Intégrale de Riemann. L3 Mathématiques. Jean-Christophe Breton Université de Rennes 1 Septembre Décembre 2009

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1 Intégrle de Riemnn L3 Mthémtiques Jen-Christophe Breton Université de Rennes 1 Septembre Décembre 009 version du 1 décembre 009

2 Tble des mtières 1 Intégrles des fonctions en esclier Fonctions en esclier Intégrle des fonctions en esclier Sommes de Drboux et de Riemnn Intégrle de Riemnn 7.1 Fonctions Riemnn-intégrbles Propriétés de l intégrle de Riemnn Intégrle et primitive Critère de Riemnn-intégrbilité Fonctions réglées 3.1 Définition Propriétés des fonctions réglées Intégrle des fonctions réglées Intégrles impropres Définition et propriétés Intégrles impropres des fonctions positives Suites et séries de fonctions Riemnn-intégrbles Différentes convergences de fonctions Intégrbilité des suites et séries de fonctions Quelques inconvénients de l intégrle de Riemnn i

3 Introduction Le clcul d intégrles déjà été rencontré les nnées précédentes dns des cs bien concrets, pour des intégrles de fonctions usuelles. Depuis le L1, les techniques de clcul de primitives, d ires, d intégrtion pr prties ou de chngements de vribles permettent de mener à bien les clculs effectifs d intégrles de fonctions usuelles. On se propose dns ce cours de donner une construction théorique de l intégrtion qui recouvre les méthodes de clculs déjà connues. Il y plusieurs théories de l intégrtion. Son pproche est géométrique, il considère f(x)dx comme une ire. Un peu plus trd, Riemnn constte que l condition de continuité de l intégrnd f pour le clcul de f(x)dx est inutile : il suffit que les fonctions soient limites de fonctions en esclier. Il donne donc une théorie plus générle pour les fonctions limites de fonctions en esclier (1854). C est dns le cdre de cette théorie que se font tous les clculs d intégrle rencontrés jusqu à mintennt. L intégrle de Riemnn est l objet de ce cours. On l présenter comme Drboux l fit (1875). Ce type d intégrles se clcule sur des domines bornés le cs, on peut voir recours à des intégrles générlisées f(x)dx. Qund ce n est ps + f(x)dx (dites intégrles impropres) mis elles ne vérifient ps toutes les propriétés des intégrles clssiques (sur les intervlles bornés). Dns l théorie de Riemnn, certins clculs posent des problèmes. En prticulier, pour les problèmes d interversion de somme et d intégrtion (soulevés pr Fourier) : f n (x)dx = f n (x)dx, n 1 n 1 ou de limite et d intégrle : lim n + f n (x)dx = lim f n(x)dx n + on ne dispose d ucun résultt stisfisnt lors qu en prtique ce type de problème se pose souvent. Des réponses élégntes sont données pr Lebesgue dns le cdre de l intégrle de Lebesgue qui fit l objet d un cours spécifique en L3, cf [JCB-Lebesgue] uquel on renvoie. ii

4 c JCB L3 mth Université de Rennes 1 iii On pourr consulter pour référence tout ouvrge de niveu L d Anlyse, à titre d exemple on cite [Gos] dont ces notes s inspirent et [AF, RDO].

5 Chpitre 1 Intégrles des fonctions en esclier En Deug, plusieurs techniques de clculs sont étudiées et utilisées pour clculer des intégrles (intégrtion pr prties, chngements de vrible). Ces clculs relèvent de l intégrle de Riemnn. On v en donner dns cette première prtie, une construction plus théorique et rppeller (ou démontrer) les principles propriétés de ce type de clcul. Pour cel, on commence pr s intéresser à des fonctions étgées (fonctions en esclier) pour lesquelles on v définir l intégrle et vérifier ses principles propriétés. Puis on générliser cette construction à une clsse de fonctions plus lrge (dite intégrbles) qui contient toutes les fonctions usuelles (en prticulier les fonctions continues). Dns ce chpitre, [, b] désigne un intervlle fini. 1.1 Fonctions en esclier Définition (Subdivision) Soit [, b] un intervlle fini, on ppelle subdivision S de [, b] toute suite finie ordonnée (t i ) 0 i n de [, b] : = t 0 t 1 t n = b. On ppelle ps de l subdivision ρ(s) = mx t i+1 t i. 0 i n 1 Exemples : S 1 = {0, 1, 1}, S = {0, 1, 1, 3, 1}, S = {0, 1,, 1}, S = {0,, 1, 5, 1} sont des subdivisions de [0, 1]. 5 6 L subdivision uniforme sur [, b] est celle de points t i = + i b, 0 i n, elle est n de ps b. n Précédemment, S 1, S, S 3 sont uniformes de ps respectivement ρ(s 1 ) = 1/, ρ(s ) = 1/4 et ρ(s 3 ) = 1/3. Pr contre, S 4 n est ps uniforme et de ps ρ(s 4 ) = /5. Définition 1.1. Soient S et S deux subdivisions de [, b], S est dite plus fine que S si S S, c est à dire si l suite (t i ) i qui définit S est inclue dns celle (t j) j de S. 1

6 Chpitre 1. c JCB L3 mth Université de L Rochelle Précédemment, S est plus fine que S 1 ou encore S = {0, 1,, 3, 4} est plus fine que S = {0,, 4}, subdivisions de [0, 4]. En prticulier, si on deux subdivisions S 1 et S lors l subdivision S 3 = S 1 S rffine à l fois S 1 et S. { 1, x A On rppelle que pour un ensemble A, l fonction indictrice 1 A (x) = 0, x A est celle qui indique si x est dns A ou non. Définition On ppelle fonction en esclier sur [, b] toute fonction f : [, b] R telle qu il existe une subdivision S = (t i ) 0 i n de [, b] vec f constnte sur chque intervlle [t i, t i+1 [. L fonction f s écrit lors : f(x) = α i 1 [ti,t i+1 [(x). (1.1) Pr exemple f(x) = 1 [0,[ (x) 51 [,4[ (x) + 31 [4,5] (x), g(x) = 1 [0,1/[ (x) + 1 [1/,3[ (x) 31 [3,5] (x). Le nom ce ces fonctions vient de l llure de leur représenttion grphique. Dessiner pr exemple les grphes de f et de g. Proposition L ensemble E([, b]) des fonctions en esclier sur [, b] est un sousespce vectoriel de l ensemble des fonctions de [, b] dns R. En effet c est stble pr multipliction pr un sclire pr exemple 5f(x) = 101 [0,[ (x) 51 [,4[ (x)+151 [4,5] (x), g(x) = 1 [0,1/[ (x) 41 [1/,3[ (x)+61 [3,5] (x) sont encore en esclier. Et c est stble pr ddition : f(x) + g(x) = 31 [0,1/[ (x) + 41 [1/,[ (x) 31 [,3[ (x) 81 [3,4[ (x) + 01 [4,5] (x) où il fut bien comprendre d bord que si f se décompose sur [0, [ [, 4[ [4, 5] et g sur [0, 1/[ [1/, 3[ [3, 5] lors f +g se décompose sur [0, 1/[ [1/, [ [, 3[ [3, 4[ [4, 5], prtition qui rffine à l fois celles de f et de g. En tout cs f + g est bien en esclier. Plus générlement, il fudrit voir que pour toutes fonctions en esclier f et g lors αf +βg l est encore pour tous réels α, β (exercice). 1. Intégrle des fonctions en esclier Définition 1..1 On ppelle intégrle de f fonction en esclier donnée pr (1.1) le nombre réel f(x)dx = α i (t i+1 t i )(x).

7 Chpitre 1. c JCB L3 mth Université de L Rochelle 3 Remrque 1..1 Une fonction en esclier peut voir plusieurs écritures du type (1.1) en rffinnt l subdivision, pr exemple f(x) = 1 [0,[ (x) 51 [,4[ (x)+31 [4,5] (x) = 1 [0,3/4[ (x) + 1 [3/4,[ }{{} (x) 51 [,3[(x) 51 [3,4[ (x) }{{} +31 [4,5](x) On montre cependnt que l intégrle f(x)dx définie précedemment ne dépend ps de l écriture prticulière de f : deux écritures différentes de l même fonction en esclier donnent l même vleur de l intégrle. L définition donc bien un sens. Une fonction constnte sur [, b] est une fonction en esclier prticulière f(x) = α1 [,b], vec l subdivision trivile {, b} de [, b]. Son intégrle est lors f(x)dx = α(b ) si α est l vleur constnte de cette fonction. Pr exemple f(x)dx = = = 3, g(x)dx = (3 1 ) 3 = = 1. Propriétés des intégrles de fonctions en esclier (linérité) L ppliction f f(x)dx est une ppliction linéire de E([, b]) l ensemble des fonctions en esclier dns R. L intégrle est donc linéire : (αf + βg)(x)dx = α f(x)dx + β g(x)dx. Pour cel, il fut rffiner les subdivisions S de f et S de g en S = S S, dptée à l fois à f et à g et donc à f + g, puis utiliser l linérité de l somme. (positivité) Si f est une fonction en esclier positive lors son intégrle f(x)dx est positive. En effet, dns ce cs, son intégrle est une somme de termes positifs donc elle est positive. (ordre) Si f et g sont des fonctions en esclier vec f g lors f(x)dx g(x)dx. Il s git de l propriété de positivité ppliquée à g f 0. (vleurs bsolues) Pour toute fonction en esclier f, on f(x)dx f(x) dx.

8 Chpitre 1. c JCB L3 mth Université de L Rochelle 4 En effet, d bord, si f est en esclier, f l est ussi et f(x) = α i 1 [ti,t i+1 [, f(x) = α i 1 [ti,t i+1 [. Comme l vleur bsolue d une somme est mjorée pr l somme des vleurs bsolues, le résultt suit fcilement. (Reltion de Chsles) Si f est une fonction en esclier sur [, b] et c [, b] lors f(x)dx = c f(x)dx + c f(x)dx. En effet, en rjoutnt c à l subdivision S, l somme définissnt f(x)dx se scinde en deux, l une correspondnt à l prtie de subdivision vnt c (égle à c f(x)dx), l utre à celle près c (égle à f(x)dx). c Soit f une fonction en esclier sur [, b] et u : R R une ppliction linéire. Alors u f est en esclier et ( ) (u f)(x)dx = u f(x)dx. En effet, u f est constnte sur [t i, t i+1 ] et y vut u(α i ) si f y vut α i. Mis lors ( b n 1 ) ( ) (u f)(x)dx = u(α i )(t i+1 t i ) = u α i (t i+1 t i ) = u f(x)dx. i=1 Soit f en esclier sur [, b] lors f(x)dx i=1 (b ) sup f(x). x [,b] Notons f = n 1 α i1 [ti,t i+1 [. On sup x [,b] f(x) = mx 1 i n α i =: A. On f(x)dx = n 1 α i (t i+1 t i ) α i (t i+1 t i ) = A (t i+1 t i ) = A(b ). 1.3 Sommes de Drboux et de Riemnn On se donne f une fonction de [, b] dns R bornée. Pour définir son intégrle, on v pprocher f pr des fonctions en esclier. Etnt donnée une subdivision S, on définit des fonctions en esclier qui minorent f et qui mjorent f : soient n 1 E (f,s) (x) = m i 1 [ti,t i+1 [(x). (1.)

9 Chpitre 1. c JCB L3 mth Université de L Rochelle 5 où m i = inf x [ti,t i+1 [ f(x) et vec M i = sup x [ti,t i+1 [ f(x), on considère Plus générlement, on peut pprocher f pr n 1 E + (f,s) (x) = M i 1 [ti,t i+1 [(x). (1.3) Ẽ (α,f,s) (x) = f(α i )1 [ti,t i+1 [(x) (1.4) où α i [t i, t i+1 [ est quelconque. S ils existent, vec α i qui rélise le minimum de f sur [t i, t i+1 [, on obtient l première fonction en esclier (1.), vec α i qui rélise le mximum, on obtient l seconde (1.3). Souvent, on prend α i = t i pour tous les i ou α i = t i+1 (c est à dire l guche ou l droite des intervlles). Et qund l subdivision est uniforme, on considère fréquemment les fonctions en esclier suivntes : Ẽ (f,sunif )(x) = f( + i b n )1 [+i b n,+(i+1) b n Exemple : Donner ces fonctions en esclier pour l fonction f(x) = sin x et l subdivision [(x). {0, π, π, 3π, π} de [0, π] Ces fonctions en esclier vérifient les propriétés élémentires suivntes : Proposition E (f,s) (x) f(x) E+ (f,s) (x).. E (f,s) (x) Ẽ(α,f,S)(x) E + (f,s) (x). 3. Si S S, on E (f,s) (x) E (f,s ) (x) et E+ (f,s ) (x) E+ (f,s) (x). Le 3) se comprend de l fçon suivnte : qund on ffine l subdivision, les fonctions en esclier deviennent plus précises et se rpprochent de f. Définition Etnt donnée une subdivision S, on ppelle somme de Drboux inférieure l intégrle de l fonction en esclier (1.) A (f, S) = m i (t i+1 t i ). On ppelle somme de Drboux supérieure l intégrle de l fonction en esclier (1.3) toujours vec m i = A + (f, S) = M i (t i+1 t i ) inf f(x), M i = sup f(x). x [t i,t i+1 [ x [t i,t i+1 [

10 Chpitre 1. c JCB L3 mth Université de L Rochelle 6 Ce sont en fit les intégrles des fonctions en esclier E (f,s) et E+ (f,s). Définition 1.3. Etnt donnée une subdivision S, on ppelle somme de Riemnn l intégrle d une fonction en esclier du type (1.4) où pour chque i, α i [t i, t i+1 [. R(f, S, α) = f(α i ) (t i+1 t i ) Il s git de l intégrle de Ẽ(α,f,S). Pour définir une telle somme, f n ps besoin d être bornée. S il existe, vec α i qui rélise le minimum de f sur [t i, t i+1 [, on obtient l somme de Drboux inférieure A (f, S). S il existe, vec α i qui rélise le mximum de f sur [t i, t i+1 [, on obtient l somme de Drboux supérieure A + (f, S). Avec l subdivision uniforme, l somme de Riemnn prend l forme clssique : R(f, S unif ) = b n f( + i b n ). De l Proposition pour les fonctions en esclier, on déduit que ces sommes vérifient les propriétés élémentires suivntes : Proposition A (f, S) R(f, S, α) A + (f, S).. Si S S, on A (f, S) A (f, S ) et A + (f, S ) A + (f, S). Plus l subdivision est fine, plus les sommes de Drboux inférieures sont grndes, plus les sommes de Drboux supérieures sont petites (et se rpprochent en fit chcune d une vleur commune... ).

11 Chpitre Intégrle de Riemnn.1 Fonctions Riemnn-intégrbles Définition.1.1 Une fonction f : [, b] R est Riemnn-intégrble (sur [, b]) si pour tout ε > 0, il existe une subdivision S telle que ses sommes de Drboux vérifient : A + (f, S) A (f, S) ε. (.1) A fortiori si (.1) est vrie pour S, c est vri pour toute subdivision S plus fine que S. En effet d près l Prop. 1.3., pour S S, on A + (f, S ) A + (f, S) et A (f, S ) A (f, S) et donc A + (f, S ) A (f, S ) A + (f, S) A (f, S). Les fonctions Riemnn-intégrbles sont celles pour lesquelles les sommes de Drboux inférieure et supérieure peuvent être rendues rbitrirement proches à condition de choisir des subdivisions suffisment fines (les surfces contenntes et contenues peuvent serrer d ussi près que voulu l vrie surfce). Proposition.1.1 Qund f : [, b] R est intégrble, en prennt, les sup et inf sur l ensemble des subdivisions de [, b], on lors sup A (f, S) = inf S S A+ (f, S). Démonstrtion : En effet comme A (f, S) est croissnt qund S se rffine et est borné pr les sommes de Drboux supérieures, sup S A (f, S) est bien défini. De même, inf S A + (f, S) est bien défini. Puis d près (.1), il est fcile de voir que pour tout ε > 0, on inf S A + (f, S) sup S A (f, S) ε. D où l églité. Définition.1. Pr définition, l intégrle (de Riemnn) de f, Riemnn-intégrble, est l vleur commune précédente f(x)dx = sup A (f, S) = inf S S A+ (f, S). 7

12 Chpitre. c JCB L3 mth Université de L Rochelle 8 De fçon équivlente, si f est Riemnn-intégrble, on f(x)dx = lim ρ(s) 0 A (f, S) = lim ρ(s) 0 A+ (f, S) = lim R(f, S, α) ρ(s) 0 pour toute somme de Riemnn R(f, S, α) où on rppelle que ρ(s) désigne le ps de l subdivision S. Théorème.1.1 L convergence des sommes de Drboux est équivlente à celle des sommes de Riemnn. Démonstrtion : D bord, soit f dont les sommes de Riemnn convergent vers L. L fonction f est bornée et pour tout ε > 0, il existe une prtition S = { 0,..., n } de [, b] telle que ε/ R(f, S, α) L ε/ pour toute somme de Riemnn R(f, S, α) de ps ρ(s) ssez petit. Soit lors, pour chque j, x j ] j, j+1 [ tel que M j f(x j ) ε/((b )), on A + (f, S) f(x j )( j+1 j ) = j=0 = (M j f(x j ))( j+1 j ) j=0 ε ( j+1 j ) (b ) ε/. j=0 De même, soit ensuite, pour chque j, y j ] j, j+1 [ tel que m j f(y j ) ε/((b )), on f(y j )( j+1 j ) A (f, S) = j=0 = (f(x j ) m j )( j+1 j ) j=0 ε ( j+1 j ) (b ) ε/. j=0 On en déduit isément que A + (f, S) L ε, L A (f, S) ε et donc A + (f, S) A (f, S) ε.

13 Chpitre. c JCB L3 mth Université de L Rochelle 9 Autrement dit les sommes de Drboux (inférieures et supérieures) sont rbitrirement proches et convergent vers L. L fonction f est donc Riemnn intégrble (u sens de l définition de Drboux) et L = f(x)dx = sup A (f, S) = inf S S A+ (f, S). Réciproquement, si les sommes de Drboux convergent vers L = inf S A + (f, S) = sup S A (f, S). Alors pour tout ε > 0, il existe une subdivision S telle que A + (f, S) A (f, S) ε et fortiori, on L A (f, S) ε, A + (f, S) L ε. Alors pour toute subdivision S S et toute somme de Riemnn R(f, S, α), on ε A (f, S) L A (f, S ) L R(f, S, α) L A + (f, S ) L A + (f, S) L ε. On donc pour toute subdivision S S, R(f, S, α) L ε, utrement dit les sommes de Riemnn de f converge vers L = f(x)dx (qund on rffine l subdivision). Remrque.1.1 L fonction f est donc ussi intégrble si ses sommes de Riemnn convergent. L intégrle de f est lors ussi l limite des sommes de Riemnn. Souvent, on prend l subdivision uniforme et f(x)dx est vue comme limite des sommes de Riemnn clssiques : b lim f( + i b n + n n ) = f(x)dx cr le ps de l subdivision uniforme est (b )/n qui tend vers 0 qund n +. Exemples : Clculer les limites des sommes de Riemnn suivntes : n k=1 k n, n k=1 ln(k/n), n π n k=1 cos( kπn). n Indiction : prendre = 0 et b = 1. Contre-exemple : une fonction qui n est ps Riemnn-intégrble Soit sur [0, 1], l fonction { 0 si x Q f(x) = 1 Q (x) = 1 si x Q. Soit S = (t i ) 1 i n une subdivision de [0, 1]. Pour tout 1 i n, l intervlle (t i, t i+1 ) contient un rtionnel α i et un irrtionnel β i (pr densité de Q et de Q c dns R). On lors f(α i ) = 1 d où sup x [ti,t i+1 [ f(x) = 1 et f(β i ) = 0 d où inf x [ti,t i+1 [ f(x) = 0.

14 Chpitre. c JCB L3 mth Université de L Rochelle 10 On en déduit fcilement que A (f, S) = 0 et A + (f, S) = 1 pour toute subdivision S. On ne peut donc ps vérifier l définition de l Riemnnintégrbilité : vec ε = 1/, comment trouver une subdivision S telle que 1 = 1 0 = A + (f, S) A (f, S) ε. L fonction f n est ps Riemnn-intégrble. On verr qu elle est Lebesgue-intégrble, on pourr lors donner un sens à une expression du type : «1 Q (x)dx». [0,1] Définition.1.3 (Autre définition de l Riemnn-intégrbilité) Soit f : [, b] R lors les deux ssertions suivntes sont équivlentes : i) Pour tout ε > 0, il existe deux fonctions en esclier ϕ ε et φ ε telles que f ϕ ε φ ε, φ ε (x)dx ε. ii) Il existe une suite de fonctions en esclier (ϕ n ) n et une suite (φ n ) n telles que pour tout n N, f ϕ n φ n, lim n + φ n (x)dx = 0. Toute ppliction f : [, b] R vérifint ces deux ssertions est Riemnn-intégrble et l intégrle de Riemnn de f est donnée pr f(x)dx = lim n + ϕ n (x)dx. Remrque.1.1 L définition précédente de f(x)dx bien un sens : on vérifie qu elle ne dépend ps du choix des suites (ϕ n ) n et (φ n ) n. Bien sûr, les deux formultions de cette nouvelle définition sont équivlentes : prendre ε = 1/n pour déduire l ème formultion de l 1ère, ou prendre n ssez grnd, pour déduire l 1ère formultion de l ème. Dns cette définition, f n ps besoin ( priori) d être bornée contrirement à l définition vi les sommes de Drboux. Théorème.1. Lorsque f est bornée, les deux définitions de Riemnn-intégrbilité coïncident.

15 Chpitre. c JCB L3 mth Université de L Rochelle 11 Démonstrtion : Si f, bornée, est Riemnn-intégrble lors pour S de ps ssez petit, on E (f, S) f E + (f, S), et A + (f, S) A (f, S) ε. (.) Notons lors ϕ ε = E+ (f, S) + E (f, S), φ ε = E+ (f, S) E (f, S). Ce sont bien des fonctions en esclier cr combinisons linéires de telles fonctions. De plus, on réécrit lors (.) sous l forme ϕ ε φ ε f ϕ ε + φ ε, et φ ε (x)dx ε/. L définition.1.3 précédente est donc vérifiée vec ε/. Cel jusifie le sens direct. Soit f vérifint l définition précédente. Notons (ϕ n ) n et (φ n ) n les suites en esclier données pr l définition. On ϕ n φ n f ϕ n + φ n Soit S n une subdivision dptée à l fois à ϕ n et à φ n. En étudint ϕ n φ n, f, ϕ n + φ n, sur un intervlle [ n i, n i+1] de l subdivision S n, on constte que Puis On déduit A + (f, S n ) A (f, S n ) = ϕ n φ n E (f, S n ) f E + (f, S n ) ϕ n + φ n. E + (f, S n )(x) E (f, S n )(x)dx lim ρ(s) 0 A+ (f, S) A (f, S) = 0, et donc f est Riemnn-intégrble. φ n (x)dx. Montrons enfin que les deux définitions de f(x)dx coïncident. D près l première prtie de l preuve, on peut choisir dns l deuxième définition les suites de fonctions en esclier ϕ n = E+ (f, S n ) + E (f, S n ), φ n = E+ (f, S n ) E (f, S n ) et donc ϕ n(x)dx = 1 (A+ (f, S n ) + A (f, S n )). Le membre de guche converge vers f(x)dx u sens de l deuxième définition tndis que le membre de droite converge vers 1 ( f(x)dx + f(x)dx) u sens de l première définition. D où l églité.

16 Chpitre. c JCB L3 mth Université de L Rochelle 1. Propriétés de l intégrle de Riemnn On donne ici les propriétés principles de l intégrle de Riemnn. On se contente d esquisser les preuves. On renvoie si nécessire à tout mnuel de Deug ou de L. Proposition..1 Toute fonction Riemnn-intégrble sur un intervlle [, b] est bornée. Démonstrtion : Soit, on psse pr les sommes de Drboux, et lors implicitement l fonction est supposée bornée. Soit on psse pr l définition.1.3 lterntive et lors vec ε = 1, il existe ϕ 1 et φ 1 telle que f ϕ 1 φ 1, φ 1 (x)dx 1. On donc f ϕ 1 + φ 1. Mis comme les fonctions en esclier ϕ 1 et φ 1 sont (pr nture) bornées, f l est ussi. L proposition suivnte grntit que l notion d intégrle de Riemnn bien un intérêt : les fonctions usuelles le sont! Proposition.. (Exemples de fonctions Riemnn-intégrbles) 1. Les fonctions continues sont Riemnn-intégrbles.. Les fonctions monotones (croissntes ou décroissntes) sont Riemnn-intégrbles. Démonstrtion : 1) Si f est continue sur [, b] lors elle est uniformément continue (théorème de Heine, cf. Topologie). Soit pour ε > 0 donné α > 0 donné pr l uniforme continuité de f. On prend une subdivision S de ps ρ(s) α. Pour tout x, y [ i, i+1 ], on x y α et donc f(x) f(y) ε. On déduit lors fcilement que A + (f, S) A (f, S) = = M i (t i+1 t i ) m i (t i+1 t i ) = (M i m i )(t i+1 t i ) n 1 n 1 (f(b i ) f( i ))(t i+1 t i ) ε(t i+1 t i ) = (b )ε où i, b i [t i, t i+1 ] rélisent le sup et l inf de f sur [t i, t i+1 ], puis on utilisé b i i t i+1 t i ρ(s) α. Les sommes de Drboux peuvent donc être rendues rbitrirement proches.

17 Chpitre. c JCB L3 mth Université de L Rochelle 13 ) Soit f croissnte lors vec les nottions des sommes de Drboux, on m i = f( i ) et M i = f( i+1 ). En utilisnt les subdivisions uniformes de ps 1/n, on i = + i(b )/n, si bien que A + (f, S) A (f, S) = b (f(b) f()) ε n dés que n est ssez grnd. Systémtiquement, pour prouver les propriétés suivntes des fonctions Riemnn-intégrbles, on se rmène pr pproximtion ux sommes de Drboux, intégrles de fonction en esclier pour lesquelles ces propriétés ont déj été vues. Proposition..3 (Linérité) Si f et g sont Riemnn-intégrbles lors les combinisons linéires le sont ussi et pour tout α, β réels αf(x) + βg(x)dx = α f(x)dx + β g(x)dx. Autrement dit, l ensemble des fonctions Riemnn-intégrbles est un espce vectoriel sur lequel l intégrle définit une ppliction linéire. Démonstrtion : Soient (ϕ n ) n et (φ n ) n les suites de fonctions en esclier données pr l définition.1.3 de l Riemnn-intégrbilité de f. Puis soient ( ϕ n ) n et ( φ n ) n celles ssociées à g. Alors puis (αf + βg) (αϕ + β ϕ) α f ϕ + β g ϕ ( α φ n (x) + β φ n (x))dx = α α φ n + β φ n φ n (x)dx + β φ n (x)dx 0, n + L fonction αf +βg vérifie donc l définition.1.3 de l Riemnn-intégrbilité vec les suites de fonctions en esclier (αϕ n + β ϕ n ) n et ( α φ n + β φ n ) n, cette dernière étnt positive. Puis (αf(x) + βg(x))dx = lim n + = α lim = α n + (αϕ n (x) + β n ϕ n (x))dx f(x)dx + β ϕ n (x)dx + β lim n + g(x)dx. ϕ n (x)dx

18 Chpitre. c JCB L3 mth Université de L Rochelle 14 Proposition..4 (Reltion de Chsles) Si f est Riemnn-intégrble sur [, b] et c ], b[ lors f l est encore sur [, c] et sur [c, b] et f(x)dx = c f(x)dx + c f(x)dx. Démonstrtion : D bord si f est Riemnn-intégrble sur [, b], elle l est sur [, c] et [c, b]. En effet soit pour ε > 0, S l subdivision donnée pr l définition de l intégrbilité sur [, b]. Quitte à rffiner encore S, on peut supposer que c S. Mis lors en notnt S 1 l prtie de l subdivision correspondnt à [, c] et S celle à [c, b], on déduit que S 1 et S vérifient l définition de l intégrbilité de f sur [, c] et [c, b] cr il est fcile de voir que On donc A ± (f, S) = A ± (f, S 1 ) + A ± (f, S ). A + (f, S 1 ) A (f, S 1 ) + A + (f, S ) A (f, S ) A + (f, S) A (f, S) et donc A + (f, S 1 ) A (f, S 1 ) et A + (f, S ) A (f, S ) peuvent être rendus rbitrirement proche. Puis, on f(x)dx = lim = ρ(s) 0 c A + (f, S) = f(x)dx + c lim A + (f, S 1 ) + A + (f, S ) ρ(s) 0 f(x)dx. Proposition..5 (Positivité) Si f est positive et Riemnn-intégrble sur [, b] lors f(x)dx 0. Démonstrtion : En effet, si f est positive lors ses sommes de Drboux le sont ussi. Mis lors comme f(x)dx est limite de ses sommes (qund le ps des subdivisions tend vers 0), l intégrle est positive. Corollire..1 Si f et g sont Riemnn-intégrbles et f g lors f(x)dx g(x)dx C est l propriété précédente ppliquée à g f, fonction positive.

19 Chpitre. c JCB L3 mth Université de L Rochelle 15 Proposition..6 (Intégrle et vleurs bsolues) Si f est Riemnn-intégrble f(x)dx f(x) dx. En effet l Riemnn-intégrbilité de f est fcile à justifier (exercice), puis : f(x)dx = lim ρ(s) 0 A+ (f, S) = lim ρ(s) 0 A+ (f, S) lim ρ(s) 0 A+ ( f, S) = f(x) dx. Proposition..7 Soit f une fonction Riemnn-intégrble de [, b] dns R et u : R R une ppliction linéire. Alors u f est Riemnn-intégrble et ( ) u f(x)dx = u f(x)dx. Démonstrtion : Notons M l borne de l ppliction linéire u. Soient (ϕ n ) n et (φ n ) n les suites d pplictions en esclier données pr l définition.1.3 de l Riemnn-intégrbilité de f. Alors u ϕ n et Mφ n sont ussi en esclier. Puis lim n + Mφ n(x)dx = 0 et u f(t) u ϕ n (t) = u (f ϕ n )(t) M (f ϕ n )(t) Mφ n (t) et donc u f u ϕ n Mφ n, si bien que l définition (lterntive) de l Riemnnintégrbilité est vérifiée pour u f vec les fonctions en esclier (u ϕ n ) n et (Mφ n ) n. Proposition..8 Soit f Riemnn-intégrble sur [, b] positive et telle que f(x)dx = 0. Alors f prend l vleur 0 en tout point où elle est continue. Démonstrtion : Soit t 0 un point de continuité de f. Si f(t 0 ) 0 lors pr continuité de f en t 0, on peut trouver un intervlle I de longueur l(i) > 0 où f(t) f(t 0 )/ > 0. Soit lors g l fonction en esclier égle à f(t 0 )/ sur I et 0 illeurs. Alors f g et donc f(x)dx g(x)dx = l(i)f(t 0 )/ > 0 ce qui est bsurde. On donc bien f(t 0 ) = 0. Corollire.. Si f et g sont Riemnn-intégrbles et continues vec f g lors f(x)dx = b g(x)dx entrãőne f = g.

20 Chpitre. c JCB L3 mth Université de L Rochelle 16 Proposition..9 (Première formule de l moyenne) Soient f et g deux fonctions Riemnn-intégrbles sur [, b], g étnt une fonction positive. On désigne pr m (resp. M) l borne inférieure (resp. supérieure) de f sur [, b]. Alors il existe m k M tel que f(x)g(x)dx = k De plus, si f est continue lors il existe c [, b] tel que f(x)g(x)dx = f(c) g(x)dx. g(x)dx. Démonstrtion : Comme g 0, on mg fg Mg et donc m g(x)dx f(x)g(x)dx M g(x)dx. Si g(x)dx = 0, lors l encdrement précédent ssure que f(x)g(x)dx = 0 et k = convient pr exemple. m+m Sinon, f(x)g(x)dx/ g(x)dx est un élément de [m, M]. Si en plus f est continue, on conclut pr le théorème des vleurs intermédiires pour trouver c. Définition..1 Le réel f(x)dx est dit vleur moyenne de l fonction Riemnnintégrble f sur [, b]. 1 b (C est l espérnce (probbiliste) de f pour l loi uniforme sur [, b].) Proposition..10 (Deuxième formule de l moyenne) Soit f une fonction positive décroissnte de [, b] dns R et g une ppliction Riemnn-intégrble sur [, b]. Alors, il existe c [, b] tel que (exercice difficile) f(x)g(x)dx = f() c g(x)dx..3 Intégrle et primitive Proposition.3.1 Soit f : [, b] R Riemnn-intégrble, lors l ppliction intégrle t t f(x)dx est continue.

21 Chpitre. c JCB L3 mth Université de L Rochelle 17 Démonstrtion : Soit t 0 [, b] et [α, β] [, b] un voisinge de t 0. L fonction f est intégrble et bornée pr M sur [α, β]. Pr l reltion de Chsles, on pour tout t [α, β] t t0 t0 f(x)dx f(x)dx = f(x)dx M t t 0. L restriction de t t f(x)dx à [α, β] est donc lipschitzienne et en prticulier elle est continue en t 0. t Proposition.3. Si f dmet une limite (resp. à droite, à guche) en t 0 [, b] lors l ppliction intégrle t t f(x)dx est dérivble (resp. à droite, à guche) en t 0 de dérivée l = lim t t0 f(t) (resp. f(t + 0 ), f(t 0 )). Démonstrtion : D près l existence de l limite l en t 0, pour ε > 0 ssez petit, il existe α tel que si t 0 α t t 0 + α, lors f(t) l ε. Mis lors pour tout t [t 0 α, t 0 + α], on (pour t t 0 ) : t t0 t t t f(x)dx f(x)dx (t t 0 )l f(x)dx ldx f(x) l dx ε t t 0. t 0 t 0 t 0 Il suit t f(x)dx t 0 f(x)dx t t 0 l ε, ce qui conclut d près l définition de l dérivée comme limite des tux d ccroissement. Corollire.3.1 L ppliction intégrle t t [, b] en lequel f est continue, de dérivée F (t 0 ) = f(t 0 ). f(x)dx est dérivble en tout point t 0 Définition.3.1 Soit f : [, b] R. On ppelle primitive de f toute ppliction F : [, b] R qui est dérivble sur [, b] et de dérivée F = f. Proposition.3.3 Soit f : [, b] R dmettnt F pour primitive sur [, b]. Alors f dmet une infinité de primitives sur [, b] qui sont les pplictions de l forme G(x) = F (x) + k où k R est une constnte. Pr contre, étnt donné c [, b] et α R, f dmet une unique primitive F c,α qui vut α en c, il s git de F c (x) = F (x) F (c) + α. En effet, G(x) = F (x) + k est de dérivée G = F = f donc il s git bien d une primitive de f. Puis si G est une primitive de f lors (F G) = F G = f f = 0. L fonction F G est donc constnte. On donc G(x) = F (x) + k pour une certine constnte k.

22 Chpitre. c JCB L3 mth Université de L Rochelle 18 Proposition.3.4 Soit f une ppliction continue sur [, b]. Alors pour tout point c [, b], l ppliction intégrle t t f(x)dx est une primitive de f sur [, b]. Il s git de c l unique primitive de f qui s nnule en c. L ensemble des primitives d une fonction f continue sur [, b] est donc de l forme t f(x)dx + k pour tout c [, b] et toute constnte k R. t c Remrque.3.1 Si f est intégrble, l ppliction intégrle est seulement continue. A priori, elle n est ps dérivble et il ne s git ps lors d une primitive de f. On vu que les pplictions intégrles sont exctement les primitives des fonctions continues. Si f n est ps continue, priori, les pplictions intégrles ne sont ps des primitives. Cependnt si f dmet des primitives elles sont forcément données pr les pplictions intégrles. En effet, on : Théorème.3.1 (Théorème fondmentl du clcul différentiel) Soit f une fonction Riemnn-intégrble sur [, b]. Si F est une primitive de f lors Autrement dit, x x f(x)dx = F (b) F (). f(t)dt est l primitive de f nulle en. On donc ( x f(t)dt) = f(x). Ce résultt relie deux types d opértion priori sns rpport : l intégrle qui vi le clcul d ire est une notion d origine géométrique et l dérivtion qui est une notion nlytique. Le théorème indique donc que ces deux opértions sont inverses. Démonstrtion : Si f est continue, le résultt est vrie d près l Prop De fçon générle, si f est seulement Riemnn-intégrble, montrons pour ε > 0 fixé que F (b) F () f(x)dx ε. D près l définition de l Riemnn-intégrbilité de f, il existe une subdivision S telle que pour les sommes de Drboux correspondntes, on A + (f, S) A (f, S) ε Soit g 1 = E+ (f, S) + E (f, S), g = E+ (f, S) E (f, S).

23 Chpitre. c JCB L3 mth Université de L Rochelle 19 On g (x)dx ε/ puis f g 1 g cr E (f, S) f E + (f, S). Pr illeurs, g 1, g sont en esclier et vlent respectivement m i +M i et M i m i sur chque [ i, i+1 ]. Considérons lors l fonction G qui vut F (t) m i+m i t sur chque intervlle [ i, i+1 ]. L dérivée G = f m i+m i est mjorée en vleurs bsolues sur [ i, i+1 ] pr M i m i. Pr le théorème des ccroissements finis, on F ( i+1) F ( i ) M i + m i ( i+1 i ) = G( i+1) G( i ) M i m i ( i+1 i ) et donc en sommnt sur chque intervlle de l subdivision S F (b) F () Pr illeurs, on f(x)dx Si bien qu il vient g 1 (x)dx ce qui conclut en fisnt tendre ε vers 0. M i m i ( i+1 i ) = g 1 (x)dx f(x) g 1 (x) dx b F (b) F () f(x)dx ε, g (x)dx ε/. g (x)dx ε/. Remrque.3. Qund f est positive, l intégrle f(x)dx s interprète comme l ire de l portion de pln {(x, y) 0 y f(x), x b}. Si f est de signe quelconque, f(x)dx est l ire lgébrique où les prties sous l xe des bscisses sont d ires négtives et celles u dessus de l xe des bscisses sont positives. Prfois un clcul d ire est une méthode efficce de clcul d intégrle. Méthodes de clcul : IPP, chngements de vrible..4 Critère de Riemnn-intégrbilité En notnt Osc x f l oscilltion de f en x, ( Osc x (f) = inf sup ( f(u) f(v) : u, v I [, b] )), I voisinnge ouvert de x Le résultt suivnt est un critère de Riemmnn-intégrbilité pour une fonction f bornée sur [, b] borné.

24 Chpitre. c JCB L3 mth Université de L Rochelle 0 Théorème.4.1 (Drboux) Soit f bornée sur [, b]. Elle est Riemnn-intégrble ssi pour tout ε > 0, il existe α > 0 et une fmille d intervlles ouverts ]c i, d i [, 1 i N, tels que N i=1 (d i c i ) ε et D α = { } x [, b] : Osc x (f) α N ] [ ci, d i. Ituitivement, on englobe les oscilltions trop grndes de f dns des intervlles dont l somme des longueurs est ussi petite qu on veut. Ce critère l sveur d un résultt d intégrle de Lebesgue, cf. [JCB-Lebesgue]. Démonstrtion : Soit f Riemnn-intégrble sur [, b]. On se donne ε > 0 et α. D près l Riemnn-intǵrbilité, il existe une subdivision d : = x 0 < x 1 < < x n = b de [, b] telle que pour les sommes de Drboux ssociées, on it : n 1 0 A + f (d) A f (d) = (x i+1 x i )(M i (f) m i (f)) εα ici M i (f) = sup x [xi,x i+1 ] f(x) et m i (f) = inf x [xi,x i+1 ] f(x). Notons que (M i (f) m i (f)) { } est l oscilltion de f sur [x i, x i+1 ]. On pose I α = i {0,..., n 1} : Osc f ([x i, x i+1 ]) α. Pour i I α, on Osc f ([x i, x i+1 ]) < α et pour x ]x i, x i+1 [, on Osc x (f) Osc f (]x i, x i+1 [) < α. Il vient ]x i, x i+1 [ D α = et donc ( ) D α ]x i, x i+1 [ {x i : 0 i n}. i I α Pour i I α, on α Osc f ([x i, x i+1 ]) = M i (f) m i (f) et donc α(x i+1 x i ) (x i+1 x i ) ( M i (f) m i (f) ) A + f (d) A f (d) εα i I α i I α et i I α (x i+1 x i ) ε. Pour i {0,..., n}, on pose u i = x i ε/(4(n + 1)) et v i = x i + ε/(4(n + 1)). On lors n (v i u i ) = (N + 1) et donc vec ε 4(n+1) = ε i=1 ( ) ( n ) D α ]x i, x i+1 [ ]u i, v i [. i I α i I α (x i+1 x i ) + ce qui prouve le sens direct du Th n (v i u i ) ε

25 Chpitre. c JCB L3 mth Université de L Rochelle 1 Pour l réciproque : soit f bornée sur [, b] vérifint l condition du Th Soit α > 0 et ε > 0, il existe une fmille finie de q intervlles ]c i, d i [, 1 i q, tels que ( ) D α ]c i, d i [ i I α et q (d i c i ) ε. i=1 On peut supposer les intervlles ]c i, d i [ disjoints (sinon on redécoupe les intervlles) et on peut supposer l indextion telle que c 1 < d 1 < c < d < < c q < d q. Si < c 1, on pose I 0 = [, c 1 ] puis I 1 = [d 1, c ],..., I q 1 = [d q 1, c q ] et I q = [d q, b] si d q < b (si c 1 lors I 0 n existe ps ; si d q b lors I q n existe ps). Comme D α q i=1 ]c i, d i [, on D α I k = et donc pour tout x I k, on Osc x (f) < α. L borne supérieure des Osc x (f) sur I k est donc inférieure à α et il existe lors une subdivision δ k de I k (y k 0 < y k 1 < y n n k ) telle que Osc f ([y k j, y k j+1]) α pour tout 0 j n k 1. Soit lors d l subdivision de [, b] formée de, b et des point y k j des subdivisions δ k, 1 k q, qu on reordonne en z 0 = < z 1 < < z p = b. Un segment [z s, z s+1 ] de l subdivision d est du type [y k j, y k j+1] ou [c i, d i ] et on peut regrouper les termes A + f (d) A f (d) en les (d i c i )Osc f ([c i, d i ]) et les n k 1 ( ) y k j+1 yj k Oscf ([yj k, yj+1]) k α n k 1 ( ) y k j+1 yj k αλ(ik ). j=0 j=0 On donc q 1 A + f (d) A f (d) (α)λ(i k ) + k=0 q (d i c i )Osc f ([c i, d i ]). Comme les I k sont des intervlles disjoints et l oscilltion de f sur [c i, d i ] est mjorée pr celle de f sur [, b], on i=1 A + f (d) A f (d) (α)(b ) + Osc f([, b]) q (d i c i ) i=1 (α)(b ) + ε Osc f ([, b]). Finlement, étnt donné η > 0, les choix α η/(4(b )) et ε η/(osc f ([, b])) ssurent l existence d une subdivision d de [, b] telle que A + f (d) A f (d) η ce qui signifie l Riemnn-intégrbilité de f.

26 Chpitre 3 Fonctions réglées 3.1 Définition Soit I un intervlle, notons B(I, R) l ensemble des fonctions bornées de I dns R (on pourrit remplcer R pr E un espce vectoriel normé quelconque). L ensemble B(I, R) est un espce vectoriel, on le norme en définissnt sur B(I, R) : On montre que : f = sup{ f(x) x I}. Proposition L espce B(I, R) est complet pour l norme. Notons que l ensemble E(I, R) des fonctions en esclier sont dns B(I, R). On peut lors définir : Définition On ppelle fonction réglée tout élément g dns l dhérence de E(I, R), les fonctions en esclier sur I dns B(I, R) pour. On note R(I, R) cet ensemble : R(I, R) = E(I, R). Pr continuité pour de + et de l multipliction pr un sclire il est fcile de voir que l ensemble des fonctions réglées est un espce vectoriel. En prtique : une fonction f est réglée sur I, ssi il existe une suite (g n ) n de fonctions en esclier qui convergent uniformément sur I vers f, ou encore ε > 0, g en esclier, telle que f g = sup f(x) g(x) ε. x I Proposition 3.1. Une limite uniforme de fonctions réglées est réglée.

27 Chpitre 3. c JCB L3 mth Université de L Rochelle 3 Démonstrtion : Soit f limite uniforme de (f n ) n, suite de fonctions réglées. Comme f n R(I, R), f est dns l dhrénce de R(I, R) pour l norme. Mis pr définition, cet espce est fermé, il est donc égle à son dhérence : f R(I, R) = R(I, R). L fonction f est donc réglée. 3. Propriétés des fonctions réglées Proposition 3..1 Soit f : [, b] R une fonction réglée. Alors l ensemble de ses points de discontinuité est u plus dénombrble. Pour être Riemnn-intégrble, il fut (et il suffit) que cet ensemble soit négligeble, c est à dire pour n importe quel ε > 0, qu il soit inclu dns un ensemble de longueur totl inférieure à ε, ce qui est forcément le cs pour les ensembles dénombrbles (exercice). Proposition 3.. Soit f : [, b] R une fonction réglée. Alors en tout point ses limites à guche et à droite existent : lim f(x) existe pour x 0 [, b[, x x + 0 lim x x 0 f(x) existe pour x 0 ], b]. L réciproque est vrie (cr R est complet). Conséquences : Soit f(x) = cos(1/x) si x ]0, 1] et f(0) = 0. (3.1) D près l Prop. 3.., cette fonction n est ps réglée (elle n ps de limite à droite en 0) mis elle est Riemnn-intégrble (cr l ensemble de ses points de discontinuité est négligeble). Les fonctions continues sont réglées. Les fonction monotones sont réglées. 3.3 Intégrle des fonctions réglées Pour une fonction en esclier f(x) = n 1 α i1 [ti,t i+1 [, on définit son intégrle en tnt que fonction réglée pr θ,b (f) = α i (t i+1 t i ). (3.)

28 Chpitre 3. c JCB L3 mth Université de L Rochelle 4 On θ,b (f) (t i+1 t i ) f f (t i+1 t i ) = (b ) f. L ppliction θ,b est donc linéire et lipschitzienne sur E(I, R) : θ,b (f) (b ) f. (3.3) On v pouvoir étendre cette intégrle θ,b à toutes les fonctions réglées grãćce u résultt suivnt d extension (cf cours de Topologie) : Théorème (Extension des pplictions uniformément continues) Soient E et F deux espces métriques, F complet et X une prtie dense de E ( X = E). On considère f : X F une ppliction uniformément continue sur X. Alors il existe une unique extension g uniformément continue définie sur E qui prolonge f (i.e. g(x) = f(x) si x X). On pplique ce résultt à E(I, R) R θ,b : f f(x)dx. C est une ppliction uniformément continue (cr lipschitzienne d près (3.3)). Elle est définie sur E(I, R) qui est dense dns R(I, R) pour d près l définition de l ensemble des fonctions réglées. On étend lors θ,b en une ppliction (toujours notée) θ,b sur R(I, R). C est l intégrle d une fonction réglée. Pour une fonction f réglée, il existe g n une suite de fonctions en esclier qui converge uniformément vers f et pr définition l intégrle de f (en tnt que fonction réglée) est θ,b (f) = lim n + g n (x)dx. où le membre de droite est bien définie pr (3.) cr g n est en esclier. De plus cette définition de θ,b (f) ne dépend ps de l suite g n en esclier qui converge vers f, si bien que l définition bien un sens. Cette nouvelle notion d intégrbilité coïncide en fit vec l intégrbilité de Riemnn, en effet Théorème 3.3. Si f : [, b] R est une fonction réglée lors f est Riemnn-intégrble. De plus, son intégrle de Riemnn et son intégrle en tnt que fonction réglée coïncident : θ,b (f) = f(x)dx.

29 Chpitre 3. c JCB L3 mth Université de L Rochelle 5 Démonstrtion : Si f est en esclier, il est clir que θ,b (f) = f(t)dt. Si f est réglée, il existe f n en esclier telle que f n f uniformément. Mis comme θ,b (f n ) = f n(t)dt, l églité est conservée en pssnt à l limite. Attention : l réciproque est fusse : il existe des fonctions Riemnn-intégrbles qui ne sont ps réglées. Pr exemple, l fonction donnée en (3.1) n est ps réglée mis est Riemnnintégrble.

30 Chpitre 4 Intégrles impropres Dns ce chpitre, [, b[ désigne un intervlle ouvert en b, éventuellement infini ([, + [, ], b], R). On s intéresse ux intégrles de fonctions définies sur [, b[ mis ps en b. Il se pose lors un problème de convergence pour l intégrle 4.1 Définition et propriétés f(t)dt en b. Définition Une fonction de [, b[ R est dite loclement intégrble si elle est Riemnn-intégrble sur tout sous-intervlle compct [c, d] de [, b]. En prtique, l locle intégrbilité ser donnée pr Proposition Une fonction f : [, b[ R continue est loclement intégrble. Démonstrtion : Soit [c, d] (, b[. L fonction f est continue sur le compct [c, d] donc Riemnn-intégrble sur [c, d]. Comme c est vri pour tout [c, d] [, b[, elle est loclement intégrble. Nous notons lors F (x) = x définie cr f est Riemnn-intégrble sur [, x]. f(t)dt l ppliction intégrle de f sur [, b[. Elle est bien Souvent dns ce genre de sitution, l fonction f n est ps définie en b. C est pourquoi, on ne peut ps étudier directement l intégrle f(t)dt. Cependnt, on peut donner un sens générlisé à l intégrle sur [, b[ : Définition 4.1. l intégrle impropre Si l fonction intégrle F dmet une limite I en b, on dit que dite impropre l vleur I. f(t)dt est convergente. On ttribue lors à cette intégrle Si F n ps de limite en b, on dit que l intégrle impropre f(t)dt est divergente. 6

31 Chpitre 4. c JCB L3 mth Université de L Rochelle 7 On prle prfois d intégrles générlisées plutôt que d intégrles impropres. Exemples. L fonction f(x) = e x est loclement intégrble sur [0, + [. L intégrle impropre + f(t)dt converge et vut 1. 0 L fonction f(x) = 1/ 1 x est loclement intégrble sur [0, 1[. L intégrle impropre + f(t)dt converge et vut π/. 0 L fonction f(x) = cos x est loclement intégrble sur [0, + [. Mis l intégrle impropre + f(t)dt diverge. De même pour + sin t dt. 0 0 Toute fonction P polynôme est loclement intégrble sur [0, + [, mis d intégrle impropre divergente sur [0, + [. L fonction f(x) = 1/x est loclement intégrble sur ]0, 1] et sur [1, + [. Son intégrle impropre est convergente sur [1, + [, elle est divergente sur ]0, 1]. L fonction f(x) = 1/ x est loclement intégrble sur ]0, 1] et sur [1, + [. Son intégrle impropre est convergente sur ]0, 1], elle est divergente sur [1, + [. Proposition 4.1. L ensemble des fonctions de [, b[ dns R dont l intégrle impropre sur [, b[ converge est un sous-espce vectoriel de F([, b[, R). L intégrtion f f(t)dt est une ppliction linéire sur ce sous-espce vectoriel. Proposition Soit f : [, b[ R d intégrle impropre convergente et u : R R une ppliction linéire continue. Alors u f : [, b[ R une intégrle impropre convergente vec ( ) (u f)(t)dt = u f(t)dt. Dns les deux cs, il s git juste d un simple pssge à l limite des propriétés nlogues déjà vues pour les intégrles clssiques. C est donc l linérité du pssge à l limite qui prouve ces résultts. Proposition (Critère de Cuchy) Soit f : [, b[ R une ppliction loclement intégrble. L intégrle impropre de f sur [, b[ converge ssi f vérifie l condition suivnte (dite critère de Cuchy) : Pour tout ε > 0, il existe c [, b[ tel que x x, x [c, b[, f(t)dt ε. Il s git du critère générl d existence d une limite pour les fonctions à vleurs dns un espce complet ppliquée à l ppliction intégrle F à vleurs dns R, espce complet (cf cours de Topologie ou de Compléments d Anlyse). Définition Soit f : [, b[ R une ppliction loclement intégrble. L intégrle impropre f(t)dt de f est dite bsolument convergente si l intégrle impropre de f converge. x

32 Chpitre 4. c JCB L3 mth Université de L Rochelle 8 Pr exemple, l intégrle + 0 cos t e t dt converge bsolument cr cos t e t e t est d intégrle convergente sur [0, + [. Proposition Soit f : [, b[ R une ppliction loclement intégrble. Une condition suffisnte pour que l intégrle impropre de f sur [, b[ converge est qu elle converge bsolument sur [, b[. C est immédit pr le critère de Cuchy : celui de f donne celui de f. Pr un pssge à l limite, on ussi pour les intégrles impropres bsolument convergentes l inéglité : b f(t)dt f(t) dt. Définition Une intégrle impropre convergente mis non bsolument convergente est dite semi-convergente. Exemple : L intégrle + 0 convergence bsolue cr sin t t dt k=0 sin tdt est semi-convergente. En effet, d bord il n y ps t 5π 6 +kπ π 6 +kπ sin t t dt 1 + k=0 4π 6 π 6 1 = + + kπ cr + k=0 [ π +kπ, 5π +kπ] R et sur [ π +kπ, 5π +kπ], on sin t 1 et 1 1/( π +kπ) t 6 On montre qu il y qund même convergence simple et que l vleur de cette intégrle est π. Il se peut qu une intégrle soit plusieurs fois impropre. Donnons nous pr exemple un intervlle ], b[ vec b + et une ppliction loclement intégrble f sur ], b[. Le problème de l convergence de l intégrle f(t)dt se pose à l fois en et en b. On vérifie que s il existe c [, b[ tel que les intégrles impropres de f sur ], c] et [c, b[ convergent lors pour tout d ], b[, les intégrles impropres de f sur ], d] et [d, b[ convergent et c Pour c ], b[ fixé, notons F (x) = x c f(t)dt + f(t)dt, G(y) = c f(t)dt = c y d f(t)dt + f(t)dt, Φ(y, x) = d f(t)dt. x y f(t)dt. Théorème Les deux ssertions suivntes sont équivlentes : i) Les intégrles impropres de f sur ], c] et [c, b[ convergent.

33 Chpitre 4. c JCB L3 mth Université de L Rochelle 9 ii) L ppliction Φ dmet une limite u point (, b) de R. Lorsque ces ssertions sont vries, l limite de Φ est égle à l somme des deux intégrles impropres. On dit lors que l intégrle doublement impropre ttribue l vleur (indépendnte de c) : f(t)dt = c f(t)dt + c f(t)dt. f(t)dt converge et on lui Démonstrtion : Si i) est vrie Alors lim x b F (x) = f(t)dt et lim c y G(y) = c f(t)dt. Mis comme Φ(y, x) = G(y) + F (x), il existe donc lim Φ(y, x) = (y,x) (,b) c f(t)dt + c f(t)dt. Inversement si ii) est vrie, lors pour tout ε > 0, il existe (c, c ) vec < c < c < b tels que pour tout (y, x) vec < y c c x < b, on Φ(y, x) l ε/. On en déduit que pour tout (u, v) vec c u < v < b, on Φ(c, u) Φ(c, v) Φ(c, u) l + Φ(c, v) l ε/ + ε/ = ε. Mis comme Φ(c, v) Φ(c, u) = v f(t)dt, le critère de Cuchy est vérifié pour l intégrle u b f(t)dt. Elle converge donc en b. De même pour l intégrle en : f(t)dt. Exemple : L intégrle l fois en et en +. L intégrle e t dt est impropre en et en +. Mis elle converge à e t t dt est impropre en 0 et en +. Elle converge en 0 cr e t t 0 1/ t intégrble en 0. Elle converge en + cr (en nticipnt sur le critère de Riemnn) lim t + t e t t = 0. L intégrle est donc convergente. 4. Intégrles impropres des fonctions positives Proposition 4..1 Soit f : [, b[ R + une ppliction loclement intégrble à vleurs positives. L intégrle impropre de f converge ssi l ppliction intégrle F (x) est mjorée sur [, b[. L intégrle f(t)dt est lors l borne sup de F sur [, b[ (tteinte en b)

34 Chpitre 4. c JCB L3 mth Université de L Rochelle 30 Démonstrtion : Ici F (x) = x f(t)dt est croissnte en effet pour x x < b, on x F (x ) F (x ) = f(t)dt 0. x Puis F, croissnte, bornée est convergente. Proposition 4.. (Critère de comprison) Soient f, g : [, b[ R + des pplictions loclement intégrbles à vleurs positives vérifint f g. Alors i) Si l intégrle impropre de g converge sur [, b[, celle de f ussi et f(t)dt g(t)dt. ii) Si l intégrle impropre de f diverge, celle de g ussi. Plus générlement, on ussi Proposition 4..3 Soient f, g : [, b[ R + des pplictions loclement intégrbles à vleurs positives vérifint f = O(g) u voisinge de b. Alors i) Si l intégrle impropre de g converge sur [, b[, celle de f ussi et ii) Si l intégrle impropre de f diverge, celle de g ussi. Il y de multiples versions de ces critères de comprison. En prticulier, on peut intégrer les reltions de comprison. L version l plus importnte de ces critères est celle liée à l équivlence : Proposition 4..4 Soient f, g : [, b[ R + deux pplictions loclement intégrbles positives. Si f et g sont équivlentes en b lors leurs intégrles impropres sont de même ntures. Remrque 4..1 Pr contre, en cs de convergence des intégrles, on ne peut ps comprer les vleurs de ces intégrles impropres. Démonstrtion : Si f(x) b g(x) lors pr exemple vec ε = 1/, il existe un voisinge [b, b ] de b tel que pour x [b, b ], on (1/)g(x) f(x) (3/)g(x). D où pour b x x < b, on x x x 1/ g(t)dt f(t)dt 3/ g(t)dt. x x x Le critère de Cuchy de f donne celui de g et vice vers. Les intégrles impropres de f et de g en b sont donc de même nture.

35 Chpitre 4. c JCB L3 mth Université de L Rochelle 31 En prtique pour déterminer l nture d une intégrle impropre de fonctions positives, on commence pr simplifier u mximum l intégrnt en cherchnt l équivlent le plus simple. Attention, l équivlent est à prendre en le point b qui est critique pour l convergence de l intégrle. Exemples : l échelle de Riemnn En +, les fonctions 1/x α sont intégrbles en + ssi α > 1. Pr exemple, 1/ x ne l est ps, ps plus que 1/x tndis que 1/x l est. En 0, les fonctions 1/x α sont intégrbles en 0 ssi α < 1. Pr exemple, 1/ x l est mis ps 1/x ni 1/x. En un point fini b, c est l nlogue de 0 : 1/(b x) α est intégrble en b si α < 1. Sinon, l intégrle diverge en b. En prticulier, noter qu ucune fonction 1/x α n est intégrble à l fois en 0 et en +. Une conséquence du critère de comprison et de l échelle de Riemnn sont les critères suivnts : Proposition 4..5 (Critère de Riemnn en 0) Soit f :]0, b] R loclement intégrble. S il existe α < 1 tel que lim t 0 t α f(t) = 0 lors f est intégrble en 0. S il existe α > 1 tel que lim t 0 t α f(t) = + lors f n est ps intégrble en 0. Démonstrtion : En effet dns le premier cs, il existe x 1 > 0 tel que pour t x 1, on t α f(t) 1 donc f(t) 1/t α qui est intégrble en 0 cr α < 1. Puis dns le deuxième cs, il existe x > 0 tel que pour t x, on t α f(t) 1 donc f(t) 1/t α qui n est ps intégrble en 0 cr α > 1. Puis on un critère semblble en +, mis ttention les conditions sont les exctes opposées. Proposition 4..6 (Critère de Riemnn en + ) Soit f : [, + [ R loclement intégrble. S il existe α > 1 tel que lim t + t α f(t) = 0 lors f est intégrble en +. S il existe α < 1 tel que lim t + t α f(t) = + lors f n est ps intégrble en +. Démonstrtion : En effet dns le premier cs, il existe x 3 > 0 tel que pour t x 3, on t α f(t) 1 donc f(t) 1/t α qui est intégrble en + cr α > 1. Puis dns le deuxième cs, il existe x 4 > 0 tel que pour t x 4, on t α f(t) 1 donc f(t) 1/t α qui n est ps intégrble en + cr α > 1. En générl, on ne se complique ps l vie : on essye d ppliquer ces critères vec α = lorsqu on cherche un α > 1 et vec α = 1/ lorsqu on cherche un α < 1. Pr exemple, e x est intégrble en + cr lim t + t e t = 0. Puis ln t l est en 0 cr lim t 0 t ln t = 0. Autres fonctions de référence : les intégrles de Bertrnd