COURS DE STATISTIQUE DEFINITIONS ET PROPRIETES DES PRINCIPALES LOIS UNIDIMENSIONNELLES

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1 Université Paris Magistère d Economie - ère année COURS DE STATISTIQUE DEFINITIONS ET PROPRIETES DES PRINCIPALES LOIS UNIDIMENSIONNELLES Convention : Si la variable aléatoire (v.a.) X suit la loi L, on notera X L. Lois discrètes. Loi UNIFORME : U Elle est définie sur des entiers {,..., n} ou des valeurs {a,..., a n } avec la même probabilité pour toutes les valeurs ou Si X(Ω) = {,..., n}, Si X(Ω) = {a,..., a n }, E(X) = n P (X = i) = n P (X = a i ) = n E(X) = n + a n, V(X) = n, i =,..., n, i =,..., n., V(X) = n a i E(X). Loi de BERNOULLI : B(, p) On utilise cette loi lorsque les résultats possibles d une épreuve aléatoire sont réduits à deux : Oui-Non ; Vrai-Faux ; Succès-Echec On parle dans ce cas d expérience de Bernoulli. Une v.a. X suit une loi B(, p) si elle prend deux valeurs 0 et avec les probabilités suivantes : P(X = ) = p, P(X = 0) = p = q La loi de Bernoulli peut aussi s écrire sous la forme suivante : P(X = k) = p k ( p) k, k {0, } E(X) = p, V(X) = p( p) G(s) = E ( s X) = q + ps

2 3. Loi BINOMIALE : B(n, p) Une v.a. suivant cette loi peut se définir comme le nombre de succès à l issue de n expériences de Bernoulli indépendantes et de même loi. Le support d une telle variable est X(Ω) = {0,,..., n} avec la loi de probabilité : P (X = k) = C k np k ( p) n k, k {0,,..., n} Construction Si n v.a. indépendantes X, X,..., X n suivent la même loi B(, p), alors la variable X = n X i suit une loi Binomiale B(n, p). E(X) = np, V(X) = np( p) G(s) = E ( s X) = (q + ps) n Addition Si deux v.a. indépendantes X et X suivent respectivement les lois B(n, p) et B(n, p), alors la variable aléatoire X = X + X suit une loi B(n + n, p). Approximation (Convergence en loi) Lorsque n est grand : (a) Si n > 30, si np et np( p) sont voisins et si np 5, on peut alors approximer la loi B(n, p) par une loi de Poisson P(λ), où λ = np. (b) Si np > 5 et n( p) > 5 (ou si np( p) > 5), on peut alors approximer la loi B(n, p) par une loi normale N (m, σ ), où m = np et σ = np( p). 4. Loi GEOMETRIQUE : G(p) Une v.a. suivant cette loi peut se définir comme le nombre d essais jusqu au premier succès pour des épreuves de Bernoulli indépendantes de paramètre p. Le support d une telle variable est X(Ω) = N avec la loi de probabilité : P (X = k) = p( p) k, k N E(X) = p, V(X) = p p G(s) = E ( s X) = sp qs, q = p NB : On définit parfois la loi Géométrique comme le nombre d échecs avant le premier succès. Dans ce cas, elle prend ses valeurs dans N, P (X = k) = p( p) k, k N, E(X) = p et V(X) =. Quand on ne précise p p rien, on considère la ère définition. 5. Loi de POISSON : P(λ) Une v.a. X suit une loi de Poisson si elle prend ses valeurs dans N avec les probabilités : P (X = k) = e λ λ k x!, k N

3 Le paramètre λ est toujours considéré positif, λ > 0. E(X) = V(X) = λ G(s) = E ( s X) = e λ(s ) Addition Si deux v.a. indépendantes X et X suivent respectivement les lois P(λ ) et P(λ ), alors la variable aléatoire X = X + X suit une loi P(λ + λ ). Lois continues 6. Loi UNIFORME : U(a, b) Une v.a. X suit une loi uniforme sur l intervalle [a, b] si X est une v.a. continue de densité f constante : {, x [a, b] f(x) = b a 0, x / [a, b] E(X) = a + b, V(X) = (b a) 7. Loi EXPONENTIELLE : E(λ) Une v.a. X suit une loi exponentielle E(λ) si elle est continue et de densité : { λe λx, x > 0 f(x) = 0, x 0 E(X) = λ, V(X) = λ 8. Loi de LAPLACE-GAUSS ou loi NORMALE : N (m, σ ) Une v.a. X suit une loi exponentielle N (m, σ ) si elle est continue et de densité : f(x) = σ π e ( x m σ ), x R E(X) = m, V(X) = σ Lecture de table : Une v.a. X de loi N (m, σ ) peut se mettre sous la forme suivante : X N ( m, σ ) U = X m σ N (0, ), loi centrée réduite (ou standard) qui est tabulée ; on a donc ( P(X x) = P U X m ) σ 3

4 Addition : Si deux v.a. indépendantes X et X suivent respectivement des lois normales N (m, σ ) et N (m, σ ), alors la v.a. X + X suit une loi normale N (m + m, σ + σ ). Combinaison linéaire : On démontre que si X, X,..., X n suivent des lois normales indépendantes d espérances m, m,..., m n et de variances σ, σ,..., σ n, alors pour tous λ i R, la v.a. n λ ix i suit une loi normale d espérance n λ im i et de variance n λ i σ i. Lois de v.a. liées à la loi Normale Certaines lois peuvent être construites à partir de la loi Normale. Il n est pas utile de donner ici une définition complète de ces lois par leur densité. 9. Loi du CHI-DEUX : χ n (Chi-deux à n degrés de liberté) Soit U, U,..., U n n v.a. indépendantes et de même loi N (0, ). Alors, Z = Ui χ n E(χ n) = n, V(χ n) = n Addition : Si deux v.a. indépendantes Y et Y suivent respectivement des lois χ n et χ n, alors la v.a. Y + Y suit une loi χ n +n. Approximation : Lorsque n est grand (n > 30), la loi de la v.a. χ n n peut être approximée par une loi Normale centrée et réduite N (0, ). 0. Loi de STUDENT : T n (Student à n degrés de liberté) Soit X et Y deux v.a. indépendantes telles que X suit une loi N (0, ) et Y suit une loi χ n. Alors, Z = X T n Y n avec E(Z) = 0. Approximation : Lorsque n est grand (n > 60), la loi T n peut être approximée par une loi Normale centrée et réduite N (0, ).. Loi de FISHER-SNEDECOR : F (n, n ) à n et n degrés de liberté. Soit X et X deux v.a. indépendantes de lois respectives χ n et χ n. Alors, la v.a. Z = X /n X /n suit une loi F (n, n ) à n et n degrés de liberté. 4

5 Lois de v.a. liées à la loi Exponentielle. Loi GAMMA : γ (α, λ) Une v.a. X suit une loi Gamma de paramètres α et λ, pour α > 0 et λ > 0, si X est une v.a. continue de densité f : f(x) = { λ α Γ(α) xα e λx, x > 0 0, x 0], où Γ(α) est une constante de normalisation, définie par : Γ(α) = + 0 x α e x dx. (Cette intégrale est convergente pour α > 0 et si α N, alors Γ(α) = (α )!). E(X) = α λ, V(X) = α λ Addition : Si deux v.a. indépendantes X et X suivent respectivement des lois γ (α, λ) et γ (α, λ), alors la v.a. X + X suit une loi γ (α + α, λ). Relations entre les différentes lois : La loi E(λ) n est autre que la loi γ (, λ). La somme de n v.a. Exponentielles indépendantes de paramètre λ suit une loi γ (n, λ). De même, la loi χ () n est autre que la loi γ (, ) et, par conséquent, la loi χ (n) se confond avec la loi γ ( n, ). Propriétés de multiplication par une constante : Si une v.a. ( X suit ) une loi γ (α, λ) et si µ est un scalaire positif, alors la v.a. µx suit une loi γ α, λ. µ Conséquence : Si une v.a. X suit une loi γ (n, λ), alors la v.a. λx suit une loi γ ( n, ), c est-à-dire une loi χ (n). On peut donc se servir des tables de la loi du χ pour les sommes de v.a. exponentielles indépendantes. 5

6 PROPRIETES DES N-ECHANTILLONS Définition d un n-échantillon : (X, X,..., X n ) forment un n-échantillon de X si les v.a. X, X,..., X n sont indépendantes et suivent toutes la loi de X. Définition d une statistique : Une statistique est une fonction mesurable des v.a. de l échantillon ; c est une variable aléatoire. Une fonction mesurable est telle que f (I) A, pour tout intervalle I, c est-à-dire telle qu on sache calculer P (f (I)) pour tout intervalle I. Cas gaussien Un échantillon Soit (X, X,..., X n ) un n-échantillon de X, où la v.a. X N (m, σ ). Alors, on a les résultats suivants : où S = n n (X i m). X = n σ σ X i N ) (m, σ n (X i m) χ n ( Xi X ) χ n X m S n T n, X m S n T n, où S = n n ( Xi X ). 6. X et S sont des v.a. indépendantes. 6

7 Deux échantillons Soit (X, X,..., X n ) et (Y, Y,..., Y n ) deux échantillons indépendants de lois respectives N (m, σ ) et N (m, σ ). Alors, on a les résultats suivants : 7. n (X i m ) n σ n j= (Y j m ) n σ F (n, n ) 8. n (X i X) (n )σ n j=(y j Y ) (n )σ F (n, n ) 9. ( ) X Y (m m ) N (0, ) σ n + σ n 0. Si σ = σ, alors ( X Y ) (m m ) ( n + n ) n (X i X) + n j=(y j Y ) n +n T n +n 7