Les symboles Σ et Π. Le binôme de Newton

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1 Les symboles Σ et Π Le biôme de Newto Nous cosacros ici u log chaitre au symbole Σ et au symbole Π A terme, la maîtrise de ce symbole est ue cométece essetielle à acquérir et ous esos qu il faut y cosacrer u ombre coséquet de ages Pla du chaitre Le symbole Σ age Etude d u exemle age Défiitio age 3 3 Règles de calculs age 4 4 Chagemet de variables age 5 5 Sommes télescoiques age 7 6 Plusieurs calculs de, et 3 age 0 7 Somme de termes cosécutifs d ue suite arithmétique ou d ue suite géométrique age 7 Suites arithmétiques age 7 Suites géométriques age 3 8 L idetité a b age 4 9 Sommes trigoométriques age 5 0 Sommes doubles age 6 Le biôme de Newto age 9 Les coefficiets biomiaux age 9 La formule du biôme de Newto age 3 Alicatio à la trigoométrie age 5 3 Liéarisatio age 5 3 Polyômes de Tchebychev age 7 3 Le symbole Π age 7 c Jea-Louis Rouget, 06 Tous droits réservés htt ://wwwmaths-fracefr

2 Le symbole Σ Etude d u exemle Nécessité d ue ouvelle otatio La somme S des etiers imairs, 3, 5,, s écrit S 35 Cette otatio cohérete se révèle à l usage leie de ièges E effet, que sigifie l écriture 35 quad vaut,, 3 ou même 4? Si o e réfléchit as suffisammet, o écrit S 353, alors qu il fallait comredre que S était costituée de termes, e commeçat ar et e fiissat ar 3 C est ecore ire avec S qui e cotiet qu u seul terme O eut trouver désagréable que soit écrit exlicitemet le ombre 5 das l écriture de S, alors qu il aaraît i das S, i das S De maière géérale, das de ombreuses situatios, les otatios utilisat des oitillés sot sources d erreurs si elles e sot as maîtrisées Pour cette raiso et ar souci de cocisio, o itroduit ue ouvelle otatio La somme S ci-dessus est la somme des ombres, 3,, Ils ot ue écriture commue, à savoir où red successivemet les valeurs,,, O décide alors de la oter la lettre grecque Σ corresodat à otre S, iitiale du mot somme O eut aorter sur l exressio les commetaires suivats : e bores du symbole Σ, o voit que varie de à et o a doc e évidece le ombre de termes de la somme, à savoir, ce qui était eut-être mois évidet das la otatio utilisat des oitillés ; das l exressio, ous avos fait l effort de doer ue écriture commue à chacu des termes de la somme et doc de comredre cette somme, ce qui est as le cas das l exressio 3; est ue exressio comréhesible même quad ou Das ce derier cas, la somme est costituée d u seul terme et o arle doc d ue somme de u terme Cette hrase a u ses covetioel la somme obteue est ue foctio de, mais est as ue foctio de, ce qui est exlicite das la otatio S et o as S, ou ecore, o e retrouve as la lettre das le résultat fial Aisi, o eut écrire ue hrase du gere N,, mais ar cotre, la hrase N, N, a aucu ses Pour cette raiso, la variable est dite muette et o eut la remlacer ar imorte quelle autre lettre sas que cela e modifie le résultat fial : i i l écriture de S est absolumet as uique, et ar exemle, o ourrait tout à fait cosidérer que les etiers, 3,, sot de la forme où varie cette fois-ci de 0 à et écrire S, mais aussi que ces etiers sot de la forme 3 où red les valeurs, 3,, et écrire das ce cas S 3; l essetiel est d obteir our la remière valeur de cosidérée, 3 our la deuxième, et our la derière Que sigifie calculer ue somme? Calculos maiteat la somme roosée et our cela, osos ous d abord la questio : que sigifie la hrase «calculer la somme S»? Calculer 35 cosiste à effectuer les deux additios our obteir 9 De même, calculer 3 cosiste à effectuer les additios et doc à exrimer le résultat sous ue forme utilisat lus de oitillés Das les aragrahes suivats, o décrira quelques techiques de calculs de somme Ici, e calculat les remiers termes, ous allos essayer de devier ue formule géérale, formule que l o démotrera esuite ar récurrece c Jea-Louis Rouget, 06 Tous droits réservés htt ://wwwmaths-fracefr

3 O trouve S uis S 3 4 uis S uis S uis S 5 S Il aaraît, semble-t-il, la suite des carrés des ombres etiers, mais cette costatatio est isuffisate Nous e savos toujours as ce que vaut S 6 avat de l avoir calculé, et our savoir si ous avos vu juste, il faut se diriger vers u raisoemet de ortée géérale : si au -ème carré arfait, à savoir, o ajoute le -ème ombre imair, à savoir, o obtiet qui est bie le -ème carré arfait Tout semble coller et ous ouvos doc démotrer ar récurrece que : N, Pour, S et la formule roosée est exacte Soit Suosos que Alors, ar hyothèse de récurrece Nous avos motré ar récurrece que N, Les additios ot été effectuées Maiteat il est certai qu il ersiste das le résultat fial ue multilicatio, mais o eut estimer que la somme, elle, a été calculée Défiitio O se doe ue suite u N de ombres comlexes Pour et etiers aturels doés tels que, la somme des ombres u, u,, u est otée Aisi, 0 u u 0, 5 u u 3 u 4 u 5, 3 u u u 3 u u 3 u 5 u 7 et u u u u u u O eut doer lus de ue défiitio méticuleuse u, évitat l utilisatio de oitillés O ose u u et, u u defiitio ar récurrece u La variable de sommatio est muette, ce qui sigifie que la valeur de la somme est as ue foctio de et que cette variable eut doc être remlacée ar imorte quelle autre variable, à l excetio des variables utilisées e bores ici les variables et, sas modificatio du résultat Aalysos maiteat le ombre de termes de la somme O commece ar le cas articulier où < < L idée est de tout raorter à l etier etiers { }} { }{{} etiers }{{} etiers Il y a aisi etiers etre les etiers et, et comris Ce résultat reste clair quad das ce cas, ou ou 0 das ce cas, Doc, si et sot deux etiers aturels tels que, etre et, et comris, il y a etiers, la somme u est costituée de termes c Jea-Louis Rouget, 06 Tous droits réservés 3 htt ://wwwmaths-fracefr

4 Doos maiteat différetes iterrétatios ossibles d ue telle somme Das le cas d ue suite réelle, o eut iterréter u comme la hauteur totale d u escalier dot la hauteur de la marche o 0 est u 0, la hauteur de la marche o est u,, et la hauteur de la marche o est u, état etedu que si u > 0, la marche est motate et si u < 0, la marche est descedate et de même our l escalier tout etier si u < 0 u u 3 u u u u u 0 Das le cas où la suite u N est ue suite de réels ositifs, o disose d ue autre iterrétatio grahique E abscisse, o lace les ombres 0,,,,, et e ordoée, les ombres u 0, u,, u u u u u 0 u 0 3 Si o ote A le oit de coordoées,0 et B le oit de coordoées,u alors, uisque la distace de 0 à est, u 0 u 0 est l aire du rectagle A 0 A B B 0, et lus gééralemet, uisque etre les deux etiers cosécutifs et, il y a d écart, u u est l aire du rectagle A A B B Par suite, u est la somme des aires des rectagles ci-dessus 3 Règles de calculs O commece ar des résultats évidets qui ot besoi d être éocés mais ul besoi d être démotrés u N état ue suite comlexe, our N, o ose S u N, S S u, et doc aussi N, u S S Pour et tels que 0 <, u u u relatio de Chasles E, la remière formule fait comredre commet o asse de la somme o à la somme o o rajoute u, et la deuxième formule ermet de récuérer u e foctio de S Par exemle, si o sait que our tout etier aturel, u, o eut coaître la valeur du -ème terme de la suite u : our, u S S O eut oter que uisque l o désirait obteir la valeur de u, o a as écrit u S S, mais o a écrit u S S E, o doit simlemet mettre e garde cotre ue tro grade aalogie avec les itégrales La relatio de Chasles our les itégrales est c a b c b a La deuxième itégrale «démarre» où «fiit» la remière Avec le symbole Σ, la remière somme fiit à et la deuxième commece à l etier suivat Pour e as commettre l erreur de faire c Jea-Louis Rouget, 06 Tous droits réservés 4 htt ://wwwmaths-fracefr

5 redémarrer la deuxième somme à et aisi rééter deux fois le terme u, il e faut as hésiter à se redétailler les différetes sommes à l aide de oitillés e exlicitat les débuts et les fis de sommes : u 0 u u u u 0 u u u Soiet u N et v N deux suites de ombres comlexes N, u v u v 3 N, λ,µ C, N, λ C, λu λ u λu µv λ u µ v liéarité de Σ Ces résultats sot clairs sigifie que u 0 v 0 u v u v u 0 u u v 0 v v, sigifie que λu 0 λu λu λu 0 u u et 3 est u cumul des résultats de et le mot liéarité sera correctemet défii das les différets chaitres d algèbre liéaire D autre art, ces résultats restet bie sûr valables e chageat les bores du Σ Aisi, o eut ar exemle écrire que ou aussi que 3 3 Il faut oter au assage la sigificatio de la derière somme : O a additioé les termes d ue suite costate }{{} fois La règle est source d erreurs classiques Elle sigifie que l o eut mettre e facteur de toute exressio idéedate de Aisi, das 3cosθ, o eut mettre e facteur 3, et cosθ, mais as ou : 3cosθ 3cosθ Soit u N ue suite comlexe N, Re u Reu et Im u N, u u Imu Ici, o a simlemet raelé que la artie réelle res la artie imagiaire ou le cojugué d ue somme est la somme des arties réelles res des arties imagiaires ou des cojugués Grâce à ces résultats, o eut ar exemle écrire que cosθ Re e iθ Re e iθ 4 Chagemet de variable O veut calculer Cette somme retre das le cadre gééral des sommes télescoiques qui sera détaillé lus loi Ici, ous allos la calculer grâce à u chagemet de variable La liéarité du symbole Σ ermet d écrire : 3 c Jea-Louis Rouget, 06 Tous droits réservés 5 htt ://wwwmaths-fracefr

6 Das la deuxième somme, o eut cosidérer que est u etier reat toutes les valeurs de à et doc Le chagemet de variable ermet de mieux comredre que la somme cosidérée était la somme des iverses des etiers, 3,, Pedat le chagemet de variable, o avait besoi de deux lettres : la lettre désigat u etier variat de à et la lettre désigat u etier variat de à Mais ue fois que le chagemet de variable a eu lieu, u ouvel exercice commece avec la somme de l exressio et il est largemet référable de réécrire La lettre aaraît alors comme ue comlicatio iutile la somme récédete, cette écriture rerésetat aussi la somme O raelle à ce sujet que la variable de sommatio est muette voir age 3 Aisi, e fi de arcours, ous réutilisos la même lettre, our désiger u ouvel objet, mais quoi de lus ormal heureusemet que deuis le début de votre scolarité, vous vous êtes ermis de réutiliser lusieurs fois la lettre x et o a du mal à imagier ce qui se serait assé das le cas cotraire O eut alors termier le calcul our : E ratique, o utilise deux tyes de chagemet de variable et deux seulemet : Traslatio : o ose ; où est u etier relatif doé Symétries : o ose où est u etier relatif doé Ces deux chagemets de variable ot e commu d associer de maière bijective u esemble de ombres etiers cosécutifs à u autre La traslatio est u chagemet de variable strictemet croissat et la symétrie est u chagemet de variable strictemet décroissat Raelos à ce sujet que le symétrique d u réel x ar raort à u réel a est a x E effet, le milieu des deux ombres x et a x est xa x a Par exemle, das, osos symétrie ar raort au ombre ratioel ou ce qui reviet au même A riori, l etier varie e décroissat de à Néamois, u Σ est toujours esé avec ue variable croissate et la bore du bas est toujours iférieure ou égale à la bore du haut U chagemet de variable décroissat ermet doc de arcourir la somme e ses iverse : O doit oter que our asser d ue variable à ue variable, o a besoi d avoir e foctio de f our trouver les ouvelles bores du Σ mais aussi e foctio de f our ouvoir remlacer das l exressio à sommer Exercice Pour, o cosidère la somme S 3 Faire ue traslatio d idices où la ouvelle variable varie de 0 à et ue symétrie d idices où la ouvelle variable varie de 3 à Solutio Soit O ose 3 O obtiet S De même, effectuos ue symétrie ar raort au milieu de 3 et, à savoir 3 O ose doc 4 O obtiet S c Jea-Louis Rouget, 06 Tous droits réservés 6 htt ://wwwmaths-fracefr

7 Exercice Pour, motrer à l aide d u chagemet d idices que l si π l si π Solutio Soit Pour {,, }, osos ou ecore Quad décrit {,,}, varie de à et doc, l si π l si π l si π l si π π l si π 5 Sommes télescoiques Soit u N ue suite de ombres comlexes N, u u u u 0 Pour s e covaicre, il suffit d écrire la somme o as sous sa forme iitiale u u 0 u u u 3 u u u u u, mais sous la forme u 0 u u u u u u u et o voit les termes itermédiaires se simlifier ar télescoage O dit que la somme cosidérée est télescoique Ce calcul se visualise : u u 0 u u u 3 u u 4 u 3 u u u u? u 0 u u u u u 3 u 3 u u u u u u u 0 Le calcul ci-dessus eut être traité de maière sythétique à l aide du symbole Σ Pour, o a : u u u u u u u u u u u u 0 u u 0 O a d autres lectures ossibles du résultat ecadré lus haut La différece u u visualisée sur ue droite mui d u reère 0, i s idetifie au vecteur u u La formule écrite s iterrète alors comme la relatio de Chasles usuelle our les vecteurs : u u 0 u u u u u u " " u 0 u u u u u u u u 0 u " " u u 0 C est la boe vieille formule «extrémité - origie» O eut aussi réutiliser u escalier où cette fois-ci les marches ot our hauteur u u 0, u u,, u u Das ce cas, u e désige as la hauteur d ue marche mais désige l altitude à laquelle se trouve le bas de la marche o : le bas de cette marche est à l altitude u et le haut à l altitude u de sorte que la hauteur de cette marche est égale à u u La hauteur totale de l escalier est alors la somme u u Ayat démarré à l altitude u 0 et c Jea-Louis Rouget, 06 Tous droits réservés 7 htt ://wwwmaths-fracefr

8 termié à l altitude u, la hauteur cherchée est u u 0 Rerésetos ce calcul das le cas où la suite u N est ue suite réelle croissate de sorte que chaque différece u u est ositive u u u u 3 u u u 0 u u 0 u u u 3 u u u u u u 0 Le résultat sur les sommes télescoiques est l outil de base ermettat de calculer différetes sommes O veut calculer ue somme du tye u O cherche mais o e trouve as toujours ue suite v N telle que our tout etier, o ait u v v de même que our calculer ue itégrale, o eut chercher des rimitives de la foctio à itégrer Si o trouve ue telle «suite rimitive», alors o eut calculer la somme : N, u v v v v 0 E reat l oosé des deux membres, o a aussi N, v v v 0 v Exercice 3 Calculer les sommes suivates : et,! où!, 3 4 x si cosx, chercher ue suite rimitive sous la forme ab Solutio 3 Soit N Soit N 3 Soit N! 3 4! x si cosx si et!! x x si x si x!!! x si x si x si x si x si x c Jea-Louis Rouget, 06 Tous droits réservés 8 htt ://wwwmaths-fracefr

9 4 Posos u ab et cherchos a et b tels que, our tout etier, u u u u ab ab ab ab aab E reat a uis b 0 de sorte que a b, ou ecore, e osat u our tout etier, o a bie u u Mais alors, u u u u 0 Commetaire E a, résulte bie sûr de la réductio au même déomiateur d ue fractio de déomiateur et d ue fractio de déomiateur et il e faut as logtems our que l o essaie de calculer la différece E b, o essaie de gééraliser l idée Le seul écueil à éviter est de calculer car la deuxième fractio est as obteue e remlaçat ar das la remière Exercice 4 a b Motrer que our a et b réels strictemet ositifs doés, o a Arctaa Arctab Arcta la foctio ab Arctagete est défiie das le chaitre «Foctios de référece» et la foctio tagete est étudiée das le chaitre «Trigoométrie» Calculer lim Arcta Solutio 4 ] Soiet a et b deux réels strictemet ositifs Arctaa 0, π [ ] et Arctab 0, π [ ] Par suite, Arctaa Arctab π, π [ Mais alors, taarcta a Arcta b existe et taarctaa Arctab taarctaa taarctab taarctaataarctab a b ab ta Arcta a b ab a b Aisi, les deux ombres Arctaa Arctab et Arcta ab que ces deux ombres sot égaux Soit N sot das, et doc, uisque et sot des réels strictemet ositifs, le ermet d écrire Arcta Soit N Par télescoage, o obtiet Arcta Arcta ] π, π [ et ot même tagete O e déduit Arcta Arcta Arcta Arcta Arcta Arcta π 4, et immédiatemet, lim Arcta π 4 Il se eut das certais cas, que l o e coaisse d ue suiteu N que so remier termeu 0 et les différeces successives u u O eut alors récuérer les termes de la suite u N ar ue variate de la formule récédete : c Jea-Louis Rouget, 06 Tous droits réservés 9 htt ://wwwmaths-fracefr

10 N, u u 0 u u O eut de ouveau oter que, uisque l o désire la valeur de u, o a as écrit u u 0 u u, mais o a écrit u O utilise ce résultat das l exercice suivat déjà osé das le chaitre «Esembles, relatios, alicatios» : Exercice 5 O se doe u etier suérieur ou égal à Das le la, o trace droites telles que deux quelcoques de ces droites e soiet as arallèles et trois quelcoques de ces droites e soiet as cocourrates Détermier le ombre P des régios du la défiies ar ces droites Solutio 5 Il est clair que P Soit Suosos coaître le ombre P de régios du la détermiées ar droites vérifiat les coditios de l éocé O trace ue -ème droite D D arès les hyothèses de l éocé, D coue les remières droites e oits deux à deux disticts Ces oits défiisset sur D itervalles dot deux sot o borés Chacu de ces itervalles coue l ue des P régios e deux ouvelles régios, rajoutat aisi ue ouvelle régio aux P régios réexistates O a doc : O eut alors calculer P Soit, P P P P P P ce qui reste vrai our Commetaire Pour résoudre cet exercice, il faut commecer ar tracer atiemmet ue droite, uis deux droites, uis trois droites, uis quatre droites e comtat à chaque fois, uis e traçat letemet ue ciquième droite, il faut essayer de comredre ce qui se asse 6 Plusieurs calculs de la somme des remiers etiers, de leurs carrés et de leur cube Pour, N, o ose S O se roose de calculer S quad {,,3} Chacue des techiques de calcul ci-dessous est dige d itérêt O eut déjà éocer les résultats suivats qui sot à aredre et à coaître : N,,, Commeços ar calculer de différetes maières S Premier calcul Au lycée, o démotre le résultat ci-dessus, soit ar récurrece, soit de la faço suivate : et doc S S }{{} termes le résultat Il est itéressat de voir ce que doe cette démostratio e utilisat le symbole Σ : S, ce qui fourit L idée de ce remier calcul est l utilisatio d ue roriété articulière des suites arithmétiques : o asse de à e ajoutat et de à e retrachat, de sorte que les sommes et sot égales c Jea-Louis Rouget, 06 Tous droits réservés 0 htt ://wwwmaths-fracefr

11 Deuxième calcul O cherche ue suite rimitive de la suite à sommer, c est-à-dire ue suite v telle que N, v v O ese immédiatemet à du degré et o calcule : Pour N, o a alors Par télescoage, o obtiet [ S ] S Ici, l idée était de faire de la somme à calculer ue somme télescoique, et o y est aroximativemet arveu O ourra gééraliser cette idée à S, S 3, e calculat 3 3, 4 4 Troisième calcul C est ue variate du calcul récédet La différece a as fouri mais Le triagle de Pascal fourit ue suite w telle que, our N, w w E effet, la relatio de Pascal, réexosée lus loi, ermet d écrire our, et doc, our, S, La recherche systématique de olyômes B tels que N, B B coduit à la découverte des olyômes de Beroulli qui serot étudiés das le chaitre «Polyômes» et das le cours de deuxième aée Quatrième calcul Comme souvet, reréseter grahiquemet u objet ermet de comredre cet objet Aisi, est le ombre de oits d u triagle isocèle ayat oits de côté Pour cette raiso les ombres sot aelés ombres triagulaires vous coaissiez déjà les ombres carrés : est le ombre de oits d u carré ayat oits de côté Comme d habitude, deux triagles fot u rectagle, et o lit directemet S Nombres triagulaires O eut aussi défiir les ombres etagoaux, hexagoaux,, voire yramidaux, mais ous e arleros as ici Passos maiteat au calcul de S et S 3 3 Nous traiteros ce calcul à travers u exercice Exercice 6 E utilisat les exressios déveloées de 3 3 et 4 4, calculer S S 3 3 et Solutio 6 Nous vous laissos démotrer les idetités a b 3 a 3 3a b 3ab b 3 et a b 4 a 4 4a 3 b 6a b 4ab 3 b 4 e déveloat abab uis abab 3 qui sot des cas articuliers de la formule du biôme de Newto exosée lus loi das ce chaitre c Jea-Louis Rouget, 06 Tous droits réservés htt ://wwwmaths-fracefr

12 Soit N Pour, o a E additioat ces égalités, o obtiet : et doc, S 3S, [ 3 3 ] [ 3 3 ] 6 S De même, S 3 6S 4S, et doc, S 3 4 [ ] [ 3 ] 4 7 Somme de termes cosécutifs d ue suite arithmétique ou d ue suite géométrique 7 Suites arithmétiques O raelle le résultat suivat : Soiet u N ue suite arithmétique comlexe et et deux etiers aturels tels que, u u u remier termederier terme ombre de termes Pour démotrer ce résultat, o utilise le fait que les sommes u u, u u u r u r u u, u u u ru r u u,, et lus gééralemet u u u ru r u u sot égales Cela doe u u u u u u u u u Exercice 7 Calculer les sommes : Solutio 7 Pour, Pour N, 3 3, 3 u 4 u u u Commetaire Raelos que les suites arithmétiques sot les suites de la forme u ab où a et b sot idéedats de Aisi, das les deux cas ous devios calculer ue somme de termes cosécutifs d ue suite arithmétique E, il aurait été très maladroit d écrire 3 et de même e, il aurait été u eu maladroit d écrire Das les deux cas, ous avos utilisé la formule remier terme derier terme ombre de termes/ c Jea-Louis Rouget, 06 Tous droits réservés htt ://wwwmaths-fracefr

13 7 Suites géométriques O raelle les résultats suivats : Soiet q u ombre comlexe et u etier aturel Si q, q q q, et si q, q, Soiet u N ue suite géométrique comlexe de raiso q et et deux etiers aturels tels que, q u u remier terme q raiso raisoombre de termes Notos que si q est u réel strictemet suérieur à, il faut avoir comme réflexe d écrire das laquelle umérateur et déomiateur sot strictemet ositifs Aisi, et Démotros les résultats ci-dessus Pour das N et q C, osos S O suose que q est différet de le résultat est clair quad q Alors S qs q q q q q q somme télescoique, d où le résultat Plus gééralemet, si u N est ue suite géométrique de raiso q, Exercice 8 Calculer 3 4 3, cosπ, cos π 3, x our x R Solutio 8 Pour 4, cosπ 3 u u q u 3 E osat j e iπ/3 voir le chaitre «ombres comlexes», q q u q { si est air 0 si est imair q q q, écriture c Jea-Louis Rouget, 06 Tous droits réservés 3 htt ://wwwmaths-fracefr

14 cos π 3 Re e iπ/3 Re j j Re j j j 4 Pour x R et N, osos f x Si x ],[ ], [, f x x x Si x, o a directemet S Re j j 7 Re e i3π/3 e iπ/3 e 4iπ/3 car j 3 et j j cos 3π cos π x et S x x Alors, xf x x x et doc x S x S x xf x xx x x x x x x x 8 L idetité a b Théorème Soiet a et b deux ombres comlexes et u etier aturel o ul a b a b a a bab b a b a b Démostratio Par télescoage, o obtiet a b a b a a b b a b a b a b a b a b a b Aisi, a b a bab, a 3 b 3 a ba abb, a 4 b 4 a ba 3 a bab b 3 Cette idetité est liée au aragrahe récédet : quad a et b q, o obtiet q q q Quad est imair, o a b b et o obtiet ue ouvelle idetité : Théorème Soiet a et b deux ombres comlexes et u etier aturel imair Aisi, a b ab a a b ab b ab a b c Jea-Louis Rouget, 06 Tous droits réservés 4 htt ://wwwmaths-fracefr

15 a 3 b 3 aba abb, a 5 b 5 aba 4 a 3 ba b ab 3 b 4 9 Sommes trigoométriques Les différets résultats sur les sommes de termes cosécutifs d ue suite géométrique et sur les sommes télescoiques ot ue alicatio das le calcul de certaies sommes trigoométriques Pour θ R et N, o ose S θ cosθ O se roose de calculer S θ ar deux méthodes différetes la somme récédete a ue grade imortace das la théorie des séries de Fourier ar exemle les séries de Fourier sot au rogramme de certais BTS mais e sot lus abordées e mathématiques séciales deuis le chagemet de rogramme Première méthode Soiet θ R et N S θ Re e iθ Re e iθ Maiteat, e iθ θ πz Deux cas se dégaget Si θ / πz, e iθ et S θ Re e iθ e iθ siθ/ siθ/ Si θ πz, o trouve directemet S θ Première méthode variate Pour θ / πz, Re e i θe iθ/ e iθ/ Re e e iθ/ e iθ/ Ree iθ/ cosθ/siθ/ siθ/ iθ/ i siθ/ i siθ/ Par suite, e iθ e iθ e iθ e iθ e iθ cosθ S θ S θ S θ Aisi, S θ e iθ e iθ eiθ e iθ siθ/ siθ/ Deuxième méthode Par télescoage, o obtiet si θ S θ si θ cosθ si θ si i / /θ siθ/ e siθ/ siθ/siθ/ siθ/ si θ cosθ/siθ/ siθ/ siθ/ siθ/ si θ θ si θ θ si θ si θ si θ θ si θ θ cos De lus, si θ / πz, alors θ / πz et doc si θ 0 O réobtiet alors S θ cosθ/siθ/ siθ/ Exercice 9 Pour θ R et N, calculer les sommes suivates : Solutio 9 Soiet θ R et N siθ, cos θ c Jea-Louis Rouget, 06 Tous droits réservés 5 htt ://wwwmaths-fracefr

16 Si θ / πz, Si θ πz, e iθ siθ Im e iθ Im e i/ /θe iθ/ e iθ/ e iθ/ e iθ/ siθ 0 cos θ et doc Si θ πz, siθ/siθ/ siθ/ cosθ cosθ Re e iθ Re cos θ cosθ cosθ Puis, si θ / πz, cosθsiθ, siθ cos θ e iθ e iθ Re e siθ siθ iθ i siθ i siθ Commetaire Das la solutio ci-dessus, ous avos suosé acquise aucue formule et ous avos redémarré les calculs à zéro E, ue variate était cos θ si θ et cos θ si θ cosθ Puis o obtiet cos θ ou si θ e ajoutat ou e retrachat membre à membre 0 Sommes doubles Quad o déveloe l exressioa a b b b 3, o obtieta b a b a b 3 a b a b a b 3 Si les deux arethèses avaiet coteu resectivemet 6 et 9 termes au lieu de et 3, l exressio déveloée aurait été costiutée de termes et serait igérable O a de ouveau besoi d ue otatio sythétique Le même déveloemet eut s écrire i a i 3 j b j 3 a i b j i j i, j 3 La remière égalité est obteue e distribuat chacu des termes de la remière arethèse sur la deuxième Das la derière exressio, les ecadremets i, j 3 sigifiet que les deux idices i et j variet resectivemet de à et de à 3, idéedammet l u de l autre, ou ecore que le coule i,j red les 3 6 valeurs suivates :,,,,,3,,,,,,3 Par ailleurs, la suite a i b j i, j 3 est u exemle de suite double o dit aussi suite à double etrée Il faut deux idices our décrire so terme gééral et l o ourrait décider de le oter u i,j u i,j a i b j, isistat aisi sur le fait que deux uméros sot écessaires our décrire u terme Ceci ous amèe à la défiitio suivate : Défiitio Soit u i,j i,j N ue suite double comlexe Pour,, q et r etiers aturels doés tels que et q r, o ose r u i,j i, q j r O a maiteat ue défiitio géérale qui mérite d être aalysée L exressio i jq u i,j i a i b j 3 j u i,j cotiet 6 termes, additioés das u ordre très récis O commece à doer la valeur à i uis o fait varier j de à 3, uis o c Jea-Louis Rouget, 06 Tous droits réservés 6 htt ://wwwmaths-fracefr

17 3 doe à i la valeur et o fait de ouveau varier j de à 3 La sigificatio exacte de i j u i,j est doc u, u, u,3 u, u, u,3 Mais, l additio des comlexes état commutative et associative, cette somme eut tout autat s écrire u, u, u,3 u, u,3 u, O a là la sigificatio la lus exacte de l exressio u i,j : o veut additioer les 6 termes u i,j, «e vrac» Pour ce faire, o eut décider d ordoer i, j 3 les calculs e faisat varier j à i fixé, uis e faisat varier i, c est-à-dire e sommat sur j d abord uis sur i esuite 3 Ceci corresod à l écriture Mais o eut aussi décider de fixer d abord j, c est-à-dire de sommer sur i j u i,j i à j fixé uis de sommer sur j, ce qui corresod à l écriture 3 u i,j Cette derière somme s écrit exlicitemet : u, u, u, u, u,3 u,3 De maière géérale : Théorème 3 Soit u i,j i,j N ue suite double comlexe Pour et etiers aturels doés, u i,j u i,j i0 j0 j0 i0 Démostratio O résete les ombres u i,j das u tableau à double etrée où le uméro i est u uméro de lige horizotale et le uméro j est u uméro de coloe verticale : j i 0 j 0 u 0,0 u 0, u 0,j u 0, 0 j 0 u 0,0 u 0, u 0,j u 0, u,0 u, u,j u, i u i,0 u i, u i,j u i, u,0 u, u,j u, Le tableau de gauche rerésete i0 j0 u i,j u,0 u, u,j u, et le tableau de droite rerésete i u i,0 u i, u i,j u i, u,0 u, u,j u, u i,j Das le remier cas, o a additioé tous les termes d ue même lige uis o est assé à la lige suivate et das le deuxième, o a additioé tous les termes d ue coloe uis o est assé à la coloe suivate Das les deux cas, o additioé tous les u i,j E référece aux tableaux récédets, additioer e lige les ombres u i,j, c est calculer u i,j et additioer e coloe les ombres u i,j, c est calculer à j fixé, u i,j A i fixé, j0 i0 u i,j est la somme des termes de la coloe j i0 j0 i0 i0 j0 u i,j est la somme des termes de la lige i et Déveloemet d u roduit de deux sommes O se doe ombres comlexes a,, a uis autres ombres comlexes b,, b Immédiatemet, o a a i i a i i i,j j b j a i a j j0 i, j a i i a i b j i<j a i a j E, o doit oter que lorsqu o déveloe le roduit d ue arethèse à termes ar ue arethèse à termes, o obtiet termes chacu des ombres a i est multilié ar chacu des ombres b j La remière égalité de est c Jea-Louis Rouget, 06 Tous droits réservés 7 htt ://wwwmaths-fracefr

18 u cas articulier de et our tout i, b i a i Das la deuxième égalité, o a isolé les termes a i a i, ce qui ermet déjà d écrire a i i ia i i j uis o a regroué les termes égaux a a a a a a et lus gééralemet, e imosat i < j, a i a j a j a i a i a j Aisi, ar exemle, a i a j, abc a b c abacbc Gééralisatio Das ce qui récède, o a fait varier le coule i,j das le rectagle R {i,j N / 0 i, 0 j } et o a oté la somme corresodate Quad, au lieu de, o écrit lus simlemet Aisi, 0 i, 0 j 0 i,j u i,j u 0,0 u,0 u 0, u, 0 i, 0 j 0 i,j Plus gééralemet, o eut faire varier le coule d idices i, j das u sous-esemble D de l esemble des coules d etiers comris etre 0 et La somme corresodate se ote alors u i,j Les situatios les lus fréquetes sot, et 0 i j 0 i<j i,j D 0 i,j, i j souvet otée lus simlemet i j Das chacu des cas, il est idisesable de se reréseter l esemble des coules i, j cosidérés, ar exemle e visualisat u reère : i j i < j j i > j i Exercice 0 Ecrire les sommes suivates e sommat e liges et de même e sommat e coloes ij, ij i<j j i Solutio 0 Soit E sommat e liges, o obtiet ij ij i j, et i<j j i ij i i ji i ij j i i i ji i j j E sommat e coloes, o obtiet j j ij ij j i, et i<j j i ij j i ij j ij j j i j i ji Par exemle, our écrire correctemet la remière somme, o a visualisé das u tableau ou u reère l esemble des coules i,j tels que i < j ce qui se détaille e i et i < j et j, o a fixé u i etre et ces deux c Jea-Louis Rouget, 06 Tous droits réservés 8 htt ://wwwmaths-fracefr

19 ombres sot obteus e rojetat sur l axe des i le domaie cosidéré uis o a fait varier j de i à ces ombres sot lus sur ue «verticale» Exercice Calculer les sommes suivates : Solutio Soit N 3 i,j i<j i<j ij i i ji j 4 i i i 4 i i<j ij, i i i 6 i<j i, 3 i i,j i 3 i ij i i ji i 3 6 ij i 4 i i i i i i 6 i i 6 Commetaire E, il faut comredre que our i et j doés, u i,j i Aisi, o a lacé le ombre das toutes les cases de la remière lige, le ombre das toutes les cases de la deuxième lige E, o aurait u être lus astucieux O a Mais bie sûr, i<j ij j<i i<j ij et doc ij j<i i<j E toujours, à la remière étae, ous avos écrit i as j ji ij i i Esuite, ous avos écrit ji j Maiteat, das ji j i i ji termes cosécutifs d ue suite arithmétique doée age ij ij ij ij i,j i i i i<j ij i i i ij i ji i j ce qui eut se détailler e i<j ij ij, la variable de sommatio est j O eut doc mettre i e facteurs mais et our ce faire, ous avos utilisé la formule fourissat ue somme de Le biome de Newto Les coefficiets biomiaux Pour N, o ose!, et ar covetio, 0!! est la factorielle de l etier O eut égalemet défiir! ar récurrece : 0! et N,!! O doit coaître les remières factorielles : c Jea-Louis Rouget, 06 Tous droits réservés 9 htt ://wwwmaths-fracefr

20 0!!! 3! 6 4! 4 5! 0 6! 70 7! 5040 Maiteat, our et etiers aturels doés, o défiit le symbole aussi oté C ar! si et!! 0 si > Les défiitios récédetes sot éremtoires et o motivées Ce roblème sera réglé das le chaitre «Déombremets» où l o doera la sigificatio du coefficiet La maiulatio de ces coefficiets aartiet à ue brache des mathématiques aelée aalyse combiatoire, qui est l esemble des techiques qui servet à déombrer ou lus simlemet comter O doit déjà coaître e tat que telles les valeurs usuelles suivates : N, 0, N,,, Sio, les différetes roriétés de calculs des coefficiets biomiaux sot regroués das l ecadré suivat : Théorème 4 facteurs {}}{ Pour et etiers aturels doés tels que,! Pour et etiers aturels doés tels que 0, 3 Pour et etiers aturels doés tels que, 4 Pour et etiers aturels doés tels que,, et doc aussi Démostratio!!!!!!!!!!! 3 4!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Commetaire La relatio fourit ue écriture simlifiée du coefficiet Cette écriture de est fréquemet meilleure que la remière 8 fourie car la fractio est simlifiée O l utilise systématiquemet quad red ue valeur récise etite Par exemle, et o as 8!, ou aussi!6! facteurs {}}{ et o as! D autre art, seule cette exressio!! c Jea-Louis Rouget, 06 Tous droits réservés 0 htt ://wwwmaths-fracefr

21 3 facteurs { }} { / de ourra se gééraliser au cas où est as etier Aisi, o verra que alors que bie sûr, 3 3! l écriture a aucu ses 3! 3! 8 8 La relatio motre la symétrie des coefficiets biômiaux Par exemle, ou 6 sot symétriques ar raort au ombre ratioel car leur somme vaut Les etiers et Les relatios 3 et 4 ermettet l ue ou l autre de calculer les coeffciets biomiaux ar récurrece Das les deux cas, si o coaît les coefficiets de la lige o du triagle de Pascal, o eut e déduire ceux de la lige o La relatio 3 est la relatio de Pascal qui fourit la costructio usuelle du triagle de Pascal voir ci-dessous Elle a u mérite sulémetaire ar raort à la relatio 4 : elle utilise qu ue additio, cette oératio état réalisée lus raidemet ar ue machie qu ue multilicatio et ue divisio, oératios utilisées quat à elles e 4 O a doé ue variate de 4 La uace etre les deux égalités est que la deuxième e fait aaraître que des ombres etiers alors que la remière fait aaraître des fractios La deuxième égalité, sas fractio, se révèlera ratique à utiliser e arithmétique O doit aussi oter que la relatio 3 reste valable our E effet, si,, et si >, 0 Triagle de Pascal O rerésete das u tableau les ombres, état u uméro de lige et u uméro de coloe O démarre la costructio de ce tableau ifii e laçat des das les cases 0,0,,0,,0,,,0 et aussi,,,,,, Puis o remlit le triagle aisi formé grâce à la relatio de Pascal Le ombre est la somme de et ou ecore la somme des deux ombres de la lige récédete situés juste au-dessus et au-dessus et à gauche Ce tableau que Blaise Pascal ommait le triagle arithmétique, a as été découvert ar Pascal lui-même mais, c est le remier à l avoir étudié de maière systématique Il est d ue richesse ifiie Par exemle, la somme des termes d ue lige est ue uissace de, 4, 33 8, Ceci sera démotré lus loi das les liges dot le uméro est u ombre remier, 3, 5, 7, tous les coefficiets à l excetio du remier et du derier sot divisibles ar ar exemle das la lige o 7, les ombres 7, et 35 sot divisibles ar 7 Ce résultat costitue u exercice classique d arithmétique Quad o additioe les ombres d ue coloe jusqu à ue certaie lige, o trouve le coefficiet situé à la lige et à la coloe suivate Par exemle, e descedat le log de la coloe o et e s arrêtat à la lige o 5, o trouve qui est le coefficiet situé à la coloe o 3 et à la lige o 6 Ce résultat est u exercice classique d aalyse combiatoire c Jea-Louis Rouget, 06 Tous droits réservés htt ://wwwmaths-fracefr

22 La formule du biôme de Newto Théorème 4 formule du biôme de Newto Soiet a et b deux ombres comlexes Pour tout etier aturel, o a ab a b a b Commetaire La formule ci-dessus aelle lusieurs commetaires Tout d abord, l etier varie de 0 à et o as de à, et cette somme est doc costituée de termes et o as de termes ab cotiet deux termes, ab cotiet trois termes Esuite, les remiers et deriers termes sot 0 a b 0 a b 0 et a 0 b a 0 b Ces termes devat ar ailleurs être a et b, o décide covetioellemet que our tout ombre comlexe z, o a z 0, y comris quad z 0 Cette covetio ermet d ue art de doer du terme gééral de la somme ue écriture uique : a b et d autre art, ermet que la formule écrite soit valable das les cas articuliers a 0 ou b 0 Par exemle, quad b 0, l exressio b vaut 0 quad et quad 0 de sorte que a b vaut 0 quad et a quad 0 Néamois, la covetio z 0 est très dagereuse quad z 0 et source d erreurs das certaies situatios, et o doit éormémet s e méfier Démostratio Le résultat est covetioel quad 0 O le démotre ar récurrece quad Pour, ab ab 0 a b 0 a 0 b a b Le résultat est doc vrai our Soit Suosos que ab a b Alors, ab abab ab a b ar hyothèse de récurrece a a b b a b a b a b a b a b e osat a a b a b b a a b b a a b b a b O a motré ar récurrece que N, a b a b, le résultat restat vrai quad 0 D autre art, a b a b a b E remlaçat b ar b, o obtiet a b a b Das la ratique, o aura souvet itérêt à e as utiliser cette formule Par exemle, our déveloer, o écrira, évitat aisi des roblèmes de siges dus à ue mauvaise utilisatio de la symétrie du biôme Exercice Calculer les sommes suivates : Solutio Soit N, 3, 3 cos π c Jea-Louis Rouget, 06 Tous droits réservés htt ://wwwmaths-fracefr

23 Soit N 3 Soit N cos π Re cos π 4 0 e iπ/ Re e iπ/ Re e iπ/4 e iπ/4 e iπ/4 / cos π 4 Commetaire Das les trois cas, il s agit de reérer le déveloemet d u biôme Le est le mois clair C est le coefficiet qui ous guide et o as les bores du Σ Ce coefficiet ous dit de chercher u biôme d exosat Exercice 3 Quel est le coefficiet de a 4 b c 3 das le déveloemet de a bc 9? Solutio 3 La formule du biôme de Newto fourit Esuite, a b 6 a bc 9 6 Le coefficiet cherché est doc 9 9 a b c 9 a b 9 6 a b 6 a a 4 b b a b 6 c 3 c Commetaire Cet exercice est as aecdotique Le momet veu, il faudra déveloer des exressios comliquées Ceci sera fait e articulier das les chaitres «Déombremets», «Polyômes» et «Déveloemets limités» Théorème 5 N,, N, 0 0 Démostratio Soit N Soit N Posos S et S 0 et doc S S Puis S S S 0 Alors, S S, et doc S S / 0 car, Commetaire La démostratio du est eut-être lus lisible e détaillat les sommes cosidérées O a écrit que et que c Jea-Louis Rouget, 06 Tous droits réservés 3 htt ://wwwmaths-fracefr

24 Détaillos l écriture de la somme S Il est as ossible de réciser le derier terme sas réciser la arité de l etier Le terme gééral de la somme S s écrit où est u etier aturel tel que 0, ou ecore 0 O a écrit ce derier ecadremet sous le symbole Σ ce qui sigifie que red toutes les valeurs etières comrises etre 0 et, sas écessairemet redre la valeur Exercice 4 idetités combiatoires Calculer les sommes et our N Calculer la somme Motrer que où 0 Iterrétatio das le triagle de Pascal? 4 Motrer que utiliser le olyôme x 0 Solutio 4 Soit N E osat j e iπ/3 le ombre j est étudié das le chaitre «Nombres comlexes», o a : Maiteat, uisque j 3, j j j j si 3N, il existe N tel que 3 et j j j 3 j 3 3; si 3N, il existe N tel que 3 et j j j j 3 j j 3 jj 0; si 3N, il existe N tel que 3 et j j j j 3 j 4 j 3 j j 0 j Fialemet, j 3 Par suite, j j Rej j Re 3 3 cos π 3 De même, our N, i i Par suite, 0 4 i i Rei Re e iπ/4 Re e iπ/4 4 4 π cos 4 4 ère solutio Pour x réel, osos Px x Pour x réel, Px d dx x d dx x x 4 E articulier, our x, o obtiet : c Jea-Louis Rouget, 06 Tous droits réservés 4 htt ://wwwmaths-fracefr

25 ème solutio 3 Pour, ce qui reste vrai our 0 e teat comte de Par télescoage, o obtiet alors 0 Iterrétatio das le triagle de Pascal : quad o desced das le triagle de Pascal, le log de la coloe, du coefficiet lige au coefficiet lige, et que l o additioe ces coefficiets, o trouve qui se trouve ue lige lus bas et ue coloe lus loi 4 est le coefficiet de x das le déveloemet de x Mais d autre art, x x x x x Das le déveloemet de cette derière exressio, le coefficiet de x vaut ou ecore Deux olyômes sot égaux si et seulemet si ils ot mêmes coefficiets et doc Commetaire Le est u rologemet du théorème qui récède cet exercice O veut calculer la somme des coefficiets biomiaux de e, de 3 e 3, de 4 e 4 La coaissace des racies -èmes de l uité das C ous a guidé Ces racies ot deux roriétés fodametales Tout d abord,, j 3 j 3, i 4 4 i 4 et de maière géérale, si ω est ue racie -ème de, ω Das les déveloemets de, j, i, o retrouve doc écrit u coefficiet de e, de 3 e 3 Mais de lus, 0, jj 0, i i 0 ce qui a ermis, ar additio, d élimier les coefficiets biomiaux idésirables 3 Alicatio à la trigoométrie 3 Liéarisatio Das le chaitre «Nombres comlexes», ous avos déjà vu des exemles de liéarisatio Nous ouvos maiteat asser au cas gééral Pour N, liéarisos l exressio cos x D arès les formules d Euler, e cos ix e ix x e ix e ix e i x Si est air, o eut oser où est u etier aturel E isolat le terme et e regrouat les termes cojugués, o obtiet : Aisi, cos x e i x e i x e i x e ix e ix e ix e i x e ix e osat et car cosx c Jea-Louis Rouget, 06 Tous droits réservés 5 htt ://wwwmaths-fracefr

26 N, x R, cos x cosx Pour comredre comlètemet le calcul ci-dessus, il faut le refaire e écrivat exlicitemet beaucou de termes du début, du milieu et de la fi Le cas où est imair se traite de maière aalogue il est as besoi das ce cas d isoler u terme, de même que la liéarisatio de si x O raelle qu il est idisesable de savoir liéariser our savoir itégrer et même dériver correctemet des exressios trigoométriques, le momet veu La maîtrise arfaite de l exercice ci-dessous est u objectif essetiel Exercice 5 Liéariser les exressios suivates : cos 4 x, si 5 x, 3 cos 3 x si 4 x, 4 cos 3 x si 3 x Solutio 5 Soit x R e cos 4 ix e ix 4 x e ix 4 4 e ix 3 e ix 6 e ix e ix 4e ix e ix 3 e ix 4 6 e 4ix e 4ix 4e ix e ix cos4x4cosx3 Commetaire A la remière étae du calcul, o a tout de suite isolé et e même tems déveloé le biôme A la 4 deuxième étae, o a regroué les termes cojugués A la troisième étae, o a utilisé e iθ e iθ cosθ uis o a simlifié ce et reat garde au coefficiet isolé, qui lui avait as été doublé avat e si 5 ix e ix 5 x e 5ix e 5ix 5 e 3ix e 3ix 0 e ix e ix i 3i 6 si5x 5si3x0six Commetaire Ici, il e faut as oublier le ombre i : siθ i eiθ e iθ et e iθ e iθ i siθ cos 3 x si 4 x 3 i 4e3ix 3e ix 3e ix e 3ix e 4ix 4e ix 6 4e ix e 4ix 7 e 7ix e 7ix e 5ix e 5ix 3 e 3ix e 3ix 3 e ix e ix 64 cos7x cos5x 3cos3x3cosx Commetaire Ici, il faut déveloer comlètemet l exressio avat de reasser e sius et cosius 3 six cos 3 x si 3 x 3 e ix i 3 e ix 3 3 e 6ix i 3 e 6ix 3 e ix e ix 3 i 3i si6x 3 i six si6x3six 3 Commetaire Das les quatre cas, la arité de la foctio était ue aide récieuse das les calculs E et 3, les foctios cosidérées sot aires et o eut démotrer que le déveloemet e eut coteir que des cosius De même, les foctios de et 4 sot imaires et le déveloemet e eut coteir que des sius c Jea-Louis Rouget, 06 Tous droits réservés 6 htt ://wwwmaths-fracefr

27 3 Polyômes de Tchebychev Pour etier aturel doé, cherchos à exrimer cosx comme ue exressio olyomiale e cosx cosx Re e ix e ix Re Recosxi six Re cos xi six cos l xi l si x l l cos l x cos x l l l 0 l 0 l Aisi, si our tout réel X, o ose T X 0 X X, alors, our tout réel x, o a T cosx cosx T est le -ème olyôme de Tchebychev de remière esèce Ceux-ci serot étudiés e détail das le chaitre «Polyômes» Pour 0 3, o obtiet e articulier X R, T 0 X, X R, T X X, X R, T X X, X R, T 3 X 4X 3 3X 3 Le symbole Π Si u N est ue suite de ombres comlexes, our et etiers aturels tels que, o ote u u u Aisi, u u et, Par exemle, our, o eut écrire! usuelles sot les suivates : u v u u u u ou aussi, our et a C, a u v et α λu λ u u α u le roduit a Les règles de calculs O disose aussi d ue formule sur les roduits télescoiques our ue suite u N e s aulat as : u u u u «extrémité» «origie» Efi, les foctios exoetielles et logarithmes ermettet de relier les sommes et les roduits la remière formule est valable our ue suite de réels strictemet ositifs uiquemet : l u lu et e u e u c Jea-Louis Rouget, 06 Tous droits réservés 7 htt ://wwwmaths-fracefr

28 Exercice 6 Calculer : Solutio 6 Soit N l cos a où a est u réel doé élémet de ]0,π[ uis détermier Soiet N et a ]0,π[ Puisque a ]0,π[, our, lim roduit télescoique cos a > 0 O e déduit que la somme roosée est arfaitemet défiie ] Esuite, our x 0, π obtiet e articulier cos a sia/ sia/ l cos a a ]0, π [ Par suite, our tout comris etre et, [, o a six sixcosx et doc, cosx six six six état o ul Pour x a, o l cos a l six Maiteat, o sait que lim x 0 x sia a sia/ a/ ted vers et doc : cos a l sia/ sia/ l sia l sia/ roduit télescoique sia/ sia/ sia/ Par suite, lim a/ et doc, quad ted vers, sia a Fialemet, lim l cos a l sia a sia sia/ c Jea-Louis Rouget, 06 Tous droits réservés 8 htt ://wwwmaths-fracefr