COURS MPSI A.1.II.SOMMES, RECURRENCE, BINÔME R. FERRÉOL 13/14

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1 II) Sommes, récurreces, formule du biôme. )NOTATIONS ET a) Notatios : u u m +u m+ + +u m u u m u m+ u m est ici ue variable muette, c est-à-dire qu o peut chager so om das l expressio, sas modifier la valeur de cette expressio. E: Calculer e foctio de chacue des quatités suivates : ; ; ; ; + ; (3 ). b) Chagemet d idice par traslatio. m ( +p) m+p PROP : a a p m+p +p +p a p. E a +? 0 a? (a + a )? (somme télescopique). 0 Applicatios : A Calculer les sommes (+),, 3. Idicatio : (+) +. A Calculer :.! ; idicatio : +. A3 Calculer (+)! c) Chagemet d idices par symétrie. m ( p ) p a a p p a p. E3 : p m a. a, et 0 p m a a +. Exo : A cos π 0 ; effectuer le chagemet d idices et e déduire quea si π 0 la valeur dea. d) Sommes doubles. PROP : ; e déduire P: a i j a i j i, j ij ji a i j j P: a i j a i j ij a i j ji ij. m P3: a b m a i b j ij d où a a i a j a + a i a j. ij i<j

2 e) Moyees. DEF:lamoyeearithmétiquedeombresa,,a estdéfiieparm >0a,,a est défiie parm a. PROP :mi(a,,a )m,m max(a,,a ). D REM: o défiit aussi des oyees arithmétiques "à coefficiets", ou "podérées" : M a,lamoyeegéométriquedeombres a a a p p p p a (si lesp sot des aturels, cela reviet à predrep fois le ombrea, mais lesp peuvet être des réels quelcoques, du momet que p 0). E3 ) Raisoemet par récurrece. α) Récurrece simple. p Pricipe : Variate : ) (iitialisatio)p(0 ) est vrai ) (hérédité) 0 P() P(+) est vrai )(iitialisatio)p(0 ) est vrai ) (hérédité) 0 + P( ) P() est vrai, alors 0 P() est vrai, alors 0 P() est vrai Exemple E4 : la suite de Fiboacci(F ) est défiie par F0 0,F F F +F Remplir le tableau suivat et cojecturer ue formule, puis la démotrer par récurrece : F F F + / F Exemples de récurreces fausses ; détermier quels sot les erreurs das les raisoemets suivats : : soitp() : + P() est vraie,+, doc, e ajoutat,++ etp(+) est vraie. Doc, pour tout,+.. poits disticts doés du pla sot toujours aligés sur ue même droite Ceci est vrai pour, et même pour.

3 Supposos que poits disticts doés du pla sot toujours aligés sur ue même droite (hypothèse de récurrece) et cosidéros+ poits du plaa,a,,a,a +. D aprèsl hypothèsederécurrece, lespoitsa,a,,a sotaligéssuruedroited etlespoitsa,,a,a + sot aligés sur ue droite D ; mais comme les poits A et A 3 sot commus à D et D, D D et les + poits A,A,,A,A + sot aligés surdd, ce qui achève la récurrece. D β) Récurrece double. Pricipe : )(iitialisatio)p(0 ) etp( 0 +) sot vrais ) (hérédité) 0 P() etp(+) P(+) est vrai, alors 0 P() est vrai variate : ) (iitialisatio)p(0 )etp( 0 +) sot vrais ) (hérédité) 0 + P( ) etp( ) P() est vrai, alors 0 P() est vrai variate : ) (iitialisatio)p(0 )etp( 0 +) sot vrais ) (hérédité) 0 + P( ) etp() P(+) est vrai, alors 0 P() est vrai Exemple E5 : Motrer que pour, (,6) 3 F (,7). REM : ue récurrece double surp() est e fait ue récurrece simple sur P() etp(+). D3 REM : o peut aussi effectuer des récurreces triples, quadruples,, p uples. Pricipe : γ) Récurrece forte. ) (iitialisatio)p(0 ) est vrai ) (hérédité) 0 [ [ 0, ] P()] P(+) est vrai, alors 0 P() est vrai u 0 Exemple E6 : O défiit(u ) par u + 0 u u. REM : ue récurrece forte surp() est e fait ue récurrece simple sur " [ 0, ] P()". D4 3) Formule du biôme de Newto. a) Découverte de la formule. b) Défiitiodes coefficiets biomiaux et démostratio de la formule. DEF : les coefficiets sot défiis pour, N,0 par :. N 0. N [, ] + (relatio de Pascal) 3

4 PROP : et TH (formule du biôme de Newto) :. a,b C N (a+b) a b D5 REM : comme 0 cette forme! et, NE JAMAIS LAISSER CES 4 coefficiets sous REM : bie coaître le début et la fi de la formule : (a+b) a +a b+ ( ) a b +.+ ( ) a b +ab +b E : calculer 4 et 0 7 sas poser aucue opératio, grâce à la formule du biôme. c) Propriétés des coefficiets biomiaux. REM : o utilisera ici plusieurs fois la propriété suivate : ue égalité du type a x 0 P : propriété de symétrie : b x a lieu POUR TOUT réelx, alors lesa sot égaux auxb pour0. 0 pour0 D6 Les liges du triagle de pascal formet doc des "palidromes". 0 0 P : somme, somme alterée d ue lige du triagle de Pascal :., ( ).pour Applicatio : sommes de e d ue lige du triagle de Pascal : pour + D P3 : somme partielle d ue coloe du triagle de Pascal : D8, par somme télescopique ou par récurrece. p P4 : somme des carrés des élémets d ue lige :. 0 D9 4

5 d) Calcul explicite de. LEMME (P5, formule du pio) : pour D0 P6 : calcul explicite ce qui doe, pour0 D E6 pour... +!!( )! 4) Formule de Beroulli. C est la gééralisatio de l idetité remarquable : a b (a b)(a+b) TH (formule de Beroulli) : a,b C N a b (a b)(+.+.++)(a b) a b d où l o déduit, UNIQUEMENT POUR IMPAIR : D (par divisio) a +b (a+b)(.+. +)(a+b) ( ) a b REM importate : si o applique la formule de Beroulli das le casb,a, o retrouve la formule de la somme de termes cosécutifs d ue suite géométrique : +a+.+a.. APPLICATION aux ombres de Mersee (Mari Mersee, ) PROP : sim est u ombre premier, alorsest premier. D3 Mersee pesait que la réciproque était vraie, mais o trouve facilemet aujourd hui u cotre-exemple à la calculatrice : O cojecture qu il existe ue ifiité de ombres de Mersee premiers, mais o e sait actuellemet pas le démotrer; le plusgradombredemerseepremieractuellemetcouest ;voirwww.utm.edu/research/primes/mersee. APPLICATION aux ombres de Fermat (Pierre Fermat, ) PROP : si + est u ombre premier, alorsest.. D4 O pose docf + Les seuls ombres de Fermat premiers cous actuellemet sotf 0.,F..,F..,F 3 etf 4 A partir def 5., les ombres de Fermat semblet tous être composés, mais o e l a pas prouvé. 5

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