SOMMES, PRODUITS, COEFFICIENTS BINOMIAUX

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1 Chrtoph Brtault Mathématqu MPSI SOMMES, PRODUITS, COEFFICIENTS BINOMIAUX SOMMES Pour tou z m,,z avc m, la omm z m + z m+ + +z ra oté Par xmpl : t pour toutα : , }{{ } Form xto d la omm α α + α ++ α m m m+ p α++α m+ fo z Par xmpl : m p , ( m+ )α Plu gééralmt cor, pour tout famll(z ) I d ombr complx dxé par u mbl FINI I, la omm d tou l ombr z, décrvat I, ra oté z Par xmpl, I,4,7,8 : z z + z 4 + z 7 + z 8 Il arrv au ouvt qu l mbl I ot u mbl d coupl Par xmpl, : I, m, (, ) m,, la omm z ra plutôt oté I I m D apparc plu complqué, ctt omm t ama qu la omm d trm du tablau à dux tré c-cotr Qu pa-t-l par xmpl quad o multpl dux omm m a t b? O obtt dévloppat u omm d m trm qu o put écrr ut à l ad d u ul m a b (a + + a m )(b + + b )a b + a b + +a m b + a m b I z z z z z z m z m z m z m m a b Théorèm (Produt d dux ) Pour tou a,,a m, b,, b : m a b m a b À prét, qull lttr put-o chor quad o vut écrr u omm ou la form d u? C t mpl, o l écrt xto, o rgard qull varabl apparat da ctt écrtur xto t o chot pour dc du ymbol N IMPORTE QUELLE AUTRE LETTRE Par xmpl, pour «+ + ++», o put chor mport qull lttr : p tad qu pour «+ + ++», la lttr dot êtr écarté : p p p Et quad pluur omm apparat da u mêm calcul, dot-o lur dor d dc dffért? Qu pr par xmpl d écrtur uvat : (a + b ) a + t (a + b ) a + b? L dux ot covabl t racott dépt d apparc la mêm htor xto : (a + b )+(a + b )++(a + b )(a + a + +a )+(b + b + + b ) b L dc d u omm a réalté u zo d fluc trè rtrt comm l dqu la fgur c-cotr U dc «mort» put êtr rcyclé à voloté La ul cho qu l faut évtr, c t la chzophré, l fat qu u mêm lttr poèd pluur gfcato au mêm tat bla bla bla Naac d l dc z bla bla bla Mort d court v qu la v d u dc!

2 Chrtoph Brtault Mathématqu MPSI U mêm omm put touour êtr écrt d dffért maèr dépdammt du chox d la lttr-dc, t l paag d u écrtur à u autr t applé chagmt d dc Dux xmpl vaudrot c mux qu u log dcour z z + z + +z z z + z + +z p z p+ Chagmt d dc p+ p p z p Chagmt d dc p p Nou vrro parfo d chagmt d dc plu complqué C qu l faut touour garatr, c t qu o a upprmé aouté aucu trm à la omm tal o a ut chagé l om d l dc Il arrv ouvt qu o tomb au cour d u calcul ur u omm d la form «(z + z )», dt omm télcopqu C omm calcult mrvllumt b mplfcato mplfcato mplfcato {}}{ (z + z ) (z + z )+(z z )+(z z )++(z m+ z m+ )+(z m+ z m )z + z m m Par xmpl : p à la fo : + l + p t p l(p+) l p l(+) Autr xmpl, la omm (+), doc : (+ ) + vaut + Théorèm (Smplfcato télcopqu) Pour tou z m,,z + avc m : (z + z )z + z m m Rtour à prét ur l omm doubl La omm d trm d u tablau à dux tré put êtr calculé ommat par paqut d abord ur l lg, ou b d abord ur l colo Somm d trm d u tablau carré :, au oté, z z z z z z z z z z z z z z z O trat d mêm l ca d omm d la form < Somm d trm d u tablau tragular avc dagoal : z z z z z z z z z z z z tablaux tragular a dagoal Théorèm (Prmutato d ) Pour tout famll( ), d ombr complx :,,, < +

3 Chrtoph Brtault Mathématqu MPSI E pratqu Nou auro ouvt à vrr d omm ctt aé Rtz b l dé gééral uvat : Quad o at pa quo far d dux omm mboîté, o put touour ayr d l prmutr! L omm d la form < ot plu courat qu l y paraît, o l rcotr par xmpl aturllmt quad o calcul l carré d u omm L calcul qu ut rpo tllmt ur l dé qu l tablau c-cotr t ymétrqu par rapport à a dagoal z z z, z z z + Trm au-du d la dagoal {}}{ <, < z z z z + Trm dagoaux {}}{ z z +, Trm ou la dagoal {}}{ z z, > z z z z z z z z z z z z z z z Par xmpl : (a+ b) a + b + ab t (a+ b+c) a + b + c + (ab+ac+ bc) Théorèm (Carré d u ) Pour tou z,,z : z z + z z < Doubl produt La f du paragraph rc qulqu formul partculèr qu l t dpabl d coaîtr PAR CŒUR Théorèm (Calcul d t ) Pour tout : (+) t (+)(+) Démotrato Poo : S t calculo d dux maèr la omm d tou l trm du tablau uvat : S S (+) Italato : Évdt Hérédté : Sot O uppo qu : Alor : + +(+) (+)(+) S +(+) + Cocluo : S ( + ), S (+) (+)(+) (+)+(+) (+)(+)(+) C t b l réultat voulu Théorèm (Somm géométrqu) Pour tou m, t x tl qu m : Prmr trm x m Nombr d trm {}}{ x m x m+ x x m+ x

4 Chrtoph Brtault Mathématqu MPSI Démotrato Poo : S x S x : S m m+ Suppoo doc x Alor : S x m + x m+ + + x t xsx m+ + x m+ + + x +, doc par dfférc : m (x )Sx + x m, d où f : S x + x m x x m x m+ x Théorèm (Formul «a b») Pour tou t a, b : a b (a b) a b (a b) a + a b+a b + +ab + b Explcato Da la omm, l puac d a dmut à mur qu l puac d b augmtt Pour, l réultat t cou : a b (a b)(a+ b), pour : a b (a b) a + ab+ b, t f pour 4 : a 4 b 4 (a b) a + a b+ab + b Démotrato Poo : S a b a + a b+a b + +ab + b Alor : asa +a b+a b ++a b +ab t bs a b+a b +a b ++ab + b, doc par dfférc, comm voulu : (a b)s a b PRODUITS Nou paro plu vt ur l produt qu ur l omm c t parl! Pour tout famll(z ) I d ombr complx dxé par u mbl FINI I, l produt d tou l ombr z, décrvat I, ra oté z Exmpl Pour toutα : α m m+ fo {}}{ α α α α m+ I Défto (Factorll) Pour tout, o appll factorll ou factorll t o ot! l tr :! Par covto :! Rlato d récurrc : Pour tout :! ( )! Exmpl fo {}}{ N pa cofodr avc :! Théorèm (Smplfcato télcopqu) Pour tou z m,,z + avc m: m z + z z + z m Théorèm (Prmutato d ) Pour tout famll( ), d ombr complx :,,, < + 4

5 Chrtoph Brtault Mathématqu MPSI Exmpl,! (!) (!) (!) (!)!!! (!) COEFFICIENTS BINOMIAUX ET FORMULE DU BINÔME Vou avz déà rcotré l coffct bomaux Prmèr da u cotxt probablt où l o vou dmadat d comptr l ombr d chm d u crta graph Totalmt dffért t b plu fécod, la prétato qu ut rqu d vou urprdr Nou rlro c dux prétato u pu plu lo Défto (Coffct bomaux) Pour tou t, o appll (coffct bomal) parm, oté,! l ombr :!( )! o 4 5 Autr xpro pour, aprè mplfcato d factorll : ( )( )( + )! E partculr, pour :, pour : t pour : ( ) Tragl d Pacal Théorèm (Proprété d coffct bomaux) () Symétr : Pour tout t : () Formul d aborpto : Pour tou, : + () Formul d Pacal : Pour tou t : + (v) Itégralté : Pour tou t, t u tr aturl Explcato 4 5 Symétr Formul d Pacal

6 Chrtoph Brtault Mathématqu MPSI Démotrato () S <, alor > doc raomt aalogu >! S, alor doc : ( )! ( )!! ( )!!! () S :!( )! ( )! ( )!( )! ( )! ( )! ( ) ( )! + () S < ou >+, S ou +, + + () Ef, : + + +! ( )!( + )!!!( )! (v) Nou allo motrr par récurrc la propoto «pour tout» pour tout Italato : Pour tout : doc o, Hérédté : Sot O uppo qu pour tout Alor pour tout, + par hypothè d récurrc, doc par omm d aprè la formul d Pacal t Théorèm (Formul du bôm) Pour tou t a, b : (a+ b) a b Explcato Pour : (a+ b) a + ab+ b Pour : (a+ b) a + a b+ ab + b Pour 4 : (a+b) 4 a 4 +4a b+a b +4ab +b 4 Pour 5 : (a+b) 5 a 5 +5a 4 b+a b +a b +5ab 4 +b 5 ATTENTION! Gar à cux qu cofodt la formul du bôm avc la formul «a b»! Démotrato O fx a, b t o rao par récurrc ur Italato : (a+ b) a b a b Hérédté : Sot O uppo qu(a+ b) a b (a+ b) + (a+ b)(a+ b) (a+ b) a b a a l b l + b l l a l+ b l + a b + a + l + a l+ b l + l l Exmpl Pour tout : a + + a b + + a b + + b + a + + Chagmt d dc l a + + a b (+) + b + a b (+) l l (+) a b a b + + b + + a b (+) + b + Formul d Pacal

7 Chrtoph Brtault Mathématqu MPSI Explcato Nou pouvo f comprdr pourquo la prétato précédt d coffct bomaux déft l mêm coffct bomaux qu la prétato qu o vou a propoé Prmèr Par xmpl, réalo tro fo ( ) d maèr dépdat u mêm xpérc aléator à dux u uccè () t échc () E Prmèr, pour tout,, o vou a déf comm l ombr d chm qucomptablt xactmt uccè ur l graph c-cotr Il découl qu : (chm ), (chm, t ), (chm, t ) t (chm )! À prét, qul rapport avc la défto «!( )!»? Dévloppo mplmt(+) : (+) (+)(+)(+)(+) + ++ } {{} Exactmt l chm du graph précédt! Or la formul du bôm dt cc : (+) + d chm avc xactmt uccè» t «+ + } + + {{} uccè uccè +!» déft b l mêm tr!( )! + ++ uccè + uccè ( uccè) ( uccè) ( uccè) ( uccè) ( uccè) ( uccè) ( uccè) ( uccè) Comm voulu, l pot d vu «ombr pour tout, 7