Continuité et dérivabilité des fonctions d une variable réelle à valeurs réelles

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1 Continuité et dérivabilité des fonctions d une variable réelle à valeurs réelles Denis Vekemans 1 Condition de Lipschitz - Continuité Soient A une partie de R et f : A R. On dit que f est lipschitzienne de rapport ksur A si k R, (x, y) R 2, f(x) f(y) < k x y. Soient A une partie de R et a un point d accumulation de A, f : A R et l R. l est la limite de f au point a si On note l = limx a x A f(x). On définit de façon analogue la limite l de f en + si On note l = lim x + f(x); x A la limite + de f en a si On note = limx a x A f(x); la limite + de f en + si ε > 0, η > 0, x A, x a < η = f(x) l ε. ε > 0, M R, x A, x M = f(x) l ε. M R, η > 0, x A, x a < η = f(x) M. M R, α R, x A, x α = f(x) M. On note = limx a x A f(x). Opérations algébriques sur les limites en un point a R ou en l infini. lim(f + g) limg... limf l R + m R l + m +? + +? + Laboratoire de mathématiques pures et appliquées Joseph Liouville ; 50, rue Ferdinand Buisson BP 699 ; Calais cedex ; France 1

2 lim(f g) limg... limf l R 0 + m R lm 0 signe(m) +signe(m) 0 0 0?? signe(l)? + + +signe(l)? + lim( f g ) limg... limf l R 0 + m R l m 0 signe(m) +signe(m) 0???? 0 0?? + 0 0?? Théorème 1 Soient A une partie de R et a un point d accumulation de A, B une partie de R et B un point d accumulation de B, f : A R, g : B A et l R. Si lim x b g(x) = a et si limx a f(x) = l, alors lim x b f g(x) = l. x B x A x B Théorème 2 Caractérisation séquentielle de la limite. Soient A une partie de R et a un point d accumulation de A, f : A R, l R. "limx a x A f(x) = l" équivaut à "toute suite (x n) n N de A de limite a est telle que lim n f(x n ) = l". Soient A une partie de R et a un point de A et f : A R. Si limx a f(x) = f(a), on dit que f est x A continue en a. Si f est continue en tout point a de A, on dit que f est continue sur A. Soient A une partie de R et f : A R. Définition de la continuité. (x, y) R 2, ε > 0, η > 0, x y < η = f(x) f(y) < ε. Définition de la continuité uniforme. ε > 0, η > 0, (x, y) R 2, x y < η = f(x) f(y) < ε. Théorème 3 Toute fonction lipschitzienne est uniformément continue. Théorème 4 Soit f : [a, b] R R continue sur [a, b]. Alors 1. f est uniformément continue sur [a, b] ; 2. f est bornée sur [a, b] et atteint ses bornes. Théorème 5 Soit f : I R R continue sur I intervalle de R. Alors l image de I est un intervlle dont les bornes coïncident avec inf A et sup A. De plus, si I est un segment, son image est un segment également. 2/6 Mathématiques

3 Théorème 6 Théorème des valeurs intermédiaires. Soit f : I R R continue sur I, intervalle de R. Soit α I et β I alors δ ]f(α), f(β)[, γ ]α, β[ tel que δ = f(γ). Théorème 7 Soit f : I R R continue et monotone sur I, intervalle de R. Alors, sa bijection réciproque f 1 existe, est continue et de même monotonie que f sur f(i). 2 Dérivabilité Soient A une partie de R et a un point d accumulation de A, f : A R et l R. f(x) f(a) S il existe l R tel que limx a x A x a = l, alors on dit que f est dérivable en a et on note l = f (a). Soit B l ensemble des points en lesquels f est dérivable, on appelle fonction dérivée f la fonction de B A dans R qui à a associe f (a). Si on peut écrire f(a+h) f(a) = αh+hε(h) avec lim h 0 a+h A ε(h) = 0, on dit que f est différentiable en a. Soit a un point en lequel f est différentiable, l application df a de R dans R qui à x associe αx est linéaire et est appelée différentielle de f en a. Théorème 8 f est différentiable en a si et seulement si f est dérivable en a. Théorème 9 Si f est dérivable en a, alors f est continue en a. Théorème 10 Opérations algébriques. Soient u et v deux fonctions dérivables sur B R de dérivées u et v. 1. u + v est dérivable sur B de dérivée (u + v) = u + v ; 2. uv est dérivable sur B de dérivée (uv) = u v + uv ; 3. si v ne s annule pas sur B, u v est dérivable sur B de dérivée (u v ) = u v uv v 2. Théorème 11 Composition. Soient u une fonction dérivable sur B R de dérivée u et v une fonction dérivable sur C R telle que u(c) B de dérivée v. u v est dérivable sur C de dérivée (u v) = (u v) v. Théorème 12 Réciproque. Soit u une fonction dérivable sur B R de dérivée u dont la dérivée u ne s annule pas sur B et bijective, de bijection réciproque u 1. u 1 est dérivable sur B de dérivée (u 1 ) u = 1 u. 3/6 Mathématiques

4 Par récurrence, on définit les dérivées successives de f : la dérivée n + 1ième de f est la dérivée de la dérivée nième de f. On note f (n) la dérivée nième de f. On dit qu une fonction f est de classe D k sur A R si elle admet sur A une dérivée kième. On dit qu une fonction f est de classe C k sur A R si elle admet sur A une dérivée kième et si cette dérivée kième est continue. Théorème 13 Formule de Leibniz. Si u et v sont deux fonctions dérivables n fois sur B R de dérivées u et v, alors uv est aussi dérivable n fois sur B et on a Théorème 14 Théorème de Rolle. (uv) (n) = ( n n k=0 k ) u (k) v (n k). Soit f : [a, b] R R continue sur [a, b], dérivable sur ]a, b[ telle que f(a) = f(b). Alors, c ]a, b[ tel que f (c) = 0. Théorème 15 Théorème des accroissements finis. Soit f : [a, b] R R continue sur [a, b], dérivable sur ]a, b[. Alors, c ]a, b[ tel que f (c) = f(b) f(a) b a. Théorème 16 Inégalité des accroissements finis. Soit f : [a, b] R R continue sur [a, b], dérivable sur ]a, b[ telle que x ]a, b[, m f (x) M. Alors, m(b a) f(b) f(a) M(b a). Théorème 17 Inégalité des accroissements finis (autre formulation). Soit f : [a, b] R R continue sur [a, b], dérivable sur ]a, b[ telle que x ]a, b[, f (x) M. Alors, f(b) f(a) M(b a). En particulier, si f = 0 sur ]a, b[, alors f est constante sur ]a, b[. Exercice 1 Soient A une partie de R et f : A R uniformément continue. Soit (u n ) n N une suite de Cauchy de A. Que peut-on dire de la suite (f(u n )) n N? Exercice 2 Soit f une fonction continue de R dans R telle que x R, f(x 2 ) = f(x). 1. Montrer que pour tout n N et pour tout x R, f(x (2n) ) = f(x). En déduire que pour x ]0, 1[, f(x) = f(0). 4/6 Mathématiques

5 2. Montrer que pour tout n N et pour tout x R +, f(x (2 n) ) = f(x). En déduire que pour x R +, f(x) = f(1). 3. En déduire que f est constante sur R. Exercice 3 Soit f : R + R. On suppose que lim x f(x + 1) f(x) existe et on la note l. On suppose de surcroît que f est bornée sur tout segment de R +. Montrer que l = lim x f(x) x = l. Exercice 4 Soit f : R + R + définie par f(x) = 0 sur R + \Q + et f( p q ) = 1 p+q pour p q Q + avec p et q premiers entre eux. En quels points f est-elle continue? Exercice 5 Soit f : [a, b] R, continue et telle que f(a) f(b). Soient p et q deux réels strictement positifs. Montrer qu il existe c ]a, b[ tel que pf(a) + qf(b) = (p + q)f(c). Exercice 6 Soit f : [a, b] [a, b], continue. Montrer qu il existe c ]a, b[ tel que c = f(c). Exercice 7 1. On définit pour n N, E n = { k 2 n tels que k N et k 2 n }. On pose E = n N E n. Montrer que tout x de [0, 1] est limite d une suite d éléments de E. 2. Soit I un intervalle de R et f : I R continue et telle que Montrer que x I, y I, f( x + y ) 1 (f(x) + f(y)). 2 2 x I, y I, α E, avec β = 1 α, f(αx + βy) αf(x) + βf(y). 3. En déduire que f est convexe sur I, c est-à-dire que x I, y I, α [0, 1], avec β = 1 α, f(αx + βy) αf(x) + βf(y). Exercice 8 Etudier la dérivabilité de la fonction f de R dans R qui a x associe 2 1 x arccos(2x 1) aux bords de son domaine de définition. Exercice 9 La fonction f de R dans R qui a x associe cos( x) est-elle dérivable en 0?, de classe C 1 en 0? 5/6 Mathématiques

6 Exercice 10 Montrer que x R, cos(3 arctan(x)) = 1 3x2. (1 + x 2 ) 3 2 Exercice 11 Soit h une fonction de R dans R définie par x ]0, 1[, h(x) = (x 1 2 )e 1 x 2 x et x / ]0, 1[, h(x) = Montrer que h est de classe C 1 sur R (on précisera les valeurs de h (0) et h (1)). 2. Montrer que h est de classe C sur ]0, 1[ et que sur cet intervalle, l expression de la dérivée kième est de la forme où P k est un polynôme. h (k) (x) = P k(x)e 1 x 2 x (x 2 x) 2k En déduire que h est de classe C sur R (on précisera les valeurs de h (k) (0) et h (k) (1)). Exercice 12 A l aide du théorème des accroissements finis, déterminer lim x x2 (e 1 1 x e x+1 ). Exercice 13 Soient f et g deux fonctions de [a, b] R dans R continues sur [a, b] et dérivables sur ]a, b[. 1. On pose pour x [a, b], Φ(x) = λ(f(x) f(a))+µ(g(x) g(a)). Déterminer λ et µ tels que Φ(a) = Φ(b). 2. En déduire que c ]a, b[ tel que (f(b) f(a))g (c) (g(b) g(a))f (c) = 0 ou encore sous des conditions que l on précisera que c ]a, b[ tel que f(b) f(a) g(b) g(a) = f (c) g (c). Exercice 14 Soit la suite récurrente (u n ) n N définie par u 0 1 et n N, u n+1 = 1 + u n. 1. Montrer que u n 0 pour tout n Quelle est la limite l éventuelle de la suite (u n ) n N? 3. Montrer que pour tout n N, u n+1 l 1 2 u n l. 4. Conclure sur la convergence de la suite (u n ) n N. Références [1] D. Duverney, S. Heumez, G. Huvent, Toutes les mathématiques. MPSI PCSI PTSI TSI, Ellipses, [2] M. Messeri, Exercices de mathématiques. 2. Analyse I, Belin, Collection DIA, /6 Mathématiques