Limite de suites. I Introduction 1. II Définitions 1 1 Limite finie Limite infinie III Limites usuelles 2

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1 Limite de suites Table des matières I Introduction II s Limite finie Limite infinie III Limites usuelles 2 IV Opérations sur les ites 2 V Formes indéterminées 3 VI Limite par encadrement 4 VIILimite et variations 5

2 I Introduction On considère la suite (u n ) définie pour tout entier naturel n par. Montrer que la suite est minorée par 2. u n = 2n+ 3 n+ 2. A l aide de votre calculatrice, conjecturer le comportement de la suite pour des valeurs très grandes de n. 3. Déterminer le rang à partir duquel on a,9<u n < 2, 4. Déterminer le rang à partir duquel on a,999<u n < 2,00 5. e étant un réel strictement positif, déterminer le rang à partir duquel on a 2 e < u n < 2+e II s Limite finie Dire qu un réel l est ite de la suite (u n ) signifie que tout intervalle ouvert contenant l contient tous les termes à partir d un certain rang ou, ce qui revient au même, pour tout intervalle ouvert I contenantlil existe un entier N tel que si n N alors u n est dans I. On dit que la suite converge verslet on notera u n =l. Propriété La ite d une suite si elle existe est unique. 2 Limite infinie Dire que la suite (u n ) a pour ite + signifie que tout intervalle du type ]A;+ [ contient tous les termes à partir d un certain rang ou, ce qui revient au même, pour tout réel A il existe un entier N tel que si n N alors u n > A. On dit que la suite diverge vers+ et on notera u n =+. Dire que la suite (u n ) a pour ite signifie que tout intervalle du type ] ; A[ contient tous les termes à partir d un certain rang ou, ce qui revient au même, pour tout réel A il existe un entier N tel que si n N alors u n < A. On dit que la suite diverge vers et on notera u n =. Cours Page /5

3 Remarque : Si une suite diverge, cela ne signifie pas qu elle tend vers l infini, cela signifie que la suite n a pas de ite ou qu elle tend vers l infini. III Limites usuelles Propriété n=+ n = 0 n2 =+ Pour tout entier naturel non nul k, n 2 = 0 nk =+ n=+ = 0 n n k = 0 IV Opérations sur les ites Soient (u n ) et (v n ) deux suites,letl deux réels. Somme de deux suites u n l l l + + v n l + + u n+ v n l+l + + On ne peut pas conclure Produit de deux suites u n l l<0 l>0 l< v n l u n v n l l On ne peut pas conclure u n = 0 + signifie que u n = 0 et que u n 0 à partir d un certain rang. u n = 0 signifie que u n = 0 et que u n 0 à partir d un certain rang. Cours Page 2/5

4 Quotient de deux suites On suppose que pour tout entier n, v n 0 Cas où la suite u est positive à partir d un certain rang u n l l 0 l>0 l> v n l l > 0 l < 0 ou u n v n l l 0 On ne peut pas conclure On ne peut pas conclure Dans le cas où la suite u est négative à partir d un certain rang on constitue un tableau analogue en utilisant la règle des signes Racine carrée d une suite u est une suite à termes positif. u n l + un l + V Formes indéterminées Lorque nous sommes dans une situation où les théorèmes précédents ne permettent pas de donner la ite, que l on appelle une forme indéterminée, il faut changer la forme de l expression. Exemples u n = n 2 0n+ 3 n2 =+ et 0n+ 3= on a donc une forme indéterminée. On va factoriser n 2, pour tout entier naturel n non nul on a : ) u n = n ( 2 + La nouvelle forme ne comporte plus de forme indéterminée, on peut facilement déterminer la ite : Cours Page 3/5

5 Déterminer les ites, si elles existent des suites de terme général u n = 5 n 2n et v n = 7n+ 3 n 2 7n+ 2. VI Limite par encadrement n 0 est un entier naturel etlun réel Soit (u n ), (v n ) et (w n ) trois suites qui vérifient, pour tout n n 0, u n v n w n et si les suites (u n ) et (w n ) convergent vers la même itelalors (v n ) converge aussi versl Soit n 0 un entier naturel et (u n ) et (v n ) deux suites qui vérifient, pour tout n n 0, u n v n Si la suite (u n ) diverge vers+ alors (v n ) diverge vers+ Si la suite (v n ) diverge vers alors (u n ) diverge vers Démonstration : (à connaitre pour le bac) Cours Page 4/5

6 Propriété q étant un réel. Si q > alors qn =+ ; 2. Si < q < alors qn = 0 ; 3. Si q alors la suite de terme général q n n a pas de ite. Démonstration : (à connaitre pour le bac) Démonstration dans le cas où q > : On utilise l inégalité de Huygens (qui se démontre par récurrence) : (+ a) n +na où a est un réel positif et n un entier naturel VII Limite et variations Toute suite croissante et majorée converge vers une ite inférieure ou égale à ce majorant. Corollaire Toute suite décroissante et minorée converge vers une ite supérieure ou égale à ce minorant. Toute suite croissante et non majorée diverge vers+. Corollaire Toute suite décroissante et non minorée diverge vers. Cours Page 5/5

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