Chap. 2 : Fonctions : limites, continuité, dérivabilité Mathématiques T S

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1 I Notion de continuité 1) Fonctions continues Définition 1 : Soit f une fonction définie sur un intervalle I contenant a. Remarques : On dit que f est continue en a si lim f(x) = f(a) On dit que f est continue sur I si f est continue en tout point a de I. 1. Une fonction est dite continue sur un intervalle I, si son graphe est tracé sans interruption sur cet intervalle.. On appelle point de discontinuité tout point où le graphe est discontinu. 3. Les fonctions dites de références telles que les fonctions polynômes, racine carrée, valeur absolue et leurs composées, produits ou quotients, sont continues sur tout intervalle où elles sont définies. 1

2 Exemple 1 : x a E(x) est la fonction partie entière, E(x) est l unique entier tel que : E(x) x < E(x) + 1. E(x) admet des discontinuités en toute valeur entière (positive comme négative) La représenter sur [ 1, 3]. ) Théorème des valeurs intermédiaires Théorème 1 : Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I et a et b des points de I (a < b). Pour tout réel k encadré strictement par f(a) et f(b), l équation f(x) = k admet au moins une solution sur ]a,b[. Cas particulier important : k = 0. Si f est continue sur [a,b], et telle que f(a) et f(b) soient de signes contraires, alors f(x) = 0 admet au moins une solution sur ]a,b[. Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I et a et b des points de I (a < b). On peut supposer que f(a) f(b). Soit k un réel tel que : f(a) k f(b) On définie un algorithme de la façon suivante : on pose a 0 =a et b 0 = b, puis : - si f a + b - si f a + b k, on pose : a 1 = a + b et b 1 = b > k, on pose : a 1 = a et b 1 = a + b On a alors : a 0 a 1 b 1 b 0 et b 1 a 1 = b a On montre alors par récurrence que pour tout n de IN, a 0 a n b n b 0 et b n a n = b a n La suite (a n ) est croissante, (b n ) est décroissante, et lim (b b a n a n ) = lim n + n + n = 0. Les suites (a n ) et (b n ) sont adjacentes, elles convergent donc vers une même limite. Soit c leur limite commune. Pour tout n de IN, a n et b n sont des éléments de I où f est continue, donc si lim n + a n = lim n + b n =c, alors : lim f(a n) = lim f(b n) = f(c) n + n + Or : Pour tout n de IN, f(a n ) k f(b n ), donc d après le théorème des gendarmes, lim k = f(c), soit : f(c) = k. n + 3) Fonction continue strictement monotone Théorème : Soit f une fonction continue strictement monotone sur [a,b]. Alors, pour tout réel k encadré strictement par f(a) et f(b), l équation f(x) = k admet une solution et une seule sur ]a,b[. existence : découle immédiatement du théorème des valeurs intermédiaires unicité : pour une fonction strictement monotone, réels distincts ont des images distinctes. 4) Résolution approchée d une équation Exemple : Déterminer le nombre de solutions de l équation : x 3 + x = 7.

3 Soit f : xa x 3 + x. f est une fonction polynôme donc définie et continue sur IR. Elle est strictement croissante sur IR. f est continue, strictement monotone, f(1) = et f() = 10, donc d après le théorème des valeurs intermédiaires, l équation f(x) = 7 admet une unique solution α ]1, [. Nous avons ainsi localisé α. II Dérivation 1) Généralités (rappels et compléments) Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un point de I. On dit que f est dérivable en a, lorsque le taux d accroissement de f en a admet une limite l en a, c est-à-dire lorsque : lim f (x) f (a) x a = l ou, écrit autrement : lim h 0 f (a + h) f (a) h Dans ce cas, l est appelé le nombre dérivé de f en a et on le note f (a). Remarques : 1. Lorsque f est dérivable en a, on a : (1) f(x) f(a) = f (a)(x a) + (x a) ε (x a) avec lim ε (x a) = 0 () f(a + h) f(a) = h f (a) + h ε(h) avec lim h 0 ε (h) = 0 (en posant h = x a). Soit I un intervalle. Toute fonction dérivable sur I est continue sur I. (immédiat avec (1) ) 3. Ecriture différentielle : En physique, on note une variation avec le symbole. Ce qui donne : x = x a et y = f(x) f(a) =f (a) x d après (1) On exprimera symboliquement cette égalité par : dy = f (a) dx ou f (a) = dy dx (a) = l. ) Interprétations a. Graphique Lorsque f est dérivable en a, la courbe représentative de f admet au point A(a, f(a)) une tangente de coefficient directeur f (a) : y = f (a) (x a) + f(a) b. Numérique Lorsque f est dérivable en a, la fonction f admet une bonne approximation affine, lorsque x est voisin de a : f(x) f(a) + f (a) (x a) c. Cinématique Si t a f(t) est la loi horaire d un mouvement, f (t 0 ) est alors la vitesse instantanée à l instant t 0. 3) Variations d une fonction et extremums 3

4 Théorème 3 : théorème de Lagrange : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Si la dérivée f est nulle sur I, alors f est constante sur I. Si f est strictement positive sur I, sauf peut-être en un nombre fini de points où elle s annule, alors f est strictement croissante sur I. Si f est strictement négative sur I, sauf peut-être en un nombre fini de points où elle s annule, alors f est strictement décroissante sur I. Exemple 3 : Etudier les variations de la fonction f : x a x 3 6 x + 1 f est dérivable sur IR et : pour tout x IR, f (x) = 3 x 1 x = 3x (x 4), donc : sur ],0[, f (x) > 0 donc f est strictement croissante. sur [0,4[, f (x) < 0 donc f est strictement décroissante. sur [4,+ [, f (x) > 0 donc f est strictement croissante. x f (x) + + f Théorème 4 : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I ouvert, et x 0 un point de I. Si f admet un extremum local en x 0, alors f (x 0 ) = 0. Si en x 0 la dérivée f s annule en changeant de signe, alors f admet un extremum local en x 0. Remarques : Exemple 4 : 1. Pratiquement, les extremums locaux sont facilement repérables sur le tableau de variation : ils correspondent aux changement de sens des flèches.. ATTENTION, la réciproque du théorème est fausse : on appelle points d inflexions les points où la dérivée s annule sans changer de signe : la fonction ne change alors pas de sens de variation, il n y a donc pas d extremum en ces points. Etude de la fonction cube. 4) Dérivée d une fonction composée Théorème 5 : Soit f une fonction définie sur un intervalle I contenant le réel x 0, et v une fonction définie sur un intervalle J contenant le réel y 0 = u(x 0 ). Si u est dérivable en x 0 et si v est dérivable en y 0, alors la fonction f = v o u est dérivable en x 0 et : Le taux d accroissement de v o u en x 0 s écrit : v o u(x) v o u(x 0 ) = v (u(x)) v (u(x 0)) x x 0 u(x) u(x 0 ) u(x) u(x 0) x x 0 f (x 0 ) = u (x 0 ) v (y 0 ) Le premier quotient a pour limite v (y 0 ) en x 0, d après le théorème de composition des limites. Le second quotient a pour limite u (x 0 ) en x 0. d où le résultat. Exemple 5 : Montrer que f : x a sin(x ) est dérivable sur IR et calculer f (x). Soit u : x a x et v : x a sin x définies et dérivables sur IR, de fonctions dérivées : u : x a x et v : x a cos x f : x a v o u(x) est définie et dérivable sur IR et on a : Pour tout x de IR, f (x) = x cos(x ) 4

5 Corollaire : Soit u une fonction dérivable en x 0. Alors : La fonction f : x a [u(x)] n, n entier relatif, est dérivable en x 0 (sous la condition u(x 0 ) 0 pour n < 0), et : f (x 0 ) = n u (x 0 ) [u(x 0 )] n 1 Si u(x 0 ) > 0, la fonction f : x a u(x), est dérivable en x 0, et : f (x 0 ) = u (x 0) u(x 0 ) Exemple 6 : Etudier la dérivabilité de f : x a cos 3 x et g : x a x +. D après le corollaire, f et g sont dérivables sur IR, et : f (x) = 3 sinx cos x x, et g (x) = x + 5) Tableaux récapitulatifs Fonction : f(x) = Fonction dérivée : f (x) = Commentaires : k 0 k constante Sur IR x n n x n 1 n entier relatif Sur IR x 1 x ] 0 ; + [ sin x cos x Sur IR Cos x sin x Sur IR tan x 1 cos x = 1 + tan ² x IR\ π + k π, k Z Fonction Dérivée Commentaires u + v u + v k u k u k réel u v u v + u v u v u u u u' v uv ' v v(x) 0 u(x) > 0 u n n u u n 1 n entier relatif u(x 0 ) 0 pour n < 0 x a v o u(x) x a u (x) v (u(x)) 5