LIMITES ET CONTINUITÉ (Partie 1)

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1 LIMITES ET CONTINUITÉ (Partie ) I. Limite d'une fonction à l'infini ) Limite finie à l'infini Intuitivement : On dit que la fonction f admet pr ite L en + si f (x) est aussi proche de L que l on veut prvu que x soit suffisamment grand. Exemple : La fonction définie par f (x) = 2 + x a pr ite 2 lorsque x tend vers +. En effet, les valeurs de la fonction se resserrent autr de 2 dès que x est suffisamment grand. La distance MN tend vers 0. Si on prend un intervalle vert quelconque contenant 2, ttes les valeurs de la fonction appartiennent à cet intervalle dès que x est suffisamment grand. Définition : On dit que la fonction f admet pr ite L en + si tt intervalle vert contenant L contient ttes les valeurs de f (x) dès que x est suffisamment grand et on note : f (x) = L. Définitions : - La droite d'équation y = L est asymptote à la crbe représentative de la fonction f en + si f (x) = L. - La droite d'équation y = L est asymptote à la crbe représentative de la fonction f en si f (x) = L.

2 2 Remarque : Lorsque x tend vers +, la crbe de la fonction "se rapproche" de son asymptote. La distance MN tend vers 0. 2) Limite infinie à l'infini Intuitivement : On dit que la fonction f admet pr ite + en + si f (x) est aussi grand que l on veut prvu que x soit suffisamment grand. Exemple : La fonction définie par f (x) = x 2 a pr ite + lorsque x tend vers +. En effet, les valeurs de la fonction deviennent aussi grandes que l'on shaite dès que x est suffisamment grand. Si on prend un réel a quelconque, l'intervalle a;+ contient ttes les valeurs de la fonction dès que x est suffisamment grand. Définitions : - On dit que la fonction f admet pr ite + en + si tt intervalle a;+, a réel, contient ttes les valeurs de f (x) dès que x est suffisamment grand et on note : f (x) = + - On dit que la fonction f admet pr ite en + si tt intervalle ;b, b réel, contient ttes les valeurs de f (x) dès que x est suffisamment grand et on note : f (x) = Remarques : - Une fonction qui tend vers + lorsque x tend vers + n'est pas nécessairement croissante.

3 3 - Il existe des fonctions qui ne possèdent pas de ite infinie. C'est le cas des fonctions sinusoïdales. 3) Limites des fonctions usuelles Propriétés : - x 2 = +, x 2 = + - x 3 = +, x 3 = - x = + - x = 0, x = 0 II. Limite d'une fonction en un réel A Intuitivement : On dit que la fonction f admet pr ite + en A si f (x) est aussi grand que l on veut prvu que x soit suffisamment proche de A. Exemple : La fonction représentée ci-desss a pr ite + lorsque x tend vers A.

4 4 En effet, les valeurs de la fonction deviennent aussi grandes que l'on shaite dès que x est suffisamment proche de A. Si on prend un réel a quelconque, l'intervalle a;+ contient ttes les valeurs de la fonction dès que x est suffisamment proche de A. Définitions : - On dit que la fonction f admet pr ite + en A si tt intervalle a;+, a réel, contient ttes les valeurs de f (x) dès que x est suffisamment proche de A et on note : f (x) = + x A - On dit que la fonction f admet pr ite en A si tt intervalle ;b, b réel, contient ttes les valeurs de f (x) dès que x est suffisamment proche de A et on note : f (x) = x A Définition : La droite d'équation x = A est asymptote à la crbe représentative de la fonction f si f (x) = + f (x) =. x A x A Remarque : Certaines fonctions admettent des ites différentes en un réel A selon x > A x < A. Considérons la fonction inverse définie sur! * par f (x) = x. - Si x < 0, alors f (x) tend vers et on note : x 0 x<0 - Si x > 0, alors f (x) tend vers + et on note : x 0 x>0 f (x) =. f (x) = +.

5 5 On parle de ite à gauche de 0 et de ite à droite de 0. Déterminer graphiquement des ites d'une fonction : Vidéo III. Opérations sur les ites Vidéo α peut désigner +, un nombre réel. ) Limite d'une somme x α f (x) = L L L + + g(x) = x α L' + + ( f (x) + g(x) ) = L + L' + + F.I. x α 2) Limite d'un produit f (x) = L L > 0 L < 0 L > 0 L < x α x α g(x) = L' x α + ( f (x)g(x)) = L L' F.I.

6 6 3) Limite d'un quotient x α f (x) = L L x α g(x) = L' 0 f (x) x α g(x) = L L' + L > 0 + L < 0 0 avec 0 avec g(x) > 0 g(x) > 0 L > 0 + L < avec 0 avec g( x) < 0 g( x) < 0 0 L' > 0 L' < 0 L' > 0 L' < F.I. + + F.I. + + Exemple : ( )? ( ) = + ( ) 3+ x 2 ( ) = et 3+ x 2 D'après la règle sur la ite d'un produit : ( ) 3+ x 2 ( ) = Remarque : Comme pr les suites, on rappelle que les quatre formes indéterminées sont, par abus d'écriture : " ", " 0 ", " " et " 0 0 ". Méthode : Lever une forme indéterminée sur les fonctions polynômes et rationnelles Vidéo Vidéo Vidéo 2x Calculer : ) 3x 3 + 2x 2 6x + ( ) 2 5x + 2) 6x 2 5 3) 3x x ) Il s'agit d'une forme indéterminée du type " +( + )+( )" Levons l'indétermination : 3x 3 + 2x 2 6x += x x 6 x + 2 x 3 2 Or x = 6 x 2 = x 3 = 0.

7 7 Donc par somme de ites 3+ 2 x 6 x + 2 x 3 = 3 Comme x3 = +, on a par produit de ites Donc 3x 3 + 2x 2 6x + ( ) =. x x 6 x + 2 x 3 =. 2) En appliquant la méthode de la question ) pr le numérateur et le dénominateur de la fonction rationnelle, cela ns conduit à une forme indéterminée du type " ". Levons l'indétermination : 2x 2 5x + = x2 6x Or x = x x + x = x 2 x 2 = 5 x 2 = x + x x 2 Donc par somme de ites 2 5 x + x 2 = 2 et 6 5 x 2 = Donc comme quotient de ites x + x = 2 6 = 3 x 2 et donc 2x 2 5x + = 6x ) Il s'agit d'une forme indéterminée du type " ". Levons l'indétermination : 2 3x x = x2 x x 2 4 = x x 2 4 x x. 2 Or x = 2 x = 0. Donc par somme de ites 3+ 2 x 2 = 3 et 4 x = Donc comme quotient de ites x 2 4 x = Or x =, donc comme produit de ites x x 2 4 x 3x Et donc 4x =. =

8 8 Méthode : Lever une forme indéterminée sur les fonctions avec des radicaux Vidéo Vidéo x 2 Calculer : ) x + x ( ) 2) x 5 ) Il s'agit d'une forme indéterminée du type " " Levons l'indétermination à l'aide de l'expression conjuguée : ( x + x )( x + + x ) x + x x + x = = x + + x x + + x = x + + x. Or x + = x = + ( ) = +. Donc par somme de ites x + + x Et donc par quotient de ites x + + x = 0. ( ) = 0. D'où x + x On peut vérifier la pertinence du résultat en traçant la crbe représentative de la fonction f (x) = x + x. ( ) = 5 2 = 0 et 2) x 5 x 2 ( ) = 5 5 = 0. x 5 Il s'agit d'une forme indéterminée du type " 0 0 ". Levons l'indétermination à l'aide de l'expression conjuguée : x 2 ( x 2) ( x + 2) x 4 = = ( ) ( ) x + 2 ( ) = ( )( x + 2) = ( ) x + 2 Or x = 5 = 2 donc par somme de ites x + 2 = = 4. x 5 x 5 Donc par quotient de ites, on a x 5 x + 2 = 4. x 2 Et donc = x 5 4. x + 2

9 9 En traçant à l'aide de la calculatrice la fonction f (x) = x 2, il est possible de vérifier la pertinence de la solution trvée en plaçant un point sur la crbe. Attention cependant, la calculatrice ne fait pas apparaître que la fonction f n'est pas définie en 5. Méthode : Déterminer une asymptote Vidéo Vidéo 3x + ) Soit f la fonction définie sur! \ { 2} par f (x) = 2 x. Démontrer que la droite d'équation y = 3 est asymptote horizontale à la crbe représentative de f en +. Il faut donc démontrer que 3x + 2 x = 3 : 3x + 2 x = x 3+ x x 2 x 3+ = x 2 x Or x = 2 = 0 donc x 3+ 2 x = 3 et x =. 3+ Et donc par quotient de ites x = 3 2 x = 3 Et donc f (x) = 3. 2) Soit g la fonction définie sur! \ 4 { } par g(x) = 2x x 4.

10 Démontrer que la droite d'équation x = 4 est asymptote verticale à la crbe représentative de g. 0 Il faut donc démontrer que la ite la fonction g possède une ite infinie en 4. - ( x 4) = 0 et 2x = 8. x 4 x 4 x<4 2x Donc = car x 4 < 0. x 4 x 4 x<4 - ( x 4) = 0 et 2x = 8. x 4 x 4 x>4 2x Donc = + car x 4 > 0. x 4 x 4 x>4 On en déduit que la droite d'équation x = 4 est asymptote verticale à la crbe représentative de g. Hors du cadre de la classe, aucune reproduction, même partielle, autres que celles prévues à l'article L 22-5 du code de la propriété intellectuelle, ne peut être faite de ce site sans l'autorisation expresse de l'auteur.