FONCTIONS. Une fonction est une application qui pour tout «x» appartenant à I associe un unique «y» appartenant à J tel que f(x)=y. LES FONCTIONS I - RAPPELS I-1 - Définition Une fonction est une application qui pour tout «x» appartenant à I associe un unique «y» appartenant à J tel que f(x)=y. L ensemble des point tel f(x)=y est représenté

Plus en détail

Chapitre 3 Exponentielles. Table des matières. Chapitre 3 Exponentielles TABLE DES MATIÈRES page -1

Chapitre 3 Exponentielles. Table des matières. Chapitre 3 Exponentielles TABLE DES MATIÈRES page -1 Chapitre 3 Exponentielles TABLE DES MATIÈRES page - Chapitre 3 Exponentielles Table des matières I Exercices I-................................................ I- 2................................................

Plus en détail

Terminale ES Contrôle de mathématiques (2 heures) Mardi 21 septembre 2004

Terminale ES Contrôle de mathématiques (2 heures) Mardi 21 septembre 2004 Terminale ES Contrôle de mathématiques ( heures) Mardi septembre 004 La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l appréciation des copies.

Plus en détail

Fonctions - Dérivabilité Cours maths Terminale S

Fonctions - Dérivabilité Cours maths Terminale S Fonctions - Dérivabilité Cours maths Terminale S Dans ce module, retour sur la notion de nombre dérivé vue en première. La classe de terminale s attardant plus longuement sur le problème de la dérivabilité

Plus en détail

Chapitre 3. Continuité, dérivation et limite d une fonction

Chapitre 3. Continuité, dérivation et limite d une fonction Chapitre 3. Continuité, dérivation et limite d une fonction I. Continuité Définition : Continuité d une fonction Dire que f est continue en a signifie que f a une limite finie en a ; cette limite est alors

Plus en détail

Cours de terminale S - Généralités sur les fonctions

Cours de terminale S - Généralités sur les fonctions les fonctions LPO de Chirongui - Exercices : Savoir Faire (livre)- Déterminer une ite Interprétation graphique Livre Indice BORDAS - Page 45 Exercice 34, 35, 36 et 37 page 56 - Limite finie à l infini

Plus en détail

BTS domotique 1 -Équations différentielles

BTS domotique 1 -Équations différentielles BTS domotique -Équations différentielles Premier ordre 4. Déterminer la solution ϕ de l équation différentielle (E) qui vérifie la condition initiale ϕ() =. Exercice BTS (E) : y 2y = xε x où y est une

Plus en détail

Chapitre : FONCTIONS. Exercice 1

Chapitre : FONCTIONS. Exercice 1 Exercice 1 Dans un repère ( ; i ; j ) orthonormal, on considère les fonctions f et g définies par f(x) = (x )(x + 3) + 5 et g(x) = x + 3 sur l intervalle [ ; ]. 1) Tracer les courbes représentatives de

Plus en détail

Leçon 6 Les fonctions numériques, généralités

Leçon 6 Les fonctions numériques, généralités Leçon 6 Les fonctions numériques, généralités Il faut revoir les fonctions de référence car ce cours prolonge évidemment ce qui a été vu en seconde. Il y a en premier lieu les fonctions affines par morceaux.

Plus en détail

Cours d analyse Brevet de Technicien Supérieur Conception et Réalisation en. Chaudronnerie Industrielle

Cours d analyse Brevet de Technicien Supérieur Conception et Réalisation en. Chaudronnerie Industrielle Cours d analyse Brevet de Technicien Supérieur Conception et Réalisation en Chaudronnerie Industrielle Chapitre 1 Fonctions de référence...2 I Fonctions affines...2 a) Signe d'une fonction affine...2 II

Plus en détail

Méthodologie scientifique (L1) : fonctions usuelles, dérivées première et seconde, point d inflexion

Méthodologie scientifique (L1) : fonctions usuelles, dérivées première et seconde, point d inflexion Méthodologie scientifique (L1 : fonctions usuelles, dérivées première et seconde, point d inflexion 1 Cinétique chimique On s intéresse aux fonctions f : t f(t avec t 0 dont la dérivée première est proportionnelle

Plus en détail

Sujet abordé : exponentielle (lecture graphique) Exercice 1 (BAC ES national 2010). Classe de terminale ES Mathématiques

Sujet abordé : exponentielle (lecture graphique) Exercice 1 (BAC ES national 2010). Classe de terminale ES Mathématiques Classe de terminale ES Mathématiques Sujet abordé : exponentielle (lecture graphique) Exercice (BAC ES national ). Un nouveau modèle de mini-ordinateur portable est mis sur le marché. Soit x la quantité

Plus en détail

EXPONENTIELLES. I Fonction exponentielle de base q. Exercice 01. Exercice 02

EXPONENTIELLES. I Fonction exponentielle de base q. Exercice 01. Exercice 02 EXPONENTIELLES I Fonction exponentielle de base q Exercice 0 Les lois de Moore sont des conjectures énoncées par Gordon Moore (un des trois fondateurs d Intel). En 965, Moore postulait que la complexité

Plus en détail

Chapitre II : Limites de fonctions et continuité

Chapitre II : Limites de fonctions et continuité Chapitre II : Limites de fonctions et continuité Cité Scolaire Gambetta Année scolaire 0-03 I Limite à l infini : ) Limite finie en Définition : Dire qu une fonction f a pour limite le réel l en signifie

Plus en détail

Baccalauréat S Pondichéry 8 avril 2014

Baccalauréat S Pondichéry 8 avril 2014 Baccalauréat S Pondichéry 8 avril 014 EXERCICE 1 Commun à tous les candidats 4 points Dans cet exercice, sauf indication contraire, les résultats seront arrondis au centième. 1. La durée de vie, exprimée

Plus en détail

Rappels de 3eme. A Factorisation et developpement. 1/ Somme produit. 2/ Développements

Rappels de 3eme. A Factorisation et developpement. 1/ Somme produit. 2/ Développements A Factorisation et developpement Rappels de 3eme 1/ Somme produit Un calcul est appelé somme si la dernière opération à effectuer est une addition. Chacun des nombres qui composent cette addition est appelé

Plus en détail

Classe : TES1 Le 06/05/2003. MATHEMATIQUES Devoir N 7. Calculatrice et formulaire autorisés

Classe : TES1 Le 06/05/2003. MATHEMATIQUES Devoir N 7. Calculatrice et formulaire autorisés Classe : TES1 Le 06/05/2003 MATHEMATIQUES Devoir N 7 Calculatrice et formulaire autorisés Durée : 3h Exercice 1: (5 points) Une statistique publiée en l an 1998 donne le nombre d abonnés à Internet dans

Plus en détail

des plans P 1 et P 2, a pour représentation paramétrique x = 4t 2

des plans P 1 et P 2, a pour représentation paramétrique x = 4t 2 Sujet Amérique du Nord 2013 EXERCICE 1. [5 pts] Géométrie On se place dans l espace muni d un repère orthonormé. On considère les points A(0 ; 4 ; 1), B(1 ; 3 ; 0), C(2 ; 1 ; 2) et D(7 ; 1 ; 4). 1. Démontrer

Plus en détail

1 ( 8 points ) Sur le graphique de l annexe 1, on a tracé, dans le plan muni d un repère orthonormé

1 ( 8 points ) Sur le graphique de l annexe 1, on a tracé, dans le plan muni d un repère orthonormé TS. Contrôle 4 -Correction 8 points ) Sur le graphique de l annee, on a tracé, dans le plan muni d un repère orthonormé la courbe représentative C d une fonction f définie et dérivable sur l intervalle

Plus en détail

I- DÉRIVÉE ET SENS DE VARIATION. 1) Du sens de variation au signe de la dérivée

I- DÉRIVÉE ET SENS DE VARIATION. 1) Du sens de variation au signe de la dérivée I- DÉRIVÉE ET SENS DE VARIATION 1) Du sens de variation au signe de la dérivée Théorème (admis) : soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I. o Si f est une fonction croissante sur I,

Plus en détail

Athénée Royal d Uccle 1. Cours de Mathématique 6 ème année Révision de juin

Athénée Royal d Uccle 1. Cours de Mathématique 6 ème année Révision de juin Athénée Royal d Uccle 1 Cours de Mathématique 6 ème année Révision de juin A.Droesbeke Version : 016 Chapitre 1 Algèbre 1.1 Exercices { (1 + i)x + y = 1 i 1. Résoudre dans C : x iy = i. Démontrer que

Plus en détail

Correction Bac Blanc de juin : Liban 31 mai 2010 TES

Correction Bac Blanc de juin : Liban 31 mai 2010 TES Correction Bac Blanc de juin : Liban 31 mai 2010 Modalités : Durée de l épreuve : 3 heures ; Calculatrice autorisée ; Répondre sur votre copies) et non sur le présent sujet, sauf l annexe à remettre ;

Plus en détail

Dérivation : Exercices. , et M le point du cercle. ( h)

Dérivation : Exercices. , et M le point du cercle. ( h) Amerinsa - Ecole d été Dérivation : Eercices Eercice : Nombre dérivé de fonctions de base Soit 0 un réel. Pour chacune des fonctions suivantes, préciser à quel intervalle doit appartenir 0 pour que la

Plus en détail

Lycée Jehan de Chelles Février 2011

Lycée Jehan de Chelles Février 2011 Seconde Contrôle commun Lycée Jehan de Chelles Février 2011 Nom Prénom :... Classe :... Exercice 1 : (10 points) On donne ci-contre la courbe représentative d une fonction f A l aide du graphique, répondre

Plus en détail

[EXERCICES TS VERS BAC BANC] a. Démontrer que l équation g(x)=0 admet sur [0;+ [ une unique solution. On note α cette solution.

[EXERCICES TS VERS BAC BANC] a. Démontrer que l équation g(x)=0 admet sur [0;+ [ une unique solution. On note α cette solution. Polynésie septembre 2010 Partie1 Soit g la fonction définie sur [0;+ [ par 1. Déterminer la limite de g en +. 2. Étudier les variations de la fonction g. 3. Donner le tableau de variations de g. 4. a.

Plus en détail

F 3 Reproduire cet arbre et placer les probabilités F 2 sur les branches.

F 3 Reproduire cet arbre et placer les probabilités F 2 sur les branches. Sujet Centres Étrangers 203 EXERCICE. [6 pts] Lois continues Un industriel fabrique des vannes électroniques destinées à des circuits hydrauliques. Les quatre parties A, B, C, D sont indépendantes. Partie

Plus en détail

2 : LIMITE ET CONTINUITE

2 : LIMITE ET CONTINUITE : LIMITE ET CONTINUITE LISTE DES COMPTENCES CODE L0 L0 L0 L04 L05 L06 L07 L08 L09 L0 DENOMINATION Savoir calculer la ite en un point d un monôme Savoir calculer la ite en l infini d un monôme Savoir calculer

Plus en détail

LES FONCTIONS DE REFERENCE

LES FONCTIONS DE REFERENCE 1 LES FONCTIONS DE REFERENCE I Fonctions affines et fonctions linéaires 1 Définitions Une fonction affine f est définie sur R par f() x = ax+ b, où a et b sont deux nombres réels Lorsque b = 0, la fonction

Plus en détail

NOMBRE DÉRIVÉ ET TANGENTE

NOMBRE DÉRIVÉ ET TANGENTE CLSSE DE STG NOMBRE DÉRIVÉ ET TNGENTE NOMBRE DÉRIVÉ ET TNGENTE. Nombre dérivé.. Définition. Soit une fonction représentée par la courbe C On considère la tangente T, au point d abscisse Le coefficient

Plus en détail

Chap. 2 : Fonctions : limites, continuité, dérivabilité Mathématiques T S

Chap. 2 : Fonctions : limites, continuité, dérivabilité Mathématiques T S I Notion de continuité 1) Fonctions continues Définition 1 : Soit f une fonction définie sur un intervalle I contenant a. Remarques : On dit que f est continue en a si lim f(x) = f(a) On dit que f est

Plus en détail

TD 11 : Fonctions Continues et le Théorème des Valeurs Intermédiaires

TD 11 : Fonctions Continues et le Théorème des Valeurs Intermédiaires Université Paris Est Créteil DAEU TD : Fonctions Continues et le Théorème des Valeurs Intermédiaires Dans cette fiche on définie une propriété très importante qui est vérifiée par un très grand nombre

Plus en détail

DST 3 Corrigé. b) B : «les 2e et 3e sondages sont négatifs». et d après l énoncé ; D où :

DST 3 Corrigé. b) B : «les 2e et 3e sondages sont négatifs». et d après l énoncé ; D où : DST 3 Corrigé Exercice 1 (4 points) Avant le début des travaux de construction d une autoroute, une équipe d archéologie préventive procède à des sondages successifs en des points régulièrement espacés

Plus en détail

Fonction dérivée 3 ème

Fonction dérivée 3 ème Fonction dérivée 3 ème Mathématiques Exercice 1 Déterminer dans chaque cas la fonction dérivée de la fonction indiquée tout en précisant le domaine de dérivabilité de. = 3 +2 5 ;= 3 1 2+1 ; +3 1 = +1 ;

Plus en détail

I - Équations à une inconnue

I - Équations à une inconnue 1/ Définition I - Équations à une inconnue Une équation à une inconnue est une égalité dans laquelle figure une lettre représentant une valeur inconnue que l on cherche à déterminer. s : (E 1 ) : x + 1

Plus en détail

Les droites affines Les fonctions polynômes Les fonctions rationnelles... 5

Les droites affines Les fonctions polynômes Les fonctions rationnelles... 5 Les droites affines... ) Rappels... ) Eemples... ) Tangente à une courbe... Les fonctions polynômes... ) Plan d étude... ) Tableau des dérivées utiles pour les fonctions polynômes... ) Fonctions du ème

Plus en détail

3. En donner une interprétation graphique. 3 [ par f(x) = ln(-2x + 3) + 2x.

3. En donner une interprétation graphique. 3 [ par f(x) = ln(-2x + 3) + 2x. T ES Mathématiques DS 5 le 18/01/01 Exercice 1 (5,5 POINTS ) On considère une fonction f définie et dérivable sur l intervalle [- ; 4]. On note f la fonction dérivée de la fonction f. La courbe C f, tracée

Plus en détail

/1 point n, c est-à-dire que

/1 point n, c est-à-dire que Externat Notre Dame Devoir n Tle S) Samedi 5 octobre 204 Proposition de corrigé Exercice : / point Restitution organisée de connaissances Dans cet exercice n désigne un entier naturel. On définit une suite

Plus en détail

Fonction exponentielle

Fonction exponentielle Propriétés algébriques Exercice 1 Ecrire sous la forme d une puissance de les expressions suivantes : a) e7 e 2 b) (e-1 ) 4 c) (exp(e e 2 )) -3 d) e 2 exp(-3) e) e -3 exp(2) f) exp(1) exp(-2) Exercice

Plus en détail

FONCTION EXPONENTIELLE

FONCTION EXPONENTIELLE FONCTION EXPONENTIELLE Ph DEPRESLE 29 juin 205 Table des matières Propriétés algébriques 2 2 Nouvelle notation 2 3 Étude de la fonction exponentielle 2 3. Variations et ites........................................

Plus en détail

DEVOIR COMMUN. Mathématiques CLASSE DE SECONDE

DEVOIR COMMUN. Mathématiques CLASSE DE SECONDE DEVOIR COMMUN Mathématiques CLASSE DE SECONDE Session 2010/2011 NOM : CLASSE : Consignes Le sujet comporte 5 exercices. Vous devez impérativement le restituer avec votre copie. Vous pouvez pour chaque

Plus en détail

Correction du devoir commun de Seconde : Mathématiques

Correction du devoir commun de Seconde : Mathématiques Correction du devoir commun de Seconde : Mathématiques Exercice 1 5 points On se place dans un repère orthonormé, on donne les points suivants : Enfin, I est le milieu du segment 1 ) Faire une figure soignée

Plus en détail

Analyse 1 re année IUT GEA Notes de cours

Analyse 1 re année IUT GEA Notes de cours Analyse re année IUT GEA Notes de cours Jean-Marie Favreau Année 200 20 Remarque : l introduction de ce cours, présentée en quelques minutes, de manière interactive, permet de placer quelques rappels simples,

Plus en détail

sur un intervalle que l on précisera, et préciser

sur un intervalle que l on précisera, et préciser Révision : fonctions logarithmes fonctions exponentiels intégrale Mr : FARHATI HICHEM EX 1 : Partie A : 1) Soit f(x)=1+ (1-x) a) Montrer que f (x)=-x b) Dresser le tableau de variation de f. c) Montrer

Plus en détail

Exercices sur les fonctions affines

Exercices sur les fonctions affines Eercices sur les fonctions affines Dans chaque cas, on donne l epression d une fonction affine f : a b où a et b sont deu réels indépendants de. Vocabulaire : epression d une fonction affine. variable

Plus en détail

Nombre dérivé. Fonction dérivée.

Nombre dérivé. Fonction dérivée. Nombre dérivé. Fonction dérivée. 1. Nombre dérivé. 1.1. Introduction Activité 1 : D'après IREM Clermont Ferrand Activité 1 1.2.Taux d'accroissement. Limite en 0. Définition : Soit f une fonction définie

Plus en détail